Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в I-слое Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL

УДК 004.942: 621.3.082.7 DOI: 10.17213/0321-2653-2018-2-7-13

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО S-I-S КОНТАКТА СО СЛУЧАЙНЫМИ КВАНТОВЫМИ ЗАКОРОТКАМИ В I-СЛОЕ

© 2018 г. Н.В. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия

MATHEMATICAL MODEL OF THE ELECTRODYNAMICS OF THE DISORDERED S-I-S CONTACT WITH STOCHASTIC QUANTUM

SHORTING IN THE I-LAYER

N.V. Kirpichenkova, K.V. Kryzhanovskiy

Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia

Кирпиченкова Наталья Валерьевна - д-р физ.-мат. наук, доцент, директор института фундаментального инженерного образования, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Крыжановский Константин Викторович - математик, системный программист. E-mail: [email protected]

Kirpichenkova Natalya Valeryevna - Doctor of Physics and Mathematics Sciences, assistant professor, Director of the Institute of Fundamental Engineering Education, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Kryzhanovskiy Konstantin Viktorovich - Mathematician, system programmer. E-mail: [email protected]

Сформулирована математическая модель для исследования электродинамических процессов в неупорядоченном S-I-S контакте (S - сверхпроводник, I - изолятор). Основное уравнение математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте представляет собой стохастически возмущенное случайными квантовыми закоротками нестационарное уравнение sin-Gordon. Для низкоомного и высокоомного неупорядоченных контактов приведены результаты численного расчета резонансов средней туннельной проводимости и интенсивности пространственного «шума» туннельной проводимости, обусловленных квантовыми закоротками в I-слое таких контактов.

Ключевые слова: математическая модель; вихретоковые процессы; неупорядоченный контакт; случайные квантовые закоротки; туннельная проводимость; пространственный «шум» туннельной проводимости.

A mathematical model for the investigation of electrodynamic processes in a disordered S-I-S contact (S-superconductor, I-insulator) is formulated. The basic equation of the mathematical model of eddy currents in a disordered S-I-S contact is a nonstationary sin-Gordon equation stochastically perturbed by random quantum shortcuts. For low-resistance and high-resistance unordered contacts, the results of a numerical calculation of the resonances of the average tunneling conductivity and the intensity of the spatial «noise» of tunneling conduction due to quantum short-circuits in the I layer of such contacts are presented.

Keywords: mathematical model; eddy current processes; disordered contact stochastic quantum shorting; tunneling conductivity; spatial «noise» of tunneling conduction.

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE.

2018. No 2

Введение

Физическая модель рассматриваемого в данной работе длинного неупорядоченного S-I-S туннельного контакта [1 - 4] состоит в следующем (рис. 1). Контакт находится при температуре T = 0 во внешнем магнитном поле (о, Hy ,0).

Одинаковые S-берега контакта разделены I-слоем с характерными размерами: длина Lx » X j (длинный контакт), который в рамках рассматриваемой модели в теоретических формулах формально может считаться бесконечным: Lx =ю, ширина Ly «X J (узкий контакт) Xj -

джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в контакт, толщина Lz ~ 10 a, где

a ~ 10_1° м - межатомное расстояние. Высота потенциального барьера (для туннелирующих электронов) I-слоя: Uо = const. Внутри I-слоя случайно распределены одинаковые притягивающие электроны примеси, на которых происходит рассеяние туннелирующих через I-слой электронов. TV »1 — полное число примесей в I-слое, Г^ = , 72,..., TN } - их случайная пространственная конфигурация в I-слое, r - координаты примесей. Ео - энергия локального электронного уровня на примеси,

а"1 =

= [lm(Uо - Ео )/h 2 J

И/2

характерный ради-

ус локализации электронной волновой функции на уровне Е0, где т - масса электрона, % - постоянная Планка. Примеси распределены макроскопически однородно по объему V = ЬхЬуЬ2 I-

слоя с безразмерной концентрацией с = па-3 <<1, (п = ) - модель слабого структурного беспорядка. Уровень Ферми контакта ц< и о находится в ближайшей окрестности уровня Е0 - внутри энергетического спектра туннельных резонансов, ассоциированных с квантовыми резонансно-перколяционными траекториями (КРПТ) [5]. При этом наибольший интерес представляет область энергий - Ео | < у, Л < у << ц, где у - характерная энергетическая ширина существенных туннельных резонансов, А - энергетическая щель сверхпроводящего конденсата (электронных куперов-ских пар) в ^-берегах контакта. Волновая функция сверхпроводящего конденсата в ^-берегах имеет вид: у12 = у^ехр^'ф^), где ф1 и ф2 - фазы этой волновой функции в каждом из ^-берегов

[6, 7]. Модуль этой волновой функции, как обычно в таких задачах, считается постоянным Уо = const, не возмущенным слабой туннельной связью через I-слой между S-берегами [1, 8], а возмущается лишь разность фаз ф = ф1 - ф2 между S-берегами.

