CC BY
28
УДК 338.984 + 336.051 ББК 65.290
МЕТОД ВСТРЕЧНЫХ ПЛАНОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЕВОГО ЗНАЧЕНИЯ KPI В ДВУХУРОВНЕВОЙ ОРГАНИЗАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ
Давыдов В. А.1
(Московский Институт электроники и математики НИУ ВШЭ, Москва)
Рассматривается трехпараметрическая модель
стимулирования агента организационной системы (ОС), использующая модификацию метода встречных планов. Для предложенной модели вводятся ограничения на параметры, при которых выбор агента, равный его собственному прогнозу, является доминантной стратегией (ДС) агента. Доказывается, что такой выбор для всех агентов ОС является равновесием в ДС. Приводится пример применения модели для стимулирования подразделений по работе с проблемными активами (ПРПА) в Северо-Западном банке Сбербанка РФ. Отмечается более точное установление планов ПРПА по предложенной модели по сравнению с традиционным методом планирования «сверху вниз».
Ключевые слова: метод встречных планов, стимулирование, KPI, проблемные активы банков.
1. Введение
В последние годы показатели KPI (англ. Key Performance Indicators) стали неотъемлемой частью систем планирования и мотивации современного предприятия [7, 9]. Правильным переводом термина KPI будет «ключевой показатель результата деятельности», так как результат деятельности содержит в себе и степень достижения, и затраты на получение результата [10].
1 Вячеслав Анатольевич Давыдов, Советник МИЭМ НИУ ВШЭ (v. davydov@hse. ru).
Кроме задач правильного выбора КР1, увязки их со стратегией предприятия, систем контроля исполнения КР1 и т.п. одной из важнейших нерешенных задач является задача определения целевого значения КР1, рассмотренная в [1].
Одним из возможных вариантов решения задачи по определению целевого показателя КР1 могут быть подходы, аналогичные подходам к составлению бюджетов. Это подходы «снизу вверх», «сверху вниз», а также итеративный подход.
При использовании подхода «снизу вверх» КР1 вышестоящего подразделения составляется исходя из КР1 подразделений и проектов, которые передаются наверх для определения по ним агрегированных результирующих показателей. При подходе «сверху вниз» КР1 нижестоящих подразделений составляются исходя из целевых показателей, поставленных руководством компании. Целевые показатели определяются на основе экономических прогнозов, а также стратегии компании. При итеративном подходе процедура установления КР1 включает ряд условных этапов. Информация сначала распространяется от высшего руководства к нижестоящим звеньям управления, а затем обобщается снизу вверх по иерархической структуре управления несколько раз в зависимости от ситуации.
Необходимо отметить, что между руководством и нижестоящими подразделениями при определении целевых значений КР1 возникает конфликт интересов.
Руководство стремится установить подразделениям целевое значения КР1 на максимально напряженном уровне. Такой подход позволяет руководству максимизировать прогноз в целом по системе. При этом руководство вводит мотивирующие факторы для подразделений, которые штрафуют подразделения при не достижении целевых значений КР1 и дополнительно премирует те подразделения, которые перевыполнили свои целевые значения.
Подразделения при планировании целевого значения КР1 стремятся гарантировать в будущем исполнение (а еще лучше -перевыполнение) своих плановых значений. Для решения данной задачи подразделения неохотно включают в целевое значение КР1 проекты, вероятность которых, по мнению
подразделения, недостаточно высока. Могут возникать и более негативные ситуации, когда подразделения (обладая наиболее полной информацией о высокой вероятности реализации того или иного проекта, которой нет у руководства) не включают в прогноз исполнения КР1 такие проекты, тем самым заведомо занижая целевое значение КР1.
2. Обзор литературы
Теория управления организационными системами (ОС) исследует проблемы синтеза механизмов управления в социальных и экономических системах с учетом специфики человека как объекта управления, в том числе с учетом его активности. Механизмы принятия управленческих решений в ОС руководством (центром) на основании информации, поступающей от подчиненных (синонимы - агенты, игроки, эксперты), называются механизмами планирования.
При разработке механизмов планирования для обеспечения эффективности принимаемых решений необходимо, в том числе, учитывать возможность манипулирования -целенаправленного искажения агентами сообщаемой информации с целью обеспечения принятия более благоприятных для них решений. Механизмы планирования, устойчивые к подобному поведению со стороны агентов (т.е. механизмы, в которых агентам выгодно сообщать достоверную информацию), называются неманипулируемыми.
В [3] рассматриваются механизмы функционирования двухуровневых активных ОС, которые обеспечивают сообщение элементами нижнего уровня в центр достоверной информации о своих предпочтениях и возможностях. Получены необходимые и достаточные условия сообщения достоверных данных и доказана оптимальность принципа открытого управления, описанного в работах [2, 4].
В [6] для модели активной системы, состоящей из центра и активного элемента, в условиях неполной информированности центра о функции затрат активного элемента разработан оптимальный механизм функционирования. Оптимальный механизм включает в себя процедуру планирования и систему
стимулирования, включающую две составляющие: поощрение за выполнение плана и поощрение за «напряженность» плана.
В общем виде задача создания центром неманипулируемого механизма для активного элемента, решаемая методом встречных планов, описана в [8]. В работах [12, 13, 14] представлены результаты зарубежных исследований по проблеме встречных планов. В работе [11] приводится практическое применение метода встречных планов для решения задачи стимулирования планов работы исправительных учреждений уголовно-исполнительной системы, обеспечивающих требуемое значение комплексной оценки деятельности при заданной надежности (риске невыполнения).
