CC BY
79
УДК 621.3.088.2, 004.94
Марусенкова Т. А.
Канд. техн. наук, асистент, Нацональний унверситет «Львiвська полiтехнiка», Украна
МЕТОД ОЦ1НЮВАННЯ ПОХИБКИ ВИМ1РЮВАННЯ МАГН1ТНОГО ПОЛЯ Эй-ЗОНДОМ З НЕЛ1Н1ЙНИМИ ВИХ1ДНИМИ _ХАРАКТЕРИСТИКАМИ_
У статтi запропонований метод оцшки придатностi результатiв вимiрювання магнiтного поля 3D-зондом, що складаеться з трьох сенсорiв, вихiднi характеристики яких залежать вiд усiх компонентiв вектора магштно! шдукци, а також !хшх квадра™. Одержанi аналiтичнi залежностi, якi дозволяють визначити, чи можна 3D-зондом магштного поля з вiдомими коефiцiентами вихщних характеристик забезпечити вимiрювання вектора магштно'!' шдукци з вiдносною похибкою, не бшьшою за задану.
Ключовi слова: 3D-зонди магнiтного поля, давачi Холла, похибка, вимiрювання.
НОМЕНКЛАТУРА
РХС - розщеплет холл!всьш структуры;
- коефщенти при компонентах вектора магнино! !ндукцп у трьох вихвдних сигналах 3Б-зонда магнитного
поля (I = 1^3, } = 1Д);
Ьу - коефщенти при квадратах компонент вектора магнитно! !ндукцп у трьох вихщних сигналах 3Б-зонда магштного поля (I = 1,3, ] = 1,3);
В - модуль вектора магнино! !ндукцп;
Вх - проекщя вектора магнино! !ндукцп на в1сь абс-цис у прямокутнш декартовш систем! координат, при-в'язанш до подкладки 3Б-зонда;
Ву - проекщя вектора магнино! шдукцл на вюь ординат у прямокутнш декартовш систем! координат, при-в'язанш до подкладки 3Б-зонда;
В2 - проекщя вектора магнино! !ндукцп на вюь апль кат у прямокутнш декартовш систем! координат, при-в'язанш до подкладки 3Б-зонда;
Вх/ - значення проекц!! вектора магнино! !ндукц!! на в!сь абсцис, знайдене з похибкою;
8 - вихщний сигнал /'-го давача у склад! 3Б-зонда магн!тного поля (I = 1,3);
А - матриця системи л!н!йних р!внянь;
АВх - абсолютна похибка величини Вх;
АВУ - абсолютна похибка величини Ву;
АВг - абсолютна похибка величини Вг;
а - кут м!ж в!ссю абсцис ! вектором магн!тно! !ндукц!!;
в - кут м!ж в!ссю аплшат ! вектором магн!тно! !ндукц!!;
N - допустима вщносна похибка, з якою потр!бно вим!ряти величину магнино! !ндукц!!;
У - допом!жна функщя;
q - допом!жна зм!нна, введена для стислосп запису;
ф - допом!жна зм!нна, кут м!ж векторами;
5В - вщносна похибка вим!рювання величини В.
