Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 3 (2018). С. 11-34.

УДК 517.927

МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

А.Г. БАСКАКОВ, Н.Б. УСКОВА

Аннотация. Изучается смешанная задача для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией. Она записывается с помощью дифференциального оператора с инволюцией, действующего в пространстве суммируемых с квадратом модуля на конечном промежутке функций. Строится преобразование подобия этого оператора в оператор, являющийся ортогональной прямой суммой оператора конечного ранга и операторов ранга 1. Методом исследования является метод подобных операторов. Теорема о подобии служит основанием для построения групп операторов, генератором которой является исходный оператор. Выписываются асимптотические формулы для групп операторов. Построенная группа позволяет ввести понятие слабого решения, а также описать слабые решения рассматриваемой задачи.

Она служит для обоснования метода Фурье. Устанавливается почти периодичность ограниченных слабых решений. Доказательство почти периодичности основывается на полученном асимптотическом представлении спектра дифференциального оператора с инволюцией.

Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр, смешанная задача, группа операторов, дифференциальный оператор с инволюцией.

Mathematics Subject Classification: 34L15, 34В09, 47Е05

1. Введение и основные результаты Изучается смешанная задача для гиперболического уравнения с инволюцией

Ы _ дз - 'и(8)и(г,ш - S),

и(Ь, 0) _ и(Ь, ш), и(0, в) _ р(в),

г еЗ, 8 е [0,^],

(1)

где символом 3 обозначается один из промежутков вида (-то, то), (-то,Д], [а,0], [а, то). Всюду предполагается, что рассматриваемый промежуток содержит точку нуль.

A.G. Baskakov, N.B. Uskova, Fourier method for first order Differential equations with

involution and for croups of operators.

© Баскаков А.Г., Ускова Н.Б. 2018.

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках проектной части госзадания (проект 1.3464.2017/4.6). Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01-00197). Поступила 29 июня 2017 г.

Наряду с однородной задачей (1) рассматривается соответствующая неоднородная задача

' т = т - ^м^ - *) + / (М), ^иЦ, о) = и(г,ш), ^

и(0, в) =

г eJ, в е [0,^].

Для постановки задачи введем в рассмотрение следующие функциональные пространства, Символом Ь2 = Ь2[0,ш] обозначено гильбертово пространство измеримых по Лебегу па [0, ш] со значениями в С суммируемых с квадратом модуля (классов эквивалентности) функций. Скалярное произведение в Ь2 задается формулой

1

(х,У) = ~ x{s)y{s) ds, х,у е L2, и J 0

и норма порождается этим скалярным произведением.

Пространство L2 изометрически изоморфно гильбертову пространству Ь2,ш = Ь2,ш (R, C) периодических периода определенных на всей оси R суммируемых с квадратом модуля па [0, ш\ комплексных функций. В дальнейшем каждая функция х е L2 будет отождествляться с ее периодическим периода ш продолжением на R,

Через W2, = W2;[0,u\ обозначим пространство Соболева абсолютно непрерывных функций из L2 с производными из L2 и скалярным произведением (%,y)w1 = (х,у) + (х',у') х,у е W21.

Далее символом End Н обозначена банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в абстрактном гильбертовом пространстве Н, с нормой ||X= sup ||Хж||, х е Н, X е End Н, Введем в рассмотрение двусторонний идеал опе-1М1<1

раторов Гильберта-Шмидта &2(Н) го алгебры EndН. Через ||Х||2 обозначим норму оператора Гильберта-Шмидта X е &2(Н), т. е, ||Х||2 = (tr (XX*))1/2, Здесь tr (XX*) — след оператора XX*, принадлежащего двустороннему идеалу &1(Н) ядерных операторов из

EndН (см. [1]) с нормой ||Х||1 = tr (XX*) = sn, где (sn) — последовательность s-чнсел

пе z

оператора X. Формула (X,Y) = tr (XY *), X,Y е &2(Н), задает скалярное произведение в &2(Н).

В статье предполагается, что потенциал v принадлежит пространству L2. В дальнейшем, символом С (J, L2) обозначим линейное пространств о функций и : J х [0,ш\ ^ C со следующими свойствами. При фиксированном t е J функция s м- u(t, s) принадлежит пространству L2. Кроме того, предполагается непрерывность функции

и : J^ L2, u(t)(s) = u(t,s), t еJ, s е [0,w\.

Если J — конечный промежуток, то про страпство С (J ,L2) является банаховым, В этом случае в качестве нормы берется величина ||и||те = max ||tt(i)||2. Функцию и назовем ассоциированной с функцией и, и они будут отождествляться.

Всюду в рассматриваемой неоднородной задаче (2) функция f : J х [0,ш\ ^ C считается принадлежащей пространству С (J ,L2),

Отметим серию работ [2]-[5], в которых смешанная задача (1) рассматривалась с гладким потенциалом v : [0,ш\ ^ C, В этих работах резольвентным методом (с помощью контурного интегрирования) рассматривалась задача обоснования метода Фурье для однородной задачи (1), Также изучалась асимптотика собственных значений и равносходимость спектральных разложений для дифференциального оператора L, определяемого задачей (1), Мы определим этот оператор несколько позже.

Дифференциальные операторы второго порядка с инволюцией изучались в статьях[6]-[8]. В работе [8] приведен полный библиографический обзор результатов по

равносходимости спектральных разложений для операторов первого и второго порядка с инволюцией.

Качественный анализ решений краевых задач для уравнений первого и второго порядка с инволюцией приводился в [9] [13]. Свойства базиеноети корневых функций рассматривались в [14]. Оператор, порожденный дифференциальным выражением второго порядка с инволюцией при производной, изучался в [15], [16].

Спектральные свойства оператора L (асимптотика собственных значений и оценки равносходимости спектральных разложений) для системы дифференциальных уравнений с инволюцией были получены методом подобных операторов в [17]. В данной работе методом исследования также является метод подобных операторов. Отметим также статьи [18]—[22], в которых развивался метод подобных операторов.

Операторы с инволюцией возникают в теории фильтрации, теории прогнозирования и при изучении субгармонических колебаний [23] [26].

Задачи (1) и (2) в гильбертовом пространстве L2 записываются соответственно в виде

u't = Lu, и( 0) = (3)

J = Lu + J, u(0) = tp. (4)

Оператор L : D(L) С L2 ^ L2, из уравнений (3), (4), задается формулой

(Ly)(S) = ^ - v(s)y(u - s), s Е [0, ш\. (5)

Его область определения D(L) задается периодическими краевыми условиями

D(L) = {у Е W2 : у(0) = у(ш)}. (6)

Сформулируем определения, связанные с понятием решений рассматриваемых задач Коши (1), (2).

Определение 1. (¡27}) Классическим решением задачи (2) называется непрерывно дифференцируемая функция и : J х [0,ш\ ^ C, принадлежащая пространству С (J ,L2), такая, что ассоциированная, с ней функция и : J ^ L2 является, непрерывно дифференцируемой, для, любого t Е ^удовлетворяет условию u(t) Е D(L) и уравнению (4)-

Определение 2. (|27, § 3.1 \) Функц ия и Е С (J ,L2) называется, слабым, решением (mild solution) задачи (4), если J0 u(s) ds Е D(L) для, любо го t Е J и

J(t) = р + L J(s) ds + f(s) ds, t Е 3, Jo Jo

где интегралы Римана рассматриваются, для, непрерывных функций, определенных на, J со значением в гильбертовом, пространстве L2.

Из определения 1 естественным образом следует

Определение 3. Классическим, решением задачи, (1), где р Е называется, функция и : Jx [0, ш\ ^ C, принадлежащая пространству С (J, L2), такая, что ассоциированная с ней функция J : J ^ L2 является, непрерывно-дифференцируем,ои и удовлетворяет задаче (1).

Определение 4. Функция и : J ^ L2 называется, слабым, решением (mild solution) задачи (1), если она, является, равномерным пределом, (на, каждом конечном промежутке из J) классических решений (Jn), п ^ I, для которых Jn(0) = рп Е W2, п ^ 1, где lim = р.

Определение 5. Говорят, что задача, (1) равномерно корректна, если для, любого начального условия р Е L2 существует единственное слабое решение х Е С (J ,L2), удовлетворяющее условию J(0) = р.

Близкое определение корректной задачи для абстрактного дифференциального уравнения с постоянным операторным коэффициентом дано в монографии [28, Гл. II, § 3]. Отметим, что определение равномерно корректной разрешимости задачи (1) эквивалентно тому, что оператор L является генератором сильно непрерывной группы операторов.

