CC BY
28
Геометрические исследования срединных поверхностей тонких оболочек
УДК 539.3 DOI: 10.22363/1815-5235-2017-6-4-9
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ
С.Н. ЯКУПОВ, к.т.н., с.н.с.
Р.Г. НУРУЛЛИН, к.т.н., с.н.с.
Н.М. ЯКУПОВ, д.т.н., г.н.с., зав. лаб.
ИММКазНЦРАН: tamas_86@mail.ru, nrg@mail.ru, yzsrr@kfti.knc.ru
Экспериментальный подход параметризации трехмерных тел и тонкостенных элементов конструкций сложной геометрии. Алгоритм построения пространственной сети, а также определения координат, компонент метрического тензора и символов Кристоффеля. Эффективность моделирования элементов конструкций сложной геометрии сплайновым вариантом метода конечных элементов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: элементы конструкции, сложная геометрия, параметризация, экспериментальный подход, алгоритм построения сети, координаты, компоненты метрического тензора, символы Кристоффеля.
Введение. Тонкостенные конструкции, сочетающие в себе легкость с высокой прочностью, находят широкое применение в авиастроении, ракетостроении и кораблестроении, нефтехимии и т.д. [1, 2]. Они воспринимают большие нагрузки, работают в агрессивных средах и испытывают воздействие физических полей. Разрабатывают различные пленки и покрытия [3-5].
Среди тонкостенных конструкций особенно эффективными по своим характеристикам являются оболочки сложной геометрии [1, 2]. Наряду с малым весом они имеют высокие механические характеристики по жесткости и прочности. Варьируя форму поверхности, можно создавать легкие, высокопрочные и архитектурно выразительные конструкции. Эффективность применения оболочек сложной геометрии доказывается самой природой. Рождение конструктивных криволинейных форм сложной геометрии в строительном деле одно из крупных изобретений человечества, история которого уходит вглубь веков.
Различают оболочки сложной геометрии канонической формы, срединная поверхность которых может быть задана аналитическими формулами. Информация о таких поверхностях имеется, в частности, в энциклопедии С.Н. Кривошапко и В.Н. Иванова [2]. Однако срединную поверхность не всех оболочек можно описать аналитически - это оболочки неканонической геометрии, которые не менее функционально необходимы и эффективны по своим характеристикам жесткости и прочности.
Среди трудностей, связанных с более широким распространением тонкостенных конструкций сложной геометрии, можно отметить сложность технологии их изготовления, а также проблемы, возникающие при их моделировании. В ходе разрешения таких трудностей разработан безопалубочный способ формования оболочек сложной геометрии из ориентированных полимерных материалов. На разработанные способы авторами получены патенты РФ на изобретения №2255864 и №2295446. Кроме того бурное развитие 3D-печати открывает широкие возможности в практическом применении сложных криволинейных форм.
Для более эффективного использования новых тонкостенных оболочек сложной геометрии необходимо научиться определять их физико-механические качества, оценивать напряженно-деформированное состояние и устойчивость
под действием различных нагрузок. В последней четверти XX века появились методы расчета тонкостенных оболочечных конструкций сложной геометрии. Интенсивно разрабатываются различные варианты метода конечных элементов. Среди них можно отметить сплайновый вариант метода конечных элементов, базирующийся на синтезе идеи параметризации поверхности сложной геометрии и метода конечных элементов [6-8]. При этом задача параметризации поверхности сложной геометрии вызывает определенные трудности. Для решения данной проблемы был разработан экспериментально-теоретический метод определения параметров срединной поверхности оболочки сложной геометрии (патент РФ на изобретение №2374697).
В процессе эксплуатации в элементах конструкций и сооружений возникают коррозионные и механические дефекты, происходят изменения механических свойств поверхностных слоев, а также геометрических и физических параметров по толщине оболочки [9, 10]. Для оценки концентрации напряжений в дефектных областях тонкостенных конструкций необходимо использовать трехмерные конечные элементы. Развитие современных методов расчета и рост возможностей вычислительной техники позволяют уточнять расчетные схемы и переходить от двумерных к трехмерным расчетным схемам. Все это позволяет более точно оценивать напряженно-деформированное состояние конструкций и сооружений, в частности, с учетом различных локальных дефектов, переменности модуля упругости по толщине и других факторов и тем самым получить правильный прогноз о состоянии конструкции.
