Методика вычисления классификационных показателей временных рядов эволюционных процессов с долговременными корреляциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ КЛАССИФИКАЦИОННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С ДОЛГОВРЕМЕННЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ

Ф. Б. Тебуева, Ан. В. Гриценко, Д. А. Русаков

THE METHOD OF CALCULATING CLASSIFICATION INDICES OF TIME SERIES OF EVOLUTIONAL PROCESSES WITH LONG-TERM CORRELATIONS

Tebueva F. B., Gritsenko An. V.,

Rusakov D. A.

The article is devoted to the problems of choosing a sign to classify time series which will allow the determination of adequate mathematical apparatus for prognostication. A method of calculating classification characteristics is suggested. The investigations have been fulfilled in the frames of the "Scientific and Scientific-Pedagogical Personnel of the Innovation Russia" Federal Designated Project.

Key words: time series, временной ряд, longterm correlation, Hurst index, fractal dimension.

Статья посвящена вопросам выбора такого признака для классификации временных рядов, который позволит определить адекватный математический аппарат для прогнозирования. Предложена методика вычисления классификационных характеристик. Исследования выполнены в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».

Ключевые слова: временной ряд, долговременная корреляция, показатель Херста, фрактальная размерность.

УДК 519.86:510.6:681.3

Предметом исследования в настоящей работе являются временные ряды дискретных процессов, динамика которых эволюционирует во времени. Важным вопросом в анализе временных рядов является выбор адекватного математического аппарата, который главным образом зависит от общих тенденций во временном ряде. Основными проблемами, возникающими в процессе моделирования многих реальных временных рядов являются следующие: невозможность применения трендовых моделей для прогнозирования в силу отсутствия трендоустой-чивости [1, 2]; проблема невыполнения правила трех сигм (отклонение от средней величины превышает М ± 30) [3]; проблема определения достаточной длины временного ряда [4]; проблема агрегирования временных рядов больших массивов данных.

Для решения указанных проблем необходимо определить класс принадлежности рассматриваемого временного ряда. Дополнительной проблемой является выбор самой классификации (выбирать следует такую классификацию, которая наилучшим образом подходит объекту исследования). В научной литературе наиболее подходящую объекту классификацию называют естественной. Естественная классификация обычно противопоставляется искусственной. На Всесоюзной школе-семинаре «Использование математических методов в задачах классификации» (г. Пущино, 1986 г.), в частности, были высказаны мнения, что естественная классификация [5]:

Ф. Б. Тебуева, Ан. В. Гриценко, Д. А. Русаков Методика вычисления классификационных показателей временных рядов...

- закон природы;

- основана на глубоких закономерностях, тогда как искусственная классификация - на неглубоких;

- для конкретного индивида та, которая наиболее быстро вытекает из его тезауруса;

- удовлетворяет многим целям; цель искусственной классификации задает человек;

- классификация с точки зрения потребителя продукции;

- классификация, позволяющая делать прогнозы;

- имеет критерием устойчивость.

Приведенные высказывания уже дают представление о больших расхождениях в понимании «естественной классификации». В настоящей работе классификацию (естественную классификацию) применяем к предмету исследования - временным рядам дискретных эволюционных процессов.

Приведем признаки к существующим в настоящее время классификациям временных рядов.

1) В зависимости от характера отображения времени ряды делятся на моментные и интервальные [5]. Моментным временным рядом является такой, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени). Интервальный (периодический) временной ряд - последовательность, в которой уровень явления относят к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени.

2) По числу показателей разделяют одномерные и многомерные временные ряды [6].

3) В зависимости степени определенности значений делятся на детерминированные, случайные, стохастические [7]. Если значения членов временного ряда определены какой-либо математической функцией, то временной ряд является детерминированным. Если эти значения могут быть описаны только с помощью распределения вероятностей, то временной ряд является случайным. Временной ряд процесса, развивающегося во времени согласно законам теории вероятностей, является стохастическим временным рядом.

4) В зависимости от изменения вероятностных характеристик описываемого процесса временные ряды подразделяются на стационарные и нестационарные [3]. В стационарных временных рядах начальный и центральные моменты не изменяются с течением времени. В нестационарных временных рядах наблюдается заметное изменение начального и центральных моментов.

В настоящей работе рассматривается классификация временных рядов по признаку наличия долговременной памяти и цвета шума, предложенная Э. Петерсом в работе [1].

5) В зависимости от наличия долговременной памяти и цвета шума временные ряды делятся на: персистентные, хаотические, антиперсистентные. В персистентных временных рядах наблюдается долговременная память, в хаотических - неопределенность, в антиперсистент-ных - отсутствие долговременной памяти. Временные ряды с долговременной памятью в научной литературе называются также «временные ряды с долговременными корреляциями» [1, 2].

Цвет шума имеет следующую классификацию: белый шум, черный шум, розовый шум; коричневый шум. Строгое математическое определение цвета шума базируется на спектральных функциях, которые рассчитываются через преобразования Фурье. Это преобразование, называемое иногда спектральным анализом, переводит временной ряд в функцию, определенную его частотами. В коричневом шуме в действительности нет никакой информации. Розовый шум сопровождает антиперсистентное поведение временного ряда и отсутствие в нем волатильности [8]. Белый шум не имеет свойственного масштаба и соответствует хаотическому поведению временного ряда (конкретный пример - траектория движения броуновской частицы).