Решающую роль в данной статье для обоснования метода Фурье для уравнения с инволюцией будет иметь использование теории полугрупп операторов.

Теорема 1. Задача (1) равномерно корректна. Дифференциальный оператор L является генератором некоторой сильно непрерывной группы операторов

Т : R ^ End L2.

Каждое классическое решение и G С(J,L2) задачи, (1) задается, формулой

u(t,s) = (T(t)tp)(s), s G [0,w], t Gj, (7)

где p G W2, и ^(0) = р(ш). Каждое слабое решение записывается, в виде (7), где p G L2.

Благодаря применению метода подобных операторов, теорема 1 далее будет существенно усилена (теоремы 6-8), Следует отметить, что теорема 1 (по крайней мере для ограниченной функции v) может быть получена на основе общих теорем о возмущенных полугруппах (группах) операторов (см, [29], [30]),

Замечание 1. Из [27, Proposition 3,1,16] следует, что любое слабое решение и G С(J,L2) задачи, (2), записанной в виде (4), допускает представление

û(t) = T (t - to)û(to) - Î T (t - r )f(r ) dr, t, to G J, (8)

Jto

где T : R ^ End L2 — группа операторов из теоремы 1, генератором которой является, оператор L.

Из замечания 1 вытекает, что следующее определение классического решения эквивалентно определению 1,

Определение 6. Классическим, решением задачи, (2) называется, функция и G С (J ,L2), удовлетворяющая равенству (8) (интегральному уравнению), такая, что u(t) G D(L) с W2,.

Таким образом, для классического решения выполняется равенство (4),

Теорема 2. Задача, Коши (2) имеет единственное слабое решение х G С (J ,L2 ) такое, что ассоциированная, с ним функция х представим,а, в виде

x(t) = T (t)<p + / T (t - т )f(r ) dr, t Gj.

o

Утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1 и определения 6,

В дальнейшем в статье систематически используются приводимые ниже определение и свойства подобных операторов.

Определение 7. Два, линейных оператора, Ai : D(Ai) с % ^ г =1, 2, называются подобными, если, существует непрерывно обратимый оператор U G End % такой, что

A!Ux = UA2x, х G D(A2), UD(A2) = D(Ai). Оператор U называется, оператором преобразования оператора, Ai в А2.

Подобные операторы обладают рядом совпадающих спектральных свойств. Соответствующее утверждение удобно формулировать в виде следующей леммы.

Лемма 1. Пусть Ai : D(Ai) С % ^ %, i = 1,2, — два, подобных оператора, и U G End % — оператор преобразования о пера,тора, Ai в опера m op А2. Тогда, справедливы следующие утверждения:

1) a(Ai) = а(А2), ad(Ai) = ad(A2), ac(Ai) = ас(А2), аг(Л) = аг(А2), где а(Аг), ad(Аг), ac(Ai), ar(Ai), i = 1, 2, — спектр, дискретный, непрерывный и остаточный спектры операторов Ai, % = 1, 2, соответственно;

2) если оператор А2 допускает разложение А2 = А2i ф А22, где А2k = А2\%к, к = 1, 2, — сужение А2 на %к относительно прямой суммы % = %i ф%2 инвариантных относительно А2 подпространств %2, то подпространства, %k = U(%к), к = 1, 2, инвариантны относительно оператора, Ai и Ai = Ац ф Ai2, где А1к = Ai\%k, к = 1, 2, при этом, % = %iф%2. Кроме того, если Р — проектор, осуществляющий разложение % = %iф%2 (т. е. %i = Im Р — образ проектора Р, %2 = Im (I — Р) — образ дополнительного проектора I — Р), то проектор Р G End %, осуществляющий разложение % = %i ф %2, определяется, формулой

Р = U PU-i.

3) если а — собственный вектор оператора, А2, отвечающий собственному значению \о, m о b = Ua — собственный вектор оператора, Ai; отвечающий 'тому же собственному значению А0.

4) если, оператор А2 является, генератором сильно непрерывной полугруппы (группы) операторов Т2 : J ^ End % (класса, С0), то опера,тор Ai является, генератором сильно непрерывной полугруппы (группы) операторов

Ti(t) = UT2(t)U-i, t G J, Ti : J ^ End%,

где J совпадает с одним из .множеств R+ R. %

мой суммы взаимно ортогональных ненулевых замкнутых подпространств %п, п G Z, т. е,

% = 0 %п, (9)

neZ

где %i ортогонально %j при г = j, г, j G Z, и х = хп, хп G %п, ||ж||2 = 11жп1|2-

nez nez

%

мой ортопроекторов {Vn-, п G Z}. При этом проекторы Vn, п G Z, обладают следующими свойствами:

1) V*n = Тп, п G Z;

2) ViPj = 0 при г = j, г, j G Z;

3) ряд Vnx безусловно сходится к х G % и ||ж||2 = ^ ||Ргаж||2;

neZ neZ

3') из равенств Vkx = 0 k G Z следует, что вектор х нулевой;

4) %к = Im Vk, хк = Vkх, к G Z.

Отметим, что свойства 3) и 3') эквивалентны.

Определение 8. Линейный оператор А : D(A) С % ^ % называется, ортогональной прям,ой суммой ограниченных операторов An G End %п, п G Z, относительно разложения, (9), при этом, используется запись

А = 0 An, (10)

neZ

если

1) %п С D(A) = {х G % : ЦАкхкЦ2 < ж,хк = Vkх, к G Z} для всex п G Z;

keZ

2) каждое подпространство %п, п G Z, инвариантно относительно о пера,тора, А и An, п G Z, есть сужение оператора, А на %п, п G Z.

3) Ах = Y1 Акхк, х Е D(A), где Хк = Vkх, к Е Z. kez

Отметим включение спектров а(Ак) С к Е Z,

Если не делать дополнительных ограничений, то о (Л) может не совпадать с объединением спектров а(Ак), к Е Z, и даже с замыканием объединения.

Определение 9. Разложение гильбертова, пространства К вида

К = 0 U%к, (11)

кеж

где U — обратимый опера,тор из End К и К есть ортогональная прямая сумма подпространств Кк, к Е Z, вида, (9) назовем, квазиортогональным или, U-ортогональным. Если оператор U представим, в виде U = I + W, где W Е &2(К), то квазиортогональное

К

Отметим, что [/-ортогональное разложение (11) пространства К является ортогональ-К

(х,у)* = (Ux,Uy), х,у еК.

Определение 10. Будем говорить, что линейный замкнутый оператор А : D(A) С К ^ К является квазиортогональной (U-ортогональной) прям,ой, суммой ограниченных операторов Ак, к Е Z, относительно квазиортогонального разложения пространства К вида (11), еели Ак = иАкU-1, к Е Z, для, некоторого обратимого оператора U Е End К. При этом, используется запись

А = 0 Ак.

¡-к.

ке1

Вернемся к рассмотрению оператора Ь, определенного формулами (5), (6), Представим его в виде Ь = Ь0 — V, где Ь0 : И(Ь0) = О(Ь) С Ь2 ^ Ь2 — оператор дифференцирования

Ьо = ¿и

(Уу)(з) = у(з)у(ш — з). (12)

Оператор У определен корректно ввиду включения И(Ь0) С О (У). Оператор Ь0 далее

У

Рассмотрим невозмущенный оператор Ь0 и опишем его спектральные свойства. Спектр а (Ь0) оператора Ь0 представим в виде

а(Ьо) = ^кеШк,

где ак = {Хк}, \к = ^^ к Е Z, — простые изолированные собственные значения, Соответ-

• 2 жк

ствующими собственными векторами являются функции ек(в) = ег, 5 Е [0,ш], к Е Z, образующие в пространстве Ь2 ортонормированный базис (с учетом введенного в Ь2 скалярного произведения). Соответствующий спектральный проектор Тп = Р(ап,Ь0), п Е Z, (проектор Рпсса) определяется формулой

._ ч/ч 1 I I /ч _ , \ • 2жп „ _ г п , ч

(Гпх)(3) =х(т)е-г-^Т ¿т\ег—3 = х(п)ег—\х Е Ь2) з Е [0,и]. (13)

Здесь х(п), п Е ^^ ^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^ периодической функции х Е Ь2, определенный формулой

I Гш

II , ч III,

х(п) = — х(т)е % * т dr

ш

'0

Отметим, что невозмущенный оператор Ь0 = есть ортогональная прямая сумма операторов (Ь0) к = Ь0\Нк = 1к, ВД6 1к обозначает тождественный оператор в одномерном

подпространстве Нк = 1тРк, т, е, Ь0 = ® к£Ъ(Ь0)к. При этом все операторы (Ь0)к, к € Ъ, имеют ранг 1 и представимы в виде (Ь0)к = \к 1к, к € Ъ.