Начата разработка численного метода определения напряженно- деформированного состояния трехмерных объектов сложной геометрии на базе трехмерных элементов [11, 12]. При этом для задания геометрических параметров узловых точек конечных элементов необходимо выполнить параметризацию рассматриваемого элемента конструкции.
Экспериментальный способ параметризации элементов конструкций. Рассматривается элемент конструкции сложной геометрии - тело с шестью криволинейными гранями с вершинами а, Ь, с, d, е,f g, h (рис. 1). Изготавливают пространственный каркас abcdefgh из криволинейных формообразующих ребер, совпадающих с контуром параметризуемого элемента. На криволинейных элементах аЬ, Ьс, cd, da, ef, fg, gh, he, еа, А, gc, hd делают метки в соответствии с заданным типом разбивки. Изготавливают трехмерную сеть из эластич-
На каркас abcdefgh натягивают пространственную сеть из эластичного материала. При этом внешние узловые точки при натяжении сети представляют собой грани формируемого тела, а внутренние узловые точки - расчетные точки тела. Каркас фиксируют относительно базисных оснований 3, 4 и 5 (с плоскостями, соответственно, а, р и у) при помощи, например, опор 6, 7 и 8 (рис. 3).
Рис. 3. Каркас с сетью на установке
На рисунках обозначены: х, у, z - координаты в декартовой системе; хь, уь, zh - координаты точки Ь в декартовой системе; ¿2 и ¿3 - координаты (параметры) параметрического куба; V - объем, который занимает элемент конструкции; М - произвольная точка элемента конструкции (принадлежит объему У, включая поверхность тела); а, р, у - ортогональные плоскости базисных оснований экспериментальной установки; г t2, t3) - радиус-вектор произвольной точки М области У.
Параметрический куб, состоящий из ячеек в виде параллелепипедов, занимает объем Уф в координатах {1 и ^. В частном случае выбирают параметры {1 и ^ в пределах от 0 до 1. При этом Мф - произвольная точка в параметрическом кубе объема Уф, соответствует произвольной точке М элемента конструкции.
Далее производят замеры координат узловых точек деформированной сети относительно оснований 3, 4 и 5 по осям х, у и z при соответствующих параметрах {1 и ^ единичного куба с областью Уф, то есть получают координаты х(^,t2,t3); t2,t3); z(t1,t3) и определяют радиус-векторы в узлах сетки по формуле:
г = 2,tЪ)1 + уСг1,t2,t3)] + z(t1,t2,tъ)к, (1)
где г, ], к - единичные орты в декартовой системе координат.
Алгоритм построения пространственной сети и вычисления ее параметров осуществляется в следующей последовательности:
1. Дифференцируя выражение (1) по {1 и определяют координатные векторы г1 , г2 и г3 :
д г
д г
Г2 = —, г3 =
1 д t15 2 д t2' Например, г1 определяется в виде:
д г
д7
(2)
— Хг + 1, ],к Х г-1, ],к - , Уг +1, ],к Уг-1, ],к ~ , + 1, ],к -1, ],к
г = -^т-;- — г +--^-;- — ] +---^^
11 - г1
г+1 г 1
11 - г1
г+1 г 1
11 - г1
г+1 г 1
к
где г, ], к - идентификационные номера узловых точек по соответствующим направлениям координатных осей в трехмерном пространстве.