ВСТУП
Давач! Холла е одними з найбшьш поширених сен-сор!в магн!тного поля завдяки !хн!м численним перевагам, зокрема, здатност! вим!рювати магн!тне поле в широких межах (10-5...102 Т), низькому енергоспоживанню (<10 мВт), мшмальним габаритам (1...3 мм) тощо [1, 2]. Традищйш холл!вськ! сенсори характеризуються симет-ричним розм!щенням пар струмових ! потенц!йних елек-тродав. 1хнш сигнал л!н!йно залежить ввд проекц!! вектора !ндукц!! магн!тного поля на нормаль до площини чутли-вого нашвпровщникового шару, що робить традицшш холл!вськ! сенсори простими у кал!бруванш та викорис-танн!. Р!зновидом давач!в Холла е розщеплен! холл!всьш структури (РХС), що в!др!зняються в!д традиц!йних да-вач!в Холла структурною асиметр!ею [3, 4], зокрема, РХС може мати два струмових ! лише один потенцшний елек-трод. За рахунок структурно! асиметрп забезпечуеться можлив!сть одночасного вим!рювання ус!х компонент вектора магн!тно! щдукци ! шдвищення просторово! роз-дльно! здатност! 3Б-зонд1в магн!тного поля на основ! РХС. Таким чином, РХС володшть перевагами перед традиц-шними холл!вськими сенсорами ! мають принципово нов! властивост!. Однак, окр!м переваг, структурна аси-метр!я РХС породжуе також ! !хню проблематику - вихвдт характеристики РХС у магниному пол! вже понад 500 мТ е нелшшними. Щоб знайти компоненти вектора магни-но! шдукци за допомогою зонд!в на основ! РХС, слад роз-в'язати систему нелжйних р!внянь, яка, взагал! кажучи, може мати б!льше шж один розв'язок. Метою роботи е визначення вимог, яким повинн! вщповщати 3Б-зонди магн!тного поля з вихвдними характеристиками, що залежать одночасно ввд ус!х компонент вектора магнино! !ндукцп ! !хн!х квадрат!в, щоб забезпечити можливють вим!рювання вектора магнино! !ндукцп з похибкою, не бшьшою за допустиму.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
У [5] розглянуто 3Б-зонд магнитного поля на основ! розщеплених холл!вських структур, вих!дн! характерис-
© Марусенкова Т. А., 2014 38 БОТ 10.15588/1607-3274-2014-2-6
р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2014. № 2 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Е1еойоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2014. № 2
тики яких у магштних полях понад 500 мТ описуються функщями вигляду:
аиВх + а12 Ву + 013 В2 + ЪпВ2 + ¿12 Ву + ¿13 Ву =
«21Вх + 022 Ву + 023 Вг + Ъ21Вх + Ъ22 Ву + Ъ23В2 = 82 (1)
а31Вх + а32Ву + а33В2 + Ъ31ВХ + Ъ32ВУ2 + Ъ33В = 83 , де 8г - вихщний сигнал /'-го сенсора у склад! 3Б-зонда, В = (Вх В у Вг) - вим1рювана векторна величина, ау,
Ъу (г = 1,3, У = 1,3) - ввдом1 коефщенти.
Р1вняння (1) е р1вняннями квадрик 1, що очевидно з !хнього геометричного змюту, можуть мати бшьше, шж один розв'язок (деюлька точок перетину квадрик). Нео-днозначшсть розв'язк1в обмежуе та ускладнюе застосу-вання 3Б-зонд1в з вихвдними характеристиками вигляду (1). Тим не менш, 3Б-зонд може бути придатний для викори-стання у випадках, якщо вся множина розв'язк1в системи (1) знаходиться у межах певно! допустимо! похибки. У данш робот поставлена задача знаходження анал1тичних залеж-ностей, яким повинн задовольняти коефщенти агу, Ъ^ для
забезпечення вим1рювання модуля вектора магштно! шдукци з ввдносною похибкою, не бшьшою за задану.
2 ОГЛЯД Л1ТЕРАТУРИ
Як вже вщзначалося, зонди на основ! розщеплених холл1вських структур характеризуються нелтйними характеристиками, причому нелшйшсть залежить ввд ве-личини вектора магнино! шдукци. Ввдповвдно, результа-ти застосування таких зонда залежать ввд умов застосу-вання, тобто, для р1зних величин магштного поля розкид розв'язшв буде р1зним. Тому для можливосп прийняття ршення про коректшсть результапв доцшьно викорис-товувати зазначен зонди у склад! штелектуальних сен-сор1в [6], «мозком» яких е м1кроконтролери.