Пусть Т(к) = Е 'Р^ к ^ О, Тогда опера тор Ь0 также есть ортогональная прямая сумма

операторов

Lo = (Lo)(k) ®( 0(Lo) A =(Lo\k) ©( 0 г^iA , к е Z+, j е Z,

где (Ь0)(к) — сужение оператора L0 = j на подпространство Н(к) = Im Т(к) относительно представления пространства L2 в виде

ь2 = Н(к) ф( 0 Н) . (14)

^ Ь1>к '

Отметим, что (Lo)(k) = ф Ij относительно ортогонального разложения Н(к) = ф Hj.

ЬКк ш Ь'|<к

В основе всех приводимых в статье результатов и оценок лежит

Теорема 3. Существует такое число k Е Z+ = N U {0}, что опера,тор L = L0 — V подобен оператору L0 — V0, где оператop V0 принадлежит пространству &2(Н), имеет м,есто равенство

LU = U (L0 — V0),

и подпространства Н(к) = Im V(к) и Н j = Im Vj, [j | > к, являются инвариантными относительно операторов V0, L0. Более того, оператор L есть U-ортогональная прямая сумма вида

L = U(L0 — (У0(к) Ф 0 V03))U-1 | |> к

относительно разложения Рисса (U-ортогонального разложения) пространства Н = U Н(к) Ф ф U Hj. Обратимый опера тор преобразования, U из End L2 представим Ы>к

в виде U = I + W, где W Е &2(Н).

Конкретный вид операторов U ъУ0 будет выписан в параграфах 3, 4, 5, Теорема 4. Спектр оператора, L представим в виде

a(L) = a(k) U ^ У a^J

\j\>k

где множество сг(к) содержит не более 2к + 1 собственных значений, множества

ЦI > к, одноточечны и Gj = {\j}, Xj = г^ — bj, причем Е Ify I2 < ж.

Ш \j\>k

Соответствующие собственные векторы еп образуют в пространстве L2 базис Бари (в частности, базис Рисса) и имеет место оценка

\\еп — еп\\ = bin, InI > т,

где Е ьы < ж-

\п\>т

В работе [5] приводятся уточненные формулы собственных значений и собственных векторов оператора L в случае гладкого на отрезке [0,1] потенциала v такого, что w(0) = f(1).

В статье [17] были получены оценки взвешенных средних собственных значений из множеств ап, InI > т, и оценки отклонений dist (i,cfj).

Отметим, что излагаемые в данной работе свойства дифференциальных операторов с инволюцией существенно отличаются от спектральных свойств дифференциальных операторов [31], [32],

Следующая теорема формулируется в условиях теорем 3 и 4 с введенными в теореме 4 обозначениями, ^ ^

Пусть гР(к) = Р(сг(к),Ь), к ^ 0 Vn = Р(Xn,L), \п\ > т, — спектральные проекторы, построенные по спектральным множествам а(к) и cfj, \j\ > к, соответственно.

Теорема 5. Имеет место предельное соотношение

n n

lim Щк) + ^ Т3 -Т{к) - ^ Vj ||2 = 0. Ы=к+1 |j|=к+1

Следующая теорема существенно усиливает результат теоремы 1,

Теорема 6. Дифференциальный оператор L является генератором сильно непрерывной группы операторов

Т : R ^ End L2.

Группа Т : R ^ End L2 подобна группе Т : R ^ End L2, которая допускает ортогональное разложение вида

—к— 1 x

f(i) = 0 е(^—^^ ® eB(k)t 0 е(^—ь>^, t Е R, (15)

j=—x j=к+1

относительно разложения пространства L2 вида (Ц), для некоторого целого k ^ 0, причем, Т(t) = UT(t)U—1, t Е R. Более того, оператор преобразования, U Е EndL2 группы Т в группу Т представим, в виде U = I + W, где W Е &2(К). Оператор В(к) принадлежит

End К(к) и \bj\2 < ж. | j | >к

Таким образом, группа операторов Т(t), t Е R, допускает [/-ортогональное разложение относительно [/-ортогонального разложения пространства L2 вида (11). Число к из теоремы 6 будет определено далее в § 4, теореме 16,

Пусть ф = U—и функция ф раскладывается в ряд Фурье ф(в) = ф(п)ег

nez

s Е [0, ш\. Очевидно, что Vjф = фО)ej, j Е Z,

Определение 11. Представление группы операторов (слабых решений) вида

— к—1

Т(t)<p = UT(t)U—1<f = ^ е>^—)tUVjф+

j= — x

те

+ UeВ(к)1 V{k)ф + ^ е(^(16) j=k+1

назовем рядом Фурье слабого решения u(t, s) = (Т(t)ip)(s), t Е R, s E [0,w], p E L2, задачи, (!)■

Непосредственно из представления (15) теоремы 6 получаем, что имеет место

Теорема 7. Группа Т допускает представление вида,

f(t) = еВ^Г{к) + ^ е(г^-*)fVj. \j\>k+1

Рассмотрим последовательности чисел ßi = \\ViWai = sup |bjI E Z, Они обладают

\j\>i

свойствами: lim щ = 0 и (ßi) — суммируемая с квадратом последовательность,

i^-те

Из представления решения в виде (16) следует

Теорема 8. Для любой функции е L2 имеют место оценки

\\Т(t)ip — UeB(k)tV{k)^ - ^ е(^ -]tUV^(3)h ^

k^j^N

1

£ e^^Himi2 + Ш\2))2 ^

^ 1Л> N+1 '

1

^Се«-£ (Ш12 + ß2M\2)) 2, te R,

^ Ul>N+1 '

для, N> k и некоторой постоянной С > 0.

Наличие группы операторов Т позволяет корректно определить оператор — — Lb ряде функциональных пространств. Символом ССь = С(3, L2) обозначено банахово пространство непрерывных ограниченных на J функций со значениями в L2 и нормой

\\x||те = sup \\x(t)\\2, х е Съ- Из теоремы 4 следует, что a(L) п Ж есть не более чем счет-tej

ное множество, не имеющее конечных предельных точек. Поэтому непосредственно из [33] следует

Теорема 9. Каждое слабое ограниченное решение и е С задачи (1) является, почти периодической функцией Бора (см. [34]).

Далее и до конца параграфа предполагается, что J совпадает с одним из множеств R+ или R,

Определение 12 ([35], [36]). Функция х0 е Сь называется, .медленно меняющейся на, бесконечности, если lim \\x0(t + s) — x0(s)\\2 = 0.

Определение 13 ([35], [36]). Равномерно непрерывная функция х е С называется, почти периодической на бесконечности, если для, любого £ > 0 можно указать (обоб-

п

щенный) тригонометрический многочлен вида pn(t) = xk(t)eiXkt, t е J, где xk,

k=1

1 ^ k ^ n, — медленно меняющиеся на, бесконечности, функции и \k, 1 ^ k ^ п, — вещественные числа, такой, что

п

sup \\x(t) — Vxk(t)eiXkt\\ < e. teJ k=i

Символом С0 = C0(J,L2) обозначим пространство функций, исчезающих на бесконечности, т. е. lim \\x(t) \\2 = 0, x е С0. Непосредственно из статьи [35, Теорема 6,3] следует

Теорема 10. Пусть и е С0 — слабое решение неоднородной за,дачи, (2) и f е С0. Тогда, и : J ^ L2 является, почти периодической на бесконечности.

2. Метод подобных операторов

Отметим, что метод подобных операторов обычно используется в спектральном анализе различных классов дифференциальных (см, [37] - [40]) и разностных (см, [41], [42]) операторов, В изложении метода мы будем опираться на работы [21], [22],

Пусть А : D(A) С Н ^ Н — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения, действующий в комплексном (абстрактном) гильбертовом пространстве Н. Введем в рассмотрение линейное пространство Lа(Н) операторов, действующих в н, и подчиненных оператору А : D(A) С Н ^ Н. Будем говорить, что оператор В : D(B) с Н ^ Н подчинен оператору А, если D(B) D D(A) и конечна величина

ЦВ|| A = inf{С > 0 : ЦВхЦ ^ С(||ж|| + ||Ас||),ж Е D(A)}. Эта величина принимается за норму оператора В Е LA (К) в 2а(К). Таким образом, £а(К) — банахово пространство.