3. Описание задачи
Опишем модель определения плановых значений одного KPI для нескольких подразделений, образующих ОС. Для этого будем использовать систему обозначений из [8]. В данной работе указанная задача называется «задача стимулирования»
Пусть есть п подразделений - агентов с номерами / = 1, ..., п объединение которых с центром образуют двухуровневую ОС. Первый уровень ОС образуют указанные агенты. Второй уровень - центр, который делает в игре первый ход, определяя для агентов их мотивационные факторы.
Каждое подразделение-агент / знает собственный реальный прогноз КР1, который равен Я, и неизвестен другим подразделениям, а также неизвестен центру ОС. При этом у каждого агента 1 есть множество различных потенциальных вариантов прогноза А,. В нашей постановке задачи, когда все агенты устанавливают прогноз по одному и тому же KPI, можно считать, что множества вариантов прогноза совпадают для различных агентов. Другими словами, А{ = А}- = А.
Приведем пример множества А. Показатель ПРПА
«доля сокращения просроченной задолженности NPL90+ за квартал» рассчитывается как отношение суммы урегулированной просроченной задолженности ПРПА за квартал к объему просроченной задолженности на начало
квартала. Таким образом, для всех подразделений множество А данного КР1 будет одинаковым отрезком А = [0%; 100%]
Рассмотрим ситуацию, когда у каждого агента есть единственный вариант прогноза. Будем полагать, что фактическое значение КР1, которое будет достигнуто агентом 7, совпадает со значением прогноза Я7. Другими словами, это означает, что каждый агент адекватно оценивает то значение КРТ, которое может быть им достигнуто и может осуществить все действия для его достижения.
Обозначим у, е А - действие агента 7 по выбору прогноза КР1, или проще: у7 - значение прогноза КР1, которое заявляет центру агент 7. Тогда вектор действий агентов
у = ( л, у2,..., уп )еП А = А'.
Будем называть
У-, = (У , У 2,.., Ум, Ум Уп ) е П А = А-'
]еМ 3
обстановкой игры для агента 7.
Сделаем два предположения относительно рассматриваемой ОС.
Во-первых, будем считать, что затраты агентов не зависят от того, какой прогноз они заявят и какой будет получен фактический результат, т.е. какое значение КР1 получит агент в конце отчетного периода. Данное допущение в случае планирования КР1 обосновано в том случае, когда все агенты-подразделения имеют повременную оплату труда, фиксированный график работы, и даже в том случае, когда возникает необходимость в привлечении какого-либо внешнего ресурса для более активной работы по выполнению КР1, затраты на такое привлечение компенсируются центром ОС в полном объеме. Тогда по сравнению с общим случаем, описанным в работе [8], можно считать, что целевая функция у) агента 7, зависящая от механизма стимулирования агента а, и вектора действий агентов, фактически состоит только из стимулирования а7(у). Или/7(а, у) = а(у), 7 е N.
Во-вторых, будем считать в рассматриваемой задаче, что единственная роль центра заключается в осуществлении
управления. То есть у центра отсутствует собственный (не опосредованный агентом) результат деятельности. Такое предположение обосновано в том случае, когда затраты центра на стимулирование агента 7 пренебрежимо малы по сравнению с тем результатом, который агент приносит центру при достижении своего прогноза Я7 е А.
При стандартном механизме планирования «сверху-вниз» агенту выгодно получить от центра как можно менее напряженный план. Заведомо перевыполняя такой план, агент гарантирует себе дополнительное вознаграждение. Для получения менее напряженного плана агенту не выгодно раскрывать центру всю имеющуюся информацию относительно перспектив выполнения КР1. Более того, агент может заведомо искажать (в свою пользу) имеющуюся у него информацию относительно перспектив значения КР1, которые могут быть им достигнуты. Явление сообщения агентами недостоверной информации называется манипулированием информацией, а механизмы, в которых агентам выгодно сообщение достоверной информации, называются неманипулируемыми.
Задача центра ОС состоит в том, чтобы предложить такую конструкцию установки неманипулируемого механизма стимулирования о(у) = (о\(у), о2(у), ..., оп(у)) целевых значений KPI для всех агентов, чтобы в результате каждый агент при проведении планирования с подходом «снизу вверх» установил себе значение у7 = Я7.
Примем порядок функционирования ОС, аналогичный порядку в [8]. Центру и агентам на момент принятия решения о выбираемых стратегиях (для центра - это функции стимулирования, для агентов - выбираемые прогнозы) известны целевые функции и допустимые множества всех участников ОС. Напомним, что каждый агент 7 также знает значение своего реального прогноза Я7, который неизвестен остальным участникам ОС. Центр, обладая правом первого хода, выбирает параметры функций стимулирования (в дальнейшем мы увидим, что таких параметров три) и сообщает их агентам. После этого агенты при известных функциях стимулирования выбирают прогнозы, максимизирующие их целевые функции.
