CC BY
21
8. Segal, A., Klosner, J.M. (1970). Stress concentration in an elastomeric sheet subject to large deformations, PIBAL Rep. 70-11. Polytechnic Inst. of Brooklyn, March. 1970, 11 р.
9. Yakupov, N.M., Kiyamov, H.G., Yakupov, S.N., Kiyamov, I.H. (2011). The Modelling of elements of structures of complex geometry by three-dimensional finite elements, Mehanika kompozitzionnyh Materialov i Konstruktziy, №1, p. 145-154.
10. Kantyukov, R.A., Yakupov, N.M., Tameev, I.M., Yakupov, S.N., Kiyamov, H.G., Kantyukov, R.R.
(2012). The modelling of stress-strain state of cylindrical body with local in-depth by 3D finite elements, Nauka i Tehnika v Gazovoy Promyshlennosti, № 2, p. 53-60.
11. Yakupov, S.N., Kiyamov, I.H. (2014). Analysis of the mode of deformation of spherical covers three-dimensional elements, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, No 2, p. 76-80.
12. Kantyukov, R.A., Yakupov, N.M., Tameev, I.M., Kiyamov, H.G., Yakupov, S.N., Kantyukov, R.R.
(2013). Concentration of stresses in a pipe with long in-depth, Gazovaya Promyshlennost, №7, p. 28-30.
13. Treloar, L.R.G. (1953). Physics of Elasticity of Rubber, М: Izd-vo "Inostran. Literatura", 336 p.
14. Raschety na Prochnost v Mashinostroenii (1958), Vol. 2, Izd-vo "Mashgiz", 944 p.
15. Green, A.E., Zerna, W. (1960). Theoretical Elasticity, Oxford University Press, Oxford.
16. Klosner, J.M., Segal, A. (1969). Mechanical characterization of a natural rubber, PIBAL Rep. 69-42. Polytechnic Inst. of Brooklyn, N.Y., 42 р.
17. Oden, J.T. (1972). Finite Elements of Nonlinear Continua, McGraw-Hill BOOK COMPANY. 464 p..
18. Oden, J.T., Key, J.E. (1970). Numerical analysis of finite axisymmetric deformation of incompressible elastic solids of revolution, Int. J. Solids Struct., № 6, p. 497-518.
19. Chernyh, K.F. (1986). Nelineynaya Teoriya Uprugosti v Mashinostroitel'nyh Raschotah, Izd-vo "Mashinostroenie", 216 p.
20. Simo, J.C., Laursen, T.A. (1992). An augmented Lagrangian treatment of contact problems involving friction, Comput. and Structures, Vol. 42, N 1, p. 97-116.
21. Galimov, N.K., Yakupov, S.N. (2012). On the determination of elastic potential of spherical rubber membranes, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 4, p.74-76.
ANALYSIS OF THE STRESS CONCENTRATION IN THIN-WALLED ELEMENTS OF STRUCTURES WITH LOCAL IN-DEPTH
S.N. Yakupov, T.R. Nasibullin
Institute of Mechanics and Engineering, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences
One must use a three-dimensional approach to determine the concentration of stresses in thin-walled elements of structures with local deepenings or defects. The stress concentration is analyzed for shells and panels with local deepenings. The authors investigated the effect of the finite element partition of a panel on the results and the concentration of the stress for the panels made from the different type of material: the model of Hooke and the model of Neo-Hooke (rubber-like material).
KEYWORDS: spherical shell, cylindrical shell, plane model, local in-depth, 3D finite element, stress-strain state, concentration of stress, the model of Hooke, the model of Neo-Hooke. . . .
чк -0- HK
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Ф.С. ХАЙРУЛЛИН, доктор физико-математических наук, доцент, ОМ. САХБИЕВ, инженер,
Казанский национальный исследовательский технологический университет, 420029, Казань, Сибирский тракт 12, кафедра теоретической механики и сопротивления материалов; X_farid@mail. ru, somkazan@yandex. ru,
В работе предлагается вариационный метод расчета трехмерных упругих конструкций, основанный на использовании функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющих определять напряженно- деформированное состояние конструкций с криволинейными граничными поверхностями, а также составных конструкций.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вариационный метод, трехмерные конструкции, напряженное состояние, аппроксимация.
