Методика определения и оценки контактной жесткости соединений с двойным базированием типа конус-плоскость Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9.06-529

К. А. Украженко

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОЦЕНКИ КОНТАКТНОЙ ЖЕСТКОСТИ СОЕДИНЕНИЙ С ДВОЙНЫМ БАЗИРОВАНИЕМ ТИПА КОНУС-ПЛОСКОСТЬ

Приведены методы расчета жесткости конусных и плоских торцевых соединений, а также соединений инструментальной системы в целом. Соединения с двойным базированием предполагают работу каждой из контактирующих поверхностей в условиях нормальных и касательных контактных перемещений. Дана оценка каждой базирующей поверхности в зависимости от нагрузки при условии работы поверхности в зоне упругих касательных деформаций.

Соединения с элементами двойного базирования, используемые преимущественно для вспомогательного инструмента, предполагают наличие двух одновременно контактируемых поверхностей, расположенных под углом друг к другу, в большинстве случаев этот угол составляет 90°. Поэтому обе плоскости работают в разных условиях контактных деформаций, одна в нормальных условиях, другая — в касательных условиях.

Жесткости двух базирующих поверхностей (рис. 1), торцевой 1 и конической 2, соединены в соответствии с теорией приведения параллельно. Следовательно, суммарная или общая жесткость ]у торцевой ]т и конусной ]к поверхностей определяется по формуле ]у = ]т + а ее обратная величина — суммарная податливость — определяется как сумма обратных значений податливостей торца ¿т и конуса ¿к, т.е.

¿А

ду =

5т + 8К

Согласно представленным далее зависимостям по определению податливостей отдельных элементов соединения двойного базирования можно записать

. _ P . _ P

Зт ; jK ,

Ут Ук

тогда

. _ М _1_

3 = WL + 5о + во L, где ут и yK, мм — упругие контактные перемещения в торцевом и коническом стыках в плоскости приложения нагрузки Р, ут = ipL и ук = 50 + в0L соответственно, 50, i и в0 — начальный прогиб, углы поворота в торцевом и конусном сопряжениях; L — длина оправки, к которой приложена сила P.

Рис. 1. Схема соединения с двойным базированием типа Рис. 2. Схема соединения с базированием по "ШК" конусу

Начальный прогиб б0 и угол поворота в0 в конусном сопряжении можно определить из дифференциального уравнения упругой линии изгиба консольной балки со сплошной заделкой и упругим основанием, которым служат поверхностные слои оправки и внутренней поверхности сопрягаемого модуля [1]:

Л- (е1х^ 1 + Вху = 0 (1)

¿х2\ х Сх2) к

где у — прогиб в сечении х.

Введем следующие граничные условия:

„ с12у М С3у Р

при х = 0 Сх = ж и схз = ЕТх;

_ d2y d3y

при x = l -x = 0 и ~d~3 = 0,

dix dlX

где M = PL и P — момент и перерезывающая сила в начале стыка.

В связи с тем, что соединение модулей оправки происходит с помощью конусных поверхностей (рис. 2), у которых диаметр меняется по длине, поэтому жесткость EIx оправки и приведенная ширина Bx упругого основания также переменны по длине:

/ 2ax \ EnD4 nDX

Dx = D 1--; EIx =-; Bx =-X,

x y D ) 64 x 2

где 2a — угол конусности; D — больший диаметр соединения; Dx — диаметр в сечении на расстоянии x от кромки стыка.

Решаем уравнение (1), т.е. относительно координаты x = 0 определим упругое перемещение y = ¿о и угол наклона в0 в начале стыка:

г 2Мв2 k„ 2Ppk 2Ppk/OT^

¿о = B Ci + C2 = (eLCi + C2), мкм; (2)

л 4M в2 k„ 2Pp2 к 2Pp2

во = —C3 + ^ C4 = —(2£LCs + C4), мкм/мм. (3) BBB

Общее решение по определению упругого перемещения для конусной оправки можно представить как

& = С + РЬ(С1 + С2) + 2 (32Ь2С3], В

где Р — сила, Н; Ь — расстояние от кромки стыка до сечения приложения нагрузки, мм; к — коэффициент контактной податливости стыка, мкм/Н-мм-2; в — показатель жесткости стыка, в = ^ ^ЕВ^, ^^мм; Е — модуль упругости (для стали Е = 2,1 • 105 МПа); I — момент инер-

т пП4

ции хвостовика в начале стыка, I =-, мм4; В — приведенная ши-

64

рина стыка, В = 0,5пД,мм; С1, С2, С3, С4 — поправочные коэффициенты, учитывающие влияние переменного диаметра, причем С1 = С4. Значения этих коэффициентов зависят от показателя жесткости Л = в и угла конуса а.

