Методика учета переменной толщины деформируемого покрытия в его простейшей модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ДРтот. СЕРИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»

№ 2 2014

УДК 539.3

МЕТОДИКА УЧЕТА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ДЕФОРМИРУЕМОГО ПОКРЫТИЯ В ЕГО ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ Кравчук Александр Степанович

д-р физ.-мат. наук

Кравчук Анжелика Ивановна

канд. физ.-мат. наук Белорусский государственный университет, Минск (Беларусь)

аи^ог@аргюг1-]оигпа!. ги

Аннотация. В статье предлагается геометрическое обобщение модели Винклера на случай переменной толщины покрытия. В частности, в качестве примера впервые аналитически решены контактные задачи обжатия ровными недеформируемыми полупространствами однородного и слоистого гиперэластичных шаров. Кроме линейно упругой деформации элементов однородного покрытия рассматриваются линейно деформируемое слоистое, композиционное, нелинейно-деформируемое слоистое и композиционное покрытия. Нелинейность моделируется как билинейной диаграммой Прандтля, так и степенной функцией, что выполняется впервые. Процесс разгрузки не рассматривается.

Ключевые слова: основание Винклера; уравнения состояния; ли-нейно-деформируемый материал; нелинейно-деформируемый материал; композиционный материал; слоистый материал.

METHOD OF ACCOUNTING OF VARIABLE THICKNESS OF DEFORMED COATING IN ITS SIMPLE MODEL

Kravchuk Alexander Stepanovich,

doctor of physical and mathematical sciences

Kravchuk Anzhelica Ivanovna

candidate of physical and mathematical sciences Belarusian State University, Minsk (Belarus)

Abstract. The paper proposes a geometric generalization of the Winkler foundation to the case of variable thickness of a deformable layer. In particular, at the first time the contact problems of compression of hyperelastic homogeneous and layered balls by flat and undeformable half-spaces are analytically solved. Besides linear elastic deformation of the uniform coating considered linearly deformable laminated, composite, nonlinearly deformable laminated and composite coating. Nonlinearity is modeled as a bilinear diagram Prandtl and power function. The unloading process is not considered.

Key words: Winkler base; equation of state; linearly deformable material; nonlinear deformable material; composite material; laminated material.

Введение. В работах [1; 2] дано методическое исследование возможных уравнений состояния, которые можно применить при решении контактной задачи с использованием простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины (обобщенной модели Винклера). Однако узким местом рассмотренного обобщения модели Винклера является использование гипотезы о постоянной толщине покрытия [3]. В частности, не понятно, каким образом определяется толщина покрытия, например, при расчете фундаментов, когда слой «деформируемого» грунта переменной толщины лежит на существенно неровной (по сравнению с глубиной внедрения) твердой подстилающей поверхности.

В настоящей статье обсуждаются методы геометрического обобщения решаемых с помощью простейшей модели деформируемого покрытия задач на случай как неровной поверхности внедрения, так и неровной подстилающей жесткой поверхности. Предложенная методика позволила, в частности, решить в качестве примеров ранее не доступные для аналитического решения задачи об обжатии недеформируемыми полупространствами однородного и слоистого гиперэластичных шаров.

Гипотезы, используемые в модели деформируемого покрытия переменной толщины. Предполагается, что поверхность внедрения покрытия (верхняя поверхность) определяется функцией /нждр (х, у), где

/внедр(0,0) = о. Покрытие покрывает жесткое недеформируемое полупространство с уравнением поверхности /подст (х, у).

В рамках задач механики контактного взаимодействия внедряемое в покрытие тело является недеформируемым, т.е. жестким штампом с уравнением поверхности / (х, у), где / (о,о) = о. Очевидно, что до нагружения штампа предполагается, что он касается покрытия в точке с координатами (о,о,о). Пусть открытое множество ^ с х 07 является внутренностью области контакта, т.е. 5 = {(х,у(х,у,о)ф о}, где аг(х,у,о) - контактные напряжения. Тогда замыкание 5 является областью контакта.

Очевидно, необходимо выполнено /внедр (х, у )> /подст (х, у), где (х, у )е 5 .

Рис. 1. Внедрение криволинейного индентора в деформируемое

покрытие переменной толщины

Предполагается, что покрытие может быть заменено призматическими стержнями с постоянным квадратным сечением ДхД в плоскости Х0У и высотой /внедр(х,у)-/подст(х,у)>о (Рис. 1). Стержни могут переме-

щаться только

' внедр

в

7-направлении, при этом их напряженно-

деформированное состояние призматического элемента является однородным [1, 3]. Размер Л пренебрежимо мал в сравнении с наименьшим характерным размером область контакта я в плоскости Х0У (Рис. 1).

