Метод статистического усреднения конечно-разностной схемы для стационарного стохастически возмущенного уравнения sin-Gordon Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1

УДК 004.942: 621.3.082.7 DOI: 10.17213/0321-2653-2019-1-45-50

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО

УРАВНЕНИЯ SIN-GORDON

© 2019 г. Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия

THE METHOD OF STATISTICAL AVERAGE OF THE FINITE-DIFFERENCE SCHEME FOR THE STATIONARY STOCHASTICALLY DISTURBED

EQUATION SIN-GORDON

N.V. Kirpichenkova, V.Ya. Kirpichenkova, K.V. Kryzhanovskiy

Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia

Кирпиченкова Наталья Валерьевна - д-р физ.-мат. наук, доцент, директор «Институт фундаментального инженерного образования», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Кирпиченкова Валентина Яковлевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Производственный и инновационный менеджмент», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М. И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Крыжановский Константин Викторович - соискатель, кафедра «Математика и математическое моделирование», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М. И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Kirpichenkova Natalya Valeryevna - Doctor of Physics and Mathematics Sciences, Assistant Professor, Director «Institute of Fundamental Engineering Education», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Kirpichenkova Valentina Yakovlevna - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Department «Industrial and Innovation Management», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Kryzhanovskiy Konstantin Viktorovich - Post-Graduate Student, Department «Mathematics and mathematical modeling », Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

На основе известной математической модели для исследования электродинамических процессов в неупорядоченном S-I-S контакте (S - сверхпроводник, I - изолятор) построена статистически усредненная конечно-разностная схема для стохастически возмущенного квантовыми закоротками стационарного уравнения sin-Gordon с целью нахождения его численного решения вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения невозмущенного уравнения. Это решение необходимо для нахождения параметров джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте.

Ключевые слова: математическая модель; конечно-разностная схема; статистическое усреднение; вихретоковые процессы; неупорядоченный контакт; случайные квантовые закоротки; туннельная проводимость; одно-солитонное решение.

Based on the well-known mathematical model for the study of electrodynamic processes in a disordered S-I-S contact (S-superconductor, I-insulator), a statistically averaged finite-difference scheme for stochastically perturbed by the quantum jumpers of the stationary sin-Gordon equation was constructed in order to find its numerical solution near the single-soliton solution of the unperturbed equation renormalized by quantum jumpers. This solution is necessary for finding the parameters of the Josephson vortex in the disordered S-I-S contact.

Keywords: mathematical model; finite-difference scheme; statistical averaging; eddy current processes; disordered contact; random quantum jumpers; tunneling conductivity; one-soliton solution.

ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1

Введение

Стационарное уравнение для исследования вихретоковых процессов в рассматриваемом здесь неупорядоченном S-I-S контакте имеет вид стохастически возмущенного уравнения sin-Gordon [1 - 5]:

= k (l + v (X)) бшф, -<»< x <<», (1)

где ф = ф(х, Г^) - случайная разность фаз сверхпроводящих параметров порядка в S-берегах контакта; v(x) = v(x, Г^) — случайные пространственные флуктуации туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя, обусловленные в рассматриваемом здесь случае присутствием квантовых резонансно-перколяционных траекторий

(квантовых закороток) [3] в этом слое, k = ^ А-2^,

X/ = А/ (Г^) — случайная джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в неупорядоченный S-I-S контакт;

(V ( х )) = 0, V (х) V (х')^ = w5 (х - х'),

(2)

где w - известный [5] параметр корреляционной функции пространственных флуктуаций туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя; (...) — символ усреднения по стохастическому ансамблю всевозможных примесных конфигураций {Г^} в I-слое.

Учитывая сложность и «многопарамет-ричность» математической модели неупорядоченного джозефсоновского контакта со случайными квантовыми закоротками в I-слое [5 — 8], случайный характер туннельной проводимости v(x) = v(x, Г^) неупорядоченного I-слоя, для нахождения усредненного по стохастическому ансамблю {Г^} численного решения уравнения (1) воспользуемся методом статистического усреднения конечно-разностной схемы, изложенным в [9] на примере линеаризованного стохастически возмущенного уравнения sin-Gordon.

