Метод обработки результатов измерений, инвариантный к динамическим помехам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

МЕТОД ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ, ИНВАРИАНТНЫМ

К ДИНАМИЧЕСКИМ ПОМЕХАМ

© 2007 г. Ю.Г. Булычев, А.В. Елисеев

Введение

Известно, что в настоящее время для решения задач оценивания и идентификации параметров случайного процесса часто используются алгоритмы на основе метода наименьших квадратов (МНК) [1-3]. Наиболее простые технические решения имеют алгоритмы линейного оценивания, которые широко используются на практике, например, в многоканальной аппаратуре потребителей спутниковой навигационной системы (АП СНС) вР8/ГЛОНАСС [1, 2], в информационно-измерительных комплексах полигонов и космодромов, предназначенных для испытания и управления летательных аппаратов (ЛА) различного назначения.

Данные алгоритмы эффективны, когда в канале измерения присутствует только флуктуационная ошибка. Однако реальные измерения могут сопровождаться и другими типами ошибок, например, динамическими ошибками с известной структурой их математической модели и неизвестными параметрами (сингулярные ошибки) [3-7]. Еще более сложной является задача оценивания при наличии в измерениях ошибок, подобных описанным выше, но со случайной сменой структур, принадлежащих некоторому априорно заданному множеству.

Примером источника возникновения таких ошибок является измерительный комплекс полигонов, содержащий разнородные измерители параметров движения с различными тактико-техническими характеристиками. Другим примером является бортовой навигационный комплекс (БНК) ЛА, построенный на основе комплексирования разнородных измерителей. В этом случае БНК представляет собой сложный объект, структура которого может меняться в зависимо -сти от помеховой обстановки и режимов полета ЛА [8], что приводит к изменению структуры сингулярной помехи. Погрешности подобного рода возникают и при работе АП СНС в случае перехода от оптимального созвездия навигационных космических аппаратов к неоптимальному [2].

В работах [3-6] рассмотрены алгоритмы обработки измерений, содержащих сингулярные ошибки. Однако следует отметить, что применение в этом случае расширенного МНК [3, 6] приводит к значительному увеличению размерности задачи, пропорциональному количеству структур помехи, и эффекту «размазывания» точности. Применение алгоритмов, описанных в работах [4-5], целесообразно в случае, когда структура помехи не меняется в течение сеанса измерения.

Таким образом, задача синтеза метода обработки измерений, содержащих динамические помехи наблюдения с известной структурой, но неизвестными параметрами, является актуальной. Примером помех такого рода являются кусочно-непрерывные помехи, описываемые на интервалах непрерывности произвольными обобщенными многочленами со случайными коэффициентами.

Постановка задачи

Пусть на отрезке [ 0, T ] наблюдается скалярная

смесь

у (/) ^)eWy полезного сигнала x^)eWx, кусочно-непрерывной помехи h (/) ^)е Wh, соответствующей /-му неизвестному варианту построения, / е 1, Б и флуктуационного шума ^ )е W%:

уП ) = xn + hV + £, „, n = 0,N, l el,D, tN = T

(l)

где у(() = у«(/„), х„ = х (гп), ИЩ')= И«(/„), %п =1(гп), tn е [t0, Т ] с Я1, Wy, Wx, Wh и - линейные подпространства одного и того же линейного пространства W .

Сигнал х () задается в конечно - аналитическом виде:

x(t) = ATq(t) = qT (t)A,

(2)

где А = | ау, у = 1, Мх ^ - вектор неизвестных коэффициентов, д () = | ду (), у = 1, Мх ^ - вектор ли-

нейно независимых функций (базис сигнала).