Рассмотрим возмущенный абстрактный оператор А — В : D(A) С К ^ К, где В Е La (К), и спектральные свойства линейного замкнутого оператора А известны.

Определим трансформатор (т, е, линейный оператор в пространствах операторов; терминология М.Г. Крейна) adA : D(adA) С End К ^ End К формулой

adAX = AX — ХА, X ED(adA),

с областью определения В (adA), состоящей из операторов X Е End К, обладающих свойствами:

1) XD(A) С В(А)-

2) оператор adAX : D(A) ^ К допускает ограниченное расширение Y на К и полагается adAX = Y (такое расширение единственно).

Наиболее важным понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки.

Определение 14 ([21], [22]). Пусть М — линейное подпространство из L а(К) и J : М ^ М, Г : М ^ End К — трансформаторы. Тройку (М, J, Г) назовем, допустимой тройкой для оператора А, а М — пространством допустимых возмущений, если:

1) М — банахово пространство со своей, норм,ой, || ■ ||*, непрерывно вложенное в L а(К), т. е. существует постоянная С > 0 такая, ч,то HX||A ^ СHXЦ* для любого X Е М;

J Г J

3) (rX)D(A) С D(A) и имеют место равенства

(adA rX)х = (X — JX)х, х Е D(A), X Е М,

Г X Е End К

adA Y = AY — YA = X — JX, J Y = 0

4) XrY, (rX)Y E М для любых X,Y E М и существует постоянная j > 0 такая, что

||Г|| ^ 7, max{|XrY||*, ||(rX)YЦ*} ^ ^X||*||Y||*;

5) J ((rX )JY) = 0 дм всех X, Y Е М;

6) для любых X Е М и £ > 0 существует такое число Хе Е р(А), что ||^^(А — ХеI)—1Hx <е.

Теперь зафиксируем некоторую допустимую тройку (М, J, Г) для невозмущенного оператора А.

Теорема 11 ([21], [22]). Пусть (М,J, Г) — допустимая, для, оператора, А : В (А) С К ^ К тройка, и В — некоторый, опера тор из М. Тогда, если

4|| JИИВИ*^ < 1, (17)

то оператор А — В подобен, оператору А — JX*, где X* Е М является, решением нелинейного уравнения

X = В^ — ^X )^В) — ^X) J (В ГX) + В = Ф^). (18)

X* X0 = 0

X1 = В, .... Преобразование подобия оператора, А — В в оператор А — JX* осуществляет обратимый оператор I + TX* е End К. Отображен,и,е Ф : М ^ М является, сжимающим в шаре {X Е М : HX — ВЦ* ^ 3||В||*}.

Из леммы 1 и теоремы 11 следует (далее используются обозначения теоремы 11)

Теорема 12 ([22]). Пусть (M,J, Г) — допустимая тройка для, оператора, А : D(A) ( Н —У Н, оператор В Е М удовлетворяет условию (17) и оператор А — JX* является, генератором сильно непрерывной группы операторов Т : R — End Н. Тогда, оператор А — В является, генератором группы операторов Т : R — End Н, определенной равенствами:

Т(t) = (I+ ГХ*)Т(1)(1+ ГХ*)-1, 0,

X*

Часто бывает сложно построить пространство допустимых возмущений, содержащее рассматриваемое возмущение. В таком случае осуществляется предварительное преобразование подобия исследуемого оператора в оператор, возмущение которого принадлежит пространству допустимых возмущений М го некоторой допустимой тройки (М, J, Г). Такое преобразование возможно в условиях следующего предположения.

Предположение 1 ([22]). Для, оператора, С Е £а(Н) существуют операторы, ГС, J С Е £а(Н), удовлетворяющие условиям: 1)Г С Е End Ни \ \ Г С \ | < 1; (Г С) D( А) ( D( А) СГ С (Г С) J С Е М

4) А(ГС)х — (ГС)Ах = Сх — (JС)х, х Е D(A);

5) для, любого £ > 0 существует число Хе Е р(А) такое, что \\С(А — \е/)-1\\ < е.

А — С

оператору А — JС — С0, где С0 = (I + ГС)-1(СГС — (ГС),ЗС), причем, имеет место равенство

(А — С )(1 + ГС) = (1 + ГС )(А — JС — С0).

Пусть невозмущенный оператор А : D(А) ( Н — Н является кососамосопряженным оператором, и его спектр а(А) допускает представление вида

а(А) = U Дк,

кеж

где Дк, к Е Z, — компактные взаимно непересекающиеся множества. Пусть Рк, к Е Z, — проектор Рпсса, построенный по спектральному множеству Дк, к Е Z. Тогда система проекторов {Рк,к Е Z} и система подпространств Нп = ImPn, п Е Z, удовлетворяют свойствам, перечисленным после леммы 1.

А (М, J, Г)

J : М — М

JX = ^РкХРк, X ЕМ.

kez

Таким образом, каждый из операторов JX, X Е М, является ортогональной прямой суммой операторов Xк = РкX|Нк, Xк Е EndНк, к Е Z. Более того (что очень важно),

А — J X

А -ЗХ = ф(Ак -Хк), (19)

кеъ

где Ак = А\Нк — сужение оператора А на Нк.

Теорема 14. В условиях теоремы 12 оператор А — В, где В € М., подобен оператору А — ЗХ*, Х* € М, являющемуся ортогональной прям,ой суммой операторов (19), где Х = Х*, относительно ортогонального разложения пространства Н вида, (9), где Н = 1т Рг, г € Ъ. Оператор А — В является, квазиортогональной прям,ой суммой ограниченных операторов относительно квазиортогонального разложения пространства Н вида, (9), где и — оператор преобразования, оператора, А — В в оператор А — ЗХ*.

Обозначим оператор А — JX* через А0. Для операторов А0 вида (19) имеет место следующая

Лемма 2. Для того чтобы, оператор А0 вида (19) был генератором некоторой сильно непрерывной группы Т0 : R ^ End К, необходимо и достаточно выполнение условия

sup sup ||eA°'nt ||Endпп = С(Ь) < с < ж, (20)

|t|<6 n€Z

где b ^ 1. Если условие (20) выполнено, то операторы, Т0(Ь), t Е R, представимы в виде ортогональной прям,ой, суммы

Т)(*) = 0 eA°'nt, tE R,

n€Z

К

Доказательство. Если выполнено условие (20), то формула

Т0^)х = ^ eAo'ntPnX, t Е R,

n€Z

определяет ограниченный оператор, что следует из равенства Парееваля и оценки ЦТ0(1)х\\2 = ^ ||eA°'ntPnx\\2 ^ С2(Ь) ^ ЦРпх\\2 = С2(Ъ)Цх\\2, я ЕК, \t\ ^ Ъ.

nGZ nGZ

Непосредственно проверяется, что операторы Т0(£) Е End К, t Е R, образуют группу операторов, Ввиду того, что она сильно непрерывна на плотном подпространстве векторов, предетавимых в виде х = Y1 Рпх, т Е Z+, то она сильно непрерывна па всем проетран-

|n|^m,

К

Обратное утверждение очевидно. Лемма доказана, □

Таким образом, построение группы операторов, для исходного оператора сводится к построению группы операторов для оператора, являющегося прямой ортогональной суммой операторов относительно разложения (19) с использованием леммы 2,

3. Первое преобразование подобия

М

ров будем использовать пространство S2(L2), а в качестве системы проекторов V = (Vn), п Е Z, — систему спектральных проекторов невозмущенного оператора L0 (см, формулу (13)).

К L2

Далее будут использоваться матрицы операторов двух видов: операторные и числовые. Каждому оператору X Е End К поставим в соответствие операторную матрицу X ~ (Xjj), где Xij = ViXVj Е End К, i,j Е Z, и проекторы Vi, г Е Z, определены формулой (13).

Числовая матрица X ~ (жу) состоит из элементов х^, i,j Е Z, которые определяются формулой х^ = (Xej, ei), и в качестве базиса е^ г Е Z, берутся собственные нормированные

L0

Далее будут использоваться следующие свойства идеала &2(К) (см, [1]): X Е End К

когда его матрица хк1г = (Xgn, дк), п,к Е Z, является матрицей Гильберта-Шмидта для некоторого ортонормированного базиса {дк,к Е Z} и HXЦ2 = Y1 \хкп\2-

k,nGZ

2) Произведение XY операторов X,Y Е &2 (К) является ядерным оператором и | | XY||i ^ HXhHY112■

метод фурье для дифференциальных уравнений,

23

3) Пусть {Qn,n ^ 0} — система ортопроекторов из EndН, образующая разложение еди-

те

ницы, тогда \\X\\I = ^ \\QnXQm\Ц.