Можна видалити два принципово р1зш тдходи до ви-користання зонд1в, для яких результат знаходження шу-кано! векторно! величини на основ! !хшх вихщних сиг-нал1в е неоднозначним. Один з щдход!в - д1знатися число розв'язк1в системи нелшшних р1внянь (зокрема, вигляду (1)). Якщо це число виявиться б1льшим за 1, - обчислити вщстань м1ж розв'язками. Типово для пошуку илькосп розв'язк1в системи нелшшних р1внянь застосовують базис Гребнера [7, 8]. Однак, застосування цього методу в штелектуальних сенсорах обмежуеться можливостями м1кроконтролер1в внаслщок чутливосп методу до точ-носп пром1жних обчислень. Споаб вщдшення корешв для застосування в штелектуальних сенсорах запропо-нований у [9]. Знаходження числових областей, що мютять розв'язки, дозволяе приблизно ощнити, наск1льки розв'язки в1др1зняються один ввд одного. Якщо ця ввдмштсть !стотна, необхадн додатков1 заходи, що дозволили б вщкинути зайв1 розв'язки. Якщо ж уа розв'язки системи нелшшних р1внянь (складених на основ! вихвд-них характеристик зонда та зчитаних сигнал1в) в1др1зня-ються не бшьше, шж на допустиму похибку, достатньо
знаити один з розв язюв 1 провести ощнку, насюльки ютин-не значения може в1др1знятися ввд знайденого. Мож-лив1сть виконання ц1е! умови залежить ввд коефщенпв ау, Ъу. Зокрема, чим меншими е коефщенти при квад-
2 2 2
ратах Вх, В у 1 Вг вим1рювано! векторно! величини (по ввдношенню до коефщенпв при Вх, Ву, Вг), тим менше розв'язок системи р1внянь (1) в1др1зняеться в1д розв'язку ще! системи р1внянь при Ъ^ = 0 (тобто, ввд розв'язку системи лшйних алгебра!чних р1внянь).
На практищ коеф1ц1енти при квадратах Вх, В2у \ В^ у вихвдних характеристиках зонд1в на основ1 РХС у певному д1апазон1 магштних пол1в е значно меншими за коефщенти при компонентах вектора магштно! шдукци, що умож-ливлюе 1снування р1шення задач1, сформульовано! у стат. Кр1м того, у кожного з сенсор1в на основ1 РХС типово бшьш вираженою е чутливють до складово! вектора магн-ггао! 1ндукц1!, перпендикулярно! до площини !хнього чут-ливого шару, н1ж чутливють до двох 1нших компонент. 3 МАТЕРЬАЛИ ТА МЕТОДИ Запишемо систему р1внянь (1) у наступному виглядк
а11Вх + а12Ву + а13Вх = -(Ъ11В1 + ЬцВу + Ъ13) ,
а21Вх + а22Ву + а23Вг = 82 - (Ъ21В2 + Ъ22^у + Ъ23В2 ),
«31Вх + «32Ву + «33Вг = 83 - (Ъ31В2 + ^32В>2 + Ъ33в2 ) .(2) Розв'яжемо СЛАР
АВ = 8, (3)
де А - матриця системи (2), 8 = ( 82 83 ). В результат! цього отримуемо вектор-розв'язок В, який в!др!зняеться вщ !стинного значення вим!рюваного вектора. Р!зниця м!ж обчисленим вектором В ! ютинним
( 2 2 2 \ Ъ11Вх + Ъ12Ву + Ъ13Вг ),
(ЪцВх2 + Ъ22 Ву + Ъ23 В1), (Ъ31Вх2 + Ъ32 Ву + Ъ33 В1) - чим
вони менш!, тим меншою буде похибка. Компонента шуканого вектора Вх може бути виражена наступним чином:
°х/ =
81 (а22а33 - а23а32 ) + 82 (а13а32 - а12а33 ) + 83 (а12а23 - а13а22 )
' И1
■ (4)
де |А| - визначник матриц! системи (2).
Абсолютну похибку компоненти вектора АВх можна оц!нити як абсолютну р!зницю м!ж значеннями Вх, обчисленими з1 СЛАР (2) ! СЛАР (3). Отже:
АВх = РА'(ЪпВу + Ъ12Ву + Ъ13Ву )(а22а33 - а23а32) + + А' (Ъ21В2 + Ъ22В2у + Ъ23В2 ) (а13а32 - а12а33 ) +
•((,1ву+Ъ,2 В+^ у«12«23 - <,3<,2). ,5»
Тут i надалi шд позначеннями Bx, By, Bz та B розумь емо í'xhí iстиннi значения. З теори похибок вiдомо, що абсолютна похибка суми не перевищуе суми абсолют-них похибок складових. Такий пiдхiд для оц1нки похибки дасть завищений результат. Тим не менш, спочатку оць нимо абсолютну похибку першого доданка у (5) як фуикци вiд a i в - купв, що визначають компонента Bx, By i Bz вектора B. Очевидно, що величини
(а22азз - а23а32) та \A\ не залежать ввд a та в i не впли-вають на результат, тому шукатимемо максимальне зна-чення функци:
y = b11B2 cos2 a sin2 в + b12B2 sin2 a sin2 в + b13B2 cos2 в . (6)
Враховуючи те, що функщя у е перюдичною i виз-наченою для вах чисел a i в, шукатимемо li значения у стацюнарних точках.