Изложенная постановка задачи соответствует механизму стимулирования встречных планов [8]. Для конкретизации применения данного механизма в приведенном случае в следующем разделе будет приведены вариант построения функций стимулирования о(у) = О(у), о2(у), ..., оп(у)) агентов центром ОС. Будет показано, что предложенный вариант стимулирования дает для агента максимальный эффект только в том случае, если агент сообщит в качестве прогноза значение
у = Д
4. Определение целевой функции для метода встречного плана
Пусть заданы некоторая обстановка игры
У-г =(У1,у2,~,У-1,Ум,;Уп)еПА = А-■ для агента i, плановое
3
значение КР1 у7, устанавливаемое агентом, а также для всех агентов центром ОС задан коэффициент а > 0. Определим коэффициент К7 напряженности плана для агента 7 в соответствии с формулой
Г \а
(1) К =
( п -1) у,
п
Е 3 Уг
=1
Фактически данный коэффициент возводит в степень а > 0 отношение плана агента 7 к среднему плану, заявленному остальными агентами ОС.
Примеры зависимости коэффициента напряженности плана для степени а = 1/2, а = 1, а = 2 от значений заявляемого плана агента 7 при среднем плане, заявленном остальными агентами ОС и равном 90,91, приведены на рис. 1.
Рис. 1.
Определим коэффициент отклонения 0{ фактического исполнения показателя агентом г от плановых показателей, заявленных агентом г. Обозначим гг фактическое значение показателя KPI, полученное агентом г в конце отчетного периода. Пусть для всех агентов центром ОС заданы коэффициенты в и у. Тогда
(2) О =
У
(г \ -1
\
Уг
/
Р
--1
У,-
-1, если — > 1, У,
г
-1, если — < 1.
Уi
С точки зрения центра ОС, перевыполнение агентом заявленного плана должно поощряться, однако не так сильно, как наказываться недовыполнение плана. Другими словами, если агент г подстраховался и не заявил свой реальный прогноз Яг, то перевыполнение такого заниженного прогноза не должно давать агенту существенного выигрыша в значении коэффициента 0г. Для достижения такой логики стимулирования агента центр должен выбирать в > 1 и 0 < у < 1. В общем случае коэффициенты в и у могут выбираться центром
независимо друг от друга. Одним из возможных вариантов их взаимозависимости является случай, когда в > 1 и у = 1/в. Примеры зависимости коэффициента отклонения для значений в = 2 и у = 1/2, в = 3 и у = 1/3, в = 5 и у = 1/5 от отношения факта исполнения 50 < г7 < 150 агентом 7 к заявленному агентом плану у7 = 100 приведены на рис. 2.
Значения коэффициента отклонения от факта исполнения при плане = 100 и различных в и Y
1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0
0 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Бетта 2 и Гамма 1/2
Бетта 3 и Гамма 1/3
Бетта 5 и Гамма 1/5
заявляемый агентом план
Рис. 2.
Определим для агента 7 е N функцию а7(у) как произведение коэффициента напряженности плана и коэффициента отклонения: ет7(у) = 07 К7.
Из определения коэффициента напряженности плана следует, что выбор агентом 7 прогнозного значения у7 не влияет на значение среднего прогноза по остальным п - 1 агентам.
Ё у - у.-
Обозначим
у- = -
п -1
Пусть для вычисления К7 задано а = 2. Предположим, что
известны три варианта отношения
А У-1
= 1
А. = 0,9 , = 1,1.
У-
У-
Тогда получим три варианта значений К = 1, К = 0,81 и К = 1,21. Влияние коэффициента напряженности плана для трех перечисленных вариантов значения на целевую функцию с(у) = OiKi с коэффициентом отклонения Oi для значений в = 3 и у = 1/3 показано на рис. 3.
Рис. 3.
Отметим, что в данном случае, как и на рис. 2, рассматривается зависимость с(у) от фактического исполнения 50 < гг < 150 агентом I рассматриваемого KPI при заявленном агентом плане уг = 100.
Сделаем еще одно замечание относительно функции с(у). В описанном примере построения с(у) одним из параметров, который отличает функцию с(у) от функции с(у) для агентов c номерами г и являются значения реального прогноза Яг и которые известны только самим агентам и неизвестны остальным участникам ОС. При этом на значение с(У) также оказывает влияние у - средняя величина прогноза,
заявленного остальными п - 1 агентами ОС.
Таким образом, мы получили функцию, зависящую от трех скалярных величин: Яг - реального прогноза KPI, известного агенту г, уг - заявляемого агентом г прогноза KPI, и у - средней
величины прогноза, заявленного остальными n - 1 агентами ОС. Для того чтобы подчеркнуть данные зависимости, будем в дальнейшем использовать обозначение (y) = R, y, y_t).
В момент осуществления процедуры планирования агенту i не известно фактическое значение показателя KPI ri, которое он получит в конце отчетного периода. Агент i обладает только значением реального прогноза Ri и решает задачу, какое значение плана yi заявить центру. Однако поскольку мы исходим из предположения, что агент i реализует свой прогноз, то в конце отчетного периода будет выполнено равенство ri = Ri.
С ростом значения ri величина Oi убывает. При значениях yi < Ri коэффициент 1 < Oi. При значениях Ri < yi коэффициент Oi < 1 и при достаточно больших значениях yi коэффициент Oi становится отрицательным. Примеры зависимости коэффициента отклонения Oi для значений в = 2 и у = 1/2, в = 3 и у = 1/3 и в = 5 и у = 1/5 при условии Ri = 100 и диапазоне изменения 50 < yi < 150 приведены на рис. 4.
При принятии решения о выборе значения у{ агент г будет рассматривать не только значения коэффициента отклонения Ог, но и значение коэффициента напряженности плана К, а точнее
их произведения ст(R, y, y^. ) = OiK . Будем считать, что при
расчете коэффициента напряженности использован параметр а = 2.