L7

Рис. 1. Физическая модель джозефсоновского контакта с

примесями в I-слое, помещенного в параллельное плоскости контакта магнитное поле (0, Hy, 0), большее нижнего критического XJ — характерный размер джозефсоновского вихря. Точки в I-слое символизируют

примеси / Fig. 1. The physical model of the Josephson junction with impurities in the I-layer, placed in a magnetic field parallel to the plane of contact (0, Hy, 0), is greater than

the lower critical one XJ - is the characteristic size of a Josephson vortex. Points in the I-layer symbolize impurities

Математическая модель

Основное уравнение математической модели вихревых токов в длинном S-I-S контакте, находящемся в магнитном поле, следует из уравнения Максвелла

т? - dD

rotH = j +-,

dt

которое для рассматриваемой геометрии контакта и магнитного поля (рис. 1) принимает вид [1]:

3Hy _y

д x

- = Jz +£ о s"

дЕ,

dt

(1)

где ]2 - плотность туннельного тока в 1-слое контакта, 80 - диэлектрическая проницаемость вакуума, 8 - относительная диэлектрическая проницаемость 1-слоя, Е2 = V/Ьг - напряженность электрического поля в 1-слое, V - электрическое напряжение на контакте. Отметим, что в условиях длинного (Ьх »X J ) и узкого (ьу <<Х J )

контакта, зависимостью всех физических полей в контакте от пространственной переменной у можно пренебречь [1, 8].

Плотность тока включает в себя два слагаемых

Л = Л + ]п, (2)

где - плотность сверхтока через контакт, ]п - плотность нормального тока через контакт.

0

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2

Плотность нормального тока равна V 1 й дф

Jn =

RT (V) RT (V) 2e dt '

(3)

Js = Jcsin ф ;

v=h ^ •

(4)

2е дt

н - й •дф

у 2ц о ed дх

где е - заряд электрона; ц о - магнитная проницаемость вакуума; d = + 2Х 1, Xь - лондо-новская глубина проникновения магнитного

поля в ^-берега контакта, ]с = g — критиче-

2е

ская плотность сверхтока через /-слой, g — не зависящая от температуры туннельная проводимость контакта в нормальном состоянии.

Кроме того, при исследовании динамики джозефсоновского вихря в рассматриваемом неупорядоченном контакте в правую часть уравнения (1) будет включаться еще создаваемая внешним источником равномерно распределенная вдоль контакта плотность тока ]г, компенсирующая радиационные потери, обусловленные рассеянием вихря на квантовых закоротках (плотность тока «смещения» [1, 2, 4]), и тем самым обеспечивающая возможность его равномерного движения в неупорядоченном контакте. При этом для того, чтобы выделить в чистом виде радиационные потери, обусловленные рассеянием вихря, именно на квантовых закоротках, мы не будем учитывать омические потери в контакте (]п = о) и ту часть тока «смещения», которая компенсирует эти потери [2].

Подставляя теперь соотношения (2) - (4) в уравнение (1), получаем уравнение для разности фаз ф = ф(х, ?) [2]:

52ф

dx2

1 d^ 2 .

= kJ sin Ф + 0Г

c02 dt2

(5)

-да < x < да, t > 0

где Ят (V) — некоторое, зависящее от температуры Т сопротивление (на единицу поверхности) контакта. При Т ^ 0 сопротивление Ят (V) ^ да для напряжений V < 2Л/е [8], а ]п ^ 0 .

Плотность сверхтока напряжение V и напряженность магнитного поля Ну связаны с разностью фаз макроскопической волновой функции сверхпроводящего конденсата ф = ф! - ф2 в

^-берегах контакта соотношениями Джозефсона [!]:

(

где Со = харта -

\

Ц о в о Bd

2

'О

= С

в d

2

— скорость Сви-

уг-и~0 у увd У скорость распространения электромаг-

нитных волн вдоль контакта, с

, С = (ц ов о) 12 —

скорость света в вакууме,

kj =

лц о d А

Й

g,0r =

2ц о ed Й

Jr

(6)

здесь X ^ - случайная джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в 8-1-Б контакт.

