Метод оптимизации в задаче расчёта оптимальной траектории самолёта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85.62

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОИ

ТРАЕКТОРИИ САМОЛЁТА

© В. Г. Малинов

Ключевые слова: проекционные обобщённые двухшаговые двухэтапные методы; минимизация; переменная метрика; оптимальная траектория; самолёт.

Аннотация: В работе предлагаются новые проекционные обобщённые двухшаговые двухэтапные методы минимизации функций с "овражными" гиперповерхностями уровней в евклидовом пространстве; с их помощью решается тестовая задача оптимизации траектории разворота самолёта в плоскости горизонта; приводятся результаты вычислительных экспериментов.

1. При решении задач оптимального управления движением дозвуковых и сверхзвуковых самолётов с воздушно-реактивными двигателями (т.е. аппаратов, скорость которых намного меньше круговой скорости) в пространстве и в горизонтальной плоскости, имеются значительные трудности: удовлетворения заданным конечным условиям; учёта ограничений на фазовые координаты и управляющие функции; «овражности» и многоэкстремальности получаемой для минимизации вспомогательной функции. Решить задачу оптимального управления (ЗОУ) численным методом на порядок труднее, чем обычную задачу оптимизации. В работе [1] для решения таких трудных задач минимизации были предложены проекционные двухэтапные двухшаговые методы переменной метрики; здесь предлагается их модификация и апробируется на ЗОУ движением самолётов в плоскости горизонта.

[1]

этапный метод переменной метрики.

1 этап. zk = Pq [xk + акyk/\\yk||] ; m

2 этап. xk+1 = Pq [zk — Yk B (zk )Vf (zk )/||Vf (zk )||] , k = 0,1, 2,... (1)

где x-1 = x0 E En] Pq[v] - проекция век тора v на выпуклое замкнутое множество Q из евклидова n-мерного пространства En, нормированного скалярным произведением, ||x|| = (x,x)1/2 yx E En; yk = xk — xk-1; ak, Yk —параметры метода; B(zk) = Bk — последовательность

положительно определённых диагональных матриц; последнее означает, что наряду с данной, в пространстве En введена новая метрика с помощью другого скалярного произведения (B(x)u, и) и B(x) : En —> En при каждом фиксированном x E En есть самосопряженный, линейный,

положительно определённый оператор, изменяющий метрику пространства. []

Yk = arg min1>0f \zk — YB(zk)Vf (zk)/||Vf (zk)||] для поиска только одного параметра Yk-

Предлагаемый метод и его версии здесь реализованы в алгоритмах штрафных функций (МШФ).

[1]

этапе, что позволяет предотвратить выброс из «оврага» на первом этапе работы методов.

3. В качестве примера задачи о развороте самолёта в плоскости горизонта построим мате-

[2]

353-355). В предположении постоянства высоты манёвра система дифференциальных уравнений

ДВИЖ6НИЯ СЭ.МОЛ6ТЭ. ИМ66Т ВИД1

2dD/dt = V cos(n) = f1(x,u); dy/dt = —gu2N sin(Y)/V = f4 (x,u); „

dZ/dt = —V sin(n) = f2(x,u); dw/dt = —cs = f5(x,u);

(1У/(И = д \и1Реов(а) — схд°Б] /ш = /3(х,и),

где д0 = р(К)У2/2- р(К) = 3, 3 • 10-10К2 — 1,155 • 10-5К + 0,125; Р = [10 + У2/(а(К))2](25000 — К)/12, 5; а(К) = 340, 3 — 0, 00408К; а = ^Мш/^Р + 4, 6д0Б)с = [7 + 2(щ — 0, 3)2] и1Р/3600; Сх = 0, 02 + + 3,174а2 + 0, 03и3; N = шт {д0Б/ш; 150000/ш; 8}, где О = х1, Z = х2— декартовы координаты самолёта (продольная и боковая); К— высота над Землёй; У = хз— модуль вектора скорости; П = Х4— угол курса; тд = ш = Х5— вес самолёта; П1— величина тяги двигателя, отнесённая к максимальному значению тяги Р; П2— величина перегрузки, отнесённая к максимальному значению перегрузки N из — величина тормозящей силы, отнесённая к её максимальному значению; 7 = и4— угол крена; а — угол атаки; Б = 55 м2 — характерная площадь самолёта; д0— скоростной напор; сх — коэффициент лобового сопротивления; с3 — секундный расход топлива; д = 9.81 м/с2. Заметим, что р(К) и а(К) будут постоянными.