Для временных рядов дискретных эволюционных процессов авторы предлагают выбирать классификацию по признаку наличия долговременной памяти - «персистентные - хаотические - антиперсистентные». Классификационными свойствами временных рядов являются:

1) подчинение распределения нормальному закону,

2) стационарность,

3) фрактальная размерность.

Для обнаружения первого свойства достаточно вычислить следующие характеристики распределения временного ряда:

- коэффициент вариации или характеристика сглаженности распределения

1

- Е X,

V (X )=

- третий центральный момент (коэффициент асимметрии) или характеристика скошенности распределения относительного математического ожидания М (X)

Мз = A X ) =

І

n ,=1

X,

І

n ,=

Е X,

\3

а3 (X)

- четвертый центральный момент (коэффициент эксцесса) или характеристика крутости (островершинности или плосковершинности распределения)

1 п ( 1 п V

- дх, -1X X,

и = е(Х ) = ,_п ,=1 ,

И 4 а4 (X) '

Второе свойство подразумевает вычисление основных статистических характеристик:

- первый начальный момент (математическое ожидание) или среднее значение, центр распределения случайной величины X на числовой оси

1

m = M(X) = -ЕXt;

- второй центральный момент (дисперсия) или степень рассеивания распределения X относительно математического ожидания М (X)

nn

m2 = d(X)=-Е| X, - -ЕX,

n і=1 , n ,=1

2

Для обнаружения третьего свойства необходимо определить фрактальную размерность временного ряда по формуле

D = 2 - H ,

H H( ) log(r(t)/S(t)) v „

где H = H ^TJ =------ —- показатель Херста, вычисляемый посредством алгоритма

log (т/ 2)

R / S -анализа [1].

Для определения класса принадлежности временных рядов необходимо поставить числовые соответствия указанным ранее классификационным свойствам І0 - З0.

В нормальном законе распределения (свойство 10) вычисленные классификационные характеристики имеют следующие соответствия:

V (X) = 3, мз = 0, м 4 = 3.

Допустимый предел изменения этих характеристик 5 %.

В стационарных процессах (свойство 20) изменение математического ожидания и дисперсии вычисляется по формулам:

DM(t)= M)) 100%, DD(t)= _D(t^ 100%,

M (t -1)

D(t -1)

,=1

Ф. Б. Тебуева, Ан. В. Гриценко, Д. А. Русаков Методика вычисления классификационных показателей временных рядов...

где t - порядковый номер интервала разбиения временного ряда. Условиями стационарности при этом являются:

ЛМ^)< 5%, ЛО^)< 5%.

Фрактальная размерность (свойство 30) временного ряда может принимать значения в интервале

В(Х )е(1,2).

В таблице ниже приведены наименования классов и соответствующие им условия.

Классификационные свойства временных рядов

№ п/п Название классов временных рядов Условия Модель для прогнозирования

1 Персистентные (наличие долговременной памяти) 1. не подчинение нормальному закону распределения 2. не стационарность 3. )є (1,1.4) трендовые и адаптивные модели

2 Хаотические (отсутствие памяти) 1. подчинение нормальному закону распределения 2. стационарность 3. ) є [1.4; 1.6) модели Марковских процессов

3 Антиперсистентные (наличие кратковременной памяти) 1. не подчинение нормальному закону распределения 2. не стационарность 3. )є [1.6; 2) клеточно-автоматная модель

Приведенные сведения представляют собой основу для алгоритмического подхода к классификации временных рядов и выбора модели для их прогнозирования.

Проблема разработки методов моделирования эволюционных дискретных процессов с долговременными корреляциями является весьма актуальной с точки зрения теории и практики. Методологической основой для решения данной проблемы служат фундаментальные работы ученых и специалистов в области разработки методов анализа и прогнозирования временных рядов, однако практическая реализация большинства подходов затруднена в силу отсутствия вычислительных методов.

В настоящей работе предложено классифицировать все временные ряды с точки зрения наличия или отсутствия в них долговременной памяти. Такая классификация позволяет выбрать для их моделирования дискретные логические структуры с памятью [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.: Наука, 1980. — 454 с.

2. Гаскаров Д. В., Шаповалов В. И. Малая выборка. — М.: Статистика, 1978. — 248 с.

3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы прогнозирования временных рядов: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с.

Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Издательство «Экзамен», 2004.

Перепелица В. А., Тебуева Ф. Б., Темиро-ва Л. Г. Структурирование данных для двухуровневого моделирования методами нелинейной динамики. — Ставрополь: Ставро-

польское книжное издательство, 2006. —

284 с.

7. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. — М.: Мир, 2000. — 333 с.

8. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 528 с.

Об авторах

Тебуева Фариза Биляловна, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов - методы нелинейной динамики для моделирования соци-

ально-экономических процессов, оптимизация дискретных процессов в условиях неопределенности. 1еЪиеуа @81аУ8и.ги

Гриценко Андрей Владимирович, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», аспирант кафедры информационных технологий. Сфера научных интересов - анализ временных рядов.

§лсепко.ап@81аУ8и. ги

Русаков Дмитрий Александрович, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», студент 5 курса специальности «Организация и технология защиты информации». Сфера научных интересов - анализ временных рядов.