Данные коэффициенты получены путем двойной аппроксимации табличных данных [1] для различных длин и углов методом наименьших квадратов. Цель проведенной аппроксимации — создать единые аналитические зависимости для определения коэффициентов С1, С2, С3 применительно к более широкому диапазону изменения как показателя жесткости Л, так и углов конусов анализируемых инструментов (табл. 1).

Таблица 1

Л Конусы

Морзе, а/2 = 1°30' 1/10, а/2 = 2°51' 1/5, а/2 = 5°42' 7/24, а/2 = 8° 17'

Cr

Съ С4 С2 Сз СЪ С4 С2 Сз СЪ С4 С2 Сз СЬ С4 С2 Сз

1, 5 1, 3 1, 27 1,03 1, 5 1,4 1, 2 1, 9 1, 75 1, 4 2, 34 2, 06 1, 7

2 1,23 1, 2 1,02 1,43 1, 34 1,13 1, 78 1, 63 1, 30 2,16 2, 06 1,7

2, 5 1,15 1,13 1,02 1, 35 1, 28 1,1 1, 62 1, 5 1, 23 1, 65 1, 64 1,17

3 1,10 1, 08 1,01 1, 28 1, 23 1,08 1, 47 1,41 1,15 1,45 1, 48 1,07

3, 5 1,08 1, 06 1,01 1, 23 1,19 1,06 1, 36 1, 34 1,1 1, 34 1, 36 1,05

4 1,06 1, 04 1,01 1,19 1,15 1,04 1, 28 1, 27 1, 05 1, 30 1, 34 1,04

5 1,05 1, 03 1, 0 1,12 1,11 1,02 1,15 1,18 0, 98 1, 27 1, 32 1,03

6 1,04 1, 03 1, 0 1,07 1, 06 0, 99 1, 06 1,11 0, 93 1, 25 1, 30 1,02

7 1,03 1, 02 1, 0 1,03 1, 03 0, 98 0, 98 1,05 0, 88 1, 23 1, 28 1,01

8 1,02 1, 01 1, 0 0, 99 1,0 0, 96 0, 93 1, 0 0, 85 1, 2 1, 26 1,01

9 1,01 1, 01 1, 0 0, 97 0, 97 0, 95 0, 87 0, 96 0, 82 1, 7 1, 24 1,0

10 1, 0 1,0 1, 0 0, 94 0, 95 0, 94 0, 83 0, 92 0, 79 1, 3 1, 2 1,0

На первом этапе аппроксимации были получены степенные зависимости Сг = f (Л) для двух углов: для конуса 7/24 с углом а/2 = 8° 17':

С1 = 3,165Л-0'666, С2 = 2,573Л-0'484, С3 = 2,048Л-0'546;

для конуса Морзе с углом а/2 = 1°30':

С1 = 1,342Л-0'155, С2 = 1,299Л-0'144, Сз = 1,035 Л-0'019.

В результате получили три выражения для конусов 7/24 и три выражения для конусов Морзе, адекватно отражающих реальную зависимость коэффициентов С1,С2 и С3 от переменного параметра Л, а следовательно, и длины I для углов а/2 = 8° 17' и а/2 = 1°30'. Задачу решали с помощью специально разработанной программы АРЯОК81М-1.

На втором этапе аппроксимации были получены единые зависимости для определения коэффициентов С г в следующем виде:

С i — kiXx%,

7 eí а \ ■ а (а \ .а

где ki — Д-j — a + a,i+i sin х% — Д -^j — b + bi+i sin ^ •

Численные значения переменных параметров ai,ai+1 и Ь%,bi+1 определялись по указанной программе и приведены ниже. Коэффициенты С1, С2, С3 определяли по зависимостям:

Ci — kiXX1, (4)

где ki — 0,937 + 15,465 sin ^, xi — -0,041 - 4,340 sin ^;

2 2

C2 — k2XX2, (5)

аа где k2 — 1,017 + 10,801 sin -, x2 — -0,068 - 2,882 sin -;

2 2

C3 — k3XXs, (6)

аа где k3 — 0,827 + 7,951 sin -, x3 — -0,084 - 3,972 sin -.

