Метод оптимального проектирования ректификационной колонны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.048.3

Н. Н. Зиятдинов, Н. Ю. Богула, Т. В. Лаптева,

Г. М. Островский

МЕТОД ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ

Ключевые слова: ректификационная колонна, оптимальное проектирование, дискретно-непрерывное нелинейное

программирование, метод ветвей и границ.

Дается постановка задачи оптимального проектирования ректификационных колонн, как задачи дискретно-непрерывного нелинейного программирования, для решения которой предлагается метод ветвей и границ. Для поиска значения нижней оценки критерия оптимальности - приведенных затрат, предлагается подход, позволяющий перейти от дискретных переменных (числа тарелок в укрепляющей и исчерпывающей частях колонн) к непрерывным переменным.

Keywords: distillation column, optimal design, discrete-continuous nonlinear programming, branch and bound method.

We give a formulation of the problem of optimal design of distillation columns, as the problem of discrete-continuous nonlinear programming, whose solution is proposed branch and bound method. To find the values of the lower bound of the optimality criterion - reduced costs, we propose an approach that allows to move from discrete variables (number of plates in the invigorating and exhausting part of columns) for continuous variables.

Основная проблема оптимального проектирования ректификационной колонны - поиск компромиссного решения между капитальными затратами на установку и эксплуатационными затратами на ведение процесса, поскольку колонны разделения являются высоко металло- и энергоемкими установками. Капитальные затраты зависят от числа ступеней разделения и потока флегмы. Эксплуатационные затраты - это затраты на организацию паровых и жидкостных потоков в колонне.

В данной статье предлагается метод решения задачи оптимального проектирования ректификационной колонны по критерию минимизации суммарных приведенных и капитальных затрат.

Задача проектирования ставится следующим образом. Заданы параметры сырья, поступающего на разделение (расход, состав, температура, давление), требования на качество целевых продуктов. Требуется спроектировать ректификационную колонну: определить число тарелок, место ввода питания, режим работы колонны, при которых критерий приведенных затрат принимает минимальное значение и выполняются ограничения на качество выпускаемой продукции.

На сегодняшний день сложились два подхода к решению данной задачи [1]. Упрощенный подход, широко используемый в инженерной практике, основан на расчете минимального флегмового числа. Он заключается в следующем. Сначала по уравнению Андервуда вычисляется минимальное флегмовое число. Далее с использованием эмпирического коэффициента избытка флегмы рассчитывается оптимальное флегмовое число. После выбора оптимального флегмового числа на основе различных методов рассчитывается число тарелок колонны и места ввода питания, обеспечивающие заданное качество разделения.

Несомненное преимущество таких методов - малое время расчета, однако точность их достаточно низкая из-за использования эмпирических коэффициентов.

Точные методы оптимального проектирования ректификационных установок формулируются как задачи математического программирования. Для их применения необходимо сформулировать критерий оптимальности, математическую модель проектируемой системы, ограничения и указать поисковые переменные, в пространстве

которых будет проводиться оптимизация. При заданных значениях поисковых переменных для расчета критерия используются потарелочные методы расчета колонн. Отметим, что критерий оптимальности должен связывать капитальные и эксплуатационные затраты с конструктивными и технологическими параметрами, которые в свою очередь функционально связаны с поисковыми переменными: числом тарелок и флегмовым числом. Фактически, точные методы, используемые сегодня, являются различными вариациями алгоритма простого перебора, что, в свою очередь влечет за собой большие временные затраты.

Отметим, что наиболее эффективным по быстродействию точным методом потарелочного расчета процессов многокомпонентной ректификации, нашедшим в настоящее время широкое применение в моделирующих программах, является метод “inside out” [2].