Помеха h(l)(t)

имеет на

отрезке [t 0,T ]

конечное

число фиксированных точек разрыва первого рода и на /-м интервале непрерывности Ц^,t*) описывается так: И(/')

(t ) =

,(h)

©l' (t )= Q(l' )(t)

,(l,)

(3)

i e l, L, li e l, G, 10 = 10,

где ©(li)(t) = Гб^')(t),p = l,Mh

t L = tN = T,

- li -й базис по-

■p VJ,f hi мехи, принадлежащий возможному множеству бази-

сов

К'(')}}

то есть

b С' ) =

b (i), p = 1, M,

- вектор неизвестных коэффициентов.

На всем отрезке наблюдения [ 0, Т ] помеха к(() (*) задается выражением

Ah)

к(1 ](г )=е [в(/ - с, )-8(/ -** )][е(''^)

* е[о,Т], (4)

где I е 1, Б (Б = Ь • О) - номер варианта построения кусочно-непрерывной помехи к(() (*), соответствующей Ь интервалам непрерывности и О возможным базисам, 8 (* - т) = 1 при

* >т; 8 (* - т) = 0 при * <т .

Флуктуационный шум )

характеризуется в точках {tn}

n=0

нулевым математическим ожиданием и соответствующей корреляционной матрицей ^ н (где

Y (l) = (l) y 0 (l) У i , ^ = X 0 XI = ATq (t0 )" (t 1 )

(l) _ yN _ _ XN ATq (tN )_

H (l ) = " h(l)] " 0 h(l) 4 0 " ^ 1 , B (() = " B (l1) B (l 2 )

h(l) " N N _ B (lL

0 (l ) =

0

Ы'

[0]

N 1XMh2

[0]

N 2 xMh1

0

(l 2 )'

N 2 xMh2

[0] [0]

N1XM hL

N 22 hL

[0]

nl xMh1

[0]

nl xMh2

0

(iL )■

nL xM«J

Е = [$ „, п = 0, Ж] ).

Введем над сигналом х(*)е Шх (е [*0,Т]) линейный ограниченный оператор Z: Шх ^ ЯМ^ , такой что

Х{х(*)} = [Сг{х()}, г = 1МдТ = [Сг,г = 1МПТ,

где С г е Я1. То есть рассматривается линейный оператор со значениями в вещественном пространстве

ЯМ^ . Поставим задачу оптимального (в среднеквад-ратическом смысле) оценивания значений данного

(N+1)xM«e

где

м«е = I Mh

hE " hi

i=1

0 (li ) =

ef )(ty.), j = 0, n -1, p = 1, Mhi

tj ^{tn }

N

n=0 '

. Другими

оператора на основе выборки { словами, требуется найти оптимальный линейный

у?)}"

n=0

tj-1 < tj < t j, ' = 1,L, t'0 = t*-1, * j

tL0 = tL-1, tL,NL -1 = tL = tN = T,

IN = N + 1, B(li) = |"bPli),p = 1,Mh,

L

I

i =1

ограниченный оператор Z: Я + ^ Я ^ , такой, что его значения z{y(),у(),...,у()} близки к значениям

Z{x(*)} исходного оператора Z: Шх ^ ЯМс .

*

При этом потребуем, чтобы оператор Z{•} был инвариантен к помехе типа (3), (4), то есть

*

Z{{ к«... к«} = [0]м ^ 1 е ^, где [0^ -нулевой вектор-столбец размерности М ^ х1.

Решение задачи

Для дальнейшего нам потребуются следующие обозначения:

С учетом данных обозначений вместо (1) можно воспользоваться векторным представлением

У(1 )= X + Н(1) + 3, I = 1ГБ, У(1),X,Н(1),3е Яы+\

(5)

Сформируем теперь набор линейных операторов Z) {•} = Р^), зависящих от параметра ё е 1, Б, таких что

Z(d){y(1)} = р(ё)у(1), z(d) :ЯЖ+1 ^ЯМ^, (6)

где Р^)=^р(ёП, г = 1М7, п = ^ известных коэффициентов,

Z(d){y (1)} = [с(ё), г = 1М7,] Т , С(ё)е Я \

матрица не-

Формула (6) задает Б оценок Z(ё) {г(/)} значений Z {х(')} исходного оператора Z{•}, при этом в

силу линейности задачи корреляционные матрицы этих оценок находятся по правилу [3]

K (d )= P(d )K s

P

(d)

d = l,D.