Знайдемо частиннi похвдщ:
ду 2 ■ 2 2 ■ 2
— = —2bjjB sin в cos a sin a + 2bj2B sin в sin a cos a =
5a
= sin2a(—bjjB2 sin2 в + b12B2 sin2 в) = sin 2a-B2 sin2 в((2 — b11),
2 2
3. Для непарних значень n у = b^B = B , для пар-них - у = buB2 = b13 B2;
4. Для непарних значень n у = bnB2 = bi2B2, для пар-них - у = b13 B2 ;
5. у = b11B2 = b12 B2 = b13 B2 .
Оск1льки абсолютну похибку ощиюють як найбiльше з абсолютних значень ввдхиления м1ж iстинним i вишря-ним значениям функци, то перевiряти знайденi стацю-нарнi точки на наявтсть у них локального мшмуму або максимуму непотрiбно. Вибираемо серед знайдених значень функци у стацюнарних точках максимальне аб-солютне значения, враховуючи умови рiвностi ко-ефiцiентiв b11, b12, b13.
У будь-якому випадку, максимальне значения функци
(6) можна оцiнити як max {| bn| B2, [b^l B2, B2 },
тобто, як максимальний з коефщенпв при функщях
2 2 2 2 2 cos a sin в, sin a sin в, cos в.
Оцшимо максимальне значения функци (5). Згрупуемо множники при B^, B^, B2:
ду 2 2 2 2
— = 2ЬцЕ cos a sin в cos в + 2b12B sin a sin в cos в — дв
—2^13Б2 sin в cos в = B2 sin 2в ((1 cos2 a + b^ sin2 a — b^ ) , Розв'яжемо вiдносно a i в систему рiвнянь:
sin 2a- B2 sin2 в (b12 — b11) = 0, IB2 sin2в(bll cos2 a + b^ sin2 a — b13) = 0,
Знайдена множина розв'язкiв:
1. в = пп, n e Z, значения a довшьне.
, nn nk , 7
2. a = —, n e Z, В = —, k e Z.
2 2
3. a = —, n e Z, значения в - довшьне, якщо b,, = bl3
2 11 13
i n - парне або b12 = b13i n - непарне.
4. R=— , n e Z, значения a - довшьне, якщо
2
b11 = b12 * b13.
5. Bti значения a та в, якщо b11 = b12 = b13. Знайдемо значения фуикци (6) для знайдених стацюнарних точок:
1. у = b13 B2;
2. Для парних значень n i париих зиачеиь k: у = b13B2; Для парних значень n i непарних значень k: у = ЬцБ ; Для непарних значень n i парних значень k: у = b^ B2; Для непарних значень n i непарних значень k:
у = b12 b 2 ;
a22a33 a23a32
) + b21 (
a13a32 a12a33
) +
+ b31 ( a12a23 a13a22 )) Б
+J^A ■ (b12 (a22a33 — a23a32 ) + b22 (a13a32 — a12a33 ) +
+И M
+ b32 (a12a23 — a13a22 ))Бу2 + ?22a33 — a23a32 ) + b23 (a13a32 — a12a33
) +
+ b33 (a12a23 — a13a22 ))Bz2 . (7)
Якщо виразимо Bx, Бу i Bz у сферичних координатах, легко побачити, що за аналопею з попередшм випад-ком (пошуку максимуму функци (6)), максимальним значениям ABx буде максимальне серед абсолютних значень:
JA • |b11 (a22 a33 — a23a32 ) + b21 (a13a32 — a12a33 ) + + b31 ( a12 a23 — a13a22 )| b2,
jA • |b12 (a22a33 — a23a32 ) + b22 (a13a32 — a12a33 ) +
+ b32 ( a12a23 — a13a22 ^ B 2, (8)
Похибки АБу i ABz знаходимо аналогiчно.
p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлшня. 2014. № 2 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2014. № 2
Максимальне значения ABy можна оцшити як мак-b11 (a23a31 - a21a33 ) + b21 (a11a33 - a13a31 ) +
симальне серед значень: J_
И
Перетворимо (14) наступним чином:
(AS)2 = (В2 + 2BxABx + 2ByABy + 2BzABz + AB:J + Ab2 + Ав2 )-
з(ь
-2BJB2 + 2 BxABx + 2 By ABy + 2 Bz ABz + AB^ + ABy; + ABz2 + B2.
