CC BY
10
Прикладная математика & Физика, 2020, там, 52, № 2, С. 71 85.
УДК 517.952 DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-2-71-85
МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ОПЕРАТОРНЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ МАТРИЦ
А. Г. Баскаков, И. А. Криштал, Н. Б. Ускова
(Статья представлена членом редакционной коллегии С. М. Ситником)
Северо-Осетипский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, г. Владикавказ, Северная Осетия Алания. 362025, Россия
Университет Северного Иллинойса, WH320 Department of Mathematical sciences, DeKalb, IL 60115, USA
Воронежский государственный технических университет, г. Воронеж, 394006, Россия
E-mail: anatbaskakovOyandex.ru, ikrislitalOniu.edu, nat-uskovaOmail.ru
Аннотация. В работе предложена и обосновывается модификация метода подобных операторов в случае, если па собственные значения певозмущешюго оператора по накладывается условие роста лакуп между ними. Эта модификация отлична от традиционной схемы, используемой, например, при исследовании оператора Хилла. Все выкладки приводятся па языке матриц операторов. В рассматриваемую схему укладываются, например, дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией, операторы Дирака. Ключевые слова: метод подобных операторов, дифференциальный оператор первого порядка, спектр, спектральный проектор.
Благодарности: Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект 19-01-00732. Для цитирования: Баскаков А. Г., Криштал И. А., Ускова И. В. 2020. Метод подобных операторов в спектральном анализе операторных бесконечных матриц. Прикладная математика & Физика, 52(2): 71 85. DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-2-71-85.
THE METHOD OF SIMILAR OPERATORS IN THE SPECTRAL ANALYSIS OF INFINITE OPERATOR MATRICES
A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova
(Article submitted by a member of the editorial board C M. Sitnik)
North Ossetian State University after K. L. Kliet.agurov, Nizlmy Novgorod, 603950, Russia
Northern Illinois University, WH320 Department of Mathematical sciences, DeKalb, IL 60115, USA
Voronezh state technical University, Voronezh, 394006, Russia
E-mail: anat.baskakovOyandex.ru, ikrisht.alOniu.edu, nat.-uskovaOmail.ru Received April 8. 2020
Abstract. Method of similar operators is a useful tool for studying the spectral properties of various classes of perturbed differential operators. In this paper, we exhibit, a modification of the method which applies for a large class of operators. In particular, the spectrum of the unperturbed operator is not. assumed to have increasing lacunas, which is a typical assumption for Hill operators. The method is presented in terms of the operator matrices. It. can be used, for example, for first, order differential operators with an involution, Dirac operators.
Key words: similar operator method, first, order differential operator, spectrum, spectral projection. Acknowledgements: The work is supported in part, by the Russian Federal Property Fund, project. 19-01-00732. For citation: Baskakov A. G., Krishtal I. A., Uskova N. B. 2020. The method of similar operators in the spectral analysis of infinite operator matrices. Applied Mathematics & Physics, 52(2): 71 85 (in Russian). DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-2-71-85.
1. Введение. В серии работ А. П. Хромова и М. Ш. Бурлуцкой (см. [Бурлуцкая. 2014]. [Бурлуцкая. Хромов. 2014] и библиографию в них) изучались спектральные свойства дифференциальных
операторов первого порядка с инволюцией и гладким потенциалом. Рассматривались различные места нахождения инволюции: при производной или при потенциале, а также различные краевые условия. Указанные операторы сводились к оператору Дирака. Другим, альтернативным, методом получения спектральных характеристик является метод подобных операторов. С его помощью получены результаты работ [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011], [Баскаков, Ускова, 2018], [Ускова, 2019], [Baskakov, Krishtal, Uskova , 2018], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019]. Однако в этих работах не было построено общей модификации метода подобных операторов, пригодной для применения к дифференциальным операторам первого порядка, как с инволюцией, так и других. Например, операторов Дирака или интегро-дифференциальных операторов первого порядка. Такая модификация появилась в [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019]. Но она опять получилась достаточно общей попыткой уложить в одну схему дифференциальные операторы, и первого и второго порядка, а также теорию расщепления линейных операторов. Поэтому необходимость появления общей и одновременно простой модификации метода подобных операторов, в которую идеально ложились дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией и операторы Дирака, осталась. Именно такая модификация и приводится ниже в данной работе. Еще раз подчеркнем, что данная работа не есть перевод на русский язык статьи [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019], хотя, безусловно, они имеют много общего. Главное их отличие в том, что в [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019] - более общая схема, а в данной работе - конкретная.
Все результаты исследования удобно в нашем случае проводить и формулировать в терминах операторных матриц рассматриваемых операторов.
Данная статья состоит из трех частей, перед читателем находится первая часть, состоящая из теоретических результатов. Во второй и третьей части будут собраны конкретные примеры применения общей схемы. Заметим, что они также отличается от работы [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019].
Перейдем к конкретной постановке задачи.
Пусть H - комплексное сепарабельное гильбертово пространство, и J - некоторое непустое подмножество из Z. Введем в рассмотрение нормальный линейный замкнутый оператор A : D(A) С H ^ H, имеющий плотную область определения D(A), спектр <r(A) и резольвентное множество р(А). Спектральным множеством будем называть замкнутое отделенное подмножество из <г(А). Напомним [Рудин У. 1975], что оператор A : D(A) С H ^ H называется нормальным, если D(A) = H и для оператора A* : D(A*) С H ^ H выполняются условия: D(A) = D(A*) и ||Ax|| = ||A*x|| для всех x G D(A).
Пусть оператор А имеет полупростые собственные значения An,n G J, конечной кратности, не превосходящей некоторого числа No G N. При этом всюду в статье считается выполненным условие
dist({An}, a(A)\{An}) > ß> 0 (1)
(условие разделенности спектра оператора А). Отметим, что из этих условий вытекает компакт-
A
Далее, для n G J, символом
Pn = P ({An}, A) (2)
обозначим проектор Рисса, построенный по одноточечному спектральному множеству
= {An},n G J, оператора А. Отметим, что совокупность ортогональных проекторов {Pn,n G J} образует дизъюнктную систему операторов, являющуюся разложением единицы, т. е. PmPn = 0 при m = n, и j Pnx = x, где ряд сходится безусловно для любого x G H.
