Определение внутренней устойчивости нечеткого темпорального графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Savtchenko A. et al. Terra and Aqua MODIS products available from NASA GES DAAC // Advances in Space Research. - 2004. - № 34. - P. 710-714.

4. Hannachi A., Awad A., Ammar K. Climatology and classification of Spring Saharan cyclone tracks // Clim. Dyn. - 2011. - № 37. - P. 473-491.

5. Страница поиска Google Scholar, 25 Февраля 2012 г. http://scholar.google.com.ua/ schol-ar?q=Kalnay+The+NCEP%2FNCAR+40-year+reanalysis+project.

6. Rew R. et al. The NetCDF Users Guide, UNIDATA, 2011.

7. The HDF Group, HDF5 Reference Manual, 2011.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.В. Боженюк.

Родригес Залепиное Рамон Антонио - Донецкий национальный технический университет; e-mail: rodriges@csm.donntu.edu.ua; 83001, Украина, г. Донецк, ул. Артема, 58; тел.: +380623010769; кафедра компьютерных систем мониторинга; аспирант.

Rodriges Zalipynis Ramon Antonio - Donetsk National Technical University; e-mail: rodriges@csm.donntu.edu.ua; 58, Artema street, Donetsk, 83001, Ukraine; phone: +380623010769; the department of Computer Systems for Monitoring; postgraduate student.

УДК 681.327

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЧЕТКОГО ТЕМПОРАЛЬНОГО ГРАФА*

Рассматривается понятие нечеткого темпорального графа, который является обобщением с одной стороны нечеткого, а с другой стороны - темпорального графов. В нечетком темпоральном грифе степень связности вершин изменяется в дискретном времени. Введены понятия максимального нечеткого внутренне устойчивого подмножества темпорального подграфа с наибольшей степенью внутренней устойчивости, а на его основе - нечеткого множества внутренней устойчивости как инварианта нечеткого тем.

устойчивых множеств с наибольшей степенью нечеткости, что позволяет находить нечеткое множество внутренней устойчивости. Рассмотрен пример нахождения нечеткого множества внутренней устойчивости нечеткого темпорального графа.

Нечеткий темпоральный граф; суграф нечеткого темпорального графа; степень инцидентности; нечеткое множество внутренней устойчивости.

L.S. Bershtein, A.V. Bozhenyuk INTERNAL STABLE DEFINITION OF FUZZY TEMPORAL GRAPH

In this paper the notion of temporal graph is considered. Which one is a generalization of a fuzzy graph on the one hand, and a temporal graph on the other hand. The incidence of graph vertices is changed in the discrete time in fuzzy temporal graph. The notions of maximum fuzzy internal stable subset and internal stable fuzzy of fuzzy temporal graph are introduced. The method of definition of internal stable fuzzy set is considered. The example of definition of internal stable fuzzy set is considered too.

Fuzzy temporal graph; subgraph of fuzzy temporal graph; incidence degree; internal stable fuzzy set.

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 10-01-00029а.

Теория графов привлекает большое внимание специалистов различных областей знания. Она используется для изучения многих сложных природных явлений. Наряду с традиционными применениями ее в таких науках, как физика, электротехника, химия, она проникла и в науки, считавшиеся раньше далекими от нее

- экономику, социологию, лингвистику и др. Традиционно теория графов используется для представления отношений между элементами сложных структур различной природы [1-3]. При этом данные отношения между элементами являются постоянными и не меняются во времени. Такие графы в работе [4] были названы «статическими». В случае, когда отношения между элементами некоторой структуры изменяются во времени, традиционные «статические» графы не очень подходят для их описания и моделирования. В связи с этим является актуальным использование графовой модели, в которой связи между элементами (вершинами графа) изменяются во времени, т.е., темпорального графа [5]. В случае, когда в темпоральном графе связи между вершинами являются нечеткими, приходим к понятию нечеткого темпорального графа [6-8].

Однако использование нечетких как нечетких, так и темпоральных нечетких графов в качестве моделей различных систем имеет трудности. Эти связано с тем, что большинство изоморфных преобразований нечетких графов изменяют их , . -

,

.

В данной работе вводится понятие нечеткого множества внутренней устой, -ний рассматриваемого нечеткого темпорального графа и позволяет производить его структурный анализ.

Темпоральным нечетким графом [8] называется тройка G =^{Г) },Т), где X

- множество вершин графа с числом вершин |Х|=и; Т=[1,2,...,М] - множество натуральных чисел, определяющих (дискретное) время; {Г,} - семейство нечетких соответствий, или нечетких отображений множества вершин X в себя в моменты времени ,еТ, т.е.

(УхеХ)(У?еТ) [ Г, (х) = [<Мг ( У)/У >}], У е X, /и< е [0,1].

Пример 1. Рассмотрим темпоральный нечеткий граф G =(Х,{Г, },Т), у которого множество вершин Х=[х 1, х2, х4}, время Т={1, 2, 5}, п=4, N=3, а семейство соответствий {Г,} задано в виде

Г1(х,)={<0,2/х2>}, Г2(Х1)={<0,5/Х2>}, Г2(х2)={<0,4/хз>}, Гз(х2)={<0,б/х3>}, Г1^3)={<0,2/х4>}, Г2(х3)={ <0,3/х4>}, Г^х4)={ <0,2/х1>}, Г2(х4)={<0,9/х2>}, Г3(х4)={<0,1/х>, <1/х2>}.