Метод статистического усреднения конечно-разностной схемы

Построим статистически усредненную конечно-разностную схему для стохастически возмущенного квантовыми закоротками стационарного уравнения sin-Gordon (1) с целью нахождения его численного решения вблизи перенормированного кантовыми закоротками односолитон-ного решения невозмущенного уравнения, которое

требуется для нахождения параметров джозефсо-новского вихря в неупорядоченном 8-1-8 контакте.

Трехточечная конечно-разностная схема для этого уравнения имеет вид

Фг+1 - 2Фг + Фг_ 1

h

■ = к sin фг- + kv¿s^¿. (3)

Усредняя это уравнение по стохастическому ансамблю {Г^}, получим

<Ф>г+1 _ Цф)г + <Ф>г-1

h2

= к ^тф,) + к . (4)

Основные трудности при реализации этой конечно-разностной схемы состоят в нахождении выражений для средних ^тф) и (уг- 8Шфг) через (фг) для «замыкания» конечно-разностной схемы (4).

Задача состоит в нахождении численного решения уравнения (1) вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения невозмущенного (при у(х) = 0) уравнения:

d 2фо йх1

= к sin ф0, -го< х <<х>.

Односолитонное решение этого уравнения, соответствующее граничным условиям ф(-Ж) = 0, ф(да) = 2п,

имеет вид [1]

фо (x) = 4arctg (е^х ) .

Вычисление средних

(5)

Для вычисления средних (si^(x)) и (v(x)si^(x)), входящих в правую часть уравнения (4), представим искомое решение с точно-

II ||2

стью до членов ~ V << 1 в виде [2]

ф(x) = Фо (x) + Ф1 (x) + Ф2 (x),

где Ф1 (x) ~|| V, Ф2 (x) ~|| VI2 - члены, обусловленные флуктуациями туннельной проводимости.

Разложим si^(x) в правой части уравнения (1) вблизи односолитонного решения (5) с точностью до членов ~ || V|2:

8Шф (x) = sin (фо (x) + Ф1 (x) + Ф2 (x)) = sin Ф0 (x) +

+ cos ф0 (х) • ф1 (х) + cos ф0 (х) • ф2 (х) -

(6)

-1sin фо (х)-ф12 (х).

Подставляя разложение (6) в правую часть уравнения (1) и удерживая члены одинакового порядка по V , получим уравнения для функций

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1

Ф0 (Ф1 (x), Ф2 (x) :

d 2 фо

dx 12

2

= k sin Ф0,

d ф1 = k cos Ф0 • Ф1 (x) + kv ( x) sinф0 (x),

dx

,2

(7)

= kcosФ0 • Ф2 (x) + kcosф0 • v(x)Ф1 (x)-

dx

(v ( x ) sin Ф ( xfj=l v (x)

sin Ф0 (x) + cos Ф0 (x) Ф1 (x) + + cos Ф0 (x) Ф2 (x) -1 sin Ф0 (x) Ф2 (x)

cos

Учитывая, что Ф0 (X) = cos 14arctg I)

= 1 -

ch2 (Vk • x)'

уравнение (10) перепишем в виде 2

d 2 Ф1

dx2

- k

1 -

ch2 (Jkx)

• Ф1 (x) = kv (x) sin Ф0 (x). (11)

-1 ksinФ0 • Ф2 (x).

Усредняя выражение (6) по {Г^}, получим с точностью до членов ~ IIVI2:

(sin ф(х)) = sin^(х)) -1 sm90 (х^ф2 (х^ . (8)

Далее найдем среднее (v (х) si^ (х)^. С точностью до членов ~|| V Р получим, учитывая (6):

Уравнение (11) есть неоднородное линейное уравнение с переменным коэффициентом при ф! (х), и его решение есть сумма общего

решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения.

Решение однородного уравнения

d 2 ф(0) dx2

- к

1 -

ch2 (\fkx)

ф(0)( x) = 0, (12)

конечное при х = , имеет вид (что несложно проверить непосредственным вычислением)

Ф (0)( x ) =

C

ch (л/kx)

(13)

Учитывая, что sin ф0 (x) и cos ф0 (x) - не случайные функции, имеем

(V (X) 8Шф0 (X= (V (X• 8Шф0 (X) = 0.

