Метод выделения сильной связности в нечетких графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

А.В.Боженюк

МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ СИЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ В НЕЧЕТКИХ ГРАФАХ

При анализе различных процессов, структуры которых можно отобразить в виде нечетких графов, возникают задачи нахождения или доказательства отсутствия подмножеств вершин по заданным критериям [1]. Данная работа затрагивает вопросы нахождения подмножеств вершин, связанных друг с другом с определенной степенью связности.

Пусть задан нечеткий граф б = (Х, Г). Определим нечеткие многозначные отображения Г2, Г3,..., Гп по формуле: Гп (х1 ) = Г{Гп-1 (х1)}, и обратные нечеткие многозначные отображения Г-2, Г-3,...,Г-п по формуле: Г-п(х1 ) = Г-1{Г-(п-1)(х1)}. Очевидно, что Гп (х1) и Г-п (х1) являются соответственно нечеткими подмножествами вершин, в которые можно прийти из х1 используя нечеткие пути длины п и нечеткими подмножествами вершин, из которых можно прийти в х 1 используя нечеткие пути длины п.

/V г

Т**Х О •• О •• О г л О -4 т ° Ол/\лл '

11оаааеа1еа 1. 1а^аоее1 ооа15еоеаш1 и нечетким обратным транзитивным замыканиями назовем многозначные отображения, определяемые формулами

) ад

соответственно: Г (х; ) = Г°(х; )и Г(х1)иР2(х1)^...= и Г1 (х1) и

j=0

) ад

Г-(х1 ) = Г°(х; )иГ-1(х1 )иГ-2( х1 )и...= и Г — (х1). Здесь величина Г0 (х1 )= {<1/х1 >}.

j=0

Определение 2. Граф 6 = (Х, Г) назовем нечетким сильно связным, если выполняется условие: (Ух1 е Х)(8«(х ) = X). Здесь Б г( ) - носитель нечеткого

множества Г (х;).

Нетрудно показать, что данное выражение эквивалентно выражению (Ух. е Х)(Бя = X). Здесь Б я - носитель нечеткого множества Г-(х.).

1 Г-(х; ) ^ Г-( х; ) 4

Определение 3. Пусть нечеткое транзитивное замыкание для вершины xi имеет вид: Г(x¡)= {< |дn(xj)/xj >,< дl2(x2)/x2 д 1П(xn)/xn >}, тогда величину

p(G) = & & д ij (xj) назовем степенью сильной связности нечеткого графа G.

j=1,n 1=1,n

Определение 4. Нечеткий подграф G' = (X',Г') назовем максимальным нечетким сильно связным подграфом или нечеткой сильной компонентой связности, если не существует никакого другого подграфа G'' = (X,Г'') строго содержащего G' (G' с G'') и при этом p(G') < p(G'').

ТЛ у о у /у .. /у /у .. о .. о г у .. /ч ^ о ^ уу/Уг^ууу.. .. r/Уг^ г* у .. .. г/у ^ /у .. г /у ^ г о о \ /ч \ ^ г* х у /у/у /у

Dannuooei íaoia auaaeaiey anao íaeneiaeuiuo neeuii nay?iuo ía^aoeeo aoaoia. Данный метод является обобщением метода Мальгранжа [2] на нечеткие графы. 10. Áaoai i6ie5aieuló^ aaóoeió x1 e X и находим для нее нечеткое транзитивное

Цх л /у г х у у г/у о го о у /у/у о у х у г у у у /у г/у о уу/у/уугу о -.—i — / х /\/\ у /у х /у о

x1) e íaoaoiia ia^aoeia ooai5eoeaiia ?aiueaiea Г (x1), eioioua

.. /ч .. ..1 лл»-.. г о о л /v л л л л г/у о г* у /у у у у г у у г/у о г* у /у о /у о х у г ~т гч

yaeypony ia^aoeeie íii^anoaaie ia íii^anoaa aaooei X. Затем находим их

пересечения:

C(xi) = Г(xi)пГ-(xi)= {<a 1 /xj >,<a2 /x2 >,...,<a 1 /xi >,...,<an /xn >}, где aj e[0,1].