п,т=0

4) Пусть оператор X : D(X) С Н — Н принадлежит проетранетву &а(Н) (и, сле-

Н D( X)

|(X еп, ек )|2, для некоторого ортонормированного базиса {ек ,к Е Z} со свойством

n,kGZ

ек Е D(X), к Е Z, то оператop X допускает единственное раешпрение па Н. Оно является

X

Понятие операторной матрицы естественным образом расширяется и на операторы, подчиненные оператору L0 (не обязательно ограниченные).

Каждому оператору X : D(А) С L2 — L2, X Е Ll0(Н), поставим в соответствие операторную матрицу (Xij), i,j Е Z, составленную из ограниченных операторов Xi:i = ViXVj Е EndН, i,jE Z.

Заметим также, что в рассматриваемом случае (dim^F,- = 1 для всех j Е Z):

Xi^ = (PiXPj)х = (XР)х, ei)ei = (Xei, ej)(х, ej)ei = (х^)х^)ei, i,j E Z.

Оператор V, определенный формулой (12), подчинен оператору L0 и имеет матрицу ( Vfcn) относительно разложения единицы (Рк,к Е Z), элементы которой определяются формулами

(V^^s) = (Vei, en)oc(n)e

2tTI ,

1

гш

; 2irl ,

i-^s = - i v(t)e-i-zr(ш-Т) dr • х(п)^^

Ш

0

= v(l + п)х(п)е

i^S

V

V

v(—2) v(—1) v(0) v(1)

u(—l) v(0) u(l) v(2)

v(0) u(l) v(2) v(3)

u(l) v(2) v(3) Щ)

\

Далее через V(m) обозначается проектор V(m) = 'Pi.- Введем в рассмотрение опера-

|i|^m

торы JmV, ГтУ, m ^ 0, формулами:

JV = J0V = ^ PiV Pi

ieZ

JmV = P(m)VP(m) + ^ PiVPi, m > 0,

|i|>m

Г V = Г0 V

Ш

2ni

• E ^ к = £

PkV P, k — j'

n€Z\{0} к-j^n

Г mV = ГV — P^V )P(m). Матрицы операторов JV и ГV относительно разложения единицы (Рк, к Е Z) имеют вид:

J V

v(—2) 0 0 0 v(0) 0 0 0 v(2)

гs^

r^J

ш

Г V--

2т

0 —u(—i) — 2 v(0) —3«(i) — 2«(2)

■(—1) 0 —ЭД

?ЭД v(1) 0 —ЭД

u(3) 0

/

Непосредственно из определения операторов ,1тУ и ГтУ, т ^ 0, следует, что они принадлежат &2(Н). Они определены корректно, т. е. ряды, определяющие эти операторы, сходятся &2(Н).

Для предварительного преобразования подобия нам потребуются еще операторы = VГтУ, т ^ 0, Элементы операторной матрицы оператора Z = УГУ определяются формулой

ш ^ + к)ь(к + ])

Zii - Y1

к=3

J — k

i,j е Z.

Лемма 3. Операторы, ЗтУ, ГтУ и УГтУ, т ^ 0 являются операторами из &2(Н).

Доказательство. Осталось показать, что Z € &2(Н). Его принадлежность пространству &2(Н) следует из приводимого в [17], [21] интегрального представления оператора Z = У ГУ вида

(z" )W-¿ I

г-2ш

К^г к

( 2ш — s — г

2

s )у(т) dr,

где функция f определена следующим образом f( s )

2

(21) □

Пусть L^([0,w], C) — банахово пространство (классов) функций, существенно ограниченных на [0, ш] функций со значени ями в C и норм о й ||х|| = vrai sup ||x(s)||.

Лемма 4. Операторы, Г mV, m G Z+, обладают свойствам,и,:

1) (rmV)D(Lo) С D(Lo);

2) Lo(rmV)х — (ГтV)Lox = (V - JmV)х, х G D(Lo);

3) Для любого £ > 0 существует число Л£ G p(Lo) такое, что IV(Lo — Хе 1)-1Ц2 < £■

Доказательство. Пусть Л£ G p(Lo). Рассмотрим последовательность проекторов Q(n) = Pj ; п ^ 0, Для любого вектора у G H имеют место равенства (проверяемые на ЬК"

базисных векторах):

Q{n)Lo(rmV)(Lo — Л£ I)-1y = Qw(rmV)Lo(Lo — Л£ I)-1 у+

+ Q(n) (V — JmV)(Lo — Л£I)-1y = Q(n)Cy,

где оператор С представим в виде

Су = (rmV )Lo (Lo — Kl )-1y + (V — JmV )(Lo — Л£ I)-1 y.

Так как оператор С является оператор ом из End H, то последовательность операторов из правой части сходится к оператору С по норме пространетва End H. Из замкнутости оператора Lo следует, что rmVx G D(Lo) при х G D(Lo) и имеет место равенство

(rmV)L0(L0 — Х£I)-1 - L0(rmV)(Lo — XeI)-1 + (V — JmV)(L0 — X£I)

Таким образом, выполнены свойства 1) и 2), Осталось проверить свойство 3), Пусть У

V(Lo — Х£ 1)-\ Х£ е р(А). В этом

представлении оператора Y мы рассматриваем его как произведение двух операторов (Lo - Х£I)-1 G EndП, Vx : Lx([0,u], C) ^ L2, (V^x)(s) = (Vx)(¡), s G [0,w], x G Lx([0,w], C), Ясно, что \\V||x = |H|l2- Осталось доказать, что ||(L0 — Х£1 )-1|| < £/|M|l2

для числа Ае вида Ае = к для достаточно большого к Е N и выбранного е > 0, Для любой функции х еН имеет место представление

х(1)е

1^3

(Ьо -к1) 1х = ^

ш ^

Поэтому

(£ ^ + (^) 2)

| | (Ьо -к1)-1х\\Ь2 ^ > -—-о | | х||2 ^

11 х|12" 1йй2

^ I ^ 1 Г||„11 / £11х112

для достаточно большого к.

Следовательно, доказано свойство | | (Ь0 — к1)-1х\\2 ^ е/ЦуЦь2. Таким образом | |V(Ь0 — к1 )-1|| ^ ||уЦь^КЬ0 — к1 )-1|| < е. Лемма доказана, □

В следующей теореме (основном результате этого параграфа) будет использоваться

Лемма 5. Иш | | ГтV||2 = 11ш — Р<т)(^)Р{т)Ц = 0.

Доказательство. Поскольку оператор ГV является оператором Гильберта-Шмидта, то непосредственно из определения последовательности ортопроекторов Р(т), т ^ 0, следует утверждение леммы, □

Из полученных утверждений относительно последовательности операторов Р^У, Г^У, т ^ 0, и теоремы 13 следует, что имеет место

Теорема 15. Существует такое число т Е что ||ГтУ|^ < 1 (т. е. оператор I + Г тУ обратим), и оператор Ь0 — V подобен оператору Ь0 — У/, где

V =РтУ +(1 + ^тУ)-1(УГтУ — (ГтУ)РтУ) Е 62Н V)} (22)

причем, имеет место равенство

(Ьо — V )(1 + ГтУ) = (1 + ГтУ )(Ьо — V).

Оператор V/ представим в виде

V = ^ + V ГтV — (ГтV) + с = IV + V ^ — (^) РIV + С\, (23)

где С С1 Е &г(Н).

Доказательство. Осталось доказать формулу (23), Из представления

(I + ГтV Г1^^ — (^ ^Рт^) = (1 + ГтV )^^—

— (Г тV)^) + V ГтV — (ГтV)^

и того, что произведение двух операторов из &2 (Н) есть оператор из &1(Н), вытекает первая часть равенства (23), Так как операторы VГ„V — VГТ/, З^ — IV, Г„V — ГV имеют конечный ранг, то они принадлежат &1(Н) и имеет место вторая часть формулы (23), Теорема доказана, □

4. Построение трансформаторов 3к и Гк, к ^ 0, в &2(Н)

Из теоремы 15 следует, что исследуемый дифференциальный оператор с инволюцией подобен оператору Ь0 — У, где оператор У, определенный формулой (22), принадлежит &2(Н). В дальнейшем (см. § 5) к оператору Ь0 — V будет применяться метод подобных операторов (см, теорему 3), При этом будет существенно использоваться последовательности трансформаторов

3к, Гк : 62(Н) ^ &2(Н), 0.

