Метод определения теплофизических характеристик неньютоновских жидких материалов при сдвиговом течении с учетом диссипации механической энергии «Вязкого трения» Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СДВИГОВОМ ТЕЧЕНИИ С УЧЕТОМ ДИССИПАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ «ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ»

А.Г. Дивин1, С.В. Пономарев1, С.В. Мищенко1,

А.И. Урусов2, М.А. Петрашева1, Д.А. Дивина1

Кафедры: «Управление качеством и сертификация», (1);

«Высшая математика», (2); ГОУ ВПО «ТГТУ»; [email protected]

Ключевые слова и фразы: диссипация; измерительное устройство; неньютоновские жидкости; сдвиговое течение; температуропроводность; теплоемкость; теплопроводность.

Аннотация: Предложена физическая модель измерительного устройства, позволяющего реализовать метод определения теплофизических характеристик неньютоновских жидких материалов в условиях сдвигового течения путем разбиения исходной задачи теплопроводности на две, соответствующие стационарному и нестационарному этапам эксперимента.

Обозначения

С\, ..С8 - постоянные коэффициенты; схрх - объемная теплоемкость исследуемой жидкости, Дж/(м3-К);

Г0 - цилиндрические функции первого и второго рода Бесселя и Неймана соответственно.

I - длина цилиндрического слоя нагревателя;

т - коэффициент консистенции, Па-с”; п - индекс течения неньютоновской жидкости;

Я\, Я2, Я3, Я4 - радиусы слоев внутреннего цилиндра, м;

Я5 - внутренний радиус наружного цилиндра, м;

Т\, Т2, Т3, Т4 - температуры в слоях подложки, нагревателя, защитного слоя и анализируемого материала соответственно, находящегося в цилиндрическом зазоре измерительного устройства, К;

Т - среднеинтегральная избыточная температура в слое нагревателя неподвижного внутреннего цилиндра, К;

Qн - мощность нагревателя внутреннего цилиндра, Вт;

Ун - объем нагревателя, м3;

Х\, Х2, Х3 - коэффициенты теплопроводности подложки, нагревателя и защитного слоя внутреннего цилиндра соответственно, Вт/(м-К);

Хгг = Х4 - второй диагональный компонент тензора теплопроводности Л исследуемого расплава полимерного материала, численно равный теплопроводности слоя исследуемой жидкости в направлении, перпендикулярном скорости сдвига, Вт/(м-К);

стГф - касательное напряжение в слое исследуемой жидкости, Па;

Па (У) - кажущаяся вязкость неньютоновской жидкости, Па-с; т - время, с;

<Вф(г) - скорость жидкости в зазоре между цилиндрами измерительного устройства, м/с;

Ф(г) - функция диссипативного источника тепла в слое исследуемой неньютоновской жидкости, Вт/м3.

Введение

Абсолютное большинство теплофизических приборов и установок позволяют измерять теплопроводность, температуропроводность и теплоемкость жидкостей в неподвижном состоянии. Вместе с тем, существует необходимость измерения теплофизических характеристик жидкостей в условиях сдвигового течения. Это обусловлено тем, что в неньютоновских жидкостях при течении может возникать анизотропия теплофизических характеристик. Данное физическое явление имеет место, когда в растворах и расплавах высокомолекулярных полимерных соединений образуются молекулярные структуры, ориентированные вдоль направления сдвига [\, 2]. Степень ориентации таких структур прямо пропорциональна скорости сдвига [3]. При этом наблюдается изменение физико-механических свойств материалов, в том числе возникает анизотропия теплофизических и реологических характеристик. Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности при этом превращаются в тензоры [\]. Компоненты тензоров зависят от степени ориентации макромолекул полимера, а значит и от скорости сдвига. Исследование этих зависимостей носит фундаментальный характер, позволяет изучить закономерности теплопереноса в жидких ориентированных средах, а также имеет большое практическое значение. Знание зависимости теплопроводности и температуропроводности технологических жидкостей (например, растворов и расплавов полимеров) от скорости сдвига позволит оптимизировать процессы их переработки при экструзии, литье под давлением и др., что позволит снизить выход брака и уменьшить энергозатраты на единицу продукции.