Уравнение (5) должно дополняться соответствующими начальными и граничными условиями, зависящими от постановки конкретной задачи. Это уравнение, вместе с соотношениями

(4), является основным уравнением математической модели для исследования электродинамики вихретоковых процессов в 8-1-Б контакте, находящемся в магнитном поле. Схематически это исследование выглядит так: сначала решается уравнение (5), а затем на основе этого решения с помощью соотношений (4) исследуется электродинамика.

Существенным отличием рассматриваемой здесь модели от других моделей вихревых токов в 8-1-Б контактах является случайный характер туннельной проводимости контакта g , обусловленный упругим рассеянием туннелирующих через /-слой электронов на случайно расположенных в этом слое примесях. Причем в рассматриваемой области параметров контакта случайная туннельная проводимость g определяется случайными КРПТ (случайными квантовыми закоротками), возникающими в неупорядоченном (с примесями в /-слое) туннельном контакте

[5]. Случайный характер туннельной проводимости g определяет статистические свойства случайного параметра (6), входящего в правую часть основного уравнения математической модели (5). Представим этот случайный параметр в следующем виде:

' — (7)

kj = (kj2) [1 + v(x)],

где (...) - символ усреднения по ансамблю случайных примесных конфигураций |Г N },

1

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2

r,2\ =

к

(x) =

яц о d Л

g-

g (x)-g

g

(8) (9)

- средняя туннельная проводимость неупорядоченного /-слоя; у(х) - случайная функция -относительное отклонение случайной туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя от своего среднего значения - пространственный «шум» туннельной проводимости /-слоя.

Подставляя (7) в (5), запишем последнее в виде [2]:

д2 ф б^ф-/ л -2 dx2 c2 dt2 -<х>< x <<х>, t > 0.

= (х j2^ [l + v( x)] sin ф + 5г,

(10)

Для завершения формулировки математической модели необходимо иметь выражения: для средней туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя , определяющей параметр

(х ^ (8), среднего значения случайной функции

(у(х)) (9) и корреляционной функции (у(х)-у(х')) , которые даются их выражениями,

полученными в рамках теории КРПТ, развитой для неупорядоченных /-слоев [3, 5]:

g =

%e

N ж , ч 2 С \ о Z J pm (u)e у(и) du + gо

m=1 L/m

j(v(x)> = 0,

{(v(x)v(x')} = wS(x-x'),

, 2(ц- go )2

(ц-go )2

a

w =

2

%e

Щ

, (11)

(12)

aar

L

^ / \ 2/ \ Z J Pm (u) e ) du, (13)

1 m=1 L/m

2 2 a к

an =

77 \ 2 2m

= ~T(Uo -go), к =тг

я 4 (a 2 +к 2 )2' 2m

a

/ \ 2Й 2-1 -u

y(u) =-a u e

m

туннельного резонанса для КРПТ с безразмерным шагом и = а- 2у, где 2у - расстояние между соседними примесями вдоль КРПТ, = аЬу -безразмерная ширина /-слоя,

2 0 2 (m, u )]m 1

вероят-

„ ( \ 2 т -стл и3

/>т (и) = а с е

ность возникновения (в расчете на единицу площади неупорядоченного /-слоя) га-примесной КРПТ с безразмерным шагом и, б(т, и) - угол, характеризующий

g0 = 4я3а0a2L 1e 2L

извилистость КРПТ, - туннельная прозрачность «пустого» (без примесей) /-слоя, Ь = аЬ2 -безразмерная толщина /-слоя.

Соотношения (10) - (13) вместе с соответствующими начальными и граничными условиями представляют собой математическую модель неупорядоченного 8-/-8 контакта с квантовыми закоротками в /-слое.