Краевое условие по перемещениям. Учитывая, что в рамках простейшей модели деформируемого покрытия контактные напряжения аг (х, у,о) ф о могут возникнуть только в точке, в которой перемещение в области контакта w(x, у,о )ф о, то внутренность области контакта гораздо проще определить как я = {(х,у]м(х,у,о)ф о}. При принятых предположениях краевое условие по перемещениям определяется следующим уравнением:

где 8 - глубина внедрения штампа относительно точки (о,о,о). Она определяется из геометрических соображений, т.е. на границе области контакта (х,у)е Я\я контактные перемещения равны нулю (w(x,у,о)(ху)еЯя = о).

Принимая во внимание верхнее уравнение (1), получаем, что для любой достоверно определенной точки на границе области контакта (х,у)е Я \я выполнено равенство:

Формальное определение напряжений в области контакта без учета временных эффектов. Для определения напряжений, действующих в области контакта, достаточно использовать соответствующее поставленной задаче уравнение состояния & = 3(е). Используя предположение о деформируемости призматических стержней только в 7-направлении и определения деформации стержня высотой

/внедр (х,у ) — /подст (х,у ) , получаем:

Уравнения равновесия штампа на границе без учета временных эффектов. Уравнение (3) будет иметь параметры, которые должны определять конкретные размеры и форму области контакта по величине приложенной нагрузки. Задавая все константы уравнения состояния <т = 3(е), значения параметров, определяющих размеры области контакта Я, и, выполняя интегрирование контактных напряжений а2 (х, у,о), из (3)

(1)

8 = (- / (х у) + /внедр (х у))

(2)

(3)

можно определить величину необходимой для получения указанной области контакта силы р по формуле:

р = - Ца (х, у )Му (4)

После этого можно определить еще два опрокидывающих штамп главных момента мх и му, действующих в плоскостях Х07 и У07 и уравновешивающих несимметрично вдавливаемый штамп до получения предполагаемой области контакта 5:

Мх = - Л аг (х, у) х &сйу , Му = - Ц аг (х, у) -у &сйу . (5)

5 5

Обычно предполагается, что задача имеет геометрическую и физическую симметрию и, соответственно, главные моменты равны нулю

Мх = Му = 0.

Однослойное упругое покрытие переменной толщины. Рассмот-

и и V и | и м

рим случай линейной связи напряжений и деформаций. В этом случае:

3(е) = Е е, (6)

где е - модуль упругости изотропного однослойного покрытия. Уравнение (6) является уравнением состояния для модели Винклера [1, 3]. То-

гда контактные напряжения определяются в соответствии с (3):

а (х, у,о)=е—( ^*о) ( )=еЩ/Щ±1 . (7)

/енедр (^ у ) - /падет (^ у ) /енедр (^ у ) - /падет (^ у )

Горизонтально слоистое упругое покрытие переменной толщины. Перейдем к рассмотрению горизонтально слоистого покрытия переменной толщины. Для этого рассмотрим деформацию многослойного призматического стержня размером кхкх(/енедр(х,у)-/падст(х,у)) с координатами (х, у) на плоскости Х0У, имитирующего деформацию покрытия в этой точке. Рассмотрим горизонтально слоистый стержень из N слоев. При этом к-ый слой (к = ) в точке (х,у) имеет высоту кк(х,у) и модуль

упругости Ек материала слоя. Очевидно, выполнено равенство:

, \ N _

Кх у )=(/енедр (х у )-/падст (Л у )) = £ Ик (^ у I "(х у )е 5 .

к =1

Напряжения аг(х,у,о), действующие в области контакта 5 на весь стержень с координатами (х,у)е 5, равны соответствующим напряжениям, действующим на все его горизонтальные слои, т.е. выполнено ра-

( к \

венство аг (х, у,о) = аг х, у,-и(х, у)+^^ (х, у)1 = агкс (х, у,о) "к = 1, N. Следуя мето-

V 1=1 )

дике, изложенной в [1], получаем следующие уравнения для деформа-

ции e,к(x,y,o) отдельного слоя с номером (к = 1,n) и координатами (x,y)є S при сжатии:

£z,k(xy,o)=ezfx,y,-h(xy)+Zh<(xУ)! = s(xy,o). (В)

)+

V i=l

Ek

Определим суммарные перемещения w(x,у,0) в 7 -направлении для всего многослойного стержня с координатами (х,у)е Я суммированием (8)

для к=\п :

N f I

w(x У,o) = Z wk x y-^x У) + Z И (x У) I = Z Ик (x У) • ezк (x y,o) =

к=1 V i=1 J к=1 (9)

= (fвнедр (x У)- /подст (x У)).-

'внедрУ^?^ } Jподcm\^?J )) у )^ 7

где усредненные коэффициенты (е(х,у)) горизонтально слоистого

призматического стержня определяются уравнениями:

/ и( )\ (Ук (х, у)

(Е(х, У )}сл = >

V к =1 Ек ;

где й (х, У) = .