А у .. о о ..oxo г у x у .. /у ~ о /у/у у/у г /у о г у о г у .. г\ у г у г*/у. г у .*/\.. у г/у о у /у у /у о х у г

Aaeaa, iaoaaeoay ana ai?ii^iua ?ia^aiey a j ^ 0 e iaoiay aey ieo iiaiii^anoaa aaooei

xx,j e{xk}, aey eioiouo mioaaonoaó^üea oóieoee loeiaaea^iinoe a k >a j, iu oai

^ \ \ /ч \ /y., x o .. o .... о у ~ o y o r у /у/у yy/y^yyy.. .. r/Уъ г о о у г /у г*, .^у..г*ху/у/у/у ( O ^ ^/v o .. o r .. л

naiui iioaaaeyai naiaenoai iaeneiaeuiuo ia^aoiuo iiaaoaoia {Gx,j} ni noaiaiup nay5iinoe a j.

20. Énee^-aai e? aoaoa g = (x ,г ) вaó0eló xi eX. iieó^aai ia^aoeee íiaaoao

G ' = (X ', Г ) aaa X ' = X \ {x i} . Опять выбираем произвольную вершину x' e X' и действуем аналогично.

30 -г х /у .. /у .. у о у .. х/у .. о rv rv ../у у о rv ../ух ../у /у у г у /у /у/у у/у г/у у о ../у /у у ../у ..у г/у о ^ у /у/у /у о х у г

. tóiaie^aai ioioann ai oao iio, iiea yoi ai5ii^ii, o.a., iiea iiaiii^anoai aao0ei

X' ia iea^aony iónoui.

ideiád. Danniiooei íoaanoaaeaiea нечеткого aoaoa G = (x , Г ) ia pen.l. a

/у y .. o y y y x y .. /у rv у o r/y у у /у о x у г /у ../у /у y y r r/y г г у т"\ у rv r\

aeaa iaooeou nia^iinoe aao0eiu, iiea5aiiie ia Рen.2.

в

0,5

С

о

Рис.1.

Маёапи аеаібеоіа айаЄбааі їбіе5аіеиіо^ аабоеіо, іаїбеіаб А . №бааа іо іаобЄой

®®/\л о ^ л л л ~ у /у .. г о .. у /угу г -ч.л >с /у /у г лл\ лх л о г г .. о у у .^у .. г .. у .. г* .. о .. г Л у у у /у г х у /у у а

їііапоеі по1ёаао, а аіе?о - побіео, еіоібйа аоааі 5аішіуои ^ааориеі іаба?іі. А еёабёо nоіëаоа іаїбіоЄа побіЄЄ А ставим 1 (степень связности вершины А с самой собой). В клетку столбца напротив строки В ставим 0,8 (прочность нечеткого пути из вершины А в вершину В).

А В С Б Е

А 0 0,8 0 0 0

В 0,7 0 0,5 0 0

К = с 0 0 0 0,4 0,8

Б 0 0 0 0 0,4

Е 0,2 0 0,7 0 0

Л

Г-( А) 1 0,7 0,2 0,2 0,2

Г (А)

1

0,8

0,5

0,4

0,5

Рис.2.

Строка В матрицы содержит 0,5 на месте С, поэтому напротив строки С помещаем величину 0,8&0,5=0,5 (їбі^ііпои іа^аоЄіаі їооЄ Є? ааб0Єіо А а ааб0Єіо С). А побіеа С іа іапоа Б и Е содержатся величины 0,4 и 0,8, поэтому, напротив строк Б и Е помещаем значения соответственно 0,4=0,5&0,4 и

0,5=0,5&0,8. Процесс заканчивается, т.к. все клетки уже заполнены. Таким образом, Г (А) = {< 1/А >,< 0,8/В >,< 0,5/С >,< 0,4/Б >,< 0,5/Е >} .

Аналогично действуем для получения Г- (А), но при этом меняем ролями строки и столбцы матрицы. Полученные числа в строке внизу определяют наибольшую прочность некоторого нечетного пути в графе й из вершины в

вершину А. Таким образом имеем:

Г-(А) = {< 1/А >,< 0,7/В >,< 0,2/С >,< 0,2/Б >,< 0,2/Е >}. Далее находим:

С (А) = Г-(А)пГ (А) = {< 1/А >,< 0,7/В >,< 0,2/С >,< 0,2/Б >,< 0,2/Е >} .

Перебирая всевозможные значения а; є{1;0,7;0,2], получаем следующие подмножества вершин: ХА1 ={А}, ХА2 ={А,В} и ХА3 = {А,В,С,Б,Е},

определяющие максимальные сильно связные нечеткие подграфы со степенью связности 1; 0,7; и 0,2 соответственно. Удаляя из графа й вершину А, иёо^аа!