(15)
+ b31 (a13a21 - a11a23 ))
Щдставимо (15) у (11):
S2 + 2 Bx ABx + 2 By ABy + 2 Bz ABz + Ав2 + ABy2 + ABz2 ) -
\A\
Ь («23«31 - «21«33 )+ b22 (a11«33 - «13«31 )+ -2 B^B2 + 2 Bx ABx + 2By ABy + 2BZ ABZ + AS2 + AB^ + ABZ2 +B2< (16)
+ b32 (a13a21 - a11a23 )|B2, (9) < N2B2.
И • |b13 (a23a31 - a21a33 ) + b23 (a11a33 - a13a31 ) +
+ b33 (a13a21 - a11a23 )|B 2.
змшних
а максимальне значення ABz - як максимальне серед значень:
1
И
|b11 (a21a32 - a22a31 ) + b21 (a12a31 - a11a32 ) +
+ b31 (a11a22 -a12a21 )), РИ '|b12 (a21a32 - a22a31 )+ b22 (a12a31 - a11a32 ) + ■
+ b32 (a11a22 - a12a21 )|B2, (10)
j-И • |b13 (a21a32 - a22a31 ) + b23 (a12a31 - a11a32 ) +
+ b33 (a11a22 -a12a21 )|B2.
Нехай потр1бно забезпечити точшсть обчислень модуля вим1рювано1 векторно! величини, не пршу за N %, тобто, повинно виконуватися сшввшношення:
B < N, що р1внозначно (AB2) < N2 i (AB)2 < B2N2.(11)
Виразимо похибку AS через координати вектора Bx, By, Bz та 1хт похибки:
AB = yj(Bx +ABx )2 +(By + ABy )2 + (Bz + ABz ) -
+ в2у + Bz21
■). (12) Пщнесемо л1ву та праву частину (12) до квадрату:
(AB)2 = (Bx + ABx )2 + (By +ABy )2 +(Bz + ABz)2 --2^(BX + AB, )2 + (By + ABy )2 + (Bz + ABZ )2 ) (.
) Kb2 + B2 + Bz2)+(Bx2 + B2 + Bz2). (13)
Шсля алгебра1чних перетворень одержу емо:
(AB )2 = ( + 2BxABx + AB2 + B2 + 2 By ABy + ABy2 + B^ + 2BzABz + AB^ )-
A2 , /с2 , с2 , c2\
(14)
Зробимо замшу
q ^^/B^TzBxÂBxTiSyÂByTISzÂBzTÂB^TAByTÂB2
i розв'яжемо нер1вшсть
q2 -2Bq + B2 (1-N2)< 0. (17)
D = (-2B) - 4B2 (1 - N2 ) = 4B2N2, 2B±2BN
q1,2 =■
■ = B (1 ± N ).
Розв'язки нер1вносп: B (1 - N) < q < B (1 + N). Зввдси
B2 (1 - N)2 - B2 < 2BxABx + 2ByABy + 2Bz ABz +
+ AB2 +AB2y +AB2 < B2 (1 + N )2-B2. (18)
Представимо 2Bx ABx + 2By ABy + 2Bz ABz як скаляр-ний добуток вектор1в
2(Bx By Bz )-(aBx ABy ABz ) = 2ByjAB2X +AB2y + AB^ оф,(19)
де Ф - кут м1ж векторами. Найменше значення виразу
2Bx ABx + 2By ABy + 2Bz ABz + ABx2 +ABy; + AB^. (20)
досягаеться при cos ф = -1, а найбшьше - при cos ф = 1.
Звшси випливае, що для забезпечення умови (18) най-менше можливе значення виразу (20) повинно бути не
меншим за B2N (N - 2), а найбшьше - не бшьшим
B2 N ( N + 2):
за
-2B^АВ2 +ABy +ABZ2 + AS2 + ABj2 + ABZ2 > B2N(N -2),(21)
2B^ABx2 +AB2 +AB2 +АВ2 +ABy2 +AS2 < B2N(N -2).