Далее символом La(H) обозначим банахово пространство операторов, подчиненных оператору А. Линейный оператор B : D(B) С H ^ H отнесем к £a(H), если D(A) С D(B) и ||Bx|| < C(||x|| + ||Ax||), для всех x G D(A) и некоторого C > 0. Обычно, без ограничения общности, полагают D(B) = D(A). Норма в CA(H) задается формулой: ||ВЩ = inf{C > 0 : ||Bx|| < C(||x|| + ||Ax||) для любого x G D(A)}.
Символом End H будет обозначаться банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в H, с норм ой ||X || = sup ||Xx||,x G H,X G End H. Пространство EndH непрерывно
||x||<1
вложено в La(H), если D(A) = H.
Символом I обозначим тождественный оператор в End H, а символами Ik,k G J,I(m), m G Z+ — тождественные операторы в подпространствах Hk = ImPk,k G J, и H(m) = ImP(m), где P(m) =
Y^, Pi,m G Z+, соответственно.
|i| <m,iGJ
Отметим, что принадлежность оператора B пространству £a(H) означает ограниченность оператора B(A — AI)-1 ^да каждого A G p(A^. ^^и этом в La(H) можно ввести эквивалентные нормы, положив ||B||a = ||B(A — AI)-1| A G p(a).
В работе рассматривается оператор А — В, где В е СА(Н). Дополнительные условия на операторы А и В будут приведены в §2. К оператору А — В применяется метод подобных операторов [Баскаков, Ускова, 2018], [Вавкакоу, КпвЫ;а1, Шкота, 2018], [Вавкакоу, КпвЫ;а1, Шкота, 2019]. В основе метода лежит преобразование подобия исследуемого оператора к оператору вида
где ограниченный оператор Y есть решение некоторого нелинейного операторного уравнения (подробности см. в §3, 5). Преимущество oneратора A из формулы (3) заключается в том, что подпространства Hk, |k| > n,k G J и H(n), п G Z+, являются для него инвариантными.
Далее оператор A — B будем называть возмущенным оператором, оператор A - невозмущенным оператором, а оператор B - возмущением.
Метод подобных операторов имеет давнюю историю [Баскаков, 1983], [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011] и применяется для исследования различных классов дифференциальных и разностных операторов (см. [Баскаков, 1983], [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011], [Баскаков А. Г., Поляков Д. М. 2017], [Баскаков А. Г., Ускова Н. Б. 2018], Гаркавенко, Ускова, 2017. В данной работе приводится модификация метода подобных операторов для невозмущенного оператора у которого собственные значения «не разбегаются», в отличии от, например, работы [Баскаков, Поляков, 2017]. Это создает определенные трудности в применении метода подобных операторов. Поэтому приходится вводить некоторую весовую последовательность, отвечающую за скорость убывания матричных элементов оператора по строкам и по столбцам и получать условия применимости в терминах этой последовательности. Впервые весовая последовательность была введена в [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011], результаты статей [Баскаков, Ускова, 2018], [Ускова, 2019], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2018], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019], также получены с её использованием.
AB
ной матрицы и матрицы операторов [ Баскаков А. Г., 1997], [Baskakov., Krishtal, 2014], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019], соответствующие некоторому разложению единицы проекторами {Ej,j G J}.
Определение 2.1. Операторной матрицей X = (Xij)i,jej называется отображение X : J х J ^ EndH. При этом операторная матрица X = (Xij ) ассоциирована с разложением, единицы {Ej,j G J}, если Xij = PiXijPj, i,j G J.
Определение 2.2. Матрицей оператора X G LA(H) относительно разложения единицы проекторами {Pj,j G J}, определенными формулой (2), называется операторная матрица X = (Xij), для которой Xij = PiXP^ i,j G J.
Определение 2.2 корректно, так как PiXPj G EndH,i,j G J.
X { Pj , j G J} ,
деляет оператор X : D(X ) С H ^ H. При этом предполагается, что область определения опе-X X X
{ Pj , j G J}
ратор X : D(X) С H ^ H, полагая что x G H принадлежит D(X) и Xx = y G H, если Xnmx = XnmPmx безусловно сходится к y. Отметим, что если X G La(H), то его матрица
n,mGJ n,mGJ
(Xij), i,j G J, определяет оператор, являющийся расширением оператора X. Также заметим что, из равенства операторной матрицы пулю следует, что соответствующий оператор из La(H) пулевой. Кроме того, матрица (Aij),i,j G J, невозмущенного оператора A диагопальна и Aii = XiIi,i G J, Aij = 0 при i = j.
В настоящей работе все доказательства и результаты будут формулироваться в терминах матриц рассматриваемых операторов. Для простоты мы будем отождествлять оператор с его матрицей относительно введенной формулой (2) системы спектральных проекторов (проекторов Рисса) невоз-A
Далее нам потребуется понятие диагоналей оператора X G LA(H). Операторы Xp G LA(H),p G Z, определяемые матрицами
Матрицы Xp пазовем p-ми диагоналями оператора X из CA(H).
Ниже нами будет использоваться двусторонний идеал &2(H) С EndH операторов Гильберта-Шмидта. Через \\X\\2,X G &2(H) обозначим норму Гильберта-Шмидта.
Отметим, что для X из &2(H) его норму Гильберта-Шмидта можно выразить через норму матричных элементов формулой
(3)
|i|>n,i£J
i,j£J
Нужные нам свойства идеала 62(Н) можно найти в [Гохберг, Крейн, 1965], [12].
Перейдем к условиям на операторы ^В, накладываемым в данной работе для применения метода подобных операторов.
Напомним, что спектр ст(А) оператора А предстоим в виде <г(А) = и |Л„}. Полупростота
ие1
собственных значений Лп,п € 1 означает, в частности, выполнение равенств
АР„ = Л„Р„,п € 1. (5)
Далее будет считаться всюду выполненным условие:
вир Е Л - Л„|-2 < то. (6)
Отметим, что условие разделенности спектра (1) непосредственно вытекает из (6). Также считаются выполненными следующие условия: 1)
Е 11В«Н2 < то; (7)
¿е!