Члены, содержащие (v ( x ) ф2 ( x ,

^V (x) ф2 (X~ IV|3 , не учитываются в принятом

приближении.

Таким образом, имеем с принятой точностью:

(V(X)8Шф(X= С08ф0 (V(X)ф! (X. (9)

где С — произвольная константа.

Основываясь на решении (13), введем функцию Грина соотношением

Г( x,x') =

ch (Vkx')

2ch (Vkx) ch (Vkx') 2ch (Vkx)

x < x.

x > x

(14)

ch (Vkx') или r(x,x') =-sign (x - x')--

ch (Vkx)

(15)

СлеДовательно, как видно из (8), (9), для где «знаковая» функция sign (x) определяется нахождения средних (sinф(x)) и (к(x)sinф(x)) , соотношениями

входящих в разностную схему (3), необходимо сначала получить интегральное представление для ф! (х). Это представление для ф! (х) нахо-

, 1, x > 0, sign ( x И-1, x < 0.

Прямым вычислением нетрудно убедиться,

дим из второго уравнения системы (7), которое что функция Грина (15) удовлетворяет уравнению перепишем в виде

d 2 Г( x, x')

d ф1 - k cos Ф0 • Ф1 (x) = kv (x) 8Шф0 (x) . (10) dx

- k

dx

1 -

ch2 (Vkx)

= -Sx (x - x'),

■Г( x, x') =

(16)

2

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1

где в правой части стоит производная по пере- теграл (по переменной X), так как этот оператор менной х от дельта-функции 5 (х - X):

Dx действует на «свободную» переменную x:

да x

—Dx J Г(x, x') J kv (x") sin ф0 (x") dx" dx'=

—да да

(20)

5 X (х - X Ь — 5 (х - X).

^ } —х У }

Заметим, что свойства обобщенной функции 5 (х - х ) и её производных хорошо описаны

в [10]. Отметим также, что функция Грина _

^ г Далее, учитывая (16), получим, что инте-

Г( хх ") определена соотношениями (14), (15) с грал (20) принимает вид

= — J DxГ(x, x") J kv (x") sin90 (x") dx" dx".

точностью до решения однородного уравнения (13). То есть в качестве функции Грина может быть взята и функция

Г( x, x" ) =

ch [4kx') + С1

2ch (4kx) ch (>/£xf) — С1 2ch (4kx)

x < x ,

x > x ,

(17)

где С1 - произвольная константа.

С помощью функции Грина (15) решение неоднородного уравнения (11) представим в виде функцию Г (х ") [8]

| 5х (х - х ') } кх (х " ) sinф0 (х " ) —х" —х". (21)

-да -да

Затем, учитывая, что [8]

5 " ( х - х " ) = -5 X ( х - х ") > интеграл (21) запишем в виде

да х

- | 5х (х - х ') | ку (х ") вш Ф0 (х ") —х" —х'. (22)

-да -да

Учитывая, что при действии на некоторую

ф1 (x) = ф(0)(x)— J Г(x,x ")х

—да

5 x (x — x) F (x) = —5 (x — x) Fx{ x),

(18) преобразуем интеграл (22) к виду

х J kv(x") sin фо (x ") dx" dx'.

J 5 (x — xf)

Покажем теперь, что (18) действительно есть решение уравнения (11). Для этого подей-

J kv (x") sin ф0 (x ") dx"

dx ". (23)

Далее, дифференцируя интеграл, стоящий

ствуем на левую и правую части (18) оператором в квадратных скобках в (23), по верхнему преде-Г>х... левой части уравнения (11): лу, получим

2

dx

Получим

1-

di2(4kx)

J kv (x ") sin ф0 (x ") dx"

= kv (x ') sin ф0 (x '). (24)

Dxф1 (x) = Dxф(0}(x) — 4 Jr(x,x')

(x, x )х

. (19)

х J kv(x") sin ф0 (x ") dx" dx'.

Первый член в правой части этого уравне-„( 0)

Подставляя (24) в (23), получим окончательно:

да

J 8 (x - x ") kv (x ") sin ф0 (x ") dx' = kv (x) sin ф Q (x) .

—да

Возвращаясь к формуле (19), получим

DxФ1 (x) = k v (x) s^0 (x) ,

ния равен нулю, так как ф(0)(x) есть решение и Докажем, таким обPазом, что (18) действитель-

однородного уравнения (12):

Dx ф(0)( x ) = 0. Во втором члене в правой части (19) опе-

но есть решение уравнения (11).