Задача выбора оптимального числа тарелок в секциях ректификационной колонны с одновременной оптимизацией непрерывных переменных в системе сводится к решению следующей задачи:

f = minf(x-u-ms) (1)

x,u,ms

(pk(x,u,ms) = 0, s = 1,2, 1 < ms < msmax, k = 1,...,mmax (2)

/(x,u) < 0, (3)

где f (x,u, ms) - суммарные капитальные и эксплуатационные затраты ректификационной колонны; x,u - переменные состояния и управляющие переменные в ректификационной колонне; ms - число тарелок в укрепляющей или исчерпывающей секциях ректификационной колонны; msmax - максимальное число тарелок в секциях колонн, задается на начальной итерации пользователем; s - номер укрепляющей (s = 1) и исчерпывающей (s = 2) секций колонн; /(x,u) - проектные ограничения ректификационной колонны; (рк (x,u, ms) -

математическая модель к -ой тарелки в колонне.

Задача минимизации (1) представляет собой задачу дискретно-непрерывного нелинейного программирования (ДННП), где непрерывные переменные - режимные параметры, дискретные поисковые переменные - число тарелок в колонне.

Очевидно, что в результате решения данной задачи мы также получим номер

оптимальной тарелки питания.

Одним из наиболее эффективных методов решения задач ДННП является метод ветвей и границ. Успешное применение данного метода для выбора оптимальных тарелок питания приведено в работе [3]. Метод не является полностью формализованной процедурой, поэтому для его применения при решении какого-либо класса задач необходимо разрабатывать алгоритм получения нижней и верхней оценок, а также процедуры ветвления. Важная задача при этом - разработка метода вычисления нижней оценки. Стандартный подход к получению нижней оценки - переход от дискретных переменных к непрерывным, в результате чего задача получения нижней оценки превращается в обычную задачу нелинейного программирования, имеющую хорошо разработанные методы решения. Данный общий подход здесь неприменим, поскольку число тарелок не может быть дробным. Поэтому авторами предлагается новый подход к получению нижних оценок.

Рассмотрим математическую модель к -ой тарелки ректификационной колонны. Она включает следующие уравнения:

Уравнение покомпонентного материального баланса:

Fkzik + Lk-1 x/,k-1 + Vk+хУ/,к-1 - Lkxik - VkY ik = ^ (4)

i = 1,..., C, k = 1,..., msmax.

где Fk - поток питания ректификационной колонны, поступающий на k -ую тарелку; Lk -поток жидкости, поступающий на k -ую тарелку; Vk - поток пара, поступающий на k -ую

тарелку; / - номер компонента разделяемой смеси; к - номер тарелки в колонне; х/к -

массовые доли / -го компонента на к -ой тарелке в жидкой фазе; у/к - массовые доли / -го компонента на к -ой тарелке в газовой фазе.

Уравнения фазового равновесия:

У к = К кХ к, (5)

К1к = К(Тк ,Рк , Х1к ) . (6)

* '

Уравнение, связывающее равновесную у к и рабочую концентрации / -го компонента через г}ш - локальный эффективный коэффициент полезного действия тарелки, имеет вид:

У к = У/,к+1 +^!к (У к - У/,к+1). (7)

Стехиометрические соотношения для составов жидкой и паровой фаз:

Е х/к =1, Е у к =1 к =1—. тГ. (8)

/ /

Уравнения теплового баланса:

FkHFk + ^к-1Н/,к-1 + Vk+1Hv,k+1 - ^кН/к - ^кНчк = к к = 1 ■■■> тГ“ , (9)

Нк = Н (Тк ,Рк, Хк), И* = Н(Тк, Рк, Ук), HFk = н (Т р, ).

где Hv - энтальпия парового потока, Н - энтальпия жидкостного потока;

В уравнении (7) т]к является оценкой разделительной способности контактного устройства и характеризует движущую силу процесса, определяемую кинетикой

массопередачи и гидродинамической структурой взаимодействующих потоков пара и

жидкости.