2)
3)
B
£ (ГА < и
^ (Ai — A,- )2
Е
i,,eJ
Е
BiiBij
A/ — A,
2
< то; (9)
2
4) для любого е > 0 существует такое число Ае G р(А), что
||B(A - AeI)-1|| < е. (10)
В некоторых случаях мы не будем проверять выполнение условия (7) (см. замечание 4.1). Отметим, что поставленные выше условия па операторы A и B автоматически выполнялись или предполагались в работах [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011], [Баскаков., Ускова, 2018], [Криштал, Ускова, 2019 ], [Ускова, 2019], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2018], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019].
B
Шмидта &2 (H) необходимо и достаточно выполнение условия
е IB-112 < то. (и)
¿,jeJ
При этом условия (7)—(10) выполняются автоматически и их проверка не проводится.
Замечание 2.2. Выполнение условия (7) означает, что оператор Bo, являющийся нулевой диагональю оператора B, принадлежит S2(H) опять же в силу (4). По поводу формул (8), (9) см. замечание 4.2.
3. Метод подобных операторов. Абстрактная схема. Различные преобразования подобия широко используются в математике, начиная с приведения конечных матриц к диагональной форме. История и обзор операторов преобразования изложены, например, в работе [Ситник, Шишкина, 2019].
Определение 3.1. Линейные операторы E1 : D(Ei) С H ^ H и E2 : D(E2) С H ^ H называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор V G EndH, такой, что VD(E2) = D(E^ u E1Vx = VE2x, x G D(E2). Оператор V называется оператором преобразования оператора E1 в оператop E2. Oneparnop V также иногда называют сплетающим, оператором.
Подобные операторы интересны и широко используются в связи с тем, что зная спектральные свойства одного оператора, можно получить соответствующие свойства другого оператора.
Лемма 3.1. Пусть операторы E1 : D(E1) С H ^ H и E2 : D(E2) С H ^ H подобны и E1V = VE2. Тогда:
1) их образы ImE1 u ImE2 связаны равенством ImE1 = V(ImE2);
2) их спектры и <r(E2) такие, что ct(E1) = ct(E2);
5J пусть e - собственный вектор onератора E2, E2e = Ае, тогда Ve — собственный вектор оператора E1, причем E1Ve = AVe;
4) пусть Q G EndH - спектральный проектор, построенный по некоторому спектральному множеству а оператора £2. Тогда спектральный проектор Q G EndH, построенный по спектральному множеству а для оператopa S1, определяется равенством
Q = VQV-1.
Немного затронем вопросы истории метода подобных операторов. Первоначально этот метод предложил К. О. Фридрихе [Данфорд, Шварц, 1974] для исследования возмущенных самосопряженных операторов с непрерывным спектром (метод Фридрихса). Р. Тернер развил метод Фридрихса (см. [Данфорд, Шварц, 1974]) для операторов с дискретным спектром. А. Г. Баскаков продолжил развитие метода Фридрихса с учетом идей Пуанкаре, Крылова, Боголюбова (см. [Баскаков, 1983], [Баскаков, Поляков, 2017], [Баскаков., Ускова, 2018]. В работах [Баскаков, 1985], [Баскаков, 1999] показана связь метода подобных операторов с заменой Крылова-Боголюбова. Отметим также, что метод подобных операторов имеет множество разновидностей. В данной работе основные положения метода будут излагаться в соответствии с [Баскаков, Ускова, 2018].
Мы далее будем называть трансформатором (термин М. Г. Крейна) оператор, действующий в пространстве операторов.
Основным понятием метода подобных операторов является понятие допустимой (для невозмущенного оператора) тройки. Она состоит из пространства М допустимых возмущений и двух трансформаторов J G End Ми Г : М ^ End H.
Определение 3.2.[Баскаков, Ускова, 2018] Для оператора А тройку (M,J, Г) назовем допу-M
условия:
1) М - банахово пространство со своей нормой У • ||*, непрерывно вложенное CA(H), т. е. существует постоянная c> 0 такая, ч то ЦХ ||A < еЦХ ||* для любо го X G М;
2) J и Г - ограниченные трансформаторы и J2 = J:
3) (ГХ)D(A) с D(А). Для любого оператора X из пространсmea М выполнено равенство
АГХх - ГХАх = (Х - JX)x, для каждого вектора х G D(A). Кроме то го, Y = ГХ - единственное решение уравнения
AY - YA = Х - JX, (12)
uJY = 0;
4) для любых операторов Х uY из М операторы Х Г^ (ГХ )Y также принадлежат М. Кроме того, существует постоянная y > 0, которая удовлетворяет неравенствам
||Г|| < yтх{ЦХ^||„ Ц(ГХ)Y||*} < 7||Х^Y||*; (13)
5) для всех X,Y из М: J ((ГХ )JY) = 0;
6) для любого оператора Х G М и произвольного с > 0 существует число Хе, которое принадлежит резольвентному множеству р(А) такое, что выполняется неравенство
ЦХ (А - XJ )-1|| <с. (14)
Замечание 3.1. Согласно [Баскаков, 1983] условие 6) можно сформулировать так: для любого Х GM, Im ГХ с D(Á)k АГХ G EndH.
Пусть тройка (M,J, Г) — фиксированная допустимая тройка для оператора А.
Теорема 3.1. [Баскаков, Поляков, 2017] Пусть B G М и выполнено неравенство
J||||B|UY< 0.25, (15)
то возмущенный оператор А - B подобен оператору А - JX,¥, где ХФ G М есть решение операторного уравнения
X = ВГХ - (ГХ)(JB) - (ГХ)J(ВГХ) + B = Ф(Х). (16)
Оператор X* может быть найден методом простых итераций, Х0 = 0, Х1 = B,.... Преобразование подобия оператора А - B в оператор А - JX* осуществляет обратимый оператор I + ГХ* G EndH и ГХ * G М. Отображе ние Ф : М ^ М является сжимающим в шаре {X GM : ЦХ - BU* < 3||B||*}.
B
мущений. В этом случае удобно сначала сделать предварительное преобразование подобия данного возмущенного оператора А - B в такой оператор А - B, где B уже есть элемент М.