Зависимость ст( Л;, y., y_;.) от величины заявляемого прогноза 50 <y, < 150 для реального прогноза R = 100 и y_. = 90,91 (т.е. 100/90,91 = 110%), y_t = 100 (т.е. 100/100 = 100%) и y_. = 111,11 (т.е. 100/111,11=90%) приведена на рис. 5.
Целевые функции для 0=3 и Y =1/3 при а=2, реальном плане агента=100 и разных средних планах системы
1,4 т
1
^ 0,2--
0,0 -I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
заявляемый агентом план
Рис. 5.
Как видно из графиков, максимум целевой функции ст( Л;, у, у_;.) достигается при выполнении условия у7 = Л7 = 100.
Другими словами, агент 7 для максимизации целевой функции должен заявить план у7, совпадающий с реальным прогнозом Л7 = 100. Докажем данный вывод в общем случае.
Лемма. Пусть для одноуровневой ОС с п агентами заданы параметры в > а > у > 0 и вектор значений реальных прогнозов (Ль Л2, ..., Лп). Тогда для целевой функции агента а(Я,,у,у,) = О,К,, 1 < 7 < п, где
— Бетта 3 Гамма 1/3 Среднее 90,91
— Бетта 3 Гамма 1/3 Среднее 100
— Бетта 3 Гамма 1/3 Среднее 111,11
а =
' —1 л
7 -1
ч У у
Р Г— л
г -1
ч У у
—
+1, если —1 > 1,
Уг —
+1, если — < 1. Уг
К =
( п -1) у,
п
Е У У г
Ч '=У
Еуу - У
У-г = ■
п -1
существует равновесие в доминантных стратегиях (РДС) равное у'= Я„ 1 < 7 < п.
Доказательство. В [8] доказано следующее утверждение: Если в игре п лиц у7 е [а7, Ъ7], функции выигрыша непрерывны по совокупности стратегий для каждого игрока,
И( —, Уг, У-г )
частная
производная
дУ,
существует
знакопостоянна, то существует РДС. При этом доминантной стратегией у7 игрока 7 будет стратегия
И —, Уг, У-г ) дУг
(3)
Уг =
■< 0,
Ь, И —, Уг, У-г ) > 0. г дУ,
1 < г < п .
Используем данное утверждение для доказательства Леммы. Рассмотрим два интервала для функции
и( —, У, У г ) = аК. Интервал у7 е [0, Лг] и интервал у7 е [Л7, +да].
—
Вариант 1. Пусть у7 е [0, Лг]. В этом случае получаем —г- > 1.
У
Тогда, согласно (2) получаем
И —г, Уг, У-г ) = 0,К, = ( (
7
—-1
Уг
У г
1
\ ^г /
У-г
= У-1 ^ - Уа
' г а« ^г
У-г
У-
(Л
Тогда
уЯ(«-1) „«-, (у-1
= Уг -^-Уг а
уд-2
Зу уд
(уЯ (а-1)- у, («у-«)).
У-,
у-
Докажем, что Я, у', у-') > 0, т.е. будем доказывать, что
Зу
функция ст(Я, у, у ;) возрастает на интервале уг е [0, Лг].
Величина ^— > 0 при условии уг е [0, Лг]. Тогда для
уа
положительности производной должно выполняться условие уЛг(а - 1) -уг(а у - а) > 0. Это эквивалентно у Я («-1)> у а (у-1),
а(у-1)
у, у(а-1)
овия
у,
Я
С учетом условия —'- > 1 выберем минимальное значение
Я , о
—'- = 1. В результате получаем
у,
(4) 1 >(/-Иа. у(«-1)
Определим соотношение между положительными величинами а и у, при котором неравенство (4) будет исполняться.
>У1) ^ 1 - а - > 1 -у-1 ^ а 1 <у- ^ а у
у а ^ < — ^ у < а ау ау
Вариант 2. Пусть у7 е [Л7, да]. В этом случае получаем —гг- < 1. Тогда, согласно (2), получаем
у
(—, У, У-г ) = 0К =
( Го \ л
Р
-1
( V Уг
ч ч-7 г у у
У-
= У«-1 Ж. - У«
У г ^г
у-г
Тогда
И —, Уг, У-г ) = У«-2 Р— («- 1) У «-1« ¿У =У У- ~У «
'Р-1 >
У«
(Р-1 >
У-
У«-2
^«(Р— («-1)-у («Р-«)).
У-г
И( —, Уг, У-г )
Докажем, что
¿У
< 0, т.е. будем доказывать, что
функция <г(—,у,у г) убывает на интервалеу е [Л7, да].
Величина
У«
У«
■ > 0 при условии у7 е [Л7, да]. Тогда для
отрицательности производной должно выполняться условие вЯ,(а - 1) - у(а в - а) > 0. Это эквивалентно Р— («-1)< у«(Р-1),
—^(Р-1)
Уг Р(«-1) .
— _г_
Уг
С учетом условия —- < 1 выберем максимальное значение У
= 1. В результате получаем
1 ЛР-1)« Р(«-1)
Определим соотношение между положительными величинами а и в, при котором неравенство (5) будет
исполняться.
^ ^ 1 - а- < 1 -Г ^ а1 >Г ^
ар
Р а „
>-^ р > а.
ар ар
Таким образом, при выполнении условий в > а > у > 0 получаем, что на интервале yi е [0, Л] функция и , у, у_{)
монотонно возрастает и, согласно утверждению (3), для точки РДС выполняется условие у = Я. Соответственно, на интервале yi е [Л, <»] функция и , у, у;) монотонно убывает и, согласно
утверждению (3), для точки РДС выполняется условие yi = Я.