Ограничения на управления и их производные: 0.05 € и1 € 1; 0.01 € и2 € 10 € из € 1;

йщ

€ 0.2;

йи2

€ 0.25;

йиз

€ 1;

йи4

€ 1.57 рад/с;

(3)

Начальные условия для фазовых координат и значения управлений:

х1(0) = х2(0) = х4(0) = 0; К(0) = 7000 м; х3(0) = 300 м/с;

х5(0) = 20000 кГ; и1(0) = и!; и2(0) = 1/М(х(0)); и3(0) = и°°; и4(0) = 0. (4)

Конечные значения фазовых координат и управлений:

К(Т) = 7000 м; х4(Т) = —п; и2(Т) = 1/М(х(Т)); и4(Т) = 0. (5)

Для задачи (2) — (5) фазовый век тор х Е Е5, а вектор управл ений и Е Е4. Рассмотрим численное решение одной её подзадачи.

(2) — (5) [2] — [3]

На ММ (2) — (5) ставится задача оптимадьного быстродействия: найти вектор и^) управлений, удовлетворяющий системе (2), ограничениям (3), (5) и переводящий самолёт из горизонтального полёта на высоте 7000 м в горизонтальный полёт на высоте 7000 м с разворотом вектора скорости

(4)

Минимизируется время движения Т, условия (5) образуют систему терминальных ограничений. Начальные приближения для МШФ: То = 20 с; ^(¿) = 0, 476; и2^) = 0, 31 из(^ = = 0, 001 и4^) = 1, 5 8т(п£/То). Результаты решения приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

t т^) У п° О Z

0 20000,0 300,0 0,0 0,0 0,0

0,79145 19996,945 303,334 -0,00001 249,300 0,00001

1,5829 19993,885 305,231 -3,35100 501,370 0,00002

2,3743 19990,821 304,796 -10,7920 754,583 14,827

3,1657 19987,758 301,469 -20,5470 1003,389 62,255

4,7486 19984,700 291,093 -42,5740 1447,516 279,245

6,3314 19978,613 281,931 -63,9180 1767,756 633,777

7,9143 19972,556 273,879 -84,6130 1933,061 1066,470

9,4971 19966,527 266,776 -104,737 1935,865 1516,841

11,080 19960,520 260,488 -124,356 1788,287 1930,352

12,663 19954,534 254,904 -143,530 1517,429 2263,059

14,246 19948,564 249,934 -162,308 1160,299 2484,284

15,037 19942,610 249,043 -170,451 962,427 2547,403

15,829 19940,685 249,175 -176,723 758,340 2581,734

16,620 19939,402 250,030 -180,081 551,614 2593,571

Обозначения в таблице 1: т(Ь) - переменный вес самолёта в моменты времени t по мере расхода горючего; У - скорость самолёта; гр ~ угол курса в градусах; О - продольная дальность; Z - боковая дальность.

Полученное в таблице 1: п = —180, 0810 соответствует значению п = —3,1430018; время счёта для одного значения штрафного коэффициента (и = 5) 10 с, всего 30 с. В таблице 2 ^тах = = 1, 2636 соответствует максимальному углу крена 72024/. Конечное значение ограничения равенства и2(Т) — 1/М(х(Т)) = 0, 000004.