И(х, у)

Необходимо обратить (9) и получить уравнение для а2(х,у,о) от w(x,у,0) для решения контактной задачи:

(x y,o) =

Z

(x, y,o)=< E(x, y»-wxy

= (E(x,y))л J(x,У)-^(x,y)+d (10)

/недр (x У )- /одст (x У У

Уравнение (10) используется в уравнениях равновесия (4) и (5) для определения силы и действующих моментов, необходимых для достижения наперед заданных очертаний области контакта s . Очевидно, также, что если относительные толщины слоев gk(x,у)»{Гк) = const,"к = 1,N , то (e(x,у))сл = (е)сл = const и решение (10) аналогично решению для многослойного покрытия со слоями постоянной толщины [1].

Обычно распределение толщин слоев hk (x, у) для всех слоев многослойных покрытий не известно. Экспериментально можно определить fnодст (x, у) перед нанесением покрытия, и /внедр (x, у) после нанесения покрытия, кроме того можно считать известным уравнение поверхности индентора f(x,у). Остальные геометрические параметры покрытия обычно известны только в смысле математического ожидания значений этих параметров. В частности, будем считать, что в смысле математического ожидания известны относительные толщины слоев gк) много-

У

слойного покрытия. Из (9) можно записать, что в точке (х,у)е я верно уравнение:

w(^ у,0)=^внедр (x у )- fподст (x у )) • Т (п) ' {E у,0) + Т~ (x, у )' ^ ^

V к=1 Ек к=1 Ek J

где ~к (x, у ) = {гк)-Пк (x, у). Из (11) можно получить:

Ог(x,у,0) = (Т Ml w(x у,0) - (Т Ml ( N

к=1 Ек

h(x, у)

Т

V к =1 Ек J V к=1

x,

Т~к(x, у )

(x, у,0)

Е

(11)

(12)

к J

Далее будем предполагать, что и(х, у ) = (и) + и (х, у), тогда из (12) получаем:

( N 1у\)

S (x, у,0)-(Т Ш-)

V к=1 Ек J

(N

Т

{Гк)

V-1

V к=1 Ек J

w\x

(x, у,0)

h(x,у) (v {Ук)

Т Е

Vк=1 Ек J

w(x, у,0) (h>

Т~ к у)

Sz (x, у,0)

(13)

к=1

Е

к J

Приближенное равенство (13) позволяет дать оценку применению гипотезы о эквивалентности модели индентирования многослойного покрытия переменной толщины со слоями переменной толщины (10) и модели индентирования тем же штампом ровного покрытия постоянной толщины (и) со слоями постоянной толщины 1ук)-(и) (к = ):

Sz (^ у,0)» Т

Ук

V к=1 Ек J

w[x.

(x у,0)

h

(14)

Для определения ошибки замены модели (10) моделью (14) будем предполагать, что для каждого слоя известны модули максимальных отклонений относительных толщин слоев материалов Хк (Хк =тах \~к (x у

к = 1N) и модуль максимального отклонения суммарной толщины многослойного покрытия xh (Xh = max|~(x,у)}). И далее из (13) получаем следующую оценку относительной вычислительной погрешности замены модели (10) моделью (14):

(x, у,о)- (т Ш У wfegoi I

P и

V к=1 Ек J

(Ь)

<

Т

V к=1 Ек J

я(-

w(x, у,0)

7h S

dxdy

P

- +

Т

(Ук)

(x, у,0)

ffl -wxi

fT Ш 1-1 A H_____________________h

V к=1 Ек)

V к=1 Ек J dxdy

Т f

V к=1 Ек,

dxdy <

x \-If''(^У,о)dxdУ

P

(15)

J

P

+

Т E

V к=1 Ек J

тХ

V к=1 Ек J

Относительная ошибка (15) определяется в долях от величины р главного вектора сил, приложенных к внедряемому штампу.

Упругое композиционное структурно неоднородное покрытие.

Используя методику работы [1], перейдем к моделированию композиционного упруго-деформируемого покрытия. Будем предполагать, что призматические стержни, используемые при построении простейшей модели деформируемого покрытия с постоянным квадратным сечением шириной Л и высотой шт_{/внедр(х,у)-/подст(х,у)), представляют собой

(х, у М

макроточку.