Для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций сложной формы используется в основном методом конечных элементов [1-2]. В работе излагается вариационный метод расчета трехмерных конструкций, который позволяет определять напряженно-деформированное состояние конструкций с криволинейными граничными поверхностями, а также
составных конструкций. Данный ме-О2 Хе Р4 Л тод основан на методе расчета тонких оболочек, предложенном в работе [3].
\rX12 Рассмотрим деформацию трех-£2й мерной конструкции, ограниченной кусочно-гладкими поверхностями. Предполагается, что перемещения и деформации малы, материал тела изотропен, справедлив закон Гука.
Конструкция разбивается на подобласти в виде шестигранников (рис. 1) с криволинейными гладкими гранями Ог-,/ = 1,6, которые в ортогональной системе координат а1, а2,
О1 Рис.1
а3 описываются уравнениями а3 = F1 (а1,а2), а3 = F2 (а1,а2), а2 = F3 (аза), а2 = F4(а3,а1), а1 = F5(а2,а3), а1 = F6(а2,а3), где ^, 7 = 1,6 - однозначные функции класса С1; Л}-, у = 1,12 - граничные линии.
Причем уравнения граней задаются относительно соответствующих координатных плоскостей. Здесь и в дальнейшем для упрощения последующих записей у введенных величин упускаем индекс k, показывающий принадлежность к подобласти Vk, в кружечках показаны номера угловых точек (узлов).
В подобласти Vk вводится локальная криволинейная система координат А, Р2, Рз, связанная с системой координат а1, а2, аз следующим образом:
а! = F5 (а15,а]5)(1 - Д) + F6 (а^а]6 )д + а?, а2 = ^(а3|3,а113)(1 - Р2) + ^(а^4,а114)р2 + а20, (1)
а3 = ^ (а111,а^1)(1 - Рз) + ^ (а112,а^2 )рз + а30, /59 (g9 (<Рз )) ( 1 - Р2 ) + /5,11 (^ 1 (<1 Рз )) Р2 + 451 (Р2, Рз ) , аЦ5 = /53 ^3 (<Р2 ))( 1 - Рз ) + /57 к7 (^2 ))Рз + 452 Р , Рз ) ,
а1б = /б,10 (^0 (^Рз )) ( 1 - Р2 ) + /б,12 (g 12 (<2Рз )) Р2 + 4б1 (Р2, Рз), а^6 = /64 (g4 (<Р2 ))( 1 - Рз ) + /б8 (g8 (*8°Р2 )) Рз + 462 (Р2 , Рз ) , а10 = 411 (Р1, Р2)(1 - Рз) + 421 (Р1, Р2) Рз,
где а,15 =
451 (Р2 , Рз )= gз (*з°Р2 )-а21 (1 - Р2 ) - а2зР2 (1 - Рз ) +
+ g7 (^7 Р2 )-а25 (1 - Р2 ) - а27Р2
452 (Р2, Рз )= g9 (^9 Рз)-аз1 (1 - Рз) - аз5Рз (1 - Р2 ) +
Рз
811 )- «33 (1 - 03 ) - «3703
(02, 03 (<02 )-«22 (1 - 02 ) - «2402 1 (1 - 03 ) +
461*
+ 8 8 (<02 )-«26 (1 - 02 ) - « 28 02 462 (02, 03 )= 810 (^1°003 )-«32 (1 - 03 ) - «3603 (1 - 02 ) +
02,
03
+
8
12
(5°203 )-«34 (1 - 03 ) - «38 03
02.