Эти трансформаторы определим следующими формулами для любого оператора

X G е2(Н):

JX = JXo = Е VaXvn,

nez îoa\

JkX = P(k)XP(k) + E , k > 1, 1 j

b1>fc

nez p-j=n (25)

rX = rX = ^^Xn^m Xn = n E XP3

nez

n=0

ГкX = rX -P(k) (rX)P(k), k > 1.

В этих формулах XPj = VPX Vj, p,j G Z, — матричные эле менты оператора X.

Трансформаторы Jk.t rk G End(S2(H)), k ^ 0, определены корректно, все выписанные ряды сходятся в &2(Н).

Определение 15. Оператор Xk = E Xij, k G Z, называется k-ой диагональю опе-

г ,jez i-j=k

раторной матрицы оператора, X G &2(Н).

Замечание 2. Для, п-ой диагонали Xn оператора, X G &2(Н) имеют место формулы

ШИ = E IIx*jII2,

i,jez

- = n

причем

Ix ||2 = £ iiXniH

nez

В статьях [17], [21] для определения трансформаторов J и Г, действующих в End Н, использовался другой подход, основанный на применении теории представлений. Для его описания отметим, что оператор дифференцирования L0 = j является генератором ш- периодической группы S : R ^ EndL2w, (S(t)x)(s) = x(s + t), t, s E R, x E L2,ш. Эта группа представнма в виде

S(t)x = £ ei^Рпх. nez

Каждому оператору X E End Н поставим в соответствне ш-периодическую, сильно непрерывную операторозначную функцию

t ^ S(t)XS(-1) : R ^ End Н. При этом возникает изометрическое периода ш представление

S : R ^ End (End Н), S(t) = S(t)XS(-t), tE R. Для функции S : R ^ End (End Н) рассмотрим ее ряд Фурье

S(t)x ~ ^ Xnx^ ^, х EH, tE R,

n

nez

xn

1 Гш

Xnx = -/ S (t)XS (-t)e-i ^dt, x EH, n E Z.

ш J 0

Xn X E End Н

nez

ров S, а операторы Xn, n E Z, — коэффициентами Фурье этого оператора (см. [43], [44]). Важно отметить, что Xn — n-ая диагональ оператора X E &2(Н) в смысле определения 15.

Замечание 3. Группу изометрий Б можно рассматривать относительно инвариантного для этой группы подпространства &2(П). В этом, случае коэффициенты, Фурье Хп, п е Ъ, также являются, операторам,и, принадлежащими &2(П).

Отметим, что, следуя работам [17] и [21], трансформаторы З и Г можно было определить формулами

1 Г

( ЗХ)х = Хох = - Б(т)ХБ(—т)хЗт, ж еП, и Л

1 Г

(ГХ)х =- ¡(т)Б(т)ХБ(—т)хс1т, х е П, (26)

и 3 о

где / : К ^ С есть ш-периодичеекая фун кция, /(в) = г — ее [0,ш], имеющая ряд Фурье вида /'(в) ~ ^ 2тпе%

п=0

Важно заметить, что определение трансформаторов З и Г интегральным представлением совпадает с их определением на матричных элементах формулами (24) и (25), Из представления трансформатора Г : М ^ М формулой (26) следует

Лемма 6. Оператор Г V принадлежи,т &2(П) и является, интегральным оператором, вида,

= ± /(^М^)^ х е Ь2.

Причем (ГV)х е Ь^([0,и],Н), х е Ь2.

5. Второе преобразование подобия

Для доказательства теоремы 3 нам потребуется другое пространство допустимых возмущений М С S2(Н). Для его описания для любого ненулевого оператора X е &2(Н) введем в рассмотрение двустороннюю последовательность вещественных чисел вида

1 i

Vn(X) = \\XII-2 maJ( £ \\VkX^ ' ,( £ \\XVk||2^ Ч ,n е Z. (27)

kez kez

Последовательность (an(X)), n е Z, обладает следующими свойствами:

1) an(X) = a-n(X), n е Z;

2) lim an(X) = 0 n е Z;

|n|—

3) an(X) ^ 1 для всех n е Z;

4) an(X) ^ an+i(X), n > 0;

5) an(X) = 0 для всех n е Z, если P(m)XP(m) = X для всех т е Z+;

6) конечна величина

£

\\X Vn\2 + \\VnX\\2

п,ъ (*п(Х))2 '

В качестве возмущения оператора Ь0 будет выступать оператор У из &2(П), определенной формулой (22) в теореме 15, Без ограничения общности можно в дальнейшем считать, что Р(п)УР(п) = 0 для всех п е Ъ+ В противном случае оператор Ь0 — У есть ортогональная сумма оператора конечного ранга (Ь0 — V)|%(п) для некоторого п ^ 0 и оператора Ьо^ы, где П[п) = I — П(п)-

Итак, далее рассматривается оператор Ь0 — V/.

Для любого оператора X G 62(%) рассмотрим самосопряженный компактный оператор Fx, определяемый формулой

Fx = ^an(X ) Vn.

nez

Отметим, что Fx G End % есть функция от самосопряженного оператора Lq вида Fx = fx (Lq), где fx : a(LQ) ^ R+ fx (Х ) = «n(X ), n G Z, и \\Fx \U = max 5 (X )| = 1.

nez

Для упрощения дальнейшей записи оператор Fy обозначим через F. Введем множество операторов M из 62(H), допускающих представление вида

X = Xi F, X = FXr,

где Xi, Xr G 62(H). Положим \\X\\M = max{\\Xi\\2, \\XrW2} Очевидно, что \\X\\2 ^ \\X\\M, X G M.

Свойство KerF = 0 (см. свойство 5 последовательности an(X)) позволяет заключить,

M

Очевидно, что для любого оператора X из 62(%) имеет место представление

X = £ XVn)Fx=Fx (g ek *nX )■

Поэтому возмущение У принадлежит пространству 62(%).

Поскольку M С 62(H), то трансформаторы и Гк, k ^ 0, определены и для операторов из M, Более того, подпространство M инвариантно относительно Jk и Гк, к ^ 0, и

Jk (Xi F ) = (JkXi)F, Jk (FXr ) = F (JkXr ), Гк (Xi F ) = (Гк Xi) F, Гк (FXr ) = F (ГkXr ),

где X^ Xi G 62(H).

Для оценки норм \\Гк(XF)\\2 и \\Гк(FX)\\2, X G 62(H), рассмотрим две последовательности (a'n), n G N, и (5«), n G N, определенные формулами

a'n = max —^, ein = (¿5n + 5n), n G N.

M^n II-JI ¿77

|i|<n

Последовательности (a'n) 11 (5n) принадлежат простр анству cq( N ) сходящихся к нулю последовательностей.

Следующая лемма является аналогом леммы 3 из [21].

Лемма 7. Для, всех к G Z+ и любого оператора X G 62(H) имеют место оценки:

тах{\\Г к(XF)\\2, \\Гк(FX)\2> ^ 5+ \\X\b.

Доказательство. Пусть Т>(к') = I — V(к), к G Z+ дополнительный к V(к) проектор. Тогда HFV^Hx = \\ Е enVnV(к)\\те ^ &к+ъ Из определения трансформатора Гк следует оценка

neZ

\\Гк(XF)\2 = \\Гк(XFV(к)) + Гк(V^XFV^h ^

^ ^а+ЦХ||2 + ||Гк(V(к)ХРТ(к))\\2. Представим оператор Г к(V(к^ХРТ>(к)) в виде

Гк(V(к)ХРТ{к)) = Гк(V{к)РХГ(к)) + Гк(V(к\ХР — РХ)Т{к)).

При этом последний оператор имеет операторную матрицу (VгZ(к)Vj), к ^ 0, где

Z(к) = Гк(V(к)(ХР — РХ)Т(к)), составленную из элементов вида

' к)1 j Хг — Xj■ 'гЛ ^ 2тТ г—з 'г Х ^,

где |г| ^ к + 1 -Ц ^ к, и ViZ(к)Vj = 0 в остальных случаях. Таким образом,

\\Г(V(к)ХРТ{к))\\2 ^ 2^ак+1\\Х||2 + 2й- т^ \\Х 112 =

2п 2п |фк+1 -г —

Шк

= Ш ((1к+1 + а'к+1)\Х\\2 = ®к+1\\Х\\2.