Введем переменные азк, где каждая азк соответствует к -ой тарелке, в -ой части колонны. С помощью новых переменных модифицируем уравнение (7):

Ук=Ук;1 +а5клк ( у *к- уГ ). (1к)

Отметим, при сс8к = к мы получаем, что ук5 = ук31, хкв = хк81, то есть при с = к к -я тарелка отсутствует. И, наоборот, при азк = 1 тарелка присутствует. Используя новые

переменные, мы можем сформулировать задачу оптимального проектирования как задачу

поиска оптимальных значений переменных азк и режимных переменных. Запишем задачу поиска оптимального числа тарелок в следующем виде:

^ = тт ^(х,и,ав) (11)

х,и,с5

(р(х,и,а3) = к, (12)

и( х,и) < к, (13)

с =[к-1],

где с - вектор, компонентами которого являются азк, к = 1,..., ттах .

Преимущества преобразования задачи (1) в задачу (11) состоит в том, что а5к могут

принимать непрерывные значения, введение новых переменных позволит переходить от дискретных переменных к непрерывным, что позволит получать нижние оценки. Для решения используется метод ветвей и границ. Для получения нижней оценки используем непрерывные азк. В этом состоит преимущество перехода от переменных т$ к переменным

свк .

Введем множества М'8 номеров тарелок в укрепляющей и исчерпывающей секциях колонны (в = 1,2), где / - номер шага метода ветвей и границ. Эти множества определяются

следующим образом: Мв содержит номера тарелок, для которых авк принимают

фиксированные значения к или 1. Набор авк = [к,1] при к е М15 обозначим как а5 . Эти

значения определены на предыдущих итерациях метода ветвей и границ. Вопрос о наличии или отсутствии тарелок в колонне, номера которых не вошли в эти множества, должен быть решен на последующих шагах.

Нижняя оценка будет определяться решением следующей задачи:

= т1п Г(х,и,а5), к 2 М!3 (14)

ср( х,и, а5к) = 0, (15)

/( х,и)< 0, (16)

0 < аэк < 1, для всех к £ М'8.

Поскольку область допустимых значений задачи (14) включает в себя область допустимых значений задачи (11), то её решение дает нижнюю оценку задачи (11). Задача (14) имеет только непрерывные поисковые переменные и для её решения может быть использован один из методов нелинейного программирования.

Верхнюю оценку будем вычислять на основе значений параметров а*8к, полученных

при решении задачи (14) и а8 , полученных на предыдущей итерации. Введем величину

Рэ =

2

кем1.

а

эк

+ 2 а эк , где рэ - совокупность ближайшего целого суммы структурных

кЕМ’э

параметров, полученных в результате решения задачи (14), и суммы структурных параметров, найденных на предыдущей итерации. Положим для к = 1, ...рэ аэк = 1, для всех остальных

аэк = 0. Верхняя оценка получается решением следующей задачи:

^ = тіп ^(х,и,аэк)

х,и

ср( х, и,аэк) = 0, к = 1,..., т

(14)

тах

э

(15)

/(х,и) < 0. (16)

Рассмотрим принцип ветвления некоторой вершины. На каждом шаге проводится разбиение одной секции колонн, причем э -ая секция колонны делится на 2 множества. В

первом множестве Э -ой секции колонны параметры аэк в интервале (

+ 1, т,)

варьируются, все остальные аэк в интервале (1,

ті

) равны 1; где т, - число тарелок, для

которых к £ МЭ. Во втором множестве - параметры аэк в интервале (1,

тЭ

) варьируются,

в интервале (

2

+ 1, тЭ) равны 0. На каждой итерации решаются задачи (11) и (14), в

результате решения которых получаем нижнюю и верхнюю оценки, сравниваем их значения. Если на / - м шаге разность верхней и нижней оценок меньше заданной величины е, найденное решение принимается оптимальным. В противном случае сравниваются нижние оценки, и в вершине с наименьшей нижней оценкой проводится ветвление.

Предложенный подход был использован для оптимального проектирования ректификационной колонны для разделения 3-компонентной смеси, содержащей н-бутан, н-пентан, н-гексан (рис.1).