го о л /V л г . ./ч . .-Ч.Х л /ч лллХ'««' ~ > о г/у ^ у у /у/у \ /у х /ч''/ч . ./ч /ч \ лал г у тл л -ч. гу

іа^аоеее иаабао, іаобеоа шажипое еіоібіаі їіеа?аіа іа Реп.3.

А ОХО' ..хл\ /у/у .... г г 1 /у о х у г г г у .. х у у ох ' ../\ ** л г ..у .. г* г о г у /у г/у у у /у о

Аабаі їбіе5ашшор ааб0еіо, іаїбеіаб В, е, їіпооїау п іае оті оаежа, іаоіаеі:

Г1 (В) = {< 1/ В >,<0,5/С >,<0,4/Б >,<0,5/Е >}, Г1- (В) = {< 1/ В >} , С(В) = Г1 (В)^Г1-(В) = {< 1/ В >}

B C D E

B 0 0,5 0 0

C 0 0 0,4 0,8

Rx= D 0 0 0 0,4

E 0 0,7 0 0

П( A) 1 0 0 0

Г ,(A)

C D E

0,5

0,4

0,5

Г 2( A)

C 0 0,4 0,8

Rx„ = D 0 0 0,4

E 0,7 0 0

1

0,4

0,8

Г- 2 (A)

0,4

0,7

Рис.3.

Рис.4.

Получаем подмножество вершин XB1 = {B}, еіоібіа іїбаааеуао іаепеіаеиійе

«Чк- л .... г/у rv /у .. г/у г ../у .. s, х: у /у г у /у о х у г г &/у ^ у о .. о г .. ■% /у .. г/у г* у у л /Л .. л. л ^ х у /у у

пееиіі пау?ійе їіаабао іа одну аабоеіо пі поаїаіир пау?ітое 1. Оааеуу е? абаоа

/у о у г г т—ч ../v .. г у о у г о о у /у у г ../у ., Ж у /у у у у х у .. у ^ у о г/у ^ у у /у/у у /у х/у ^/у ../у /у у угу г у т"\ ' ~ Л

ааршеіо B, їіео^ааі іа^аоеее їіаабао, іаобеоа тажипое еіоібіаі їіеа?аіа іа Реп. 4.

А«... ..х/у у /у/у .. .. г/у г о ~/у /у о х у г /у г у .. х у у ох

Аеу їбіе5аіеиііе ааі аабоеш, іаїбеіаб C, получаем:

Г2(C) = {< 1/C >,< 0,4/D >,< 0,8/E >} , Г-2(C) = {< 1/C >,< 0,4/D >,< 0,7/E >},

C (C) = Г (C) п г-2(C) = {<1/C >,<0,4/D >,<0,7/E >}. Откуда находим XC1 ={C}, XC2 = {C, E} и XC3 = {C, D, E}, определяющие максимальные сильно связные нечеткие подграфы со степенями соответственно 1, 0,7 и 0,4. Продолжая, легко находим из Рис.5 значение C(D) = {< 1/D >}.

D E Г 3(D)

R=

D 0 0.4

E 0 0

0.4

Г-з( D)

1

1

1

1

0

Рис.5.

Е Г 4(Е)

Ях = Е

0

1

Рис.6.

В результате-1 получаем подмножество вершин ХБ1 = {Б}, которое определяет Гмакшмальный сильно связный подграф на одну вершину со степенью связности 1. И наконец, на последнем этапе получаем матрицу, показанную на Рис.6. Отсюда находим значение С(Е) = {< 1/Е >}, которое задает подмножество ХЕ1 = {Е}.

Таким образом, исходный нечеткий граф й = (Х , Г ) , показанный на Рис.1, имеет 9 максимальных сильно связных нечетких подграфов.

Если на первом шаге алгоритма носитель полученного нечеткого множества С(х1 )={<а^ /xJ >} совпадает с множеством вершин Х то это

означает, что исходный нечеткий граф й сильно связен, а величина т1п{а:}

і=1,п

определяет степень связности графа й . В рассмотренном примере нечеткий граф й сильно связный, т.к. носитель С(А) нечеткого множества совпадает с множеством Х и степень связности графа равна 0,2, т.е., между любыми двумя вершинами нечеткого графа существует нечеткий путь с конъюнктивной прочностью не менее 0,2.

Рассмотренный метод может широко применяться в формальных исследованиях структурных свойств нечетких ориентированных графов.

1. Кофман А., Хил Алуха Х. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями: Мн.: Высш.шк., 1992.

2. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.:Наука, 1975.