22 Исходные данные для проведения второго этапа аппроксимации —

коэффициенты ki и х% при расчете коэффициентов C% (приведены в

табл. 2).

Таблица 2

Коэс )фициенты Угол а/2

Ci ki, xi sin 1o 30' = = 0,02618 sin 2o51' = = 0,04972 sin5o42' = = 0,09932 sin 8o 17' = = 0,14407

Cl ki 1,342615 1,706720 2,473811 3,165739

x1 -0,15543 -0,257321 -0,472589 -0,666766

C2 k2 1,29995 1,554245 2,089991 2,573244

X2 -0,144385 -0,212243 -0,355206 -0,484161

Сз кз 1,035493 1,222708 1,617127 2,048302

Хз -0,019714 -0,281770 -0,478796 -0,546557

Приведенные аппроксимационные зависимости k, x = по-

лучены с помощью той же прикладной программы APROKSIM-1 по двум точкам при условии прямолинейной графической зависимости вида y = a + bx между переменными параметрами (рис. 3, а и б). Используя аппроксимационные зависимости второго уровня (4), (5), (6), представляется возможным провести не табличное, а расчетное определение искомых коэффициентов Ci, С2 и C3, учитывая произвольные

. а

значения переменных параметров Л и угла —.

2

Для автоматизированного расчета этих коэффициентов по указанным уравнениям была разработана прикладная программа RAS CIC. PAS [2].

Угол поворота ф в торцевом стыке (рис. 4) можно определить по известным зависимостям:

р = ——-X—, мкм/мм, (7)

где — — коэффициент контактной податливости, k = Cma^-1, мкм/Н-мм-2; C — коэффициент, зависящий от геометрии поверхности и физических свойств материалов сопрягаемых деталей. Для стальных

Рис. 3. Графики аппроксимационных зависимостей:

а - к = f (а/2); б — x = f (а/2)

и чугунных деталей с шероховатостью по ГОСТ 2789-73 значения усредненного коэффициента С следующие: С = 0,4... 0,5; 0,35; 0,25; 0,15 и 0,07 для 7; 8; 9; 10 и 11-го классов шероховатости соответственно; т — показатель степени, для стальных закаленных деталей с шерохова-Рис. 4. Схема соединения с базированием тостью сопрягаемых поверхно-по т°рцу стей 8, 9-го класса при повтор-

Рз

ных нагружениях т « 0,5; а0 — давление в стыке, а0 = —, Па; Рз —

г

сила затягивания стыка, Н; Г — площадь стыка, м2.

0 5С

Для т ~ 0,5 коэффициент контактной податливости к = —-.

Одним из важнейших условий работы соединений с двойным базированием является работа всех базирующих поверхностей в диапазоне упругих деформаций. Особенно это важно для касательных деформаций, так как в некотором диапазоне нагрузок они носят упругий характер, и после снятия нагрузки система возвращается в исходное положение. После превышения определенного значения нагрузки начинаются необратимые смещения, а затем может произойти "срыв". Чтобы исключить это, стыки, удерживаемые силой трения, необходимо рассчитывать таким образом, чтобы касательные смещения в них не переходили в область пластических, т.е. контактирующие детали машин при приложении сдвигающей силы, которая меньше силы трения покоя, имеют касательные контактные перемещения.

Упругие касательные контактные перемещения, наблюдаемые при упругом характере нормальных контактных деформаций и в начальный период упруго-пластических касательных перемещений, можно определить по данным работы [3]:

Stk =

16Rp

1 - 1 -

fP.

2/3'

(УК - у2т)

при PKi = f Pi получим ST

St m

nSm (ус2к уст)

16R2

(8)

Это так называемое состояние предварительного смещения упругого контакта или начало процесса проскальзывания.