П1сля множення першо1 нер1вност1 у (21) на -1 отри-муемо систему нер1вностей:
AB2 +AB_2 +ABz2 -(ab2 +AB^ +Ав2 ) < -B2N(N-У2.(2У) 2B^АВ2 +AB:2 +Ав2 + (ab2 +АВУ2 + Ав2 ) < B2N (N + 2).
Пiсля додавання лiвих i правих частин цих нерiвнос-тей, вiдповiдно, одержимо:
4В^ АВХ2 +АБ2у + АВ: < - В2 N ( - 2) + В2 N ( + 2), або, тсля спрощення,
аб2 +АБ2 +АБ2 < BN.
(23)
Щднесемо вираз (23) до квадрату:
аб2 +АБ2 +АБ2 < в2 N2.
. (24)
Як було показано вище, залежносп (8), (9) та (10) да-ють достатньо строп оцшки похибок АБх , АВу, АВ2.
Однак, спiввiдношення (8), (9) та (10) мютять величину В 2, а лiва частина спiввiдношення (24) - величину В 4, яка не е ведомою. Пюля скорочення на В4 у лiвiй частинi (24) для ввдомих коефiцiентiв ац, Ъц, буде фiксоване число, у
N 2
правш - величина-. Таким чином, тдставляючи не-
В2
обхiднi значения у формулу (24) i перевiряючи, чи вико-нуеться нерiвнiсть, приймаемо рiшения про достовiрнiсть результапв вимiрювання вказано! величини магштно! iидукцil iз заданою похибкою. 1нше застосуваиня форму-ли - за заданим значенням величини магштно! iидукцil можна визначити максимальну ввдносну похибку.
4 ЕКСПЕРИМЕНТИ
Безпосереднi експеримеитальнi дослвдження е недо-цiльними внаслвдок того, що на практищ складно одержа-ти достатню вибiрку 3Б-зонд1в магнiтного поля з рiзними наборами коефiцiеитiв вихвдних характеристик i потрiбно було б провести значну к1льк1сть вимiрювань. Тому для верифшацл одержаних результапв було використано iмiта-цiйне моделювання. За допомогою програми, розробле-но! у середовищi МАТЬАБ, 1000 разiв випадковим чином
генерувалися значення коефщенпв ац, Ъ ц, (у = 1,3, Ц = 1,3) вихвдних характеристик (1), а для кожного набору коефщенпв 50 разiв генерувалися випадковi значення ком -понент вектора магштно! шдукцл Вх, Ву, Вг. За формулами (1) розраховувалися значення «вихвдних сигналiв» да-вачiв ^1, 5*2, ^э. Для кожного набору випадковим чином згенерованих чисел розраховувалися компонента вектора магнiтноi iидукцii як розв'язки СЛАР (3), без урахуван-ня квадратичних складових вихвдних характеристик. Далi обчислювалися абсолютнi похибки кожно! з компонент вектора магнино! шдукщ! (як абсолютна рiзниця мiж роз-в'язком СЛАР (3) та випадковим чином згенерованими компонентами вектора магнiтноi шдукцл Бх, Ву, В2), а також абсолютна АВ i ввдносна 8В похибки самого вектора магнiтноi шдукцп В. Для кожного набору згенерованих чисел за аналгтичною залежтстю (24) перевiрялася мож-ливiсть вимiрювати вектор магштно! шдукщ! з похибкою, не пршою за задану, i результати з^авлялися з обчисле-ною ввдносною похибкою 8В.
5 РЕЗУЛЬТАТИ
Для вах коефщенив ац, Ъц, (у = 1,3 , Ц = 1,3), що задо-
вольняли умов1 (24), обчислена вщносна похибка 8В не пере-вищувала задану вщносну похибку. Однак, з-пом1ж знегеро-
ваних випадковим чином коефщенив, ац, Ъц, (у = 1,3, Ц = 1,3) траплялися таю, що не задовольняли умову (24) ^ тим не менш, для жодного з 50 набор!в компонент вектора магштно'! шдукци Бх , Ву, В2 вiдиосиа похибка 8В не перевищувала задану.