Предположение 3.1. Для оператора B G LA(H) и пространства допустимых возмущений M существуют опера торы M, N G End H удовлетворяющие условиям:
1)I|N|| < 1;
2)ND(A) С D(A);
3)BN, NM G M;
4)ANx - NAx = Bx - Mx, x G D(A);
5) для любого e > 0 существует число Ле G p(A) такое, что ||B(A — Ле/)-1|| < е. Теорема 3.2. [Баскаков, Поляков, 2017] Пусть предположение 3.1 имеет место. Тогда оператор A — B подобен оператору A — M — С, где С = (I + N)-1(BM — NM) и справедливо равенство
(A — B)(1 + N) = (I + N )(A — M — С). (17)
Замечание 3.2. Отметим, что если М - двусторонний идеал в Еп^Н, то С € М. Если, более того, и М € М, тогда новое возмущение М + С также принадлежит пространству допустимых возмущений М.
Замечание 3.3. В [Баскаков, Поляков, 2017] и других работах, например, в [Вавкакоу, КпвЫ;а1, Шкота, 2019], Предложение 3.1 и теорема 3.2 сформулированы в других терминах.
В заключении параграфа сформулируем теорему, позволяющую ослабить условие (15) в частном случае 7В = 0.
Теорема 3.3. Пусть В € М и 7В = 0. Тогда если
3||7 ||||В|И< 1,
то оператор А — В подобен оператору А — , где ХФ € М - решение нелинейного операторного уравнения
X = ВГХ — ГХ 7 (ВГХ) + В,
и оно может быть найдено методом простых итераций, положив Х0 = 0, Х1 = В,....
4. Предварительное преобразование подобия. В рассмотренном нами случае в качестве
М=
62(Н) (или более узкое пространство, определенное в §5.2). Однако, в общем случае В € б2(Н), и поэтому необходимо сделать предварительное преобразование подобия оператора А — В, В € £А(#) в оператор А — ф, где Q € &2(Н).
Важно отметить, что если В уже принадлежит идеалу 62(Н), то предварительное преобразование подобия не требуется.
Подчеркнем еще раз, что основное и предварительное преобразования подобия мы будем строить с использованием матриц операторов, причем операторы часто будут отождествляется со своими матрицами. Подход к предварительному преобразованию подобия, изложенный ниже, отличается от [Вавкакоу, КпвЫ;а1, Шкота, 2019].
Определим два линейных оператора М и М, участвующих в предварительном преобразовании подобия, своими матрицами, положив М = (Му), N = (М^),г, 3 € 1 где
Му = ^= = 3' М, Л А" = ,г = 3 (18)
[0, г = 3, [0, г = 3.
Наряду с операторами М и N рассмотрим две последовательности операторов М(п) и N С") , п € Z+, положив
,Bij= (_Bj
(") - J Е> m„víl.1 I„-I1 ^ _ ЛГ(п) - J Ai-А.
i = j и min(|i|, |j|) > n,
M, = < Bij, max{|i|, |j|} < n, = v , (lg)
0, в остальных случаях,
0, в остальных случаях,
N(0) = N М(0) = М. Важно, что операторы М(п) — М и N(п) — N есть операторы конечного ранга. Операторы М, N, N С") и МСп), п € , есть операторы Гильберта — Шмидта. Действительно,
||М||2 = Е ||В<,и2 < то, (20)
¿е!
2 _ V^ llB»j II 2
2 ^ A - Л,-12'
¿,jeJ,¿=j 1 г j 1
Также очевидно, что
(BN)гз = £ BBt ^
ieJ,i=j 1 j
и, следовательно,
WBNWl = £ II £ B^Bt< ^ (23)
ij&J i=j,ieJ
Таким образом операторы М, М, ВМ принадлежат &2(Н).
Посчитаем матричные элементы коммутатора АМ — МА; учтем формулу (5):
Рг(АМ — МА)Р0 = (Лг — Л0)Мго = \, г = ^
[0, г = ].
АМ — МА
В — М, т. е. АМ — МА = В — М. Покажем, что М (В(А)) С В (А). Пусть Л0 € р(А), х € Б (А), тогда
х = (А — Ло1 )-1у, у € Н,
М(А — Л I) — 1 у _ ^^ _Рт^Ри_ _
ТГ* , (Лт — Лп)(Лп — Л0)
Е
n,m£j,n=m
Pm YPn \ л PmY Pn
^ , (Am - An)(Am - ^o) , (Am - A0)(An - ^
n,m£J ,n=m n,mGJ ,n=m
= (A - A0I)-1 Ny +(A - A0I)-1(B - M)x = (A - A0I)-1(Ny + (B - M)x) e D(A).
Для операторов M и N выполнены все условия предположения 3.1. Напомним, что условие 5) предположения 3.1 есть условие (9) на оператор B.
Заметим, что элементы матрицы оператора B(A - AeI)-1 имеют вид i,j e J, Ae e p(A).
Далее также будет использоваться следующая простая
Лемма 4.1. Для любого оператора X e &2(H) имеет место равенство:
lim "X - P(n)XP(n)Wi =0. Из теоремы 3.2 и леммы 4.1 вытекает
Теорема 4.1. Есть такое целое к > 0, что возмущенный оператор A - B подобен оператору
A - M(к) - C(k) = A - Q; C(к) = (I + N(k))(BN(к) - N(k)M(к)),
где C(k),N(к),M(k),N(k)M(к) e S2(H) и имеет место равенство
(A - B)(I + N(к)) = (I + N(k))(A - Q),Q e &2(H).
BM идеалу &2(H), в некоторых случаях можно обойти. Приведем простой пример.
Пусть B0 (нулевая диагональ оператора - возмущения B) определяется формулой B0 = b0I, b0 e С. Тогда M0 = b0I e S2(H). В этом случае отнесем оператор b0I к невозмущенному оператору. A A - b0I M = 0
M BN
ты которых определены формулами (18) и (22) соответственно, принадлежат идеалу операторов Гилберта-Шмидта &2(H). Поэтому в некоторых случаях удобнее вместо проверки неравенств (20) и (23) проверять принадлежность соответствующих операторов идеалу S2 (H). В таком случае усло-
B
проверяются.