х.и.а

эк

*

2

2

Рис. 1 - Ректификационная колонна разделения трехкомпонентной смеси

Исходные данные: расход сырья, поступающего на разделение - 10000 кг/ч; состав сырья (массовые доли): н-бутан -0,35; н-пентан- 0,3; н-гексан-0,35; температура сырья - 80°С; давление сырьевого потока - 500 кПа. Требования на качество продуктов: содержание н-бутана в дистиллят > 0,99; содержание н-бутана в кубовом продукте > 0,01. К.п.д. тарелок колонны был принят равным 1. Давление верха было выбрано с учетом возможности конденсации верхних продуктов промышленной водой и равно 400 кПа, гидравлическое сопротивление колонны 450 кПа. Требуется определить число тарелок в колонне, место ввода питания, режим работы колонны, при котором критерий приведенных затрат принимает минимальное значение и выполняются ограничения на качество выпускаемой продукции.

Начальное приближение числа тарелок для колонны было принято равным 30. Требования на качество были заменены на уравнения равенства. Это позволило перевести флегмовое число и температуру куба из числа независимых переменных в зависимые. Таким образом, общая размерность задачи вычисления нижней оценки равна 30.

Расчеты проводились с применением моделирующей программы ИуБуБ. Ход решения задачи приведен в таблице 1. Решение было получено за 13 шагов (вершина 7-1). Параметры оптимального режима: флегмовое число - 1,69, температура куба - 102°С.

Таблица 1 - Ход решения задачи

№ вершины* Колонна 1 Нижняя оценка Верхняя оценка

Сумма а УЧ Число тарелок УЧ** Сумма а ИЧ Число тарелок ИЧ**

1-1 11,49 11 7,49 7 801755,5 863598

1-2 3,99 4 7,49 7 1636885 1650791

2-1 11,49 11 11,49 11 733646 747924,4

2-2 11,49 11 3,99 4 1122542 1359761

3-1 13,49 13 11,49 11 730588,6 746970

3-2 9,98 10 11,47 11 745890 754384,1

4-1 13,28 13 13,28 13 726871,5 735888,2

4-2 13,49 13 9,99 10 742561 758814

5-1 14,49 14 13,49 13 729583 743416

5-2 12,4 12 13,2 13 733187,4 734217,1

6-1 14,47 14 14,47 14 729545,2 741583,1

6-2 14,47 14 13 13 730329,5 743229,3

7-1 15 15 14 14 723481,2 724420

7-2 14 14 14 14 741536,5 741537

* - первая цифра - номер итерации, вторая цифра - номер потомка; ** - число тарелок, которые присутствуют; УЧ- укрепляющая часть; ИЧ- исчерпывающая часть.

Таблица 2 - Материальный баланс системы

Компонент 1 2 3

н-бутан G,35 G,99 G,G1

н-пентан G,3 G,G1 G,45

н-гексан G,35 G,GG G,53

Литература

1. Комисаров, Ю.А. Научные основы процессов ректификации:./ Ю.А. Комисаров, Л.С. Гордеев, Д.П Вент //Учебное пособие для вузов Т.2. / Под ред. Серафимова Л.А. М.: Химия, 2004.

2. Biegler, L.T. Systematic methods of chemical process design. / L.T.Biegler, I.E. Grossman,

A.W. Westberg. - Prentice-Hall PTR, 1997.

3. Зиятдинов, Н.Н. Поиск энергосберегающих режимов работы установки разделения изоамилен-изопреновой фракции производства изопрена./ Н.Н.Зиятдинов, Д. А.Рыжов, Т.В. Лаптева,

B.А Курбатов //Вестник Казан. технол. ун-та. - 2009. - № 6. - С. 249-258.

© Н. Н. Зиятдинов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. системотехники КГТУ, [email protected]; Н. Ю. Богула - асс. той же кафедры, [email protected]; Т.В. Лаптева - канд. техн. наук, доц. той же кафедры, [email protected]; Г.М. Островский - д-р техн. наук, проф. той же кафедры, [email protected].