Графически темпоральный нечеткий граф можно задать в виде ориентиро-( . 1), -стве времени Т.

, -

ких суграфов на одном и том же множестве вершин X.

Пусть задан нечеткий суграф Gt = (X,й{) темпорального нечеткого графа

G =^,{ Г, },Т), где X - множество вершин, а и, = [^, (х1, х]) | (х1, х]) е X 2} -нечеткое множество ребер в момент времени , с функцией принадлежности

М: X2 ^ [0,1]. Рассмотрим его нечеткий подграф О' = (X',и'), где X' с X,и' с и,. Обозначим через т = тах (и (х(, X:)}.

, х: е х'

Подмножество вершин X' назовем нечетким внутренне устойчивым множеством в момент ? со степенью внутренней устойчивости а( X' )=1-т.

(<0,2/1>,<0,5/2>}

Пример 2. Для нечет кого графа, приведенного на рис. 1, времени I = 2 и подмножества X' =(хь х2, х3} нечеткий подграф будет иметь вид, показанный на . 2.

Рис. 2. Нечеткий подграф на подмножестве X' при 1=2

Величина т = тах(0,2; 0,4} = 0,6, и, следовательно, степень его внутренней устойчивости а( X') = 1-0,6 = 0,4.

Если X' = X , то величина а(Х) определит степень внутренней устойчивости

суграфа Ог.

Подмножество вершин X' С X назовем максимальным нечетким внутренне устойчивым множеством в момент времени ? со степенью а( X'), если для любого X' X' вели чина а( X' г)<а( X').

Пусть тк = (XKl, XK^,..., XK|} - семейство максимальных нечетких внутренне устойчивых к вершинных множеств в момент времени т со степенями внутренней

устойчивости оЛ ,а°2,...,а°, соответственно. Обозначим через

Xk Xk Xk

«тах = тах(а° а0 а0 }. Если семейство т = 0, то положим сС” =отх. Вели-

Xk X! ’ XJ2,''', Xk к Xk Xk-1

чина а™ означает, что в суграфе Ог существует подграф на к вершин со степенью

max , ,

внутренней устойчивости ах и не существует никакого другого подграфа с к вер-

шинами, чья степень внутренней устойчивости была бы больше величины .

Множество А = (<«т1ах/1 >,<атах/2 >,...,< «тах/п >} назовем нечетким множеством внутренней устойчивости нечеткого суграфа О,.

Множество Т = & А назовем нечетким множеством внутренней устойчи-

т=1,Т

вости темпорального нечеткого графа О Г, },Т).

Рассмотрим метод нахождения всех максимальных нечетких внутренне устойчивых множеств с наибольшей степенью нечеткости. Метод является обобщением метода Магу для нечетких графов [9-11].

Пусть Т - некоторое нечеткое внутренне устойчивое множество со степенью внутренней устойчивости а (Т). Для произвольных вершин х-, X- е X может

выполняться один из следующих случаев: а) Х{ 2Т ; б) х ■ 2 Т ; в) Х1 еТ и

х, еТ . В последнем случае для степени внутренней устойчивости выполняется:

О(Т) < тт(1 - и (х{,X )). Иными словами, справедливо высказывание

(Ух-, х■ е X)[xi 2 Тv х■ 2 ^(ОТ) < пт (1-и(х, х:)))]. (1)

ТеТ

С каждой вершиной х{ е X свяжем булеву переменную р{, принимающую значение 1, если х{ еТ, и 0, если х{ 2 Т . Высказыванию о(Т) < тш(1 - иг (х, х-))

теТ - -

поставим В соответствие нечеткую переменную £ = тш(1 - и (х1, х: )) .

- теТ •’

Рассматривая выражение (1) для всех возможных значений - и -, получаем истинное нечеткое высказывание:

Фт = &&(р V р- V ). (2)

- :

(2) , правила нечеткого поглощения:

а V а & Ь = а, а & Ь V а & Ь = а, (3)

& а V ^"& а & Ь = & а, если .

Здесь а,Ь е (0,1} и ,£" е [0,1].

(2)

l8

Фт = \^(Р1 & р2 & ... & рк & ai). (4)

Справедливо свойство: если в выражении (4) дальнейшее упрощение на основе правил (3) невозможно, то для каждого i-го дизъюнктивного члена совокупность всех вершин, соответствующая переменным, которые в ней отсутствуют, дает максимальное внутреннее устойчивое множество с вычисленной степенью внутренней устойчивости аг.

Данное свойство позволяет предложить следующий метод нахождения максимальных нечетких внутренне устойчивых множеств:

♦ для рассматриваемого нечеткого графа G записать выражение (2);

♦ упрощая выражение (2) и используя правила нечеткого поглощения (3), привести его к виду (4);

♦ по полученным дизъюнктивным членам разложения (4) выписать максимальные нечеткие внутренне устойчивые множества с вычисленными степенями внутренней устойчивости.