(2)
Здесь для сокращения записей приведены соотношения, определяющие в формулах (1) только координату а1. Для остальных координат эти соотношения записываются аналогично. В соотношениях (2) у = ^ (х) - уравнения проекций
граничных линий А] поверхностей О, на соответствующие координатные
плоскости; х = 8] ]) - функции, определяющие координату точки на оси х по
„ 1 о
соответствующей дуговой координате 5] на линии А]; - длины дуг линий
А] ; «ц ,«21 ,«31, I = 1,8 - координаты угловых точек подобласти У] . В этих формулах величинами х, у обозначены координаты «1, «2 или «3, которые выбираются в соответствии с задаваемой линией А]. Например, для линии Л5 поверхности ^ координаты х = «1, у = «2 , уравнение граничной линии «2 = f 25 («1). Функция «1 = 85 (•?5) для точки, находящейся на линии А5 , имеющей дуговую координату 55, определяет координату на оси «1 (рис.2).
аз!
I
СС2
ж
си
Рис.2
6 ш
СП
Система координат 01, 02, 03 в соответствии с соотношениями (1) - (2) выбрана таким образом, что в подобласти У^ выполняются условия 0 < 01, 02, 03 < 1, грани О, задаются уравнениями 01 = 0 или 01 = 1,1 = 1,3 ; граничные линии А] задаются одной из координат 01, I = 1,3 . На гранях О, уравнения (1) переходят в уравнения этих граней. Например, если в эти уравнения подставить 03 = 0 , то получаются уравнения, определяющие грань О1:
«1 = «111, «2 = «21, «3 = Ж«11,«^) (0 < 01, 02 < 1). (3)
На граничных линиях уравнения (1) переходят в уравнения этих линий. Например, если в уравнениях (з) задать Р^ = 1, то получается уравнение линии Я-4:
а = /14^4(*4Р2)) , а2 = g4(^4Р2) , аз = F1(а1,а2) (0 < Р2 < 1). При решении задач предполагается, что исследуемую трехмерную конструкцию можно разбить на подобласти вида Vk. Для определения напряженно-деформированного состояния конструкции используется вариационный принцип Лагранжа [4], на основании которого должно выполняться условие К к
8Е =^SEk(и)=Х \(ЗЩ-SWk)d0 = 0, (4)
k=1 k=1 Qk
где Е - полная энергия конструкции, Ek - полная энергия подобласти Vk; П , S'Wk - соответственно удельная потенциальная энергия деформации и вариация работы внешних сил единицы объема подобласти Vk ; U = {и\, м2, и2 у -вектор перемещений подобласти Vk в системе координат а^, а2, аз ; К - количество подобластей.
В подобласти Vk компоненты перемещения аппроксимируются функциями, заданными в системе координат Р\, Р2, Рз следующим образом: М1 м 2 м з
»т1т2тз 'т1^^ 'т2 У"'2 / 'тз '
и V )= 3 22 3 »"¡щР) 'т7 Р) 'тз Р), (5)
т1 =1 т2 =1 тз =1
где »т т т - вектор неизвестных постоянных; функции формы
'1(Р1 )= 1 -Р1, (Р1 )= Р1, тР ) = Ф1)['2(Р1 )]т"2 (т = з^М). (6) На граничных поверхностях О7 подобласти Vk трехмерные полиномы (5) переходят в двумерные полиномы. Например, для грани О7, где Рз = 0 ,
М1 М 2
иК)=23 23 »т^ Ц (Р1) Ц (Р2) . (7)
т1 =1 т2 =1
На граничных линиях двумерные полиномы вида (7) переходят в одномерные полиномы. Например, на линии Л-4 при Р^ = 1:
М2
и(А)= 33 ^т21 т (Р2) . (8)
т2 =1
Если, например, для линии Л-4 определить значения в угловых точках, то
и (л4 )Р=0=^ьи (л4 )Р=1=»221. (9)
Из формул вида (7) следует, что на каждой из поверхностей О7 искомые функции определяются двумерными полиномами, зависящими только от двух криволинейных координат из трех. Эти криволинейные координаты с учетом соотношений вида (з) зависят только от уравнений, задающих поверхность
О7 . Это обеспечивает непрерывность искомых функций при переходе из одной подобласти на другую и позволяет легко выполнять геометрические граничные условия и условия стыковки искомых функций на границах подобластей Vk.