7
X
2. Определяют ковариантные компоненты первого основного метрического тензора gii, gi2, gl3, g21, g22, g23, g31, g32, g33:
g11 _ riri; g 12 _ g21 _ rir2; g13 _ g31 _ Г1Г3;
g22 _ r2r2; g23 _ g32 _ Г2Г3; g33 _ Г3Г3' , (3)
Например, g12 определяется в виде:
g12 Г1Г2
(
( X — X
-S+1, j,k xi—1, j,k
t1 —t 1 'i+1 'i — 1
Xi, j+1,k Xi, j—1,k 12 —t 2
j +1 j 1
Л
+
y
i+1, j ,k
yi
i—1, j ,k
\
t1 t1
'i+1 'i—1 y
yi, j+1,k yi, j—1,k
V V+1 lj—1
+
Zi+1,j,k Zi—1, j ,k 11 —t 1
i +1 i 1
V
Zi, j+1,k Zi, j—1,k j +1 j 1
3. Аналогично определяют контравариантные компоненты первого основ-
11 12 13 21 22 23 31 32 33
ного метрического тензора g , g , g , g , g , g , g , g , g :
11 g22 g33 g23 12 21 g =-; g = g =
g
g12g33 g23g±3 • g 22 _ g11g33 g13
? ô
g
g
g13 _ g31 _
&2Й3. „23 _ г?2 _ g11g23 ЙзЙэ. „33 _ g11g22 g12
g
(4)
4. Далее определяют фундаментальный определитель g:
g = gзз
к 11 g22 gn ' Й32\ЙП g23 g21 .?13 )+ gзl (g 12 g23 .?13 g 22 ). (5)
5. Дифференцируя ковариантные компоненты первого основного метрического тензора (3) по Iх, ¿2 и ¿3, определяют их первые производные:
Ôgn Ôg11 Ôg11 Ôg12 Ôg12 Ôg12 Ôg13 Ôg13 ôgv
Ôt1 ' Ôt2 ' Ôg 22 Ôg 22
Ôt3 ' Ôg22
Ôt1 Ôg 23
Ôt2 Ôg23
Ôt3 ! Ôg23
Ôt1 Ôg 33
Ôt1
6. Далее
Ôt2 Ôt3 определяют
Ôt2 Ôg33 Ôt2
Ôt3 Ôg33
Ôt1 ' Ôt2 ' Ôt3 ' Ôt1 символы Кристоффеля
Ôt3
второго
(6)
рода
Г Г Г Г2 Г2 Г2 "Г^ Г Г2 Г Г2 Г3 Г Г2 "Г^ по обшей
i13 М3' 12 13 -*-23 -*-23 -*-23 122' 122' 122' 133 133 133 иищси
формуле:
Г ^ =- g1
Ôg
jt + Ôgkt
Ôg
jk
Ôtk ÔtJ
Ôtt
(7)
Например, Г113 определяется в виде:
Г1 _ 1 iif ÔSn +Ôgn—g "13 2g f Ôt3 Ôt1 Ôt1
13 1+1 g12f-^ +Ôg32— Ôg13 2 f Ôt3 Ôt1 Ôt2
1
+2 g
13| Ôg13 , Ôg33 Ô?13
+
Ôt3 Ôt1 Ôt3
Таким образом, для элемента конструкции определяют по параметрам t1, t2 и t3: значения координат x(tl,t2,t3),y(t1,t2,t3),z(tl,t2,t3); ковариантные g11, g12,
11 12 13 21 22 23 31 32 33 gl3, g21, g22, g23, g3b g32, g33 и контравариантные g , g , g , g , g , g , g , g , g
компоненты метрического тензора; определитель g; символы Кристоффеля
Т"1 Т"1 Т",2 т~2 т-2 т-6 Г3 Г3 Г1 т->2 т-6 Г1 т->2 т-6 т-1 т->2 т-6
Г11, Г12, Г13, Г11, Г12, Г13, Г11, Г12 Г13, Г 23, Г 23, Г23, Г22, Г22, Г22, Г33, Г33, Г33'
При необходимости осуществляют сглаживание полученных результатов в процессе их обработки. В общем случае, вместо параметрического куба используют параметрический параллелепипед.
Заключение. Разработан экспериментальный подход параметризации трехмерных тел сложной геометрии, позволяющий также выполнить параметризацию тонкостенных элементов конструкции. Подход позволяет повысить
х
X
эффективность моделирования элементов конструкции сложной геометрии сплайновым вариантом метода конечных элементов.
© Якупов С.Н., Нуруллин Р.Г., Якупов Н.М. 2017
С п и с о к л и т е р а т у р ы
1. Якупов Н.М., Галимов Ш.К., Хисматуллин Н.И. От каменных глыб к тонкостенным конструкциям. Казань: Изд-во "SOS", 2001. 96 с.
2. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer International Publishing Switzerland, 2015. 752 p.