Пример 3. Найдем все максимальные внутренне устойчивые множества для

нечеткого темпорального графа G , приведенного на рис. 1. Высказывание Фт для этого графа примет вид

Фу = (P1 \ р2 v 0,5)& (р2 v р3 v 0,4) & (р3 v р4 v 0,7)&,

&( Р4 v р2 v 0) & (р4 v p1 v 0,8).

Перемножая скобки первую на вторую и третью на пятую и используя правила (3), получаем:

Фт = (Р2 v PiРз v 0,5Рз v 0,4) & (piРз v Р4 v 0,8рз v 0,7) & (pt v p2). Перемножая полученные скобки первую на вторую и далее на третью, и опуская знак конъюнкции, окончательно получаем:

Ф, = ( ~Р 2 Р4 v 0,8 Р2 Рз v 0,7 ~Р 2 v Pi Рз v 0,5 Рз v 0,4) &( Р4 v Р2) =

= Р1 Рз Р4 v Р1 Р2 Рз v Р2 Р4 v 0,8Р2 Рз v 0,7 Р2 v 0,5Рз Р4 v 0,4^

Откуда нечеткое множество внутренней устойчивости графа G примет вид

A = {< 1/1 >,< 1/2 >,< 0,7/з >,< 0/4 >}.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. - М.: Наука, 1975.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.

3. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 197з.

4. Kostakos V. Temporal graphs // In Proc. of Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. Elsevier. - 2008. - Vol. з88, № 6. - P. 1007-102з.

5. Берштейн Л.С., Боженюк AM. Использование темпоральных графов как моделей сложных систем // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 4 (105). - С. 198-20з.

6. Берш тейн Л.С., Боженюк AM., Розенберг ММ. Определение сильной связности нечетких темпоральных графов // ОПиПМ. - 2011. - Т. 18. - Вып. з. - С. 414-415.

7. . ., . ., . .

//

путей сообщения. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУПС, 2011. - № з (4з). - С. 15-20.

8. . ., . ., . .

// . . - 2012. - 1

(126). - С. 121-127.

9. . ., . . ,

// .

- 1999. - № 1. - С. 161-165.

10. Bershtein L.S., BozhenukA.V. Maghout Method for Determination of Fuzzy Independent, Dominating Vertex Sets and Fuzzy Graph Kernels // Int. J. General Systems. - 2001. - Vol. з0, № 1.

- P. 45-52.

11. . ., . . . - .: , 2005,

- 256 c.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н, профессор Е.А. Башков.

Берштейн Леонид Самойлович - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: lsb@tti.sfedu.ru; з47928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ГСП-17А; тел.: 886з4з71695; кафедра прикладной информатики; зав. кафедрой; д.т.н.; профессор,

Боженюк Александр Витальевич - Научно-технический центр «Информационные техно» -нального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: avb002@yandex.ru; з47922, г. Таганрог, Октябрьская пл., 4; тел.: 886з46819з7; зав. отдела; д.т.н.; профессор.

Bershtein Leonid Samoilovich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: lsb@tti.sfedu.ru; GSP-17A, 44, Nekrasovskiy, Taganrog, з47928, Russia; phone: +786з4з71695; department of applied information science; chief of department; dr. of eng. sc.; professor.

Bozhenyuk Alexander Vitalievich - Scientific and Technical Center " INTECH" of Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal Uni-versity»; e-mail: avb002@yandex.ru; 4, Oktyabrskaya square, Taganrog, з47922, Russia; phone: +786з4з10866; head of department; dr. of eng. sc.; professor.

УДК 629.78.05

Ю.А. Геложе, ПЛ. Клименко, АЛ. Максимов УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ В НЕЛИНЕЙНОМ АВТОПИЛОТЕ

Исследованы процессы управления в нелинейной автоматической системе управления во время больших возмущений. Реализация в нелинейной модели автопилота принципа дополнительного управления позволила увеличить вероятность установления заданного угла крена и расширить диапазон установления углов вплоть до 2,8 радиан. Релейное управление позволяет уменьшить время переходных процессов. За счет применения пилообразной характеристики датчика угла крена, на её разрыве интегратор будет вносить существенные ошибки в систему. Этого можно избежать, если включать/выключать интегратор в . , -ляющий собой совместный процесс по приведению ЛА в устойчивое состояние.

Автопилот; управление; крен; нелинейная автоматическая система управления; релейное управление; интегратор; приведение ЛА в устойчивое состояние.

Y.A. Geloge, P.P. Klimenko, A.V. Maximov RESEARCHING TRANSITIONAL PROCESSES IN NONLINER AUTOPILOT

The рrinciрles of рrocesses control in automatic nonlinear systems are based. The research demonstrates that suggested рrinciрles of control are worth when aррlied in automatic systems during large indignations. The imрlementation of the рrinciрle of non-linear model of the autoрi-lot controls an additional рossible to increase the likelihood of establishing a given angle of heel and extend the range of setting angles of ^ to 2.8 radians. Relay control can reduce the time of