Здесь Р, и Рк — нормальная и касательная нагрузки (Р, = Р/т, Рк = Рк/т, где т — вероятное число контактов); Бгп — средний шаг между масляными карманами; Яр — высота сглаживания масляных карманов; уск — нормальное сближение контактируемых деталей при скольжении, уск = ^уТ+У2 — 1)уст; f — коэффициент трения покоя сопрягаемых материалов; уст — контактное сближение деталей в статике,

Уст = (Упл1 + Упл2) + (Ууп1 + Ууп2),

упл1 и упл2 — пластические контактные деформации поверхностных слоев под действием силы Р соответственно первой и второй контактирующих деталей; ууп1 и ууп2 — упругие перемещения нижележащих слоев тех же деталей.

Величина пластических деформаций контактирующих деталей определяется формированием фактической площади контакта с учетом ее шероховатости, волнистости, макроотклонения и физико-механических свойств и согласно работе [3]:

Упл1 = П

( 2пР RalWzlHmaxl

Ak[ ат1

1/3

мкм.

(9)

Упругие перемещения нижележащих слоев под действием прило женной нагрузки могут быть определены по формуле

1 — ц2 , / с упл1 Уу.п1 = 2п—-— кх ст^Ь,

Ei

Ra

мкм,

где А — геометрическая площадь контакта, А = П (Б2 — сС2), м2; ат1 напряжения текучести первой детали, для стали 40Х ат = 360 МПа; ц — коэффициент Пуассона, для металлов ц = 0,25 ... 0,35; Е — модуль упругости, Е = 2,1 • 105 МПа.

Аналогичный вид имеют уравнения, используемые для расчета пластической и упругой составляющих контактных перемещений второй детали. Численные значения параметров поверхностного слоя приведены в табл. 3.

Таблица 3

(10)

2.

Параметры

Метод обработки Направление измерения Шероховатость Волнистость Макроотклонение Степень наклепа

Ra, мкм Rp, мкм Sm, мм Wz,мкм Hmax, мкм k'i

Шлифо- поперечное 0,22 0,38 0,016 0,52 2,6 1,0

вание продольное 0,08 0,20 0,042 0,72 2,8 1,0

В соединении с двойным базированием при нагружении одна пара из сопрягаемых поверхностей работает в области касательных контактных перемещений, поэтому вначале необходимо определить максимально возможную величину 8Т тах этого перемещения по приведенным зависимостям, исходя из заданных режимов обработки. Затем по величине этого перемещения оценить по нагрузочной способности каждую из базирующих поверхностей.

Для конусного соединения нагрузку Р1, приложенную на расстоянии Ь, определяют из формулы (2), приравнивая 50 = 5Т тах:

Р1 =

2вк{вЬС1 + С )"

Далее определяем угол наклона 90 оправки в начале стыка по формуле (3)

во = 2рв2к (2вЬСз + С4). В

Затем по известным зависимостям (7) находим силу Р2, вызывающую смещение 90 на торце; так как в данном случае р = 90, то

Р = ^

k (1 - х) L

nD4 nd4 4

где I =----момент инерции кольцевого стыка, мм4, где D

64 64 и d — диаметры (см. рис. 1).

Из сопоставления сил P1 и P2 видно, какую долю общей нагрузки P = Pi + P2 несет каждая из соединительных поверхностей. Жесткости конусного ]к и торцевого j соединений можно определить из выражений

• = Pi и • = P2

0т max + 9L 9L

Соотношение этих жесткостей можно численно оценить после проведения расчета с конкретными и реальными исходными данными, в

качестве которых для примера взяты D = 50 мм, d = 30 мм, l = 25 мм, мкм

k = 0,1--, х = 0,2, L = 100 мм. Причем все расчеты для боН • мм 2

лее полной их достоверности необходимо проводить при оптимальных параметрах соединения по следующей схеме.

1. Определяем максимальное касательное упругое контактное перемещение:

nSm (Ус2к - Ус2т) 3,14 • 16 • 0,08

от max = -—Г- = --— = 1, 7 мкм,

т max 16R 16 • 0,382 ' '

где Уст = (Упл1 + Упл2) + (Уу.п1 + Уу.п2) = (0,58 + 0,58) + (0,42 + 0,42) и и 2 мкм.