Для решения задачи определения эффективных модулей рассматривается элемент композиционного материала (макроточка), на границе которого задаются воздействия, имитирующие воздействия, возникающие в твердом теле, т.е. в данном случае рассматривается сжатие призматических стержней, находящихся под внедряемым штампом (Рис. 1). Предполагается, что значения объемных долей ук (к = ) (концентра-

ций) компонент композиционного покрытия известны для покрытия в целом, и они же являются объемными долями компонент для каждого из стержней. При усреднении упругих характеристик композиционного материала стержня предполагается, что механические свойства Ек (модуль упругости) известны для каждой компоненты к (к = ). Тогда для

рассматриваемой модели структурно неоднородного покрытия переменной толщины получаем [1]:

м{х2уф) = , , / (Х у)- 3^внедр (х у )+8

где

N

Ук

1+1 Тук- Ек 1-Т Е

+ / ь \ |_ Vк =1 У к =1 к

Х ъ'Л / Р \ / Ф / N пу

к =1 Ек

Нелинейно деформируемое однослойное покрытие, деформация которого моделируется билинейной диаграммой Прандтля. В

данном случае для призматических стержней, моделирующих деформацию покрытия конечной толщины, необходимо рассмотреть следующее уравнение состояния [1]:

г _^сж

&Т

3(е) =

Е- е, 0 >е>

'Т

&Тж + Е

сж

Е ’

С аТЖ ^

е-

V Е У

^ (17)

а^>е,

Е

где е - модуль упругости покрытия, аСж - предел текучести при сжатии (он отличается от предела текучести при растяжении), ЕТж - касательный модуль пластичности при сжатии. Параметр ЕТж определяет упрочнение материала.

Уравнение (17) часто встречается в технических приложениях для моделирования упругопластической деформации твердого тела. Его можно использовать даже в случае геометрически больших перемещений в области контакта при испытаниях на твердость [1]:

О (х У,0) =

1 (*, У ) - /енедр {х> У)+ $ ^ 1 {х> У ) - /енедр {х> У)+ $ > 0СтЖ

1"енедр (х У)- ^подтт (х у Г 1"енедр (х У)- ^подтт {х, У) Е (18)

енедр подтт

Гтж 1 (Л У) - 1 енедр {х, У)+ $ , (, ЕТЖ } отж &ТЖ ^ 1 {х’ У) - /енедр {х> У)+ $

Е т---------:------7------\------:-------7------ + 1----------- От ,---------------- ^ ■

1"енедр (х У)- 1"подтт {х,У) V Е ) Е 1енедр{х,У) 1"подтт (х У)'

Нелинейно деформируемое многослойное покрытие, деформация слоев которого описывается билинейной диаграммой Прандт-

ля. Стержень в простейшей многослойной модели покрытия состоит из N слоев с высотами ьк(х,у), к = . Также как и ранее предполагаем, что

выполнено очевидное равенство:

, \ N _

Мл У )= 1/енедр (х У )-/подтт (х У ))= Е Ик (х У I v(x, У )е ^ .

' енедр V ’ У ) */ подтт \ ’ .У /) к

к =1

Далее предполагается, что деформационная кривая каждого слоя при его сжатии или растяжении определяется билинейной диаграммой Прандтля (17). Это означает, что механические свойства Ек (модуль упругости), еТж (касательный модуль пластичности при сжатии), аТж (предел текучести при сжатии) известны для каждого слоя с номером к (к = ).

Напряжения о(х,у,о), действующие в области контакта я на весь стержень с координатами (х,у)е я, равны соответствующим напряжениям, действующим на все его горизонтальные слои, т.е. выполнено ра-

( к \

венство аг(х,У,0) = аг х,У,-Н(х,у)+ЕМ(х,У)| = О(х,у,0) Vк = 1,N . Следователь-

V г=1 )

но, получаем следующие уравнения для деформации

( к \ ______________________________________

е?,к = е X У,-h(x, У)+ Е М (x, У )| отдельного слоя с номером (к = 1, п ) и коорди-

V г=1 )

натами (х, у) е я при сжатии:

", (х У,0)

Е,

0 (х У,0)>"

сж Т ,к ,

"г (Х У,0)

сж ЕТ ,к

+

Есж - Е

^Т ,к к

Есж . Е

[ -^Т ,к к у

(19)

аж, &тЖ (х, У,0).

Определим суммарные перемещения ™(х,у,0) в 7 -направлении для всего многослойного стержня с координатами (х,у)є я суммированием (19) умноженного на ік (х, у) для к = :

N

w(x, у,0) = Е 1 (х У)е, ,к =

к=1

" (х У,0), 0 > а, (х, у,0) > (а.сж (х, У))сл,

(20)

і(х, У).