Физическая и математическая модели измерительного устройства

Для определения зависимости теплофизических характеристик неньютоновских жидких материалов предлагается использовать измерительное устройство, физическая модель которого представлена на рис. \ [2].

Измерительное устройство представляет собой два коаксиальных цилиндра: внутренний (составной) и наружный, в зазоре между которыми находится исследуемая жидкость 4. В сечении внутреннего цилиндра на подложке 1 находится слой 2 электронагревателя и термопреобразователя сопротивления, отделенный от исследуемой жидкости защитным слоем 3. Наружный цилиндр приводится во вращение с постоянной угловой скоростью га.

В полости внутреннего цилиндра находится активно перемешиваемая жидкость 5 с постоянной температурой, прокачиваемая из термостата.

Для измерительного устройства, физическая модель которого представлена на рис. \, краевую задачу, описывающую распределение температуры в слоях измерительного устройства, предлагается записать в следующем виде:

5 1 2 3 4

Рис. 1. Физическая модель измерительного устройства

dT1(r, т) _ X1 1 d f dT^r, т)

ÔT C1P1 r ôr

dr

dT2 (r, т)_ X2 1 dT2 (r, т) , бн

ÔT C2p2 r dr

dr

^нс2Р2

dT3(r.т) X 3 1 Af r dT3 (r ■т)

ÔT С3Р3 r dr \ dr

dT4 (r, т) _ Xrr 1 d f dT4 (r, т) ф(г)

14

дт cxPx r dr

с начальными условиями:

ôr

с x X rr

R1 < r < Л*2, т > 0; R2 < r < R3, т > 0; R3 < r < R4, т > 0; R4 < r < R5, т > 0,

Т\(г, 0) = Тг(г, 0) = Тз(г, 0) = Т4(г, 0) = 0, с граничными условиями:

Т\( Я\) = Т0 = 0;

Т\(Я2,т) = Т2(Я2,т), Л\ =

дг дг

Т(Яз,т) =^ дТз(Яз,т).

T2(R3,т) _ T3(R3,т), X2

T3(R4, т) _ T4(R4, т), X3

dr

dT3( R4, т)

dr

_ X rr

dr

dT4(R4,т).

dr ’

T4(R5,т) _ 0,

и дополнительным условием

T *_

R32 - R2 R

j* T2 (r, т) гйГ .

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Решение подобной задачи довольно затруднительно, и потому проведение активной стадии теплофизического эксперимента предлагается провести в два этапа (рис. 2).

2

2

Рис. 2. Зависимость среднеинтегральной температуры слоя нагревателя измерительного устройства от времени и этапа эксперимента: 1 - подготовительный этап; 2 - этап стационарной стадии метода измерений; 3 - этап нестационарной стадии метода измерений

Перед активной стадией эксперимента необходимо провести подготовительный этап, в ходе которого температура в каждом слое измерительного устройства устанавливается постоянной и равной заранее заданному значению. О завершении подготовительной стадии судят по установлению во времени измеренной среднеинтегральной температуры /0 слоя нагревателя.

На первом этапе включается привод наружного цилиндра и подается мощность на нагреватель внутреннего цилиндра. При этом теплоперенос от внутреннего цилиндра к внешнему будет происходить через слой исследуемой жидкости. Если жидкость вязкая и неньютоновская, подчиняющаяся реологическому закону

П

°гф= т ,

то в ней возникнет источник тепла за счет диссипации механической энергии «вязкого трения», определяемый выражением

/ \(П+Ц

Ф(г ) = ш§т

n+1

—2n

2ю-

-1 Л

nr R*

- К,

/у

Когда через некоторое время во всех слоях измерительного устройства установится стационарный тепловой режим, регистрируется значение t среднеинтегральной температуры в слое нагревателя, вычисляется и регистрируется избыточная среднеинтегральная температура 1 = t - /0 , и на этом первый этап эксперимента заканчивается.