Значения Ууп1 = Уу.п2 и Упл1 = Упл2 определяем по формулам (10) и (11), предварительно рассчитав геометрическую площадь А контакта:

п П

А = — (Б2 — С2) = —(0,052 — 0,032) = 0,001256 м2 = 12,56 • 10-4 м2,

тогда для силы затягивания Рз = 1500 Н, при которой коэффициент

мкм

контактной податливости к = 0,1--,

Н • мм-2

(2 • 3,14 • 1500 • 0,22 • 0,52 • 2,6\ 1/3

Упл12 = 3,14 ----- = 0,58 мкм;

у 1,2 ' V 12,56 • 10-4 • 360 • 106 • 1 ) ' '

1 — 0,32 0,58

УУп12 = 2 • 3,14--Ц- • 1 • 360 • 16 • = 0,42 мкм;

Уу 1,2 ' 2,1 • 105 0,22

= (2^1 + У2 — 0 Уст = ^л/1 + 0,152 — Л • 2 = 2,02

Уск = ^У 1 + У2 — 1) Уст = ^2 V 1 + 0,152 — 1 ) • 2 = 2,02 мкм. Значения Бт и Яр приведены в табл. 4.

2. Определяем нагрузочную способность конического соединения, для чего рассчитываем силу Рь вызвавшую перемещение 8Т тах:

5Т тахВ 1,7 • 47,1

Р1 =-Т тах-=-1-1-= 439 н

1 2вк (0ВД + С2) 2 • 0,06 • 0,1 • (0,06 • 100 • 2,2 + 2) '

3. Определяем начальный угол наклона #0, учитывая силу

2

00 = + C4) =

2 • 439 • 0,062 • 0,1

47,1

(2 • 0,06 • 100 • 1,7 + 2,34) = 0,15 мкм/мм.

4. Определяем нагрузочную способность торцевого соединения, для чего рассчитываем силу

0о/ 0,15 • 26,7 • 104

Р2 = , , " = ----= 5006 Н.

2 к (1 — х) £ 0,1 • 0,8 • 100

5. Определяем соотношение или кратность N нагрузочной способности торцевой и конусной поверхностей:

N = Р2/Р1 = 5006/439 = 11,4.

Из этого соотношения следует, что жесткость торца в N раз больше, чем конуса, без учета накладываемых на соединение ограничений.

6. Определяем коэффициент повышения жесткости пк соединения, например от конусной поверхности:

= Зк = Р1 = 1 Пк Зк + Зт Р1 + Р2 1 + N. Согласно приведенным расчетам Пк ^^

0,08... 0,2.

Зная упругое перемещение одной из базирующих поверхностей,

например торцевой, ут, можно определить общее перемещение ух в

Ут

соединении: ух =

1 + Пк

Согласно данной методике, на стадии проектирования соединительных устройств можно определить и оценить жесткость каждой из базирующих поверхностей и системы в целом, что позволяет научно обоснованно сформулировать основные требования к их разработке, изготовлению и эксплуатации.

Выводы. 1. Наибольшую жесткость из инструментальных соединений имеют соединения с двумя базирующими поверхностями типа конус-торец.

2. Соотношение жесткости между торцевой и конусной базирующими поверхностями составляет более 10 без накладываемых ограничений, при оптимальных геометрических и силовых параметрах соединения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Левина З. М., Решетов Д. Н. Контактная жесткость машин. - М.: Машиностроение, 1971. - 264 с.

2. А д л е р Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 280 с.

3. Суслов А. Г. Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей. - М.: Машиностроение, 1987. - 208 с.

Статья поступила в редакцию 28.06.2005

Константин Адамович Украженко родился в 1952 г., окончил в 1973 г. Могилевский машиностроительный институт. Канд. техн. наук, заслуженный изобретатель РФ, технический директор НПФ "Динамика" (г.Ярославль). Автор более 125 научных работ в области станкоинструментальной промышленности, робототехники и специального технологического оборудования для производства микроэлектронных приборов.

K.A. Ukrazhenko (b. 1952) graduated from the Mogilyov Mechanical Engineering Institute in 1973. Ph. D. (Eng.), Honoured Inventor of the Russian Federation, technical director of the Scientific and Industrial Firm "Dinamika" (city Yaroslavl). Author of over 125 publications in the field of machine-tool industry, robotics and special technological equipment for microelectronic device production.