Следовательно, на интервале yi е [0, <»] существует единственная точка у7 = которая является выбором агента, являющимся РДС. •
Рассмотрим пример игры агента с центром, в котором будут фигурировать приведенные выше графики.
Исходное состояние. Всем агентам, а также центру перед началом процедуры планирования известны формулы расчета К и Центр устанавливает параметры в, а, у исходя из своей стратегии мотивации. Каждый агент знает свой реальный прогноз, который неизвестен остальным участникам ОС. Пусть для агента с номером i такой прогноз Я = 100.
Шаг 1. Центр, исходя из своих предпочтений, выбирает значения параметров в = 3, а = 2, у = 1/3 и сообщает их всем агентам, в том числе и агенту с номером i. Заметим, что для выбранных значений выполняется условие Леммы, а именно 3 > 2 > 1/3 > 0. В результате все участники ОС понимают, как меняется коэффициент напряженности плана (желтый график на рис. 1). Также всем участникам ОС становится известно, как изменяется коэффициент отклонения (желтый график на рис. 2).
Шаг 2. Агент с номером i, исходя из своего предположения о том, что в конце отчетного периода он со 100% вероятностью получит фактическое значение КР1 ri = 100, строит целевую
функцию на рис. 5. Анализируя данную функцию для любых значений у, агент с номером i приходит к выводу о том, что
максимальное значение целевой функции он получит (при условии выполнения г, = Я,), если заявит прогнозное значение у, = я,, причем независимо от того, каково будет значение у_г.
В результате проведенного анализа агент с номером i заявляет центру свой прогноз у, = 100.
Шаг 3. Центр, получив прогнозы от всех агентов, вычисляет
значение и сообщает его агенту Предположим, у = 90,91
Это означает, что агент , дал более напряженный прогноз плана у, = 100, чем в среднем все остальные агенты ОС. Отношение
у 100 , , н
=-= 11 . На основании полученного отношения и
У- 90,91 '
известного параметра а = 2 центр и агент , вычисляют значение К =(1,1)2 =1,21 и строят итоговую целевую функцию для
агента , (желтый график на рис. 3).
В итоге если агент , в конце отчетного периода реализует свои планы и получит значение КР1 г, = 100, то значение его целевой функции составит 0,К, = 1,21.
Сделаем ряд заключительных замечаний по предложенному механизму определения оптимального значения КР1.
Замечание 1. На основании реальных прогнозов Я, и Яj агенты должны (если система мотивации работает правильно) выбрать значения плановых показателей у, = Я, и у}- = Я}-. При таком выборе коэффициенты напряженности планов К, и К будут адекватно отражать напряженность планов агентов только в том случае, если агенты работают в одинаковых условиях.
Приведем пример. Предположим, что у первого агента портфель проблемных активов недостаточно обеспечен залогами, а у второго агента портфель переобеспечен. В данном случае первому агенту будет сложно соревноваться со вторым по такому показателю КР1, как процент возврата денежными средствами на объем проблемного портфеля. При прочих равных самый напряженный прогноз первого агента будет ниже консервативного прогноза второго агента. Для того чтобы
сделать значения коэффициента напряженности плана адекватными в данной ситуации, необходимо дополнительно учитывать показатель обеспеченности портфеля, с которым работают агенты. Такой учет возможен, например, при использовании дополнительного поправочного коэффициента, отражающего обеспеченность портфеля агента по ЬОБ-модели, на который будет умножаться целевая функция <( —, у, у ;).
Замечание 2. Центр может модифицировать метод установления значения У . Это необходимо в том случае,
например, если агенты ОС могут договориться между собой и в результате совместно дать заниженные прогнозы. В таких случаях значение У может определяться по формуле
п
Е у у - у1
У-г = max
n -1
y-7
где у™ - некоторое минимальное значение KPI, устанавливаемое центром для агента i. В качестве ориентира для величины уmm могут рассматриваться данные LGD-модели,
которые рассчитываются центром отдельно для каждого агента. Центр их сообщает агентам на шаге 1 вместе с параметрами в, а, у. В этом случае агенты будут продолжать соревноваться друг с другом, устанавливая максимально напряженные планы, но центр дает им ориентир, который является минимальным планом. Для того чтобы агент мог получить результирующее значение функции ст(R, у, у ;) не ниже единицы (при условии исполнения агентом заявленного плана), агент должен заявить план не ниже y™n.
Рассмотрим отличия предложенной целевой функции R, у, у;) от целевой функции для механизма встречных
планов в работе [11].
Во-первых, в [11] итоговая функция стимулирования определяется в виде суммы коэффициента отклонения и
коэффициента напряженности плана. В предложенной конструкции рассматривается произведение указанных коэффициентов.
Во-вторых, в [11] не определено в явном виде, какой план, заявляемый агентом, дает коэффициент напряженности плана, являющийся для центра ОС некой базовой величиной. В предложенном варианте такая базовая величина определяется, как среднее значение плана по остальным агентам ОС, но не ниже, чем у™" - некоторое минимальное значение КР1,
устанавливаемое центром для агента. В результате система мотивации с одной стороны стимулирует соревнование между агентами по установлению максимально напряженного плана, а с другой - не позволяет агентам вступить в сговор и заявить центру ОС минимально возможные планы.