5. Построение допустимых троек. В этом параграфе будут построены два различных семейства допустимых троек для невозмущенного оператора A с возмущением Q го идеал а &2(H). Если у невозмущенного оператора A собственные значения «разбегаются», т. е. lim dist({An}, a(A)\{An}) =
п^ж
ж, или норма WQII2 возмущения достаточно мала, то в качестве пространства допустимых возмущений можно использовать &2(H). В общем случае мы используем более «узкие» пространства Mq, построенные по возмущению Q. (см. §5.2)
5.1. Построение первого семейства допустимых троек (62(Я), , Гт). В этом пунк-
М
Шмидта 62(Я) го алгебры Еп^Я. Отметим, что можно считать А обратимым оператором, иначе, вместо А можно рассматривать оператор А — ^ € р(А). Допустимые тройки для А и А — будут одинаковыми.
Поскольку б2(Я) С Еп^Я с £А(Я), имеем ||Хх|| = ||ХА-1Ах|| < ЦХА-1!||Ах||, X € ©2(Я),х € ДА). Таким образом, ||Хщ < ||ХА-1||.
Перейдем к построению трансформаторов 7, Г € Епй(62(Я)). Для Х € 62(Я) определим трансформаторы 7Х и ГХ матрицами:
(7Х^ = ^ = = 3, (24)
[0, г = з,
Г
х»-
0, г = 3.
i = j
(ГХ)ij = { ^ = (25)
Очевидно, что 7Х = Е РпХРп и выписанный ряд безусловно сходится в 62(Н), ||7Х||2 =
пе!
Е |P¿XP¿|2 < ||Х||2, т. е. из Х € ©2(Я) следует, что 7Х € ©.(Я).
¿е!
Покажем, что ГХ € ©2(Я) для Х € ©2(Я). Действительно,
||гх||2 = Е #¿4^ < в. Е |Х|2 < ±||Х|2, (26)
^ |Aj - Л,|2 " в2 ^ j в2
где ß определено формулой (1).
Теорема 5.1. Тройка (S2(H), J, Г) является допустимой тройкой для оператора A. Доказательство. Доказательство теоремы аналогично доказательству леммы 3.5 из [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019].
Наряду с трансформаторами J, Г G End(S2(H)), введем в рассмотрение семейства трансформаторов Jk, Гк G End(©2(ff)), k G Z+, формулами
JfcX = P(k)XP(k) + E PiXPi,X G ©2(H) (27)
|i|>fc,ieJ
rfcX = ГХ - P(fc)rXP(fc) = Г(Х - JfcX), X G ©2(H), (28)
при этом J0X = JX, ГoX = Г^ Операторы JkX и ГкX, k G Z+, определены корректно, все вышеописанные ряды сходятся в S2 (H). Отметим, что операторы JX — JkX ГX — ГкX есть операторы конечного ранга. Поэтому имеет место
Теорема 5.2. Тройка (S2(H), Г^, JkX) является допустимой для оператора A тройкой при любом k G Z+.
Из теоремы 5.1 и теоремы 3.1 следует Теорема 5.3. Пусть оператор Q такой, что
IIQII2 < 4. (29)
Тогда оператор A—Q подобен оператору A—JX* = A—V, X*, V G S2(H), имеющему диагональную операторную матрицу. Имеет место равенство
(A — Q)(1 + = (I+ TX* )(A — V),
где оператор X* G S2(H) есть решение нелинейного операторного уравнения (16).
Отметим, что довольно жесткое условие (29) можно снять в том случае, если собственные зна-A
lim dist({A„},a(A)\{A„}) = то. (30)
Тогда рассматривается тройка (S2(H), Jn, Гп) и константа 7, аналогично (26), оценивается следующей величиной
Y = Yn = (dist({An},a(A)\{An}))-1,
при этом очевидно, что величину Yn можно сделать малой.
Теорема 5.4. При выполнении условия (30). Существует такое m e Z+ что оператор A - Q подобен оператору блочно-диагонального вида A - V и
(A - Q)(I + rmX*) = (I + rmX*)(A - V),
где операторы V, X* e &2(H) и X* есть решение нелинейного операторного уравнения (16) с трансформаторами Jm, Гт e End(&2(H)), определенным формулами (27), (28). Из теорем 5.3, 5.4, 4.1 вытекает
A- B
подобен оператору A - V,V e &2(H), имеющему матрицу диагонального (блочно-диагонального)
A - B A- V
(I + M (k))(I +rmX*)= I + Ukm,
где Ukm e &2(H).
Отметим, что для оператора Дирака из [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011], [Ускова, 2019] или дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией из [Баскаков, Ускова, 2018], [Криштал, Ускова, 2019 ], [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2018] предположения теорем 5.3 и 5.4 не выполнено в общем случае. Поэтому для них строится другое семейство допустимых троек.
5.2. Построение допустимой тройки (Mq, Jk, Гк). Ниже будут использоваться пространства допустимых возмущений Mq. По любому ненулевому оператору X e S2(H) построим двустороннюю последовательность вещественных чисел вида
an(X) = "X W-2 max|( £ ||PkX Щ)1, ( £ ||XPk Щ)1 l ,n e Z. (31)
[ |k|>n,keJ |k|>n,keJ J
Последовательность (an(X))nez обладает следующими свойствами:
1) an(X)= a-n(X),n e Z;
2) | lim an(X) =0,n e Z;
3) an(X) < 1 для всех n e Z;
4) ari(X) > an+1(X),n > 0;
5) an(X) = 0 для bc ex n e Z, тел и P(m)XP(m) = X для всех m e Z+
6) конечна величина
^lIXPrS + HXPrS
nJ (an(X))2
Без ограничения общности в дальнейшем будем считать, что P(n)QP(n) = 0 для всex n e Z+
Для любого оператора X e &2(H) также зададим самосопряженный компактный оператор F:
Fx = Y an(X )pn,
neJ
FX € End H — функция от нормального оператора A и \\FX = max lan(X)| = 1.
Пусть Fq = F. Введем множество операторов Mq С &2(H), представляемых в виде
X = XiF, X = FXr,
где Xi,Xr € &2(H ^дим в Mq норму \\X\\mq = max{\\Xi\\2, \\Xr Ы, \\X\\2 < \\X\\mq ,X € Mq.
Из свойства 5) последовательности (an(X))nez следует, что Mq является банаховым пространством.
Очевидно, что любой оператор X из &2(H) можно записать как
X=<Y опт Xpn)Fx = Fx annm pnX )-
пез ' 4 у пез
Следовательно, Q € Мд.