Например, если граничная поверхность О1-, (рис.1), которая является верх-
2
ней гранью подобласти V, стыкуется с поверхностью О1, которая является нижней гранью подобласти V!, то для обеспечения непрерывности вектора перемещений U достаточно выполнить условия Б1^ 2 = Бт1т!, т1 = 1,М1, ш2 = 1, М2 . Если на границе О3 подобласти У^ заданы граничные условия
и = 0, то необходимо положить
Бщ 1щ = 0, «1 = 1, М1, «3 = 1, М3 . Если требуется выполнить стыковку подобластей по некоторой линии, например, гранич-
1 1 2 ная линия Аз поверхности О2 подобласти у совпадает с линией А3 поверхности О^ подобласти У2, то достаточно в соответствии с формулами вида (8) удовлетворить условиям
Dl щ 2 = б!2«, „ «2 = 1М2 .
Из всех неизвестных постоянных Б
, входящих в аппроксимирующую
функцию (5), в соответствии с формулами вида (9) только постоянные БЩ^щ , т1 = 1,2, т2 = 1,2, т3 = 1,2 имеют механический смысл. Они определяют перемещения угловых точек подобласти У^, т.е. являются узловыми значениями. Подставляя аппроксимирующие функции (5) в вариационное уравнение (4), удовлетворяя соответствующим граничным условиям и условиям стыковки подобластей, после численного интегрирования по некоторой квадратурной формуле получается система линейных уравнений относительно неизвестных
постоянных ^Щт2т3 :
[ К ] Б = Р,
где [К] - матрица жесткости конструкции, Б - вектор неизвестных постоянных, составленный соответствующим образом из векторов БктЩтЩ , Р - вектор правой части, учитывающий действие внешних нагрузок.
Для исследования сходимости решения в таблице 1 приводятся значения
максимального перемещения итах, максимального растягивающего атах и максимального сжимающего ст тах напряжений для кубика, представленного на рис. 3. Одна грань кубика, задаваемая уравнением у = 0, жестко закреплена, на одной из перпендикулярных к ней граней (уравнение z = а) действует равномерно распределенная растягивающая нагрузка интенсивности 4. Расчеты получены для следующих числовых параметров: Е = 2-105 МПа, V = 0,3; а = Ь = 1см, 4 = 1 МПа .
Таблица 1
М1 = М 2 = М 3 3 4 5 6 Ansys
10 20
итах • ^^ см 1.49 1.69 1.69 1.72 1.70 1.72
<ах, МПа 2.63 4.50 4.98 5.96 4.15 5.40
< ах, МПа -3.14 -5.22 -6.06 -7.35 -4.94 -6.67
Максимальное перемещение возникает в точке А по направлению оси z, максимальное растягивающее напряжение - в точке Б по направлению оси у, максимальное сжимающее напряжение - в точке В по направлению оси у, т.е.
л
а
Р -
= ау
_D
ат
= а,
В
уу' тах " уу ■
Для подтверждения достоверности результатов в последних двух столбцах представлены соответствующие величины, полученные с помощью пакета программ «Ansys». В первом столбце приведены результаты, которые получены при линейной аппроксимации компонент перемещений на сетке 10*10x10, во втором столбце - на сетке 20*20*20.
В табл. 2 приводятся результаты расчета той же самой конструкции, когда принимались следующие геометрические размеры: а= 10с.м, 6 = 100см, т.е. рассматривалась балка. Конструкция разбивалась на два элемента по сечению у=10см. Приведены значения напряжений оуу на нижней поверхности балки в двух точках для двух поперечных сечений: в заделке (у = 0) и в середине балки (у = 50см). В последней строке приведены значения напряжений, полученные методами сопротивления материалов [5].