Учитывая далее, что Ф1 (х) ~||V , т.е. в отсутствие возмущения (V ( х) = 0) функция Ф1 (х) должна обращаться в нуль, получим, что произ-

ратор Вх можно «протащить» через первый ин- вольная константа С в решении однородного

/

—w

ад

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1

Учитывая, что корреляционная функция (v (x') v (x'" )) = ю5 (x" - x'"), а односолитонное решение есть 91(x) = -Jr(x, x) ] kv (x") sin90(x") dx" dx' (25) ф0 (x) = 4arctg (),

—X —X

где пропагатор Г(x, x') определен в (15), а после вычисления интегралов, входящих в (27), Фо (x) есть односолитонное решение (5).

уравнения (13) в рассматриваемых условиях

должна равняться нулю (С = 0), т.е. ф(0) (х) = 0.

Таким образом, из (18) получим окончательный вид решения уравнения (11):

получим:

Отметим, в частности, что

X x

(фДx)) = - J Г(x,x) J k(v(x"))sinф0(x") dx" dx' = 0

(ф2 (x)) = Wk • th2 (Vkx).

(28)

в соответствии с тем, что (V(х)у = 0 (2).

Дальнейшая задача состоит в нахождении средних (V(х) ф1 (х)^ и ^ф^ (хна основании формулы (25). Вычислим

да

(у(х)ф1 (х= - | Г(х,х ')X

—да

х

х | у (х) V (х " sinф0 (х " ) dх" dх'.

—да

Учитывая, что корреляционная функция (у (х) у (х'')) = ^5 (х — х''),

получим

да

(у (х) ф1 (х)) = — £ю8Шф0 (х) | Г(х, х ') dх"

—да

Вычисляя входящий сюда интеграл от

Таким образом, учитывая (26) и (28), найдём средние (8) и (9), входящие в конечно-разностную схему (4):

(v, sin фг) = (v (xi) ф! (хг )) = ^^th (4кх)sin фо (х-), (sin фг) = (sinФ (х )) =

= sin (ф (хi -1 ®Vk • th2 (л/кх,) sin ф0 (хi),

2

а сама эта явная конечно-разностная схема примет вид

(ф)i+1 - 2(ф)г + (ф)i-1 = ^ _ ^ х

h Х /l 2 (29)

х th2 (*Jkx¿)- th (Vkx¿) cos ф0 (xi) sinф0 (xi).

Так как в правой части (29) sin (xi = 0) = 0,

то граничные условия, требующиеся для «разгона» конечно-разностной схемы (29), в точке х = 0

функции Грина, получим, отбрасывая бесконеч- определяются перенормированным кантовыми

ную нефизическую константу, которая «зануляет- зак°р°тками односолитонным решением (5).

ся», подходящим выбором константы С в (17):

(v(x)ф1 (x)) = Ю^sinф0 (x) th(Vk x). (26) Вычислим

. \ Iх x

/ф2 (x)W J Г(x,x ") J kv(x ")s^0(x " ) dx" dx" •

\-X -X

X x" \

J Г(x,x ") J kv(x ' '" )sinф0(x ' '" )dx''"dx'"\ =

-X -X /

X X

= k2 J Jt(x,x ')Г(x,x ")•

-X -X

x x

J J (v (x) v (x")) sinp0(x") sinp0(x") dx"dx'

Следовательно

(ф) 0 = п, (ф) 1 = п + 2у[кк. (30)

Таким образом, конечно-разностная схема (29), (30) может быть эффективно использована при численном моделировании вихретоковых процессов в джозефсоновских контактах с квантовыми закоротками.

Литература

1. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применение. М., 1984. 639 с.

2. Минеев М.Е., Фейгельман М.В., Шмидт В.В. Движение

джозефсоновского вихря в поле случайного потенциала // ЖЭТФ. 1981. Т. 81. С. 290 — 298. dr'dr". (27) 3. Лифшиц И.М, Кирпиченков В.Я. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 989 — 1016.

-X

-X

ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

4. Кирпиченков В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий на параметры джозефсо-новского вихря // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 294 - 296.