На втором этапе отключают нагреватель и регистрируют изменение во времени среднеинтегральной температуры Т* слоя 3 цилиндрической системы измерительного устройства.

Таким образом, исходная обратная задача теплопроводности разбивается на две, соответствующие стационарному и нестационарному этапам эксперимента. Математическое описание данных задач приведено ниже.

Дифференциальные уравнения, описывающие распределение температур в слоях 1-4 измерительного устройства в установившемся стационарном режиме, примут следующий вид:

d_

dr

i * ^ rdTm

dr

= о,

A 2 1 d

С2Р2 r dr

, dT* (r )

d_

dr

f * Л

rdMl

dr

dr

= о,

^нс2Р2

= о,

A Id

A rr

r dr

. dT* (r ) dr

+ mr

n+1

N(n+1)

2ю-

nr

R*

- R,

Rj < r < R2; R2 < r < R3 ; R3 < r < R*;

= 0, R* < r < R,

(7)

- 2n

r

- 2n

с граничными условиями:

*

T1 (R1) = T0 = const;

T*( R.+1) = T*+1( R+i);

dT,(R,+1) = A dT+1(R,.+1),

dr

, +1

dr

T4 (R5) = T0 = const; i = 1, 2, 3, и дополнительным условием

2

R3

T =-

R32 - R-

IT2 (r) rdr.

(9)

2 я2

Решение обратной задачи для определения теплопроводности неньютоновских жидкостей со степенным законом течения для стационарной стадии метода измерения

Общие решения исходных дифференциальных уравнений (7) имеют вид: 1*(Г) = СхЫг) + С2, Я1 <Г <К2,

T*(r ) = -

6н r 2 4F.A н

+ Сз1п(г) + C4, R2 < r < R3;

Т3(г) = С5 1п(г) + С6, Я3 < г <Я4;

*

Т4 (г) = Ф'(г) + С71п(г) + С8, Я4 < г < Я5,

где Ф'(г), А(ю) - функции, описываемые выражениями:

(10)

Ф'(г ) = -

А(ю)

„-1-2n-

r

A(ra) = -

ш(2ю)

n+1

n( R4

2n 1 n-2n 1 \

- R5 )

n +1

Объем слоя нагревателя рассчитывается по формуле

^ = (r2 -R22)п/.

- Я2

Подстановкой общих решений (10) в граничные условия (8) и дополнительное условие (9) получаем систему уравнений, из которой находится расчетная зависимость для теплопроводности

2

A

rr

-1

л тр-1-2n D-1-2n

A2 -3 + A(ffl) f 2(n) -5----------4----------A(ffl)f (n)R-2-2n~

, 2 -4 (ln-4 -lnR5)R4 4

A2 ln —4 + A

—4 (ln —4 - ln —5 ),

где А1, А2 - коэффициенты, значения которых зависят от геометрических параметров измерительного устройства, измеренного значения среднеинтегральной

избыточной температуры Т *, индекса течения и других величин, определяемые по формулам:

A1 — A3 ln —3 + A4 — A2 ln —3 —

-2 о.

4 A V

At =

A4

—3

-- R3

6н

2V,

-

3

f (n)=

n + 2

Значения коэффициентов Аз, А4 и параметров Qo, Ql и К вычисляются с использованием зависимостей:

A3 =

T + Q - A4 ,

к !

f * Л

Q0 + T-+Q ln —2

A,

T + Q1 A 2 QR2

A4 = -

1 -

ln —L ln R1

ln R1 R

к —2

2V„

12

ln —2

K

-1

ln —2 ln R1

1-

A1 ! A 2

ln —1—2 K—2

где

Q0 =-

-2 Q_ •

4 VHA 2 '

Q1 =

Qн (—34 - —2 ) ;