Отметим, что последовательность а : Z ^ М+ характеризует скорость убывания матричных элементов оператора X € &2(Н) по строкам и столбцам.
Поскольку Мд С &2(Н), то трансформаторы 7к и Гк,к > 0, задаваемые формулами (24), (25), (27), (28), определены и для операторов из Мд. Более того,
Л (Х^) = ^Хг) = F (1к Хг),
Г(Х F) = (Гк X,)F, Г/ (FXr) = F (rfcXr),
где Xr e ©2(H).
Для оценки норм ||Гк(XF)||2 и ||Гк(FX)||2,X e ©2(H), рассмотрим две последовательности («П),n e N и («П),п e N, определенные формулами
«П+1 = max{A,d-1, l, j e J, |1| < n, |j| > n}, (32)
On' = (в-1ап + «П), n e N, (33)
где dj = dist(<7j, oj), г, j e J Последовательности («П) и («n) принадлежат пространству сходящихся к нулю последовательностей, т. е.
lim «П+1 = lim «П = 0. (34)
Аналогично [Баскаков, Дербушев, Щербаков, 2011, Лемма 3] доказывается Лемма 5.1. Для каждого k e Z+ и X e ©2(H) имеют место оценки
max{||rfc(XF)||2, ||Г/(FX)Ы < 4+JX||2.
Теорема 5.6. [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019, Proposition 3.7] Тройка (Mq, Jk, Гк) является допустимой тройкой для невозмущенного оператора А для любого k e Z+ и постоянная y = Yk из определения 3.2 допускает оценку
Yfc < «к+ъ k e Z+. Из теоремы 5.6 и теоремы 3.1 следует
Теорема 5.7. Пусть целое k > 0 такое, что выполняется равенство
4«4+1||Q||mq < 1. (35)
Тогда оператор А — Q подобен блочно-диагональному оператору А — J^X* = А — P^X^P^) — £ PiX.Pi, = А — V, где X
* e Mq — решение нелинейного уравнения (16). Оператор преобразо-
|i|>fc,ieJ
вания А — Q в оператор А — V есть оператор I + TX*, rX* e Mq с ©2(Я).
Теорема 5.8. В условиях теоремы 5.7 исходный оператор А — В подобен оператору А — V, где V принадлежит ©2(H) и имеет матрицу блочно-диагонального вида. Оператором преобразования А— В А— V
(I + M(/))(I + rmX*) = I + Ufcm,Ufcm e ©2(Я),X* e ©2(H), m > 0.
А — В.
6.1. Оценки спектра. Из теорем 5.5 и 5.7 следует очевидная
Лемма 6.1. <г(А — В) = <г(А — V) = <г(А — Р(т)ХФР(т) — Е P¿X*P¿), где X* - решение
>т
операторного уравнения (16).
Особо подчеркнем, что оператор А — V имеет блочно-диагональный вид, что существенно облегчает исследование его спектральных свойств.
А—В
объединения взаимно пересекающихся конечных множеств <г(т), |г| > ш, причем
<^т) = ^((А — Р>Х*)|Я(т) ) = ^^т)^ Я(т) = ^^т^
^ = а((А — P¿XФ)|я.) = ^¿), Я¿ = |г| > ш, г € 1,
a(A - B)= a(Ä(m)) U I J a(Ái) = ä(m) U I J
|i|>m,iGJ J \|i|>m,iGJ
Доказательство. Для доказательства равенства (36) необходимо проверить два включения
a(A - B) С cr(m) U I У ctí I ,
\|i|>m,ieJ )
'"(т) и ( U ) С a(A - B).
Ji|>m,ieJ /
Оператор A — V перестановочен то всеми операторами P(m), Pi; |i| > m и пространства H(m), |i| > m является для него инвариантными.
Из компактности резольвенты оператора A — V следует компактность резольвенты оператора A — B. Поэтому если Ао G <r(A — V), то существует собственный вектор x0 G D(A) такой, что (A — V)x0 = A0x0. Следовательно, имеют места равенства
A(m)P(m)X0 = A0P(m)X0, AjPjX0 = A0X0, |i| > m + 1. Система проекторов P(m),Pj, |i| > m образует разложение единицы: x = P(m)X + ^ PjX? x G
|i|>m
хотя бы один из векторов P(m)X0, PjX0, |i| > m ненулевой. Следовательно, А0 — собственное значение каждого из операторов A(m), A^ |i| > m.
Пусть A0 G ct(A;) для некоторого |1| > m, тогда A;Px0 = A0Px0,x0 G D(A) - соответствующий вектор. Применим оператор A — V к вектору x0 = рx0, |1| > m, (A — V)x0 = (A — P(m)X*P(m) — ^ PjX*Pj)P;X0 = (AP; — pxp)P;X0 — A;P;X0 = A0PX0. Лемма доказана.
|i| >m
Замечание 6.1. В общем случае спектр оператора E с блочно-диагональной матрицей может не совпадать с объединением спектров его блоков Ej и даже с его замыканием. Приведем простой E
\
0 1
0 0
0 0
0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0
0 10 0
0 0 0 01 0
0 00 1
0 00 0
\
/
спектральный радиус равен единице, и <г(Е:) = {0}, г € 1.
Из леммы 6.2 следует, что важной задачей является вычисление спектра операторов А:, |г| > к, г € 1.
Вернемся к оператору X* - решению нелинейного операторного уравнения (16) и оценим его блок Р:Х*Р:, который и используется далее в спектральном анализе. Имеем:
Pi + PjQPj,
откуда
рх*р = р дР + рдгтдр + рдгт(х - д)Р = рдр + То:,
где оператор Т0: принадлежит идеалу ядерных операторов 61(Я). Отметим также, что из теоремы 4.1 следует, что
рдр = РВР + Р(/ + N(Й))-1(ВЖ- N(Й)М(Й))Р = рвр + РРЖ(й)р + Ти,
|г| >Л,Тц € 61 (Я). Поэтому, собирая все вместе, получим равенства
РХ*Р = РВР + РВЖ«Р + Т:, Т € б^Я).
Напомним также, что элементы матрицы ВЖопределены формулой (18), и, следовательно, при |г| > таж{к, т} имеют место равенства
ВиВи
Pi BN (k)Pj = Y
;Aj — Aj
Определение 6.1. Число A, определенное формулой
1 n
A = П E Aj,
n < J
называется взвешенным средним значением собственных значений Ai, Л2,..., А„.