5. Кирпиченков В.Я. Теория стохастического туннелирова-ния в неупорядоченных наноструктурах. М., 2006. 193 с.

6. Кирпиченкова Н.В., Шавров В.Г. Джозефсоновские плаз-моны в длинном 8-1-8 туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое // Изв. РАН. Серия физическая. 2012. Т. 76. № 7. С. 838 - 839.

7. Кирпиченкова Н.В. Сила радиационного трения флуксона в длинном 8-/-8 туннельном контакте с квантовыми зако-ротками в неупорядоченном /-слое // Изв. РАН. Серия физическая. 2013. Т. 77. № 9. С. 1268 - 1270.

TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1

8. Кирпиченкова Н.В., Крыжановский К.В. Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в I-слое // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2018. № 2 (198). С. 7 - 13.

9. Кирпиченкова Н.В., Кирпиченкова В.Я., Пухлова А.А. Конечно-разностная схема для стохастически возмущенного линеаризованного уравнения sin-Gordon // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2017. № 1 (193). С. 32 - 36.

10. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1971. 512 с.

References

1. Barone A., Paterno Dzh. EffektDzhozefsona. Fizika iprimenenie [Physics and Applications of the Josephson Effect]. Moscow,

1984, 639 p.

2. Mineev M.B., Feigeil'man M.V., Shmidt V.V. Dvizhenie dzhozefsonovskogo vikhrya v pole sluchainogo potensiala [The motion of a Josephson vortex in the field of a random potential]. ZhETF, 1981, Vol. 81, pp. 290 - 298. (In Russ.)

3. Lifshits I.M, Kirpichenkov V.Ya. O tunnel'noi prozrachnosti neuporyadochennykh sistem [Tunnel transparency of disordered systems]. ZhETF, 1979, Vol. 50, pp. 499 - 511. (In Russ.)

4. Kirpichenkov V.Ya. Vliyanie kvantovykh rezonansno-perkolyatsionnykh traektorii na parametry dzhozefsonovskogo vikhrya [Influence of quantum resonant-percolation trajectories on the parameters of a Josephson vortex]. ZhETF, 2007, Vol. 132, pp. 294 - 296. (In Russ.)

5. Kirpichenkov V.Ya. Teoriya stokhasticheskogo tunnelirovaniya v neuporyadochennykh nanostrukturakh [The theory of stochastic tunneling in disordered nanostructures]. Moscow, 2006, 193 p.

6. Kirpichenkova N.V., Shavrov V.G. Dzhozefsonovskie plazmony v dlinnom S-I-S tunnel'nom kontakte s kvantovymi zakorotkami v neuporyadochennom I-sloe [Josephson plasmons in a long S-I-S tunnel junction with quantum jumpers in a disordered I-layer]. Izvestiya RAN. Seriyafizicheskaya, 2012, Vol. 76, no. 7, pp. 749 - 750. (In Russ.)

7. Kirpichenkova N.V. Sila radiacionnogo treniya fluksona v dlinnom S-I-S tunnel'-nom kontakte s kvantovymi zakorotkami v neuporyadochennom I-sloe [The radiative friction force of a fluxon in a long S-I-S tunnel contact with quantum jumpers in a disordered I-layer]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya, 2013, Vol. 77, no. 9, pp. 1268-1270. (In Russ.)

8. Kirpichenkova N.V., Kryzhanovskiy K.V. Matematicheskaya model elektrodinamiki neuporyadochennogo S-I-S kontakta so sluchainimi kvantovimi zakorotkami v I-sloe [Mathematical model of the electrodynamics of the disordered S-I-S contact with stochastic quantum shorting in the I-layer]. Izv.vyzov. Sev-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2018, no. 2, pp. 7 - 13. (In Russ.)

9. Kirpichenkova N.V., Kirpichenkova V.Ya., Pukhlova A.A. Konechno-raznostnaya shema dlya stokhasticheski vozmuschennogo linearizovannogo uravneniya sin-Gordon [Finite-difference scheme for stochastically perturbed linearized equation sin-Gordon]. Izv.vyzov. Sev-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2017, no. 1, pp. 32 - 36. (In Russ.)

10. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, 1971, 512 p.

Поступила в редакцию /Received 20 февраля 2019 г. /February 20, 2019