(7)

При выборе матриц Р() потребуем выполнения: 1. Условия минимизации следа

* (к (d ))=Е

\ ' r =l

М г ,- -, 2 (d )]2

где

Ad)

- диагональные члены матрицы K(d).

2. Условия несмещенности оценок значений оператора Z{•}

^{Х}-^х (ОН0^ й = ^. (8)

3. Условия инвариантности оператора Z(d){.} к помехе Н)

Z(d){н (й)} = [0]мсх1, й = . (9)

Если принять во внимание, что X = QA , где

0 = [ду ('п), п = 0,N, у = 1,Мх], то с учетом (2), (6) и (8) имеем

Z(d) {X} = Z{x()}= Z{gт (t)А} = Р^^Х = Р^0А.

(10)

Непосредственно из (10) вытекает следующее условие несмещенности оценки (эквивалентное (8))

z{qT (t)}-Pz(dQ = [0]

M ГУМ x

где

z{дT (')} = [Сг {ду (')}, г = 1М7, у = Щ"], [0]

- нулевая матрица размером М ^ х М х.

(ll)

М ГУМ x

Задача нахождения матрицы Р() решается методом условной оптимизации Лагранжа, при этом ищется минимум следа матрицы (7) с учетом ограничений (11) и (13).

Несложный анализ показывает, что сформулированная задача распадается на М ^ подзадач вида

min

P (d)

Ad)

= min

P (d)

P

(d)

к s P

(d)

Z r {q (t)}- QTp(r) = [0]мх yl, r el,Mz , (l4)

©

(d)'

Pz(rd ) = [0]

где Pr(d) =

PZ('n), n = 0,N

- г -й столбец матрицы

[р^]* , с г {д С')}= [Сг { (0},у = ИМ7]Т =

= [с гу, у = 1М7] Т , С гу е Я1, г = ЦМ^ .

С учетом (14) условная оптимизация сводится к нахождению минимума следующей функции:

(Pz(d), Y(d), n(d )) =

P

(d)

к s PZr +

(d)

где =

(d)

r

z r q (t)}

Y(d), p=щт

,(d )■

©

(d)'

P(d) +

P

(d)

t л

Q

(d)

(d ) и n r =

nj), j = l,Mx

векторные множители Лагранжа.

Опуская несложные, но достаточно громоздкие выкладки, получаем следующее решение:

Р^^г 0 0 ^г 0 )-1 С г {д (')}, (15)

где w(d )= E -r(d)

где т © = en +l 1 ©

Ф

(d)'

-l

©

(d)'

En

Аналогично, замечая, что Н) =©)5), полу-

единичная матрица размером (N + l)y(N +1),

чаем Z

) {Н )} = Z ) {© )В )} = Р^ )© )в ) = [0]М 1.

(12)

Непосредственно из (9) и (12) вытекает следующее условие инвариантности:

Ф©? ) =

©

)] к-1©(й), гд = К-10, г©й) = к-1©(<г).

Соответственно для искомой матрицы Р^) линейного оператора Z(d) {•} с учетом (15) имеем

PZ(d )©(d )=[0]

PZ(d) =

МzyMh: '

(l3)

©d)r (QTY©d)FQ )"z{q(t)}

vp wp T © 1 Q

(l6)

В дальнейшем полагаем, что системы уравнений (11), (13) совместны, а расширенная матрица

где Z

q ; ©

(d)

имеет ранг Мх + МИу < N +1.

{q(t)} = [z{qT (t) }}=[Zr {q(t)} r = lMz] =

= [Z r { (t)}, j = M r = l^].