А(х, У) ."УІІІ. + й(х, У ^У ^ ^ ^ сл ,(оГ (х, У)'

ЕГ (х, У )) с, <£Тж (х, У)) „■ (Е(х, У ) '■

(ст“ (х, У))Л > а, (х, У),

где усредненные по реализации толщин в точке (х,у)е ^ коэффициенты (е (х, у)) сл, (ех (х, у)) сл, 0^ж (х, у ^ горизонтально слоистого призматического стержня определяются уравнениями:

*(х-У) = іШ ■ <Е(х.У». =

V1

сл 77

V к=1 Ек у

ЕГ (х, У)) сл = '

V к=1 ^Т, к у

(21)

"Г (х, у)) =

ЕТж (х У ^ ' <Е (х У ^ с

(Е (х у ї сл -\ ЕТж (х у )

Е^к (х у )аТ

сж

."т,к .

сл у

к=1

Е - Е сж к Т ,к

Есж . Е

[ Т, к к у

Для решения контактной задачи необходимо обратить (20) и получить выражение о(х,у,о) через ^(х,у,о):

^(х, У,0) о > ^(х, У,0) > (°Тж (х,У))

",(x, У,0) =

(Е(хУ)) . .

^(х У Ясл і(х, у) , - 1(х, у Г (Е(х, у )>сл ’

I т?сж ( )\ ^(х, У,0) ( Е (х,У ^сл '1 I сж ( )\

(ЕГ(х,У}сл'1 “^ТЕТх^ "(х,У}с

Е(х, У)

(22)

с

а

(х, У ^сл > У,0)

(Е (x, У ]} сл h(x, У)

Усредненные по реализации толщин в точке (х, у )е я коэффициенты

(Е(х,У)) , (Ех(х,У)) , (о^Сж(х,У)\ (21) зависят от координат (х,У) только по-

-1

сл

тому, что относительные высоты (объемные доли слоев) ук(х,У) в рассматриваемой модели зависят от координат (х, У).

Определение ошибки при замене функций ук (х, у) и и(х, у) их математическими ожиданиями (ук) и (к) (ук(х,у) = (ук)-ук(х,у), ~(х,у) = (к)-к(х,у)), а также замене усредненных по реализации толщин коэффициентов (21)

их

постоянными

значениями

Е =

( N

Е

к=1

ук

Е,

Ех) =

х сл

'к )

Е

Ук

сж

Т, к )

ЕТ

Е

Е

ЕТ

•Е ук

'Т ,к

сл )

к =1

Е - Есж

к ЕТ, к

Есж • Е

V ЕТ, к к )

сопряжено с громоздкими пре-

образованиями и является самостоятельным исследованием. Очевидно, что можно получить оценку аналогичную (15), однако она будет иметь несопоставимо более громоздкий вид.

Нелинейно деформируемое композиционное структурно неоднородное покрытие, деформация компонент которого описывается билинейной диаграммой Прандтля. Используя методику работы [1], перейдем к моделированию композиционного нелинейно-деформируемого покрытия. Будем предполагать, что призматические стержни, используемые при построении простейшей модели деформируемого покрытия, с постоянным квадратным сечением шириной Л и высотой тт/е (х,у)-/подст(х,у)) представляют собой макроточку.

(х, У )еЯ

Предполагается, что значения объемных долей ук (к = ) (концен-

траций) компонент композиционного покрытия известны для покрытия в целом, и они же являются объемными долями компонент для каждого из стержней. При усреднении упругих характеристик композиционного материала стержня предполагается, что механические свойства Ек (модуль упругости), аТж - предел текучести при сжатии (он отличается от предела текучести при растяжении), Есж - касательный модуль пластичности при сжатии известны для каждой компоненты к (к = ).

Для рассматриваемой модели структурно неоднородного покрытия переменной толщины получаем:

о (х У ))■■

Х

Ес

(л У,0) к(х, у)

н(х, у,0) к(х, у)

Х

0 >

+

>

от

н(х, У,0)

к(x, У) " (Е) Х

Х

Е

Х

с

о

о

Х

(х, У,0)

(23)

Е

Х

к(х, У)

сл

к

сл

сж

сж

сл

сл

сл

1

где эффективные упруго-пластические характеристики композиционного материала определяются уравнениями [1]:

2

( ( N Л( N р Л]

1+(Е п- •Е* ](у]