3. Yakupov N.M., Yakupov S.N. Definition of mechanical characteristics of films with the pores, nanoinclusions and nanocoatings // Abstracts. The second Nanotechnology International Forum. M.: Rusnanotech, 2009. Р. 344—346.
4. Montemor M.F. Functional and smart coatings for corrosion protection: A review of recent advances // Surface & Coatings Technology 258. 2014. P. 17—37.
5. Yakupov S.N., Yakupov N.M. Thin-layer films and coatings // Journal of Physics: Conference series 857 (2017) 012056.
6. Якупов Н.М. Об одном методе расчета оболочек сложной геометрии // Исследования по теории оболочек. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1984. Вып.17. Часть II. С.4—17.
7. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии // ПМ. 1987. Т.23. № 3. С. 38—44.
8. Yakupov N.M, Kiyamov H.G, Akhmadiev F.G, Kiyamov I.H, Yakupov S.N. Simulation of shells of complex geometry // 14th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. Moscow, June 27-29, 2012. 0139 paper_long.pdf.
9. Yakupov N.M., Nurullin R.G., Nurgaliyev A.R., Yakupov S.N. Maintenance of safety of water-cooling tower constructions // 19th European Conf. on Fracture: Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety. Kazan, Russia, 26-31 August, 2012. 211_proceeding.pdf
10. Yakupov N.M., Yakupov S.N., Rynkovskay M.I. Some problems of corrosion and methods of protection //Abstract Book. 2nd International Congress on Technology - Engineering & Science. Malaysia. July 28-29. 2016. P. 143—145.
11. Якупов Н.М., Киямов Х.Г. и др. Методы и подходы исследования напряженно-деформированного состояния конструкций сложной геометрии // Строительство. Изв. ВУЗов. № 8 (524), 2002. С. 14—18.
12. Якупов Н.М., Киямов Х.Г., Якупов С.Н., Киямов И.Х. Моделирование элементов конструкций сложной геометрии трехмерными конечными элементами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. № 1. С. 145—154.
Поступила в редакцию 12 июня 2017 г. Прошла рецензирование 2 октября 2017 г.
Принята к публикации 16 октября 2017 г.
Об авторах:
ЯКУПОВ САМАТ НУХОВИЧ - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт Механики и Машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук, Казань. Сфера научных интересов - механика тонкостенных конструкций, механика пленок и мембран, композиционные структуры, адгезия, коррозионного износа, tamas_86@mail.ru
НУРУЛЛИН РИННАТ ГАЛЕЕВИЧ - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт Механики и Машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук, Казань. Сфера научных интересов - механика тонкостенных конструкций, механика пленок и мембран, устойчивость объектов, безопасность жизнедеятельности, nrg@mail.ru
ЯКУПОВ НУХ МАХМУДОВИЧ - доктор технических наук, профессор, член-корреспондент Российской инженерной академии, главный научный сотрудник, заведующий лабораторией Нелинейной механики оболочек, Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук, Казань. Сфера научных интересов - механика тонкостенных конструкций сложной геометрии; пленки и мембраны, коррозионный износ, метод конечных элементов, строительные и машиностроительные конструкции, yzsrr@kfti.knc.ru
Для цитирования: Якупов С.Н., Нуруллин Р.Г., Якупов Н.М. Параметризация элементов конструкций сложной геометрии// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2017. - № 6. - С. 4—9. Doi: 10.22363/1815-5235-2017-6-4-9.
R e f e r e n c e s
1. Yakupov, N.M., Galimov, Sh.K., Khismatullin, N.I. (2001). Ot Kamennyh Glyb k Tonkostennym Konstrukciyam [From Stones to Thin-walled Structures]. Kazan': Izd-vo "SOS". 96 p.
2. Krivoshapko, S.N., Ivanov, V.N. (2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer International Publishing Switzerland. 752 p.
3. Yakupov, N.M., Yakupov, S.N. (2009). Definition of mechanical characteristics of films with the pores, nanoinclusions and nanocoatings. Abstracts: The second Nanotechnology International Forum. Moscow: Rusnanotech. 344—346.
4. Montemor, M.F. (2014). Functional and smart coatings for corrosion protection: A review of recent advances. Surface & Coatings Technology, 258. 17—37.