5. Реализация метода встречных планов на примере Управления по работе с проблемной задолженностью Северо-Западного банка Сбербанка РФ
Метод встречных планов, изложенный в предыдущем разделе, реализован в качестве пилота по новой модели бизнес-планирования при процедуре планирования показателей КР1 для ПРПА Северо-Западного банка (СЗБ) Сбербанка РФ во втором квартале 2016 года. Пилот осуществлялся без выплаты фактического вознаграждения по его результатам при одновременной процедуре мотивации по традиционной модели. В рамках пилота сотрудники каждого ПРПА имели возможность дать свои прогнозы по каждому КР1, которые отличались от плановых заданий, установленных для них исходя из данных ЬОБ-модели. Такие прогнозные значения сравнивались с фактически полученными значениями в конце квартала.
Процедура планирования для ПРПА проходит ежеквартально и состоит в определении аппаратом СЗБ (который в данном случае является центром ОС) девяти установленных Центральным аппаратом (ЦА) показателей для каждого из семи головных отделений сберегательного банка
(ГОСБ), входящих в состав СЗБ. В данном случае ГОСБ могут рассматриваться в качестве агентов ОС. Перечень показателей, методика их расчетов не могут быть изменены аппаратом СЗБ, поскольку определяются ЦА, но плановые значения данных показателей аппарат СЗБ может устанавливать самостоятельно.
В состав СЗБ входят семь отдельных ГОСБ (ГОСБ по Санкт-Петербургу, ГОСБ по Ленинградской области, ГОСБ по Калининграду, ГОСБ по Мурманску, ГОСБ по Пскову, ГОСБ по Карелии, ГОСБ по Мурманску).
Дадим комментарии по девяти КР1, плановые показатели по которым устанавливаются аппаратом СЗБ для каждого из семи ГОСБ. Портфель проблемной ссудной задолженности СЗБ в целом и каждого ГОСБ в частности состоит из проблемных активов (ПА) черной зоны (как правило, это кредиты со сроками просрочки более 90 дней) и остальных ПА, относящихся к красной зоне. Каждому ПА соответствует резерв, также относящийся к черной или красной зонам.
Показатель сокращения ПА (по красной, черной или в целом по портфелю ПА) рассчитывается как отношение объема сокращения величины ПА за квартал (по красной, черной или в целом по портфелю ПА) к объему ПА (по красной, черной или в целом по портфелю ПА) на начало квартала. Аналогично рассчитывается показатель восстановления РВПС в разрезе резерва красной зоны, черной зоны и резерва по всему портфелю ПА.
№Ь90+ «После» означает отношение объема сокращения задолженности за квартал по ПА, которые имеют просроченную задолженность свыше 90 дней к объему такой задолженности на начало квартала. Аналогично КРЫ095+ означает отношение объема сокращения задолженности за квартал по ПА, которые имеют просроченную задолженность свыше 1095 дней (т.е. более трех лет) к объему такой задолженности на начало квартала.
№Ь90+ «До» означает отношение объема сокращения задолженности за квартал по ПА, которые имеют просроченную задолженность свыше 90 дней без учета списаний и дисконта по цессиям к объему такой задолженности на начало квартала. В размере объема списанных кредитов и дисконта по
заключенным цессиям заключается отличие между показателем КРЬ90+ «До» (в котором убытки банка по списанным кредитам и дисконтам по цессиям не учитываются) и КРЬ90+ «После» (в котором на снижение просроченной задолженности влияют дисконты и списания)
Все перечисленные девять КР1 являются относительными (т.е. показывают динамику изменения какого-либо показателя проблемного портфеля за квартал) и измеряются в процентах. Выгода аппарата СЗБ (как центра ОС) тем больше, чем больше фактическое значение любого из перечисленных КР1 (т.е. чем быстрее ГОСБ урегулирует тот или иной проблемный показатель) у каждого ГОСБ.
Существующая процедура планирования ПРПА состоит в установлении плановых показателей ГОСБ на основе ЬОБ-модели, которые рассчитываются ЦА. В результате плановые показатели КР1 для ГОСБ назначаются директивно и не учитывают мнение самого ГОСБ. Расхождение в данных ЬОБ-модели с мнением ГОСБ, как правило, обусловлено тем, что ЬОБ-модель качественно оценивает большой портфель с большим числом активов. Объем портфеля ГОСБ относительно небольшой и может качественно отличаться от среднестатистических данных, что дает отклонения как в сторону увеличения возможности ГОСБ урегулировать тот или иной показатель, так и в сторону уменьшения такой возможности. План по урегулированию ПА для каждого из девяти КР1, утвержденный на основании существующей модели премирования, приведен в Приложении 1.
Альтернативным методом установления плановых значений КР1 для ГОСБ является метод встречных планов, рассмотренный в предыдущем разделе. Для получения встречных планов по каждому из девяти КР1, до ГОСБ были доведены параметры функции в = 1, а = 0,3, у = 0,2, а также вид целевой функции и [Я., у, у_. ) = ОК в соответствии с Леммой.
Для выбранных значений выполняется условие Леммы, а именно1 > 0,3 > 0,2 > 0.
На основании полученных данных, исходя из своего портфеля ПА, каждый ГОСБ сообщил аппарату СЗБ свой
встречный план по каждому из девяти КР1. Данные планы по урегулированию ПА в рамках пилота по новой модели бизнес-планирования приведены в Приложении 2.
Фактический процент урегулирования по каждому из девяти КР1 за второй квартал 2016 года в разрезе каждого ГОСБ приведен в Приложении 3.