Туннельная проводимость неупорядоченного /-слоя

На рис. 2, 3 в качестве примера приведены результаты численного расчета обусловленных квантовыми закоротками резонансов средней туннельной проводимости неупорядочен-

ного контакта (в логарифмическом масштабе) на плоскости (ц — Ео, с) для низкоомного контакта. Более узкий и высокий пик туннельной проводимости учитывает вклад однопримесных туннельных резонансов, ассоциированных с КРПТ, проходящих через одну примесь.

s"3 Е0, эВ

энергетическая ширина

Рис. 2. Поверхность туннельных резонансов проводимости неупорядоченного контакта над плоскостью (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Случай низкоомного контакта (е)0 = 3 • 108 Ом-1 м- / Fig. 2. The surface of the tunnel resonances of the conductivity of a disordered contact above the plane (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Low-resistance contact <g)0 = 3 • 108 Ом-1 м-2

Увеличение туннельной проводимости в максимуме однопримесного резонанса по сравнению со случаем «пустого» контакта примерно полтора порядка, а его энергетическая ширина у1~10- эВ. Более низкий и широкий пик учиты-

Й

Й

2

Ц

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2

вает вклад двупримесных туннельных резонан-сов, ассоциированных с КРПТ, проходящими через две примеси. Увеличение проводимости в максимуме двупримесного резонанса примерно на порядок, а его характерная ширина у2~10-2 эВ. Резонансы, соответствующие га-примесным КРПТ (т > 3), не проявляются вследствие весьма малой вероятности их реализации.

0,0227 0,0199 0,0170 0,0142 0,0114

0,0085 0,0057 0,0028 0 / i / V 2 Е0, эВ

8

4,89 4,9 4,9 4,97 4,9 5,0 5,05 5,07 5,10

с

0,005 0,00438 0,00375 0,00313-= 0,0025 0,001870,00125 6,25-10-4 0

4,995

4,999

5 5,001 б

5,004

Е0, эВ

Рис. 3. Резонансы туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных

туннельных резонансов. Случай низкоомного контакта (g)0 = 3 - 108 Ом-1 м-2 / Fig. 3. Resonances of the tunneling conductivity of a disordered I-layer. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a low-resistance contact (g)0 = 3 - 108 Ом-1 м-2

На рис. 4, 5 приведены результаты аналогичного расчета для высокоомного контакта. Обратим внимание на чрезвычайно малую энергетическую ширину однопримесного резонанса

Yj ~ 10"5 эВ, что на два порядка меньше характерной ширины «сверхпроводящей» энергетической щели, используемой в дальнейших расчетах: Д = 10"3 эВ.

it )

„™ -L-' ! I

ты. ' - ■ - 1

Еп, эВ

Рис. 4. Поверхность туннельных резонансов проводимости неупорядоченного контакта над плоскостью (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Случай низкоомного контакта (g)0 = 3 • 105 Ом-1 м-2 / Fig. 4. The surface of the tunnel resonances of the conductivity of a disordered contact above the plane (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Low-resistance contact <g)0 = 3 • 105 Ом-1 м-2

с

0,014 0,0123 0,0105 0,0088 0,007 0,0053 0,0035 0,0018

0 4,97

Е0, эВ

4,985

5,015

5,03

с

0,00135

4,9997 4,99985

Ш

5

6

Е0, эВ

5,00015 5,0003

Рис. 5. Резонансы туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных

туннельных резонансов. Случай высокоомного контакта (е)0 = 3 - 105 Ом-1 м- / Fig. 5. Resonances of the tunneling conductivity of a disordered I-layer. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a high-resistance contact (g)0 = 3 - 105 Ом-1 м-2

а

5

а

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2

Поэтому в рамках рассматриваемой математической модели, где требуется Л < у , этот резонанс «не работает», и учитываются лишь двупримесные резонансы. Как и в случае низкоомного контакта га-примесные (га > 3) туннельные резонансы не проявляются на фоне проводимости «пустого» I-слоя.

На рис. 6, 7 для случая низкоомного контакта приведены результаты численных расчетов для относительных среднеквадратичных флук-туаций - интенсивности пространственного «шума» туннельной проводимости неупорядоченного контакта, усредненного на характерном масштабе решаемых задач - джозефсоновской

длине: v =(v

1/2

W X

2

12

, где w - пара-

метр корреляционной функции (13).

М1(ц - Eo, с)

Е0, эВ

0,015'

0,01

0,005

4,95

5,05

Е0, эВ

0,004'

0,002.