5. Yakupov, S.N., Yakupov, N.M. (2017). Thin-layer films and coatings. Journal of Physics: Conference series 857 012056.
6. Yakupov, N.M. (1984). Ob odnom metode rascheta obolochek slozhnoj geometrii [On one method of analysis of shells of complex geometry]. Issledovaniyapo Teorii Obolochek. Trudy seminara. Kazan': KFTI KFAN SSSR, Iss. 17, Part II. 4—17.
7. Kornishin, M.S., Yakupov N.M. (1987). Splajnovyj variant metoda konechnyh ehlementov dlya rascheta obolochek slozhnoj geometrii. PrikladnayaMekhanika, Vol. 23, No 3. 38—44.
8. Yakupov, N.M, Kiyamov, H.G., Akhmadiev, F.G, Kiyamov, I.H, Yakupov, S.N. (2012). Simulation of shells of complex geometry. 14th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. Moscow, June 27-29, 2012, 0139 paper_long.pdf.
9. Yakupov, N.M., Nurullin, R.G., Nurgaliyev, A.R., Yakupov, S.N. (2012). Maintenance of safety of water-cooling tower constructions. 19th European Conference on Fracture: Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety. Kazan, Russia, 26-31 August, 2012. 211_proceeding.pdf
10. Yakupov, N.M., Yakupov, S.N., Rynkovskay, M.I. (2016). Some problems of corrosion and methods of protection. Abstract Book: 2nd International Congress On Technology - Engineering & SciencE. Malaysia. July 28-29. 2016. 143—145.
11. Yakupov, N.M., Kiyamov, H.G. et al (2002). Metody i podhody issledovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya konstrukcij slozhnoj geometrii [Methods and approaches of investigation of stress-strain state of a structure of complex geometry]. Stroitel'stvo. Izv. VUZov, №8 (524). 14—18.
12. Yakupov, N.M., Kiyamov, H.G., Yakupov, S.N., Kiyamov, I.H. (2011). Modelirovanie ehle-mentov konstrukcij slozhnoj geometrii trekhmernymi konechnymi ehlementami [The modelling of elements of structures of complex geometry by 3D finite elements]. Mekhanika Kompozicionnyh Materi-alov i Konstrukcij, No 1. 145—154.
PARAMETERIZATION OF STRUCTURE ELEMENTS OF COMPLEX GEOMETRY
S.N. YAKUPOV, R.G. NURULLIN, N.M. YAKUPOV
Institute of Mechanics and Engineering, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences
Experimental approach of parametrization of three-dimensional bodies and thin-walled elements of structures of complex geometry is considered Algorithm for constructing a spatial network, as well as determining the coordinates, components of the metric tensor and Christoffel symbols are given. Efficiency of modeling elements of complex geometry by a spline version of the finite element method is discussed.
KEYWORDS: elements of construction, complex geometry, parametrization, experimental approach, network construction algorithm, coordinates, metric tensor component, Christoffel symbols.
Article history: Received: June 12, 2017. Revised: October 2, 2017. Accepted: October 16, 2017. About the authors:
YAKUPOV SAMAT NUKHOVICH, candidate of technical Sciences, Institute of Mechanics and Engineering (IME), Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences. Sphere of scientific interests: mechanics of thin-walled structures, mechanics of films and membranes, composite structures, adhesion, corrosion, Kazan, tamas_86@mail.ru
NURULLIN RINNAT GALEEVICH, candidate of technical Sciences, IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences. Sphere of scientific interests: mechanics of thin-walled structures, mechanics offilms and membranes, Stability of objects, life safety, Kazan, nrg@mail.ru
YAKUPOV NUH MAKHMUDOVICH, doctor of technical Sciences, professor, member- correspondent of the Russian Academy of engineering, chief researcher, head of laboratory of Nonlinear mechanics of shells, IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences. Sphere of scientific interests: mechanics of thin-walled structures of complex geometry; films and membranes, corrosion, finite element method, construction and engineering design, Kazan, yzsrr@kfti.knc.ru
For citation: Yakupov S.N., Nurullin R.G., Yakupov N.M. (2017) Parameterization of structure elements of complex geometry. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Building. No 6. 4—9. Doi: 10.22363/1815-5235-2017-6-4-9.