K =

ln R3 - ^ jR3 -iln —2 - 2 j—2

R

-3

X

A

2

A

3

n

Решение обратной задачи для определения ТФХ неньютоновских жидкостей со степенным законом течения для нестационарной стадии метода измерения

При отключении нагревателя измерительного устройства на втором этапе эксперимента нестационарное температурное поле описывается следующей математической моделью:

dT1(r, т) = A1 1 d dT1 (r, т)

дт С1Р1 r dr

Л

dr

dT2 (r, т) = A 2 1 d | r dT2 (r, т)

дт С2Р2 r dr

dr

—1 < r < —2, т > т ;

—2 < r < R3, т >т ;

3

dT3(r,т) = A3 1 AI r dT3(rт)

dx С3Р3 r dr

dr

R3 < r < R4 , т > т*;

4*

У

дТ4 (г, т) Хгг 1 д | 914 (г, т) | ф(г) *

—> =—тт---------------г—44 ’ +—, Я4 <г <Я5, т>т ,

дт схрх г дг ^ дг ^ схХ гг

начальные условия (условно принимаем т* = 0):

Т1(г,0) = т/>); ~2(г,0) = Т2»; ~з(г,0) = Т*(г); Г4М)- Т»,

граничные условия:

Т1(Я1, т) = Т0 = 0;

T1 (—2, т) = T2 (—2,т); T2 (R3, т)= ^3 (R3, т); тз (R4, т)=T4 (R4, т);

dT (—2, т) = A dT2 (—2, т) ;

dr

dr

A dT2 (R3, т) A dT3 (R3, т) .

AO ---------------- = A^ ----------------- ;

dr dr

A dT3 (R4, т) A dT4 (R4, т),

AO ---------------- АГГ ----------------- ;

3 dr rr dr

Т4(я5,т)- Т0 - 0.

Применяя преобразование Лапласа

ГС Т (г, р) = | Т (г, т)е-рхйт,

7 ГГ

а также учитывая, что а1 = ——, агг = ——, перепишем приведенную выше ма-

сгРг схР х

тематическую модель следующим образом: d2'Tl(r,Р) + 1 dTl(r,р) - р

- + —

r dr

a

d 2T2 (r, P) +1 dT2 (r, P) - (r p )=- T2 (r )

dr 2 r dr Ü2 Ü2

—1 < r < —2;

— 2 < r < R3 ;

A

d 2f3 (r, p) +1 df3 (r p) _ _P

3\r, pj + і иіз\г, p) _(r p) = _ T3* (r)

r dr аз

dr

4^ p) +1 df4 (r, p)___________________^24 (r p) = _ f4 r +

d2f4 (r, p) +1 df4 (r, p) P

dr2 r dr

а3

=_ !>)+фт)

a rr rr

R3 < r < R4;

R4 < r < R5 , (12)

где р - действительное число, с .

Граничные условия будут иметь вид:

Ті (і, p) = To = 0;

f.fe, p)=T2 (R2, p); b. = 4 dT^2(R2-p> ;

dr

dr

Т2(Яз, р)=Гз(% р); ^2 -Хз ^^;

dг dг

Тз(«4,р)=Т4(Я4-р); Хз-Хгг^т^;

dг dг

Т4 (5, р) = Т0 = 0.

Неоднородные дифференциальные уравнения (12) можно записать в следующем обобщенном виде:

d! [f (r, p )+LÏEkA _ JpТ (r, p) = W (r ). dr r dr a

(.3)

^ а р dT dT

Пусть г = /I—х, тогда х = -/.—г, — = —

у р V а dг dx

_ ¡Л

=_J£—■

\ a dx

d 2f dx

p

d2f _ p d2f

dx

a dx

2

Следовательно, уравнение (13) примет вид

_ Ef _ p 1 f _ if = W f_ lllx '

a a x a ^ yp J

Умножив обе части получившегося уравнения на | - ах2 |, получим

р

x 2f ” + xf ' + x 2f = _ ax 2W

( Г~ ^

a

fa

Таким образом, уравнение (13) можно записать в виде

x2u ” + xu’ + x2u = f (x),

(.4)

p ■ Ia x = _/,/—r, r = /I—x ;

= u(p, x) = f

( Г~ ^

a

P, ¡J—*

= f (p, r );

f (x) = _-x 2W p

i ¡— \

a

ij—x

= r 2W (r ).