6 ОБГОВОРЕННЯ
Пор!вняльний аиалiз результатiв iмiтацiйиого моделюван-ня з представленими у статтi аналтчними розрахунками показали, що оцшки (8), (9) та (10) абсолютних похибок АБх , АВу, АВг е завищеними. 1ншим можливим джерелом зави-щення оцшки е спрощення виразу (20), осюльки мало ймов1р-
но, щоб вектори (Вх Ву Вг) та (АВХ АВу АВг)
були колшеарш або аитиколiиеариi. Отже, виконання умови (24) забезпечуе можливють вим!рювання вектора машто! шдукци 1з заданою точшстю, однак, порушення умови (24) ще не означае вщсутшсть тако! можливост! Подальшим роз-витком наведених у робот результатiв може бути менш строга ! бшьш складна в обчислеииi оцiика придатност 3В-зонда для практичного використання. Якщо ж встановлено, що система р!внянь (1) може мати розв'язки, що вщр1зняються м1ж собою бшьше шж на величину допустимо! похибки, шляхом виршення проблеми може бути структурна модифжащя 3Б-зонда, при якш до системи (1) додаеться одне чи бiльше рiвияиь, введення яких обмежуе множину розв'язк1в.
ВИСНОВКИ
Запропоновано метод оц1нки придатностi 3Б-зонда магнiтного поля на основ1 давач!в Холла, вих1дн1 характеристики яких залежать в1д ус1х компонент вектора магттнох щдукцл та 1хтх квадратiв, для вимiрюваиия вектора магттно! 1ндукц1! з похибкою, що не перевищуе задану. Вперше одержано анал^гичну залежнiсть (нерiвнiсть), яка дозволяе за коефщентами вих1дних характеристик 3Б-зонда магнiтного поля визначити, чи можна забепечити вимiрювання вектора магнiтноl iидукцii у заданих межах з допустимою похибкою за допомогою цього 3Б-зонда. Якщо коефщенти вих1дних характеристик сенсор!в у складi 3Б-зонда, задана величина магнино! 1ндукц1! та максимальна допустима похибка задовольняють нер!вшсть, результати вим!рювання магнiтного поля га-рантовано перебуватимуть у межах допустимо! похибки, шакше - потр16н1 додатковi дослщження.
Одержана аналiтична залежнiсть може бути застосо-вана передусiм для задач вишрювання магнiтного поля за допомогою сенсор!в на основ1 РХС. Однак, викладе-ний математичний апарат може бути адаптований для сенсор!в шших векторних величин.
ПОДЯКИ
Роботу виконано за сприяння Лабораторil магнпних сен-сор1в Нацiонального уиiверситету «Льв!вська полiтехиiка», що люб'язно надала результати експериментальних вим1рю-вань вих1дних ситшл1в досл1дних вз1рд1в 3В-зонд1в магнiтно-го поля на основ1 розщеплених холл!вських структур.
p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2014. № 2 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2014. № 2
5.
СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ
Popovic R. S. Hall Effect Devices / R. S. Popovic. - Adam Hilger, Bristol, Philadelphia and New York, 2002. - 420 p. Мжроелектронш сенсорш пристро! магштного поля / [I. А. Большакова, М. Р. Гладун, Р. Л. Голяка, З. Ю. Готра та ш.] ; за ред. З. Ю. Готри. - Львiв : Вид. Нацюнального ушверситету <«Л^вська полтехнжа», 2001. - 412 с. HjBi конструкцп нашвпровщникових тонкоплiвкових 3-D сенсорiв магнiтного поля / [I. А. Большакова, Р. Л. Голяка, О. Ю. Маюдо, Т. А. Марусенкова] // Электроника и связь. - 2009. - № 2-3. - С. 6-10. Popovic R. S. Not-plate-like Hall magnetic sensors and their applications / R. S. Popovic // Sensors and Actuators A: Physical. - 2000. - Vol. 85, Issues 1-3. - P. 9-17. Большакова I. А.Польова характеристика сенсорiв магштного поля на розчеплених холлiвських структурах / I. А. Большакова, Р. Л. Голяка, Т. А. Марусенкова // Вюник
9.
Ha^oHajbHoro yrnBepcHTeTy «JJbBiBCbKa nojiTexHiKa». -2010.- № 681 EjeKTpoHka. - C.66-75. Chaudhari M. Study of Smart Sensors and their Applications / M. Chaudhari, S. Dharavath // International Journal of Advanced Research in Computer and Communication Engineering. - 2014. - Vol. 3, Issuel. - P. 5031-5034. Sturmfels B. What is a Grobner Basis? // Notices of the AMS. -2005. - Vol. 52. - P. 2-3.