Перед тем, как сформулировать основной результат данного параграфа, введем следующее обозначение: = dim/mPj, i € J, и пусть матрицы PjBPj и PjBN (к)Р, , i € J, |i| > m, состоят из элементов b^j, 1 — n, j — ^ и bj, 1 — n, j — ^ соответственно.
Теорема 6.1. Имеет место следующее асимптотическое представление:
1 ii 1 ii
Ai = Ai - 1 Е bL - 1 Е bL + А, где ft € MJ). (36)
n=i n=i
Доказательство. Подпространства ImPi, |i| > m, конечномерны, а в конечномерном подпространстве спектральный след равен матричному.
Следствие 6.1. Если dimImPi = 1, |i| > m, i € J, то для каждого из собственных значений л«, |i| > m исходного оператора A — В имеет место асимптотическая формула
Ai = Ai — bii — Е ^г" + А, где ei € ¿i(J). (37)
i=i Ai - Ai
Результат теоремы 6.1 можно сформулировать несколько иначе, в русле работы [Баскаков, Поляков, 2017]. Приведем соответствующую формулировку. Для этого нам понадобится последовательность матриц
*„ = PiBPi + PiBN«Pi = Ви + Е BBT.
Ai — Ai
i=i
Теорема 6.2. Имеет место оценка
1 ii
Е о^Е ^— Ап|2 < ^
|n|>fc n i=i
где А„, |n| > k, - собственные значения невозмущенного оператора A, Anji - собственные значения блока Pn(A — X»)P„ и последовательности а : Z ^ R определена формулой (31). Более того,
^n = |А„ — ^(Ф„)} , |n| > k,
и Фп есть такая матрица, что последовательности
|А(Ф„) — А(Ф„)|, |n| >k,
суммируема.
A—B
зование подобия (другими словами, если возмущение В изначально принадлежало идеалу S2(H)), то формулы (36) и (37) перепишутся в виде
1 ii
Ai = Ai — гЕ ЬПп + ¿i, (38)
n -I
n=i
Ai = Ai — bü + ¿i, (39)
где последовательность ¿i принадлежит ^i(J).
В формулах (38) и (39) учтено, что оператор ВГХ* принадлежит öi(H), если В € 62(H). 6.2. Оценки спектральных проекторов. В этом параграфе изложение проводится в условиях подобия оператора A—В оператору A—Q, Q € 62(H). Напомним, что символом Pi51 € J, обозначены спектральные проекторы невозмущенного оператора A из формулы (2), P(k) = £ P«. Обозна-
|i|<fc,iei
чим через Pn, |n| > k, спектральные проекторы оператора A — В, построенные по спектральным множествам а„ го леммы 6.2, P(fc) = £ Pi. Мы приходим к двум разложениям единицы:
lilCfc
I = + Е Pi, I = P(k) + E Pi.
|i|>fc |i|>fc Отметим, что Pi = (I + Ufcm)Pi(I + Ufcm)-i, P(fc) = (I + Ufcm)P(fc)(I + Ufcm)-i. Откуда
Pi — Pi = (UfcmPi — PiUfcm)(I + Ufcm)-i € ©2(H), (40)
P(k) - = (UfcmP(fc) - P(fc)Ufcm}(/ + Ufcm)-1 e ©2(H).
Для любого подмножества О e Z\{-k,..., -1, 0,1,..., k} (не обязательно конечного) через P(О) обозначим спектральные проекторы P(О) = ^ P¿, Р(О) = ^ Pj. Очевидно, что Р(О) — P(О) =
jeqnj jeqnj
(UkmP(О) — P(Q)Ukm)(/ + Ukm)-1 e 62(H). Для любого оператора X e 62(H) определим величину
а(О,Х) = maxan(X), О С Z,
где последовательность а : Z ^ R определена формулой (31). Отметим, что даже в случае использования первой допустимой тройки (S2(H), J(k), Г(к)) для оценки проекторов удобнее брать последовательность а : Z ^ R.
Лемма 6.3. [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019]. Имеет место оценка
rnax{||UfcmP(О)||, ||P(fi)Ufcmy} < C(Ufcm)a(fi, Ufcm).
Теорема 6.3. [Baskakov, Krishtal, Uskova, 2019]. Имеет место оценка
||P(Q) - P(О)|2 < a(fi,Q)C(Ufcm,Q),
где константа C(Ukm, Q) > 0 не зависит от О.
Доказательство теоремы 6.3 вытекает из (40) и леммы 6.3.
Список литературы
1. Баскаков А. Г. 1985. Метод усреднения в теории возмущений линейных дифференциальных операторов. Дифференц. уравнения, 21(4): 555-562.
2. Баскаков А. Г. 1983. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. Сиб. матем. жури., 24(1): 27-39.
3. Баскаков А. Г. 1997. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов. Изв. РАН. Сер. Матем., 61(6): 3-26. DOI: https://doi.org/10.4213/iml64
4. Баскаков А. Г. 1999. Об абстрактном аналоге преобразования Крылова-Боголюбова в теории возмущений линейных операторов. Функц. анализ и его прил., 33(2): 76-80.
DOI: https://doi.org/10.4213/faa357
5. Баскаков А. Г., Дербушев А. В., Щербаков А. О. 2011. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Дирака с негладким потенциалом. Изв. РАН. Сер. матем., 75(3): 3-28. DOI: https://doi.org/10.4213/im4202
6. Баскаков А. Г., Поляков Д. М. 2017. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом. Матем. сб., 208(1): 3-47.
DOI: https://doi.org/10.4213/sm8637
7. Баскаков А. Г., Ускова П. Б. 2018. Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов. Уфимск. матем. жури., 10(3): 11-34.
8. Бурлуцкая М. Ш. 2014. О смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка с инволюцией и с периодическими краевыми условиями. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54(1): 3-12. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466914010050
9. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. 2014. Смешанная задача для простейшего гиперболического уравнения первого порядка с инволюцией. Изв. Сарат. ун-та. Нов. серия. Сер. Математика, Механика, Информатика, 14(1): 10-20. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2014-14-l-10-20
10. Гаркавенко Г. В., Ускова Н. Б. 2017. Метод подобных операторов в исследовании спектральных свойств разностных операторов с растущим потенциалом. Сиб. электр. матем. изв., 14: 673689. DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.058
11. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. 1965. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М., Наука, 448 с.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. 1974. Линейные операторы. Спектральные операторы, Т. 3. М., Мир, 662 с.