УЧ -=1 Е У

Л=1

1V

Е

р*

- =1 Е-

(^^)х =1 (( + {ЕГ)Ф )=1

1+(Ер* ЕЖ ] Е

У

сэ/с |(е_р* ^ т, *

Ч *=1 ,* У

N

Е

р*

ТТ’СЖ

*=1 Ет ,*

(Ґ

о

Ес 1_ X Т ІР

Е

\

г

ог

+

У

ЕТ

1 _ N Т /ф

Е

л

V

ог

У

Х

2

(1 _й^х л

Е

( N

Ер*о

г? г?с^^Л ( N

т, *

*=1

Е _ Ес Есж . Е

Ч Ет,* уу

+

Ер*

*=1

У

Е

Т, *

Е,

О

т , *

77 сж

*=1 Ет, *

(

2-

(Е рЛ

ТТСЖ

Ч *=1 Ет ,* У

1 _

1+(Е р* - ЕТЖ ] е

р*

Л]

*=1

сЖ

Ч *=1 Ет, *

Ґ

(Е р

сЖ

Ч *=1 Ет, * у

УУ

р*

Л

1+( Ер*-е* | Е

.ЕЕ ,

Ч *=1 * У

*=1

Ч *=1 Е* У У

Применение степенной функции в уравнении состояния при моделировании нелинейно-деформируемого однослойного покрытия. В данном случае для призматических стержней, моделирующих деформацию покрытия конечной толщины необходимо рассмотреть следующее уравнение состояния [1, 3]:

а

3(е) = °

СЖ

эт

Є

еСЖ

Ч эт У

(24)

где о™, еСЖ, асж (асж <1) - характерные для материала константы, определяемые исходя из аппроксимации с помощью (24) диаграммы одноосного сжатия образца материала. Например, для металлов в качестве

оСЖ можно взять предел текучести при сжатии материала, а в качестве

еСЖ соответствующую пределу текучести деформацию.

Уравнение (24) также часто встречается в технических приложениях для моделирования развитой пластической деформации твердого тела или моделирования гиперэластичных материалов. Его можно использо-

Р

Ф

СЖ

1

вать даже в случае геометрически больших перемещений в области контакта:

о (х, у,0) = ож-

(

^(х, у,о)

Л

а ж

К(х у У Є

сж эт У

сж

о •

эт

( I(х у)_ /внедР (x, у )+£ ]

асж

(25)

Степенная функция в уравнении состояния многослойного покрытия переменной толщины. Перейдем к рассмотрению горизонтально слоистого покрытия постоянной толщины. Стержень в простейшей многослойной модели покрытия состоит из N слоев с высотами ик (х, у), кроме того будем считать, что экспериментально определенны

значения характерного напряжения осжк, деформации е^к и показателя степени а°кж для каждого слоя к = . Также как и ранее предполага-

ем, что выполнено очевидное равенство:

, \ N _

Мх у ) = и„едр (х у)-Лад™ (х у))=ЕК(x, у 1 v(x,у )е ^.

к =1

Напряжения о2(х,у,о), действующие в области контакта на весь стержень с координатами (х, у )е я, равны соответствующим напряжениям, действующим на все его горизонтальные слои, т.е. выполнено ра-

( к \

венство о(х,у,о) = о2 х,у,-и(х,у)+ЕМ(х,у)1 = о^к(х,у,о) Vк = 1,N. Следуя мето-

V г=1 )

дике, изложенной в [1], получаем следующие уравнения для деформации егЛ (х, у,о) отдельного слоя с номером (к = ) и координатами (х, у) е я

при сжатии:

0(х у,0)

Є,*(х> У,о) = Є ЛУ~Кх у)+ ЕК(х> у) | = Є

-,сж

" эт,*

(26)

Определим суммарные перемещения м>(х,у,о) в 7 -направлении для всего многослойного стержня с координатами (х,у)є £ суммированием (26) для * = :

1

(о, (х, у,0)]асЖ

N N

w(x, у,о) = Е К (х у) • Є ,*(^ у,о) =h(x, у )Е Р*(x, у) • Є

эт,*

*=1

*=1

сж

Ч эт,* У

(27)

Будем считать, что (27) можно приблизить следующим выражением:

w(x, у,о)=К(х у)- (x, у У) р ■

о, (х,у,о) ]<«■>

От (х, у)) Р ]

(28)

г=1

р

Для того, чтобы упростить приближение (27) с помощью усреднен-

ных коэффициентов ет(х,у))р, (от(х,у))р , / ж\х у)

предположение, что:

осж (х,

эт х 4

IX

(х. у ),» Е

Г»(х. у)

к=1 Оэт,к

в (28), сделаем

(29)

Тогда можно получить уравнение для получения значения

(еж (х. у)) р:

еж (х. у Л р» Ег» (х. у)е

к=1

О (х, у))

(30)

Кроме того, продифференцировав (27) и (28) по о2, и подставив вместо о2(х,у) выражение (асэтж(х,у)) , получаем уравнение для опреде-

р

ления

а,с

IX

Ег» (x, у)е

к=1

1

эт,к асж (Лк

'от (х

а (х, у)/

еж (х, у)) Р

(31)

Таким образом, усредненные коэффициенты 1ет(х,у)) , От(х,у)'

—)1 горизонтально слоистого нелинейно-деформируемого призматического стержня определяются уравнениями (29)-(31). Необходимо обратить (28) и получить уравнение для о2 (х, у,о) от ^(х, у,о) для решения контактной задачи:

О(х у,0) = (°Г (х у))

/ (x, у )- /внедр (x, у )+^

' внедр '

"(х, у).