Аналогичным образом и той же величиной оценивается норма Г к(РХ), Х е &2(П). Лемма доказана, □

Лемма 8. Тройка (М, Зк, Гк) является допустимой тройкой для, невозмущенного оператора Ь0 при любом к ^ 0 и постоянная ^ = 7к из определения, Ц допускает оценку

ъ ^ (к+1, к е Ъ.

Доказательство. Выше было установлено, что введенное пространство допустимых возмущений М является банаховым пространством. Из вложения М С &2(П) следует, что М вложен о в £ ¿0 (П), так как любой ограниченный оператор является подчиненным невозмущенному оператору Ь0. Поэтому свойство 1) определения 14 выполнено.

Выполнение свойств 2) и 5) следует из построения трансформаторов Зк, Гк, к ^ 0, и леммы 5,

Свойства 3) и 6) проверяются так же, как были установлены соответствующие свойства в лемме 4,

Перейдем к доказательству свойства 4), Пусть Х = Х[Р е М, У = У[Р е М, где Хг, Уг е &2(П). Тогда ХГкУ = Z¿F, где Z^ = ХгГк(РУ). Из леммы 5 следует, что

\\ZiW2 ^ ак+АХЫУЬ ^ (к+1\\Х\\М\\У\\м.

Пусть теперь Х = РХГ1 У = РУГ1 Хг, Уг е в2(П). Тогда ХГкУ = FZr, где Zr = ХгГк(РУГ), и опять же из леммы 5 следует, что

\\Zr \\ 2 ^ (к+1\\ХгЫУ- \\ 2 ^ (к+ЛХ\\м\У\\м. Аналогичная оценка имеет место и для нормы оператора (ГкХ)У. Лемма доказана, □

Теорема 16. Пусть целое число к ^ т такое, что выполнено условие

4(к+А\У\\м < 1.

Тогда, оператор Ь0 — V подобен оператору Ь0 — ЗкХ* = Ь0 — V0, где оператор Х* е М есть решение нелинейного операторного уравнения (18) из теорем,ы, 11 с трансформаторами З = Зк и Г = Гк, определенными формулами (24), (25) и В = V. Более того, оператор V0 есть ортогональная прямая сумма

Vо = Vо(к) Ф 0 Vоi

Щ>к

относительно представления пространства Ь2 вида

П = П(к) Ф 0 П,

Щ> к

где П(к) = 1шР(к), П = 1шР^ |г| > к, и проекторы Р(к), Р^ |г| > к, есть спектральные проекторы невозмущенного оператора, Ьо и определяются, формулам,и (13). Оператором, преобразования, оператора, Ьо — V/, V/ е &2(П), в Ьо — Уо является, опера,тор I + ГкХ, где Х еМс &2(П) и ГкХ е &2 (П).

Утверждение теоремы 16 следует теорем 11, 14, лемм 7, 8 и свойства Иш ак = 0, что гарантирует выполнение условия (17) теоремы 11,

6. Доказательство теорем 3, 4, 5

Из теорем 15 и 16 следует теорема 3, приведенная в § 1, Особо отметим, что оператор и из теоремы 3 имеет вид

и =итк — (I + ГтУ )(1 + Гк X*) — 1 + Штк, (28)

где оператор Штк — ГтУ + ГкX* + (ГтУ)(ГкX*) принадлежит &2(Н).

Перейдем к оценкам собственных значений и спектральных проекторов. Из теоремы 16 и леммы 1 следует

Теорема 17. Спектр оператора Ь совпадает со спектром оператора,

Ьо -Уо = Ьо - Р(к)Х*Р(к) - 0 Р,Х*Р,.

Ы>к

Более того, имеет место равенство

a(L) = a(L{k)) U ( |J )) = °(L(k)) U {г2^- + x*n, \j\ > к},

где Ь(к) — сужение оператора, Ь0 — Р(к)Х*Р(к) на, Н(к) — 1тР(к) и Ьj• — сужение оператора, Ьо — РjX* Р^ наЛшР^ \Ц > к, ux*jj, Ы > к, — диагональные элементы числовой матрицы оператора, X*.

Непосредственно из теоремы 17 следует теорема 4, В теореме 4 учтено, что для любого ограниченного оператора его спектральный радиус не превосходит нормы, и последовательность (x*jj), \Ц > к, суммируема с квадратом, так как X* € &2(Н). Все утверждения относительно собственных векторов следуют из леммы 1 и представления обратимого оператора преобразования (28) в виде и — I + ГктX*, где ГктX* € &2(Н).

Доказательство теоремы 5. Все рассуждения проводятся в условиях теоремы 3, Зафиксируем числа к, т € Z+ такие, что выполнены условия теорем 15, 16, Пусть Тп — Р ({Хп],Ьо), Хп — {^}, П € ^ Г(т) — Е К, Г(т) = ^т

\п\^т

Рп — иктРпикг^. В соответствии с леммой 1 проекторы Р(т) и Рп есть спектральные

проекторы оператора Ь. Обозначим символом V(П) и 1(0) соответственно следующие проекторы

V(П) = ^ Vn, Т>(П) = К = икшРпи^, П = Z \ {-т,..., т}.

Отметим, что V(П) есть спектральный проектор, построенный по спектральному множеству {Xn,n Е П} оператора L0.

Для любого X Е &2(Н) определим величину

а(П,Х) = maxan(X), П С Z,

где последовательность an, n G Z, определяется формулой (27),

Пусть X Е M, т, е, X = XiFx = FxXr, где Xh Хг Е &2(Н). Оценим норму

\\V(n)X¡2 = \\V(n)FxXr¡2 = ||(^an(X)V^Xr|| ^ a(n,X)\\X¡2.

nez

Аналогично получается оценка для оператора XV(П), Следовательно,

max{\\V(n)X¡2, \\XV(П)Ы ^ \\X\\Ma(n,X).

Перейдем к оценке величин \\Т(П)Г тХЦГтХ1:'(П) \\2:

Г(П)Г„,ХЩ = £ < (¿Ж )2 £ ||ЯХ||2 *

„со ¡л 1 г 1

Таким образом,

гепле% 1 г 1 гео

г=

^ Ш2а4(П>Х)||ХЦ2.

|| Т(П)ГтХ || 2 а2(П,Х )||Х Ц2. ¿ж

Аналогично и той же величиной оценивается величина ^ГтХТ(П)||2. Отметим, что из определения последовательности а и построения пространства допустимых возмущений М следуют равенства ЦРТ(П)|| = ||Т(П)Р|| = а(П,В). Поэтому а(П,Х) ^ ЦХ||ма(П,В). Также из определения последовательности ап, п Е Z, вытекают следующие свойства: 1) Если Х = ^Х^ где Х\ Е &2(Н), то этот ряд сходится абсолютно и

1>г

||^^Ьап(Х) ^ ^ ЦЪУапХ).

2) Если Х = Хх.....Хи Хj Е &2(Н), 1 ^ ] ^ I, то

ЦХЬап(Х) ^ (ап(Хх) + ••• + ап(Хг)) р| ЦХ, Ц2.

j=l

Перейдем к оценке нормы разности Т(П) —V(П), вде П С Ъ\{—т,..., т}. Напомним, что оператор и из теоремы 3, осуществляющий преобразование подобия, представим в виде итк = I + Штк, вде Штк = ГтУ + ГкХ* + (ГтУ)(ГкХ*), Из леммы 1 следует равенство

Р(П) — Т(П) = ( ШткГ (П) — Г(П)]¥тк)(/ + Wтк

Тогда

ЦТ(П)ШткЦ2 < ||Р(П)(ГтУ)Ц2 + ||Р(П)(ГкХ*)||2+

+ ||Р(П)(ГтУ)(ГкХ*)|2 ^ ||Г(П)(ГУ)Ц2 + ЦТ(П)(ГХ*)|2+

+ ||Р(П)(ГУ)(ГХ*)|2 ^ Сх(а(П, ГУ) + а2(П,Х*)) ^ С2(а(П, ГУ) + а2(П, У)).

Отметим, что константы Сх и С2 те зависят от П. Аналогичной величиной оценивается норма ЦШткР(П)Ц2-

Оператор (I + Штк)-1 представим в виде (I + Штк)-1 = I + Е (—1)"^тк, поэтому

т к j=l

||(I + Wтк)-1 — 1Ц2 ^

-1 г|| ^ l|Wтк ||2

1 —||Wтк 112 В итоге получаем

||-Р(П) — Г(П)Ц2 < Сз(а(П, ГУ) + а2(П, У)), (29)

где константа С3 те зависит от П.