Сравним результаты планирования для ГОСБ по ЬОБ-модели и результаты, полученные путем применения механизма встречных планов. В качестве критерия точности предлагаемого метода планирования для каждого КР1 будем использовать среднеквадратичное отклонение фактического значения данного КР1 от планового значения по семи ГОСБ. Таким образом, получим среднеквадратичные отклонения для планирования на основе ЬОБ-модели и планирования на основе встречных планов по каждому из девяти КР1. Итоговые данные по полученным среднеквадратическим отклонениям приведены в Приложении 4.
Сделаем выводы на основе полученных данных по результатам пилота.
Вывод 1. Как видно из Приложения 4, среднеквадратичное отклонение плановых от фактических значений по методу встречных планов дает меньший разброс, чем среднеквадратичное отклонение при планировании на основе ЬОБ-модели. Данный вывод подтверждается по каждому из девяти КР1, которые являются, по сути, девятью экспериментами сравнения двух методов планирования.
Вывод 2. Суммарные плановые значения семи ГОСБ по методу встречных планов в рассмотренном эксперименте отличаются от суммарных плановых значений по ЬОБ-модели как в меньшую сторону по шести КР1, так и в большую сторону (по сокращению ПА красной зоны, восстановлению резерва по черной зоне и КРЫ095+). Это подтверждает, что при использовании предложенной модели установления планов, ГОСБ будут (если у них есть соответствующая информация) устанавливать более напряженные планы по ряду КР1, чем планы по ЬОБ-модели.
6. Заключение
Рассмотрен ряд известных систем КР1, в том числе для подразделений по работе с проблемными активами в банке. Отмечается, что многими авторами [1, 7, 9] рассматривалась задача, при которой КР1-система управления результатами бизнеса не только отслеживала, но и стимулировала достижение компанией (или подразделением по работе с проблемными активами) своих целей. Для решения такой задачи необходимо наладить собственно механизм установки этих целей.
Дается формулировка задачи определения целевых значений одного КР1 для нескольких подразделений образующих систему.
Изложенная постановка задачи соответствует механизму стимулирования встречных планов [8]. Для случая единственного варианта реального прогноза Я, доказывается Лемма, задающая ограничения на параметры целевой функции агента, позволяющие Центру решить поставленную задачу, причем такое решение будет иметь свойства равновесия в доминантной стратегии (РДС).
Предложенная методика определения КР1 по методу встречных планов была применена в пилотном проекте на базе Северо-Западного банка Сбербанка РФ. В качестве параметра, показывающего качество планирования каждого из девяти КР1, предложена величина среднеквадратичного отклонения фактически полученных агентами значений КР1 от устанавливаемых плановых значений. Все перечисленные девять КР1 являются относительными (т.е. показывают динамику изменения какого-либо показателя проблемного портфеля за квартал) и измеряются в процентах.
На основе полученных данных по результатам Пилота были рассчитаны среднеквадратичные отклонении плановых значений КР1 от фактических значений, получаемых Подразделениями-агентами по результатам квартала. По методу встречных планов данный параметр дает меньший разброс, чем при планировании на основе ЬОБ-модели. Указанная зависимость отмечается по каждому из девяти КР1, назначаемых для ПРПА.
Необходимо отметить, что по трем из девяти КР1 заявляемый агентами прогноз стал более напряженным, чем прогноз, рассчитанный Центром на основании ЬОБ-модели. Таким образом, прогноз значения КР1 по предложенному методу встречных планов дает не только более точные прогнозы, но и (в том случае, когда подразделение-агент это может) устанавливает более напряженные плановые значения КР1.
Литература
1. БУГРОВ Д. Метрика эффективности // Вестник МеКгаеу. - 2003. - №1.
2. БУРКОВ В.Н. Основы математической теории активных систем. - М.: Наука, 1977.
3. БУРКОВ В.Н., ЕНАЛЕЕВ А.К. Оптимальность принципа открытого управления. Необходимые и достаточные условия достоверности информации в активных системах // Автоматика и телемеханика. - 1985. - №3. -С.73-80.
4. БУРКОВ ВН., ЛЕРНЕР А.Я. Принцип открытого управления. - М.: ИАТ, 1974.
5. ГУБКО М.В., НОВИКОВ ДА. Теория игр в управлении организационными системами. - М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2005.
6. ЕНАЛЕЕВ А.К. Оптимальный механизм функционирования в активной системе с обменом информацией // Управление большими системами. - 2010. - Вып. 29. -С. 108-127.
7. КАПЛАН Р.С., НОРТОН Д.П. Организация, ориентированная на стратегию / Пер. с англ. - М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2003. - 416 с.
8. Механизмы управления: Учебное пособие / Под ред. Д.А. Новикова. - М.: УРСС, 2011.
9. ОЛЬВЕ Н.Г., РОЙ Ж., ВЕТТЕР М. Оценка эффективности деятельности компании. Практическое руководство по использованию сбалансированной системы показателей / Пер. с англ. - М.: «Вильямс», 2003. - 304 с.
10. ПАНОВ М.М. Оценка деятельности и система управления компанией на основе KPI. - М.: Инфра-М, 2013. - 255 с.
11. РОССИХИНА Л.В., АГАФОНОВ СМ., БАРКАЛОВ С.А. Задача стимулирования оптимальных планов работы исправительных учреждений // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2014. - №4(7).