Для уравнения (14) построена функция Грина [4], с помощью которой получено общее решение

u(p,x) = C.J0(x) + C2Y0(x) + ^2Yo(x)Jx lJ0(x)f(x)dx~^~J0(x)Jx 4(x)f(x)dx. (.5)

Так как х = -¡А—г, то решение уравнения (14) можно записать в виде:

f (p, r ) = Ci-4i^p?, r)+C2 ^2 ta r )+B(p, r ) ; AI(p, r )=J 0

(.6)

A2 (p, r ) = Y0

f r~ ^

_ #г

V a

v ;

_

V a

v ;

5{р,г) = уА2(р,г)|гШ(г)А^р,г)г --2^1(7,г))гШ(гА(р,г)dг. Из(16) находим

С1 --21 гШ (г )А2 (р, г )г

df

dr

dA.(p,

dr

C2 +—J rW (r )A. (p, r )dr

dA2 ta r ) =

dr

C. _ П J rW (r)A2 (p, r)dr C2 +-2 J rW (r )A.(p, r )dr

J 0

Y0

_ /J—r

V

_ Kl—r

JE. v

Запишем задачу (12) в виде:

d2fk( p) + p) _—ft(r, p) = Wk, Rk < r < Rk+., k = .,2,3,4 (4 = arr) ; (.7)

dr2 r dr ak

f.(R. ) = î4 (R5 ) = 0; fk _.(Rk ) = fk (Rk );

= xkdk; k = 2,3,4,

(.8)

dr

dr

u

+

+

W = - TlM, W = - ш, w, = - ТШ, Wt = - +ФО.

Q1 Ü2 Q3 Q-yy pX rr

Запишем общее решение задачи (17) в виде

Тк = С^А^ХгУ C[2)(r)42)(r) + Bk (r) к = 1,2,3,4. (19)

Используя, граничные условия (18), а также значение экспериментально определяемой среднеинтегральной температуры

получаем систему уравнений, решая которую находим неизвестные коэффициенты cfxM

, а также значение коэффициента температуропроводности а4 исследуемой жидкости. Задаваясь двумя значениями р, можно определить также значение Xrr, сравнить его со значением, полученным на первом этапе эксперимента и, таким образом, проверить корректность решения задачи, повысить надежность полученных результатов измерений.

Погрешности измерения теплопроводности неньютоновских жидкостей при сдвиговом течении

Теплофизический эксперимент осуществляется с использованием компьютерной измерительной системы [5], работающей под управлением программы, разработанной в среде Lab View 9. Эта среда позволяет создавать виртуальные приборы, в которых функцию измерений и обработки экспериментальных данных выполняет персональный компьютер, оснащенный платой сбора данных.

Графики зависимости относительной погрешности определения теплопроводности в заданном диапазоне измерения при различных значениях коэффициента консистенции m исследуемой неньютоновской жидкости показаны на рис. 3.

5, %

Рис. 3. Зависимость погрешности косвенного измерения теплопроводности исследуемой жидкости от значения теплопроводности при различных значениях коэффициента консистенции от, Па-си: ~~ - 50; “~ - - 100; “~ * - 200; _ _ - 300; - - - - 400

Погрешности косвенного измерения теплопроводности были определены расчетным путем по известным погрешностям измерений среднеинтегральной температуры, крутящего момента, коэффициента консистенции, а также индекса течения. Как видно из графика, наиболее приемлемая погрешность 9-12 % находится в интервале значений теплопроводности 0,1...0,4 Вт/(м-К), что соответствует теплопроводности большинства расплавов и растворов полимеров. Для косвенного измерения теплопроводности жидкостей в неподвижном состоянии погрешность гораздо ниже и составляет 5-8 %.