(32)

Оценить замену в (32) функций 1еТ(х,у)\, (осТ(х,у)'

их

/р’ \аГ (х, у),

постоянными значениями, получаемыми при подстановке вместо ук (х, у) (к = ) их математических ожиданий (ук) (к = ), а также вместо пере-

менной толщины И(х,у) = (/внедр(х,у)-/подст(х,у))"(х,у)е ^ ее среднего значения (и) не представляется возможным.

Р

-1

а

к

сж

к

к

1

Р

Л

к

Р

к

Р

Р

Р

Р

Степенные функции в уравнении состояния композиционного структурно неоднородного покрытия. Принцип реализации метода гомогенизации для призматического стержня квадратного сечения из простейшей модели деформируемого покрытия изложен в работе [1].

Следуя [1], будем предполагать, что стержень состоит из N материалов с объемными долями ук, и для каждого материала к = экспериментально определенны значения характерного напряжения о™к,

деформации есэжк и показателя степени акЖ.

Тогда получаем [1]:

где

ог (х.

у—сж

0эт I р

1 (Х У )- /внедр (Х У )+^

внедр

(ЄСЖ)р • 1внедр (х У )- /подст (х У ))

аж)р

+

N

+I

к=1

7к о

эт, к

1 (х У )- їенедр (х У)+$

\ак

(33)

о

^ ^ 7к

-1

'р

Г

о сж у к=1оэт,к

N

^ / сж \ ^ „сж ик

сж

эт,к

к=1

о

эт

0сж

оэт,к V У

Г7к є

к=1

эт, к „сж „к

о

сж

V эт,к у

а,;

є

Замечание по возможному применению некоторых обобщений.

Если в формулах (16), (23) и (33) для структурно-неоднородных композиционных покрытий принять коэффициенты ук переменными (т.е.

функциями ук (х, у)), то можно оценить влияние технологических отклонений в концентрации элементов в смеси на локальные механические свойства покрытий.

Примеры решения контактных задач обжатия гиперэластичного шара двумя ровными и жесткими полупространствами. Пусть дан деформируемый шар радиуса я с центром в точке г = -я:

х2 + у2 + (г + я)2 < я2 , (34)

Очевидно, что при решении симметричной относительно плоскости Х0У задачи (обжимающие плоскости одинаковы) достаточно решить контактную задачу для полушара, т.к. контактные напряжения останутся

1

-1

(X

1

к

Р

1

Р

Р

теми же, а сближение двух полупространств при обжатии шара будет равно удвоенному сближению, найденному при решении задачи для по-лушара.

Таким образом, поставленная задача сведена к задаче, поставленной для деформируемого тела, определяемого системой неравенств:

|х2 + у2 + (г+я)2 < я2, (35)

|т > -я.

Данная область может рассматриваться как покрытие с переменной толщиной. Т.е. в связи с принятыми выше обозначениями уравнение поверхности индентора / (х, у ) = о (т.е. ровная плоскость, проходящая через

г = 0 ), уравнение поверхности внедрения /внедр (х, у ) = д/ я2 -(х2 + у2) - я (уравнение полушара), уравнение подстилающей поверхности /подст(х,у) = -я

(т.е. ровная плоскость, проходящая через г = -я) (Рис. 2). Подставляя указанные уравнения поверхностей в (1) и (2), получаем, что в области контакта выполнено условие:

цх,у,о)=Ня2_(х-+у2 )+'я-'2,(х, у)£ * (36)

|о, (х, у )й £,

где а - радиус области контакта. Из построения области, занятой твердым телом, видно, что она осесимметричная. Из краевого условия по перемещениям видно, что краевое условие также осесимметрично. Структура распределения компонент с разными механическими свойствами является также осесимметричной (однородное или слоистое гипе-рэластичное тело).