Adams W. W. Introduction to Gra,bner Bases. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1994.
Marusenkova T. Approach To Roots Separation For Solving Nonlinear Equations On ARM Cortex-Based Microcontrollers [Text] / T. Marusenkova, I. Yurchak // «CAD in Machinery Design. Implementation and Educational Issues» : XXII Ukrainian-Polish Conference : prxeedings. - Lviv, 2014. -P. 101-103.
CTaTTa Hagrnmjja go pega^iï 04.11.2014.
Марусенкова Т. А.
Канд. техн. наук, ассистент, Национальный университет «Львовская политехника», Украина
МЕТОД ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 3D-ЗОНДОМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ВЫХОДНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
В статье предложен метод оценки применимости результатов измерения магнитного поля с помощью 3Б-зонда, состоящего из трех сенсоров, выходные характеристики которых зависят от всех компонентов вектора магнитной индукции и их квадратов. Выведены аналитические зависимости, позволяющие проверить возможность обеспечить измерение вектора магнитного поля с относительной погрешностью не больше заданной с помощью 3Б-зонда магнитного поля с известными коэффициентами выходных характеристик.
Ключевые слова: 3Б-зонды магнитного поля, датчики Холла, погрешность, измерение.
Marusenkova T. A.
PhD, Assistant, Lviv Polytechnic National University, Ukraine
METHOD OF EVALUATING INACCURACY OF MAGNETIC FIELD MEASUREMENT USING A 3D-PROBE WITH NONLINEAR OUTPUT CHARACTERISTICS
The work proposes a method allowing to check whether the desired accuracy of magnetic flux-density vector's measurement can be achieved using a magnetic 3D probe based on three sensors with output characteristics dependent on all the magnetic-flux density vector's components and the squared components. As the result of the method we've obtained analytical formulas that allow to predict the 3D-probe's applicability for measuring the magnetic field's magnitude with the acceptable inaccuracy.
Keywords: magnetic 3D probes, Hall devices, inaccuracy, measurement.
REFERENCES
1. Popovic R. S. Hall Effect Devices. Adam Hilger, Bristol, Philadelphia and New York, 2002, 420 p.
2. Bol'shakova I. A., Gladun M. R., Goljaka R. L., Gotra Z. Ju. ta in. Mikroelektronni sensorni prystroi' magnitnogo polja; za red. Z. Ju. Gotry. L'viv. Vyd. Nacional'nogo universytetu «L'vivs'ka politehnika», 2001, 412 p.
3. Bol'shakova I. A., Holyaka R. L., Makido O. Yu., Marusenkova T. A. Novi konstruktsiyi napivprovidnykovykh tonkoplivkovykh 3-D sensoriv mahnitnoho polya, Elektronyka y svyaz', 2009, No. 2-3, pp. 6-10.
4. Popovic R. S. Not-plate-like Hall magnetic sensors and their applications, Sensors and Actuators A: Physical, 2000, Vol. 85, Issues 1-3, pp. 9-17.
5. Bol'shakova I. A., Holyaka R. L., Marusenkova T. A. Pol'ova kharakterystyka sensoriv mahnitnoho polya na
rozcheplenykh khollivs'kykh strukturakh, Elektronika. VisnykNatsional 'noho universytetu «L 'vivs 'kapolitekhnika», 2010, No. 681, pp. 66-75.
6. Chaudhari M., Dharavath S. Study of Smart Sensors and their Applications, International Journal of Advanced Research in Computer and Communication Engineering, 2014, Vol. 3, Issue 1, pp. 5031-5034.
7. Sturmfels B. What is a Gro bner Basis?, Notices of the AMS, 2005, Vol. 52, pp. 2-3.
8. Adams W. W. Introduction to Gra,bner Bases. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1994.
9. Marusenkova T., Yurchak I. Approach To Roots Separation For Solving Nonlinear Equations On ARM Cortex-Based Microcontrollers [Text]. XXII Ukrainian-Polish Conference on «CAD in Machinery Design. Implementation and Educational Issues». Lviv, 2014, pp. 101-103.
1
6
7
8
4