Для решения вопроса оценки структуры помехи (то есть определения оптимального номера ё * е 1, Б структуры реализации помехи в уравнении наблюдения (1)) введем два дополнительных оператора

ZX {} ZН {•}.

Первый дополнительный линейный оператор Z х : х(*) ^ X ставит в соответствие непрерывному

процессу х(*), заданному на отрезке [* 0, Т], его дискретный аналог X = [ хп, п = 0,Ж ] . В данном случае

z х {qT (t )}=Q,

(17)

P (d) = 1 х ~

TС)ГQ (QTTС)ГQ )-1 Q

(19)

Очевидно, что при ё ф I оценки X(ё,1) являются смещенными, так как М{у(1 )}фX и, следовательно,

М{{(ё,1 )}ф X . И только при ё = I указанные оценки являются несмещенными (м{{(1,1 )} = X), поскольку ^)н ( )=[0](Ж+1)хГ

Второй дополнительный линейный оператор Z Н) : к(ё) (*) ^ Н(ё) ставит в соответствие непрерывному процессу к(ё)(*), заданному на отрезке [*0, Т],

его дискретный аналог Н(ё) = [кПё), п = 0, N ^ .

По аналогии с (17)-(19) можно получить набор

оценок помехи Н (), содержащейся в уравнении наблюдения (5):

Н(ё,')=zHd){у(1 )} = РН)У('), Iе 1Б, ё = 1Б, (20)

где

P (d ) = 1 н ~

Т Г(d) Т Q1 в

[©(d) ] T Т Qr ed)

-1 [в(d) ]T

. (21)

В формулах (20) и (21) приняты обозначения:

Т q = EN+1 -Г Q (Ф Q )-1 QT, Ф Q = QTK -Q, Г в) = K-1e(dГ Q = K-1Q.

В этом случае выполняется условие

,(ё) тг = |

РГх = [0] (N^ d = 1 D

тогда непосредственно из (16) с учетом (17) получаем набор промежуточных оценок вектора X :

X(ё,')=zX){у (1 )} = р(ё)У(1), Iе 1Б, ё = 1Д (18)

где ZX) {•} = Р^), Рх) - матрица следующего вида:

то есть оператор Zн) {•} = Р^) инвариантен к сигналу X.

Очевидно, что при ё = I оценка Н((,1) помехи

Н () так же является несмещенной, а при ё ф I имеется смещение.

Для решения вопроса о выборе оптимальной * _

оценки ё е 1, Б номера I, то есть номера варианта

помехи Н () в уравнении наблюдения (5), сформируем набор невязок

ДУ (1,ё) = У (I) - х С,ё) - Н С,ё) (I,ё) + ДН (I,ё) + Е,

(22)

где ДУ(М )= X - X(иё), ДН(',ё )= Н(1)- Н(Кё).

*

Оценка ё номера I структуры помехи, действующей на интервале [* 0, Т ], находится на основе критерия вида

ё = а^ шш

ёе1, Б

AY

(l ,d>

K -1AY(l ,d >. (23)

Если ё совпадет с I, то минимальная дисперсия скалярной оценки £ г {у ()} (г е 1,М равна

Г ()

хТ

Z г {qT (t)}

с) (qtтв)

г

T

t y

Q

CQ

хт/ Wp Т в 1 Q

Zг {q (t)},

(24)

где тв>=Г Q

T

K НТ()Г q .

Соответственно для векторной оценки z{y()}

минимальный след матрицы К £' находится с учетом (24) по следующему правилу:

tr (K

\ ' г =1

M rv>]2

с> г.

(25)

Таким образом, алгоритм идентификации номера варианта построения помехи к(()(*) и оценивания значения оператора Z{x(*)} сводится к следующему: 1. По формуле (19) строится семейство дополни-

P

(d я1

х

d=1

тельных операторов Z X) {•} вида {

2. По формуле (18) находится набор промежуточ-Г,Лё,1) Б

ных оценок

{х(d,l)r .