Рис. 2. Сжатие двумя плоскими поверхностями гиперэластичного полушара

Таким образом, решаемая краевая задача с условием (36) является

2 2 2

осесимметричнои и можно выполнить замену г2 = х2 + у2 и переити к цилиндрическим координатам (г, г):

„(г,0) = НЯ -г’ + л/Я-г е[°а]- (37)

[о, г ї [0, а],

Решение задачи для однородного гиперэластичного шара. Заменяя деформируемый полушар гиперэластичными стержнями с квадратным сечением в соответствии с (25) получаем:

~,сж

а2 (г,0) = аГ- ™ I , 2 . (38)

^ еж- ^я2 - Г2 )

где &СЖ (&т < о), естж (£1Ж < о), асж - характерные для материала константы.

Неизвестную константу а из (38) необходимо определить исходя из уравнения равновесия, которое в осесимметричном случае имеет вид [1, 3] (Рис. 2):

а

Р = -2р|о2 (г,о)- гйг , (39)

о

где р - величина главного вектора сил, приложенного к штампу.

К сожалению, в общем виде интеграл (39) с учетом (38) не вычисля-

ется в квадратурах. Однако, подставив конкретные значения констант

материала осЖ, еСтЖ, асж и значение радиуса области контакта а, можно вычислить конкретное значение нагрузки р . Далее, протабулировав таким образом значения Р(а), можно решить обратную задачу - задачу определения радиуса области контакта по действующей нагрузке.

Сближение двух жестких ровных полупространств при обжатии половины шара определяется выражением (2):

£ = л/я2 - а2 - я . (40)

Соответственно для целого шара значение (40) удваивается.

Решение задачи для многослойного гиперэластичного шара.

Пусть для осесимметричного многослойного шара дана система радиусов {як}^ (я1 <... < як-1 < як <...< ям < я), определяющих границы N сферических слоев с постоянной толщиной {як -як-1}^+2 , где яN+1 = я . Уравне-

ние толщин сферических слоев при к = 2,N имеет вид:

К(г):

№ - г2, Г е[Я(-„ я, 1

О, г е [Я,, а].

(41)

Будем предполагать, что радиус а области контакта многослойного шара с обжимающими его жесткими и ровными полупространствами меньше первого радиуса, т.е. а < Я,. Это не сильно снижающие общность предположение, позволяет существенно упростить аналитический результат и рассматривать для всех слоев только первое уравнение из

(41). При к = 1 будем иметь К, (г ) = -у/я,2 - г2, тогда вычислим относительные толщины в криволинейном многослойном пакете:

П1(г):

Я,2 - г 2 2 ~2

л1я 2 -

П(г ) = -

V Я,2 - г1 -У Я _2 -

2 2 г

2 2 г

, г е О, а

Подставляя (42) в (29)-(31), получаем:

(42)

осж (г

эт '

(г))р-[£I , ет(г))р - £ п(г)е

р /Г'

Ч к =1 эт, к у

~'эт,к

к=1

&

эт, к

IX

£пк(г)

г )е

к=1

эт, к асж ак

1

-сж(г )\

' эт \ /{р

(г)} р

&

сж эт , к

а (г)/

есж (г )) р

(43)

Затем (43) подставляем в (32) и окончательно для многослойного гиперэластичного шара получаем:

&(г ,0) = &2(г 1

-л/ Я2 - г2 + 4ЯГ-а2

есж (г )) р- лк-?

Чг)

(44)

Подставляя (44) в уравнение равновесия (39), определяем связь действующей нагрузки р и радиуса области контакта, а из уравнения определяем (40) сближение полупространств при обжатии слоистого по-лушара.

сж

-1

1

сж

1

р

к

Р

Р

Выводы. В статье предлагается геометрическое обобщение модели Винклера на случай переменной толщины покрытия. В частности, в качестве примера впервые аналитически решены контактные задачи обжатия ровными недеформируемыми полупространствами однородного и слоистого гиперэластичных шаров. Кроме линейно упругой деформации элементов однородного покрытия рассматриваются линейно-деформируемое слоистое, композиционное, нелинейно-деформируемое слоистое и композиционное покрытия. Нелинейность моделируется как билинейной диаграммой Прандтля, так и степенной функцией, что выполняется впервые. Процесс разгрузки не рассматривается.

Список использованных источников

1. Кравчук А.С., Кравчук А.И. Применение простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины в механике твердого тела // АРШОШ. Серия: Естественные и технические науки [Электронный ресурс]. 2014. № 1. Режим доступа: ИКр://арпоп-

journal.ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf

2. Кравчук А.С., Кравчук А.И. Моделирование ползучести по наследственной теории в простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины // АРШОШ. Серия: Естественные и технические науки [Электронный ресурс]. 2014. № 2. Режим доступа: http://apriori-journal.ru/seria2/2-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf

3. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир. 1989. 510 с.