Н

1= ^ П + Г(к), 1= ^Тг + Г(к). \г\>к \г\>к

П

смотреть множество П = {п Е Щ > N}, вде N — достаточно большое натуральное число, и свойства 2) последовательности {ап}.

Следствие 1. Оператор L является спектральным оператором скалярного типа (см,. [45]j.

7. Доказательство теорем 1, 6, 8

Для построения группы операторов Т : R ^ End L2, генератором которой является исследуемый дифференциальный оператор с инволюцией L : W2 <Z L2 ^ L2, используем теорему 3 и ее более подробный вариант — теорему 16. Из теоремы 16, теорем 3, 12 и леммы 2 следует, что группа операторов Т(t), t G R, является U = ^^-ортогональной прямой суммой

— k—1 <х

Т(t) = и( 0 е(^0 0 е>^^ U—1, t G R, (30)

j=—x j=k+1

U

—k— 1 <x

L2 = h = 0 UU3 0 UH(k) 0 ( 0 Uh3у

j=—<x j=k+1

Отметим, что числа m, k G Z+, определены в теоремах 15 и 16 соответственно. При этом оператор Umk представим в виде (28), т. е. Umk = I + Wmk, где Wmk G S2(h).

Таким образом, построена группа Т : R ^ End L2, генератором которой является оператор L = L0 — V. Утверждение теоремы 1 о представлении классических и слабых решений задачи (1) следует из общей теории полугрупп операторов (см. [29], [30], [45]). Из доказанного представления (30) следует утверждение теоремы 6, где Ь3 = Xjj, Щ ^ m + 1, B(k) = X*. Отметим, что из теорем 3, 16 вытекает свойетво Е IbjI2 < ж.

\j\>m+1

Т

Парееваля, Производимые оценки фактически помещены в формулировку теоремы 8.

В заключении отметим, что результаты данной работы частично анонсированы в [46] и [47]. В [48] исследование проведено в русле данной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

2. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Метод Фурье в смешанной задаче для уравнения с частными производным,и первого порядка, с инволюцией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51., № 12. С. 2233-2246.

3. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Смешанные задачи для, гиперболических уравнений первого порядка, с инволюцией // Доклады РАН. 2011. Т. 441., № 2. С. 151-154.

4. Бурлуцкая М.Ш. О смешанной задаче для уравнения с частными производным,и первого порядка с инволюцией и с периодическим,и краевыми условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54., № 1. С. 3-12.

5. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Смешанная задача, для, простейшего гиперболического уравнения первого порядка, с инволюцией // Изв. Сарат. ун-та. Нов. серия. Сер. Математика, Механика, Информатика. 2014. Т. 14., № 1. С. 10-20.

6. Крицков Л.В., Сарсенби A.M. Спектральные свойства одной нелокальной задачи для, дифференциального уравнения второго порядка, с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51., № 7. С. 990-996.

7. Kritskov L.V., Sarsenbi A.M. Basicity in Lp of root functions for differential equations with involution 11 Electr. J. Differ. Equat. 2015. V. 278. P. 1-9.

8. Крицков Л.В., Сарсенби A.M. Базисность Рисса системы корневых функций для оператора второго порядка, с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53., № 1. С. 35-48.

9. Wiener J., Aftabizadeh A.R. Boundary value problems for differential equations with reflection of the argument // Intern. J. Math. Math. Sci. 1985. V. 8., № 1. P. 151-163.

10. Piao D. Periodic and almost periodic solutions for differential equations with reflection of the argument 11 Nonlinear Anal. 2004. V. 57., № 4. P. 633-637.

11. Cabada A., Tojo F.A.F. Existence results for a linear equations with reflection, non-constant coefficient and periodic boundary conditions // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 412., № 1. P. 529-546.

12. Cabada A., Tojo F.A.F. Solutions and Green's function of the first order linear equation with reflection and initial conditions // Boundary Value Problems. 2014. V. 99. P. 1-16.

13. Watkins W. Asymptotic properties of differential equations with involutions // Int. J. Pure. Appl. Math. 2008. V. 44., № 4. P. 485-492.

14. Kopzhassarova A.A., Lukashov A.L., Sarsenbi A.M. Spectral properties of non-self-adjoint perturbations for a spectral problem with involution // Abstr. Appl. Anal. 2012. article ID 590781. 5 pp.

15. Kopzhassarova A.A., Sarsenbi A.M. Basis properties of eigenfunctions of second-order differential operators with involution // Abstr. Appl. Anal. 2012. article ID 576843. 6 pp.

16. Садыбеков M.A., Сарсенби A.M. Критерий базисности системы собственных функций оператора краткого дифференцирования с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48., № 8. С. 1126-1132.

17. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Romanova E.Yu. Spectral analysis of a differential operator with an involution // J. Evolut. Equat. 2017. V. 17. P. 669-684.

18. Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24., № 1. С. 21-39.

19. Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50., № 3. С. 435-457.

20. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 54., № 4. С. 3-32.

21. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несом,отпряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75., № 3. С. 3-28.

22. Баскаков А.Г., Поляков Д.М. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом // Матем сб. 2017. Т. 208., № 1. С. 3-47.

23. Kalman R.E., Bucv R.S. New results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASMI. Ser. D.J. Basic Eng. 1961. V. 86. P. 95-108.

24. Przeworska-Rolewicz D. Equations with transformed argument: Algebraic approach. Amsterdam. Warsawa. 1973. 354 p.

25. Плнсс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука. 1964. 367 с.

26. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York. 1996. 412 p.

27. Arendt W., Betty C.J.K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Birkhauser/Springer Basel AG. Basel. 2011. 412 p.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967. 464 с.

29. Хнлле Э., Фнллнпс Р. Функциональный анализ и полугруппы. Издательство иностранной литературы. М. 1962. 830 с.

30. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equation. Springer-Verlag. New-York. 2000. 586 p.

31. Баскаков А.Г., Диденко В.Б. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченным,и периодическим,и коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51., № 3. С. 323-341.

32. Баскаков А.Г., Кабанцова Л.Ю., Коструб И.Д., Смагина Т.Н. Линейные дифференциальные операторы и операторные матрицы второго порядка, // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53., № 1. С. 10-19.

33. Баскаков А.Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений // Матем. заметки. 1978. Т. 24., № 2. С. 195-206.

34. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Издательство МГУ. 1978. 204 с.

35. Баскаков А.Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // УМН. 2013. Т. 68., № 1(409). С. 77-128.

36. Баскаков А.Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве // Матем. заметки. 2015. Т. 98., № 2. С. 174-190.

37. Баскаков А.Г. Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений // Матем. сб. 2015. Т. 205., № 8. С. 23-62.

38. Поляков Д.М. Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями // Алгебра и Анализ. 2015. Т. 27., № 5. С. 117-152.

39. Ускова Н.Б. О спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом // Уфимск. матем. журн. 2015. Т. 7., № 3. С. 88-99.

40. Ускова Н.Б. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора второго порядка с матричным потенциалом // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52., № 5. С. 557-567.

41. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. серия. Сер. Математика, Механика, Информатика. 2016. Т. 16., № 4. С. 395-402."

42. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в исследовании спектральных свойств разностных операторов с растущим потенциалом // Сиб. электрон, матем. изв. 2017. Т. 14. С. 673-689.

43. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов 11 Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61., № 6. С. 3-26.

44. Baskakov A.G., Krishtal I.A. Memory estimation of inverse operators //J. Funct. Anal. 2014. V. 267. P. 2551-2605.

45. Данфорд H., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. Т. I. М.: Издательство иностранной литературы. 1962. 896 с.

46. Баскаков А.Г., Ускова Н.Б. Обобщенный метод Фурье для систем дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 2. С. 276-280.

47. Баскаков А.Г., Ускова Н.Б. Спектральный анализ дифференциальных операторов с инволюцией и группы операторов // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 9. С. 1287-1291.

48. A.G. Baskakov, I.A. Krishtal, N.B. Uskova Linear differential operator with an involution as a generator of an operator group // Operators and Matrices. 2018. V. 12, № 3. P. 723-756.

Анатолий Григорьевич Баскаков, Воронежский государственный университет, Университетская пл., д. 1. 394018, г. Воронеж, Россия E-mail: anatbaskakov@yandex. ru

Наталья Борисовна Ускова,

Воронежский государственный технический университет, Московский пр-т, д. 14. 394016, г. Воронеж, Россия E-mail: [email protected]