12. DOWD J., MCGONIGLE W., DJATEJ A. The optimal level of budgetary goal difficulty: an experimental study // Int. Journal of Managerial and Financial Accounting. - 2010. - Vol. 2(2). -P.153-160.
13. HARRIS M., RAVIV A. Optimal incentive contracts with imperfect information // Journal of Economic Theory. - 1979. -Vol. 20, No. 2. - P. 231-259.
14. LEWIS T.R., SAPPINGTON D.E.M. Information Management in Incentive Problems // Journal of Political Economy. - 1997. -Vol. 105(4). - P. 796-821.
Приложение 1.
ГОСБ Сокращение ПА Восстановление РВПС №Ь1095+ Остаток даЬ90+
Общее Красная Черная Общее Красная Черная даь90+ «До» даь90+ «После»
ГО ЛО 4,8% 1,8% 13,9% 8,7% 2,5% 14,4% 35,0% 60,7% 70,4%
ГО СПб 8,6% 12,6% 3,7% 7,8% 45,7% 4,2% 35,0% 0,0% 0,0%
Калининград 10,7% 71,7% 7,2% 8,9% 562,0% 6,6% 35,0% 10,5% 70,8%
Карелия 3,4% 4,2% 2,6% 3,8% 27,2% 1,9% 1,4% 5,0%
Мурманск 57,5% 62,7% 5,7% 10,0% 22,9% 5,7% 35,0% 0,0% 0,0%
Новгород 5,8% 9,4% 1,9% 6,3% 12,7% 2,7% 35,0% 0,2% 0,0%
Псков 2,9% 3,5% 1,3% 5,1% 9,6% 1,0% 3,1% 0,0%
Приложение 2.
ГОСБ Сокращение ПА Восстановление РВПС №Ь1095+ Остаток даЬ90+
Общее Красная Черная Общее Красная Черная даь90+ «До» даь90+ «После»
ГО ЛО 7,1% 4,7% 14,3% 20,7% 2,3% 37,3% 70,6% 61,4% 73,6%
ГО СПб 8,0% 13,1% 1,7% 3,0% 13,9% 1,9% 40,2% 1,6% 7,8%
Калининград 14,2% 5,6% 14,6% 13,3% 1,5% 13,4% 54,3% 15,9% 76,2%
Карелия 13,3% 14,8% 11,6% 13,6% 19,2% 13,1% 21,5% 30,7%
Мурманск 57,7% 62,8% 7,1% 14,0% 18,9% 12,3% 93,3% 30,3% 44,0%
Новгород 7,8% 9,9% 5,6% 2,6% 1,5% 3,2% 43,1% 42,4% 45,9%
Псков 2,9% 3,1% 2,2% 2,4% 2,7% 2,2% 6,8% 3,4%
Приложение 3.
ГОСБ Сокращение ПА Восстановление РВПС №Ь1095+ Остаток даЬ90+
Общее Красная Черная Общее Красная Черная даь90+ «До» даь90+ «После»
ГО ЛО 4,8% 2,7% 11,1% 40,3% 46,8% 34,4% 72,6% 60,8% 70,6%
ГО СПб 7,8% 11,9% 2,7% 4,9% 23,6% 3,1% 26,1% 5,1% 22,6%
Калининград 9,4% 19,6% 8,8% 8,3% 44,3% 8,2% 2,2% 13,1% 70,6%
Карелия 13,1% 14,4% 11,5% 13,9% 26,7% 12,8% 22,5% 32,7%
Мурманск 0,1% 0,0% 1,4% 5,1% 9,3% 3,7% 90,8% 26,0% 40,0%
Новгород 7,7% 9,9% 5,3% 2,8% 2,4% 3,1% 0,0% 42,9% 45,8%
Псков 2,4% 3,1% 0,3% 16,0% 33,4% 0,4% 6,1% 3,3%
Приложение 4.
Сокращение ПА Восстановление РВПС 1095+ Остаток даЬ90+
Общее Красная Черная Общее Красная Черная даь90+ «До» даь90+ «После»
Планирование на основе ЬОБ-модели 58,2% 82,1% 11,1% 35,5% 520,9% 22,9% 83,1% 54,6% 70,6%
Планирование с использованием встречных планов 57,8% 64,4% 9,0% 26,0% 70,7% 10,7% 69,1% 6,4% 16,7%
Отклонение 0,4% 17,7% 2,1% 9,5% 450,2% 12,2% 14,0% 48,2% 53,9%
COUNTER-PLAN METHOD FOR DETERMINING KPI'S TARGET SIGNIFICANCE IN THE TWO-LEVEL ORGANIZATIONAL SYSTEM
Viacheslav Davydov, Moscow Institute of Electronics and Mathematics HSE, Moscow ([email protected]).
Abstract: We consider a three-parameter model for stimulating the agent of the organizational system (OS), which uses the modification of the counter-plan method. For the proposed model, restrictions are introduced on the parameters under which an agent's choice equalbi to his own forecast and is the dominant strategy (DS) of the agent. It is proved that such a choice for all organizational system agents is an equilibrium in dominant strategy. An example of the application of the model for stimulating units for dealing with distressed assets (PRPA) in the North-West Bank of the Sberbank of the Russian Federation is given. There is a more accurate determination of the PPRA plans for the proposed model in comparison with the traditional "top-down"planning method.
Keywords: method of counter plans, incentives, KPI, problem assets of banks.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Э.Ю. Калимулиной.
Поступила в редакцию 25.07.2017.
Опубликована 31.05.2018.