13. Криштал И. А., Ускова Н. Б. 2019. Спектральные свойства дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией и группы операторов. Сиб. электр. матем. изв., 16: 1091-1132. DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.076
14. Рудин У. 1975. Функциональный анализ. М., Мир, 449 с.
15. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. 2019. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя. М., Физматлит, 220 с.
16. Ускова Н. Б. 2019. Спектральные свойства оператора Дирака с негладким потенциалом общего вида и группы операторов. Дифференц. уравнения, 55(8): 1154-1158.
DOI: 10.1134/S0374064119080132
17. Baskakov A. G., Krishtal I. А. 2014. Memory estimation of inverse operators. J. Funct. Anal., 267: 2551-2605. DOI: https://doi.Org/10.1016/j.jfa.2014.07.025
18. Baskakov A. G., Krishtal I. A., Uskova N. B. 2018. Linear differential operator with an involution as a generation of an operator group. J. Oper. Mai г.. 12(3): 723-756. DOI: 10.7153/oam-2018-12-43
19. Baskakov A. G., Krishtal I. A., Uskova N. B. 2019. Similarity techniques in the spectral analysis of perturbed operator matrices. J. Math. Anal. Appl., 477: 930-960.
DOI: https://doi.Org/10.1016/j.jmaa.2019.04.050
References
1. Baskakov A. G. 1985. The averaging method in the theory of perturbations of linear differential operator. Differ. Equ., 21(4): 555-562. (in Russian)
2. Baskakov A. G. 1983. Methods of abstract harmonic analysis in the perturbation of linear operators. Siberian Math. J., 24(1): 17-32. (in Russian)
3. Baskakov A. G. 1997. Estimates for the elements of inverse matrices and the spectral analysis of linear operators. Izv. Math., 61(6): 1113-1135. DOI: 10.1070/IM1997v061n06ABEH000164. (in Russian)
4. Baskakov A. G. 1999. An abstract analog of the Krylov-Bogolyubov transformation in the perturbation theory of linear operators. Funct. Anal. Appl., 33(2): 144-147.
DOI: 10.1007/BF02465196. (in Russian)
5. Baskakov A. G., Derbushev A. V., Shcherbakov A. O. 2011. The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izv. Math., 75(3): 445-469. DOI: 10.1070/IM2011v075n03ABEH002540. (in Russian)
6. Baskakov A. G., Polyakov D. M. 2017. The method of similar operators in the spectral analysis of the Hill operator with nonsmooth potentials. Sb. Math., 208(1): 1-43.
DOI: 10.1070/SM8637. (in Russian)
7. Baskakov A. G., Uskova N. B. 2018. Fourier method for first order differential equations with an involution and groups of operators. Ufa Math. J., 10(3): 11-34. DOI: https://doi.org/10.13108/2018-10-3-11. (in Russian)
8. Burlutskaya M. Sh. 2014. Mixed problem for the first-order partial differential equation with involution and periodic boundary conditions. Comput. Math. Math. Phys., 54(1): 1-10. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542514010059. (in Russian)
9. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. 2014. Mixed problem for simplex hyperbolic first-order equations with involution. Izv. Saratov Univ. (N.S.). Ser. Math. Mech. Inform., 14(1): 10-20 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2014-14-l-10-20
10. Garkavenko G. В., Uskova N. B. 2017. Method of similar operators in research of spectral properties of difference operators with growing potential. Siberian Electronic Math. Reports, 14: 673-689 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.058
11. Gohberg I. Ts., Krein M. G. 1969. An introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators in Hilbert space. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 378. (in Russian)
12. Dunford N., Schwartz J. T. 1973. Linear operators. Spectral operators. V. III. New York, Pure and Applied Mathematics, VII, Wiley-Interscience, 688 p. (in Russian)
13. Krishtal I. A.. Uskova N. B. 2019. Spectral properties of first-order differential operators with an involution and groups of operators. Siberian Electronic Math. Reports. 16: 1091 1132. DOI: https://doi.org/10.33048/sonii.2019.1G.07G. (in Russian)
14. Rudin W. 1973. Functional analysis. McGraw-Hill book company. 448. (in Russian)
15. Sitnik S. M.. Shishkina E. L. 2019. The transmutation method for differential equations with a Bessol operator. Fizmatlit. 220 p (in Russian).
16. Uskova N. B. 2019. Spectral properties of the Dirac Operator with a nonsmooth potential of the general form and operator groups. Differ. Equ., 55(8): 1154 1158.
DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266119080135. (in Russian)
17. Baskakov A. G.. Krishtal I. A. 2014. Memory estimation of inverse operators. J. Funct. Anal.. 267:2551 2605. DOI: https://doi.Org/10.1016/.j.jfa.2014.07.025
18. Baskakov A. G.. Krishtal I. A.. Uskova N. B. 2018. Linear differential operator with an involution as a generation of an operator group. J. Oper. Matr.. 12(3): 723 756. DOI: 10.7153/oam-2018-12-43
19. Baskakov A. G.. Krishtal I. A.. Uskova N. B. 2019. Similarity techniques in the spectral analysis of perturbed operator matrices. J. Math. Anal. Appl.. 477: 930 960.
DOI: https://doi.Org/10.1016/.j.jniaa.2019.04.050
Получена 08.04.2020
Баскаков Анатолий Григорьевич профессор, ведущий научный сотрудник Севоро-Осетинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова
ул. Ватутина. 44 46. г. Владикавказ. Северная Осетия Алания. Россия. 362025 E-mail: anatbaskakoviöyandex.rn
Криштал Илья Аркадьевич кандидат физико-математических наук, доцент, профессор Университета Северного Иллинойса
WH320 Department of Mathematical sciences. DeKalb. IL. USA. 60115 E-mail: ikrishtafönin.edn
Ускова Наталья Борисовна кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Воронежского государственного технического университета ул. 20 лет Октября. 84. г. Воронеж. Россия. 394006 E-mail: nat-uskova®niail.ru