I- j d=1

3. По формуле (21) строится семейство дополнительных операторов Z Н) {•} вида {¿ё)} .

I- -I ё =1

4. По формуле (20) находится набор промежуточных оценок {н (ё ,1)} .

ё=1

5. По формуле (22) строится семейство невязок

{ду(1ё)}Б .

ё=1

6. По формуле (23) выбирается оптимальный но-

* _

мер ё е 1, Б варианта построения кусочно-непрерывной помехи в модели (1).

*

7. По формулам (15) и (16), принимая ё = ё, строится искомый оптимальный оператор

*

8. По формуле (6) для ё = ё находится искомая оптимальная оценка линейного оператора Z{x (*)}.

9. По формулам (24) и (25) находим минимальные дисперсии и след корреляционной матрицы ошибок оценивания.

Рассмотрим частный случай, когда Ь = 1, Б = 1, к (1)(*) = 0, * е [0, Т]. Тогда с учетом (18)

оценка X(1,1) = 0(ТК) 0Т К-1У(1) совпадает с

классической МНК-оценкой для случая, когда в наблюдениях помимо сигнала х (*) присутствует только

флуктуационный шум ).

Вывод

Основное достоинство развиваемого в статье подхода состоит в том, что в отличие от классического МНК он не требует расширения пространства состояний, поскольку обладает свойством внутренней инвариантности к кусочно-непрерывным помехам заданного класса. Кроме того, он позволяет существенно

Ростовский военный институт ракетных войск

расширить класс решаемых задач оценивания: помимо традиционной задачи сглаживания появляется возможность решать задачи оценивания значений линейных функционалов и операторов, например, оценивание значений производных различных порядков в точках отрезка наблюдения, вычисление определенных интегралов и т.д.

Возможность перебора всех вариантов построения кусочно-непрерывной помехи и выбора оптимального из них позволит на практике повысить устойчивость и точность результатов оценивания при проведении измерений на базе совокупности как однородных, так и разнородных датчиков при различных режимах их переключения.

Литература

1. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. -М.: Радио и связь, 1985. - 344 с.

2. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС / под ред. В.Н. Харисова, А.И. Петрова, В.А. Болдина. -М.: ИПРЖР, 1999. -560 с.

3. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траек-торных измерений. - М.: Сов. Радио, 1978. - 384 с.

4. Леонов В.А., Поплавский Б.К. Метод линейных преобразований идентификации динамических систем // Техническая кибернетика. - 1990. - № 2. - С. 73-79.

5. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Автокомпенсационный метод обработки результатов измерений при наличии погрешностей регулярной структуры // Автометрия. - 2003. -Т. 39, № 1. - С. 69-72.

6. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Оптимальное оценивание параметров нормальной регрессии для случая расширенной модели наблюдений // Проблемы передачи информации. - 1993. - Т. 29, вып. 3. - С. 31-41.

7. Булычев Ю.Г., Манин А.П. Математические аспекты определения движения летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 2000. - 256 с.

8. Лысенко Л.Н., Нгуен Танг Кыонг. Теоретические и прикладные аспекты мультиструктурных схем рекуррентной обработки информации в навигационных системах летательных аппаратов // Известия АН. Теория и системы управления. - 1997. - № 6. - С. 38-48.

12 сентября 2006 г.

УДК 321.3

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЯХ В ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ

© 2007 г. В.В. Курейчик, П.В. Сороколетов

Основные проблемы в науке и технике сегодня -это разработка теории, принципов математических методов и моделей для эффективного принятия решения (ПР) при проектировании. При этом важными задачами являются: построение интеллектуальных

систем поддержки принятия решений; моделирование принципов эволюционного развития природы; адаптация и взаимодействие с внешней средой; исследование открытых систем; построение порядка из хаоса; иерархическая самоорганизация [1 - 4].