1 Е0, эВ

4,996 4,998 5

б

5,002 5,004

Рис. 7. Интенсивность пространственного «шума» туннельной проводимости неупорядоченного контакта. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных

туннельных резонансов. Случай низкоомного контакта / Fig. 7. The intensity of the spatial «noise» of the tunneling conductivity of a disordered contact. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a low-resistance contact

с

0

5

а

с

J

0

Рис. 6. Интенсивность пространственного «шума»

туннельной проводимости низкоомного неупорядоченного контакта / Fig. 6. The intensity of the spatial «noise» of the tunneling conductivity of a low-resistance disordered contact

Результаты расчетов показывают, что эти флуктуации малы: ||v|| ~ 10 2 . Таким образом, средняя туннельная проводимость (g рассматриваемого неупорядоченного контакта является хорошо определенной величиной на характерных пространственных масштабах решаемых задач.

На рис. 8, 9 приведены аналогичные результаты численных расчетов для высокоомного контакта.

Рис. 8. Интенсивность пространственного «шума» туннельной проводимости высокоомного неупорядоченного контакта / Fig. 8. The intensity of the «noise» of the tunneling conductivity of a high-resistance disordered contact

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2

0,015

0,01

0,005

8-10"4

6-10

4-10 2-10

Е0, эВ

4,998 4,99

5,01 5,0 22

б

Рис. 9. Интенсивность пространственного «шума» туннельной проводимости неупорядоченного контакта. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных

туннельных резонансов. Случай высокоомного контакта / Fig. 9. The intensity of the spatial «noise» of the tunneling conductivity of a disordered contact. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a high-resistance contact

Таким образом, основное уравнение математической модели (10) представляет собой нестационарное нелинейное стохастическое уравнение sin-Gordon, статистические свойства которого определяются соотношениями (11) - (13).

Литература

1. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применение. М.: Мир. 1984. 639 с.

2. Минеев М.Е., Фейгельман М.В., Шмидт В.В. Движение

джозефсоновского вихря в поле случайного потенциала // ЖЭТФ. 1981. Т. 81. С. 290 - 298.

3. Кирпиченков В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий на параметры джозефсоновского вихря // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 294 - 296.

4. Кирпиченков В.Я. Теория стохастического туннелирова-ния в неупорядоченных наноструктурах. М.: Экономическое образование, 2006. 193 с.

5. Лифшиц И.М, Кирпиченков В.Я. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 989-1016.

6. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Наука,

1987. 520 с.

7. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников: 2-е изд. М.: Наука, 2000. 397 с.

8. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. М.: Наука, 1970. 272 с.

с

c

5

References

1. Barone A., Paterno Dzh. Effekt Dzhozefsona. Fizika i primenenie [Physics and Applications of the Josephson Effect]. Moscow: Mir, 1984. 639 p.

2. Mineev M.E., Feigel'man M.V., Shmidt V.V. Dvizhenie dzhozefso-novskogo vikhrya v pole sluchainogo potentsiala [The motion of a Josephson vortex in the field of a random potential ]. ZhETF= Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1981, Vol. 81, pp. 290 - 298. (In Russ.)

3. Kirpichenkov V.Ya. Vliyanie kvantovykh rezonansno-perkolyatsionnykh traektorii na parametry dzhozefsonovskogo vikhrya [Influence of quantum resonant-percolation trajectories on the parameters of a Josephson vortex ]. ZhETF= Journal of Experimental and TheoreticalPhysics,2007, Vol. 132, pp. 294 - 296. (In Russ.)

4. Kirpichenkov V.Ya. Teoriya stokhasticheskogo tunnelirovaniya v neupo-ryadochennykh nanostrukturakh [The theory of stochastic tunneling in disordered nanostructures]. Moscow: Ekonomicheskoe obrazovanie, 2006, 193 p.

5. Lifshits I.M, Kirpichenkov V.Ya. O tunnel'noi prozrachnosti neupo-ryadochennykh system [Tunnel transparency of disordered systems ]. ZhETF= Journal of Experimental and Theoretical Physics ,1979, Vol. 77, pp. 989 - 1016. (In Russ.)

6. Abrikosov A.A. Osnovy teorii metallov [Fundamentals of the theory of metals]. Moscow: Nauka, 1987, 520 p.

7. Shmidt V.V. Vvedenie v fiziku sverkhprovodnikov [The physics of superconductors]. Moscow: Nauka, 2000, 397 p.

8. Kulik I.O., Yanson I.K. Effekt Dzhozefsona v sverkhprovodyashchikh tunnel'nykh strukturakh [The Josephson Effect in Superconductive Tunnel-ing Structures]. Moscow: Nauka, 1970, 272 p.

Поступила в редакцию /Receive 13 февраля 2018 г. /February 13, 2018