Таблица 2

Оптимальные значения управляющих переменных

t Ul (t) U2 (t) U3(t) u4(t)

0,0 0,7550 0,01 0,001 0,00001

0,79145 0,7550 0,1800 0,001 0,7200

1,5829 0,7550 0,4400 0,001 1,26360

2,3743 0,7550 0,6800 0,001 1,26360

3,1657 0,7550 0,8900 0,001 1,26360

4,7486 0,7550 1,0000 0,001 1,26360

6,3314 0,7550 1,0000 0,001 1,26360

7,9143 0,7550 1,0000 0,001 1,26360

9,4971 0,7550 1,0000 0,001 1,26360

11,080 0,7550 1,0000 0,001 1,26360

12,663 0,7550 1,0000 0,001 1,26360

14,246 0,7550 0,8800 0,001 1,26360

15,037 0,6100 0,6800 0,001 1,26300

15,829 0,4760 0,4500 0,024 0,88000

16,620 0,4760 0,1936 0,024 0,00000

Системе (2) соответствует функция Понтрягина H(x,u,p) = ^Pifi(x,u), где начальные значения сопряжённых переменных pi(0) = Ci = 1, i Е {1 : 5}, а вычисленный в ходе минимизации вектор сопряжённых переменных равен

p(T) = (1, 00049;1, 00215; 0, 99995;1, 00000;0, 99996).

5. Вывод. Результаты показывают работоспособность предлагаемого метода при решении ЗОУ, достаточную скорость и точность минимизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малинов В.Г. Проекционный двухшаговый обобщенный двухпараметрический метод минимизации первого порядка с переменной метрикой // Учёные записки УлГУ. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск: УлГУ, 2003. Вып. 1 (13). С. 127-138.

2. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

3. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. 141 с.

Abstract: the article deals with new projection generalized two-step two-stage methods of minimization of functions with ravine-type hipersurfaces in Euclidean space; using proposed methods test problem optimization of the trajectory of airplane is being solved; we also present the results of some computational experiences.

Keywords: Projection generalized two-step two-stage methods; Minimization; Variable Metric; Optimal trajectory; Airplane.

Малинов Валериан Григорьевич к. ф.-м. н., доцент

Ульяновский государственный университет Россия, Ульяновск e-mail: [email protected]

Valerian Malinov

candidate of phys.-math. sciences,

senior lecturer

Ulyanovsk State University

Russia, Ulyanovsk

e-mail: [email protected]

УДК 378.147.515

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ МОБИЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА

Ключевые слова: профессиональная мобильность; системно-деятельностная технология обучения; принципы экспериментального обучения.

Аннотация: Формирование профессиональной мобильности студентов, обучающихся по наукоемким техническим направлениям, является одной из актуальных проблем высшей школы; автором разрабатывается научно-методическая концепция, основанная на системно-деятельностном подходе к обучению и обеспечивающая решение проблемы, начиная с младших курсов технического университета; реализация концепции осуществляется на материале курса высшей математики, содержание которого строится на новых принципах.

Выполнение социального заказа по подготовке компетентных профессионально мобильных специалистов, бакалавров и магистров по наукоемким техническим направлениям предполагает реализацию такого обучения, которое бы позволяло уже на младших курсах университета (вуза) при изучении дисциплин фундаментального цикла сформировать у студентов основу профессиональной мобильности. Общеизвестно, что высшая математика играет значительную роль в базовой подготовке выпускников наукоемких технических направлений. В связи с этим формирование основы профессиональной мобильности можно начинать уже в процессе обучения студентов этих направлений высшей математике. Но традиционная модель изучения высшей математики в техническом университете (вузе) не обеспечивает достижения поставленной цели. Таким образом, имеет место противоречие между реальными потребностями в формировании основы профессиональной мобильности учащихся наукоемких технических направлений уже на младших курсах, в частности при изучении высшей математики, и функционирующей в высшей школе моделью обучения. Разрешение выделенного противоречия предполагает разработку научно-методической концепции, обеспечивающей формирование основы профессиональной мобильности в процессе обучения студентов наукоемких технических направлений высшей математике. Такова педагогическая проблема.

Теоретическими основаниями разрабатываемой автором научно-методической концепции, обеспечивающей формирование основы профессиональной мобильности в процессе обучения студентов наукоемких технических направлений высшей математике, являются психологическая теория

© О. А. Малыгина