Список литературы

1. Van den Brule, B.H.A.A. A Network Theory for the Thermal Conductivity of an Amorphous Polymeric Material / B.H.A.A. van den Brule // Rheol. Acta. - 1989. -Vol. 28, No 4. - P. 257-266.

2. Теоретические и практические основы теплофизических измерений : монография / С.В. Пономарев [и др.]. - М. : Физматлит, 2008. - 408 c.

3. Wallace, D.J. Shear Dependence of Thermal Conductivity in Polyethilene Melts / D.J. Wallace, C. Moreland, J.J.C. Picot // Polym. Eng. Sci. - 1985. - № 25. -P. 70-74.

4. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Г. Васильева, А.Г. Свешников. - М. : Наука, 1985. - 232 с.

5. Автоматизированная измерительная установка для исследования зависимости теплопроводности и реологических характеристик неньютоновских жидкостей от скорости сдвига / А.Г. Дивин [и др.] // Приборы и техника эксперимента. -2008. - № 3. - С. 163-172.

Technique for Determination of Thermo-Physical Properties of Non-Newton Liquid Materials under Shift Flow with Regard for Dissipation of Mechanical Energy of “Viscous Friction”

A.G. Divin1, S.V. Ponomarev1, S.V. Mishchenko1,

2 11 A.I. Urusov , M.A. Petrasheva , D.A. Divina

Departments: “Quality Management and Certification ”, (1);

“HigherMathematics”, (2), TSTU; [email protected]

Key words and phrases: dissipation; measuring device; non-Newton liquids; shift flow; temperature conductivity; heat capacity; heat conductivity.

Abstract: The paper presents the physical model of measuring device enabling to implement the technique for determining thermo-physical properties of non-Newton liquid materials in conditions of shift flow by dividing the original task of heat conductivity into two ones - referring to stationary and non-stationary stages of the experiment.

Methode der Bestimmung der wärme-physikalischen Charakteristiken der nenjutonischen Flüssigstoffen bei dem Schiebefließen mit Rücksicht auf Dissipation der mechanischen Energie “der Zähreibung”

Zusammenfassung: Es ist das physikalische Modell der Meßeinrichtung, die die Methode der Bestimmung der Abhängigkeiten der wärme-physikalischen Charakteristiken der nenjutonischen Flüssigstoffen bei dem Schiebefließen durch die

Dekomposition der Ausgangsaufgabe der Wärmeleitfähigkeit in zwei den stationären und nichtstationären Etappen des Experimentes entsprechenden Aufgaben zu realisieren erlaubt, vorgeschlagen.

Méthode de la définition des caractéristiques thermo-physiques des matériaux liquides non newtoniens lors de l’écoulement à décalage compte tenu de la dissipation de l’énergie mécanique du “frottement visqueux”

Résumé: Est proposé le modèle physique du dispositif de mesure permettant de définir des caractéristiques thermo-physiques des matériaux liquides non newtoniens dans les conditions de l’écoulement à décalage par le fractionnement du problème initial de la conductibilité de la chaleur en deux correspondant aux étapes stationnaires et non stationnaires de l’expériment.

Авторы: Дивин Александр Георгиевич - кандидат технических наук, доцент кафедры «Управление качеством и сертификация»; Пономарев Сергей Васильевич - доктор технических наук, профессор кафедры «Управление качеством и сертификация»; Мищенко Сергей Владимирович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Управление качеством и сертификация», ректор; Урусов Александр Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика»; Петрашева Мария Александровна -магистрант кафедры «Управление качеством и сертификация»; Дивина Дарья Александровна - студент, ГОУ ВПО «ТГТУ».

Рецензент: Чуриков Александр Алексеевич - доктор технических наук, профессор кафедры «Управление качеством и сертификация», ГОУ ВПО «ТГТУ».