Таблица 2
Рис. 3
М! хМ 2 у = 0 у = 50см
x = 5см x = 10см x = 5см x = 10см
2x4 309 309 88.8 88.8
3x4 300 367 89.5 89.7
4x4 346 389 89.3 89.4
2x5 304 304 75 75
3x5 284 375 75 75.2
4x5 349 404 74.7 74.9
5x5 376 451 74.8 75
2x6 301 301 75 75
3x6 273 378 74.9 75.1
4x6 355 411 74.7 74.8
5x6 389 482 74.7 74.8
6x6 424 501 74.8 74.8
[4] 300 300 75 75
Как видно из представленных результатов уже при порядке аппроксимирующей функции 2х5 (т.е. в поперечном сечении балки искомые функции аппроксимируются линейными функциями) получается решение, совпадающее с решением, найденным методами сопротивления материалов. При увеличении порядка аппроксимирующей функции в поперечном сечении балки напряжения в заделке (у=0) начинают возрастать, т.е. приведенное решение улавливает концентрацию напряжений. Причем в угловой точке (х = 10см) напряжения выше, чем посередине поперечного сечения балки (х = 5см). В точках удаленных от заделки (у = 50см) напряжения совпадают с решением, полученным методами сопротивления материалов.
Л и т е р а т у р а
1. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 511 с.
3. Хайруллин Ф.С. Метод расчета тонких оболочек сложной формы// Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998, № 3. - С. 30 - 33.
4. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.
5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1979. - 560 с.
1. Gallagher, R. (1984). Metod Konechnih Elementov. Osnovi. — M.: "Mir", 428 p.
2. Zenkevich, O. (1975). Metod Konechnih Elementov v Tehnike. — M.: "Mir", 511 p.
3. Khayrullin, F.S. (1998). A Method of Analysis of Thin Shells of Complex Form, Izvestia RAN. Mehanika Tverdogo Tela, № 3, p. 30-33.
4. Abovskii, N.P., Andreev, N.P., Deruga, A.P. (1978). Variazionnii Prinzipi Teorii Uprugosti i Teorii Obolochek, Moscow: "Nauka", 288 p.
5. Pheodosiev, V.I. (1979). Soprotivlenie materialov, Moscow: "Nauka", 560 p.
A METHOD OF DETERMINATION OF STRESS-STRAIN STATE OF 3D STRUCTURES OF COMPLEX FORM
Khayrullin F. S, Sahbiev O.M.
Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia
In the article, the variation method of definition of the tense-deformed condition of three-dimensional constructions is offered which based on using of functions with final carriers of any extent of approximation that allows making calculations of constructions with curvilinear boundary surfaces, and also compounding constructions.
KEYWORDS: three-dimensional constructions, variation method, tense condition, approximation.
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НАПЛАВКИ ИЗ АУСТЕНИТНОЙ СТАЛИ НА РАСКРЫТИЕ ТРЕЩИНЫ В ТРУБОПРОВОДЕ Ду850 ИЗ ПЕРЛИТНОЙ СТАЛИ
Д.А. КУЗЬМИН, аспирант
109431, Москва, ул. Ферганская, 25, АО «ВНИИАЭС» Kuzmin_DA@yahoo. com
Исследован трубопровод с наплавкой. Показано, что происходит с основным металлом трубопровода, если он плакирован наплавкой, при нормальных условиях эксплуатации, исследованы полученные напряжения и деформации. Изучено влияние наплавки на образовавшуюся сквозную трещину в трубопроводе и ее влияние на раскрытие трещины.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: трубопровод, наплавка, раскрытие трещины, деформация.
Концепция «течь перед разрушением» (ТПР) - это концепция конструирования сосудов давления, при котором полному разрушению сосуда предшествовала бы течь через относительно устойчивую трещину.
Обзор теории и практики применения концепции ТПР дан в работе [1]. Для применения концепции ТПР требуется правильно оценивать раскрытие трещин и ее размеры. Критический размер трещин - размер, достижение и превышение которого приводит к быстрому, неуправляемому и окончательному разрушению конструкции.
В реакторостроении получили распространение трубопроводы из углеродистых и углеродистых малолегированных сталей с антикоррозионной наплавкой из стали аустенитного класса. Указанные стали имеют разные коэффициенты линейного расширения, что при нагреве приводит к возникновению больших сжимающих напряжений в наплавке. Большие сжимающие напряжения в наплавке могут препятствовать раскрытию сквозных трещин в трубопроводе и истечению теплоносителя из него. Этот эффект до сих пор не учитывают
R e f e г e n c e s
