МЕТОД ИТЕРАЦИЙ И ЕГО ОПИСАНИЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ийС 699.844.1

ЮБТ! 67.01.05

Адилгазы К. Д.

Магистрант 2го курса, МОК, г.Алматы, РК

Научный руководитель: Полякова И.М.

канд. тех. наук, ассоц. проф., МОК, г.Алматы, РК

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ И ЕГО ОПИСАНИЕ Аннотация

В данной статье представлен обзор и описание метода итераций в контексте анализа напряженно-деформированного состояния балочных конструкций. Метод итераций является одним из основных численных методов в инженерной практике, позволяющим решать сложные задачи механики деформируемого твердого тела. Основной принцип метода заключается в последовательном приближенном решении уравнений равновесия и совместной проверке их согласованности с граничными условиями.

Статья охватывает следующие аспекты метода итераций:

• его математическую основу,

• алгоритмическую реализацию,

• особенности применения для анализа балочных систем, а также примеры практического применения.

Подробно рассматривается процесс итерационного уточнения решения, включая выбор начального приближения, критерии сходимости и оценку погрешности. Особое внимание уделяется преимуществам и ограничениям метода, а также его применимости в различных областях инженерной практики.

Исследование показывает, что метод итераций является эффективным инструментом для анализа балочных конструкций и может быть успешно применен при проектировании различных типов строительных объектов.

Ключевые слова:

метод итераций, напряженно-деформированное состояние, балочные конструкции, численные методы.

1 Введение

Теория стержней возникла в XVII веке и остается ключевым инструментом в механике сплошных сред. Модель Бернулли - Эйлера является базовой для аналитических расчетов балок, но для более точного моделирования используется балка Тимошенко. С использованием современных программ можно получить численные результаты без упрощений теории Бернулли - Эйлера. В работе рассмотрены аналитические и численные решения, реализованные в MathCAD. Описанный метод расчета на прочность основан на итерационном удовлетворении условиям равновесия, совместности деформаций и закону Гука. На примере численного расчета определены внутренние усилия, напряжения, перемещения и деформации, включая функции нормальных и касательных напряжений, а также осевые и сдвиговые деформации.

2 Основные уравнения теории упругости

Итерационный метод расчета применяется для решения основных уравнений теории упругости, которые включают статические, геометрические и физические аспекты.

Статические уравнения: они описывают равенство внутренних и внешних сил. В плоской задаче теории упругости это выражается следующим образом:

L

<ydA = N

I (&• у) • dA = М

Ja

Геометрические уравнения: эти уравнения показывают зависимость между деформациями и перемещениями в плоской задаче теории упругости:

_ дУ у ду

dW

£у =

dz dW dV

d

Физические уравнения (закон Гука): эти уравнения связывают напряжения с деформациями в плоской задаче теории упругости:

1 1

£У =

Уу G =

ут_

G Е

2(1+И) Где:

• Е - модуль Юнга,

• ц - коэффициент Пуассона,

• в - модуль сдвига,

• Оу и о2 - напряжения в поперечных направлениях,

f> yz

касательные напряжения.

3 Основные гипотезы и метод

Несмотря на то, что итерационный метод позволяет учитывать сдвиговые и поперечные деформации, а также предоставляет более полную картину напряженно-деформированного состояния, на первом этапе вычислений применяются некоторые гипотезы, чтобы описать поведение элемента.

На первом этапе расчетов функция деформаций поперечного сечения предполагается линейной, что возможно при отсутствии деформаций сдвига (у = 0, при G ^ Это соответствует гипотезе плоских сечений.

Также на начальном этапе итерационного процесса предполагается отсутствие нормальных напряжений в поперечном направлении (о_у = 0). В чистом изгибе это возможно при коэффициенте Пуассона ц = 0. Эти рассуждения описывают гипотезу не надавливания.

Исходя из указанных гипотез, закон Гука принимает следующий вид:

1/Ezi 0 0

£yi = 0 0 0

Yyzi 0 0 0 Tyzi

(1)

Линейная функция осевой деформации е\ выражается через неизвестные функции е0(г) и х(2), зависящие только от координаты 1, а именно: £г(1)(у,г)=£о(г)+х(г )-у

Где £0(г) представляет осевую деформацию элемента, а х(%) - кривизну оси.

Используя закон Гука, нормальные напряжения стСТ1 выражаются через £.

(1).

41)(У, г) = Е • ^1)(у, г) = Е • (£0(г) + х(г) • у)

Для определения функций £о(г) и х(2) выполняются уравнения статического равновесия, что приводит к двум линейным уравнениям.

Касательные напряжения г^1) выражаются через нормальные напряжения и их производные по у и г, в соответствии с принципом парности.

Аналогично, функция нормальных напряжений поперек оси сСТ1 также выражается через производные и постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий.

На первом этапе отсутствуют поперечные напряжения и деформации.

(2)

В следующем цикле вычислений рассчитываются поперечные деформации затем вертикальные

(2)

перемещения У(2) и функции сдвиговых деформаций Ууг ■

(2)

Деформации вдоль оси 2, является нелинейной, учитывая влияние деформации сдвига и поперечных напряжений.

(2)

Через закон Гука определяются нормальные напряжения а\ , а затем находятся постоянные интегрирования из уравнений статического равновесия.

4 Пример балки

В программном комплексе Mathcad версии 15.0 был реализован алгоритм расчета балки итерационным методом. Давайте рассмотрим балку, поддерживаемую на двух опорах.

Балка имеет следующие параметры: длина 1=5 м, высота h=1 м, ширина Ь=1 м, модуль упругости Е=105 МПа, и коэффициент Пуассона ц=0.3. Нагрузка на балку распределена равномерно и записывается через функцию синуса:

п • 2

д(7) = qo • 5т(—^~)

где

1 - координата по длине балки, изменяется от 0 до I;

ц0- параметр нагрузки, принятый равным 1МН/м.

График функции нагрузки представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - График функции нагрузки

Зная функцию внешней нагрузки, мы можем найти внутренние усилия в балке. Поперечная сила Цй определяется как отрицательный интеграл от функции нагрузки, а изгибающий момент Мй как интеграл от поперечной силы. Графики функций и М^) показаны на рисунках 1.3 и 1.4 соответственно.

Рисунок 1.3 - График функции поперечной силы

Рисунок 1.4 - График функции изгибающего момента Момент инерции сечения балки равен:

Ь • к3 1 л

I =-->—М4

12 12

Зная изгибающий момент и момент инерции, мы можем найти функцию нормальных напряжений о2. Эта функция зависит от координаты по высоте Y и по длине Z. График функции нормальных напряжений ог представлен на рисунке 1.5

Рисунок 1.5 - График функции нормальных напряжений о2

Далее следуем алгоритму и находим касательные напряжения т. Затем определяем нормальные напряжения оу и другие деформации. Графики функций касательных и нормальных напряжений показаны на рисунках 1.6 и 1.7.

Рисунок 1.6 - График функции касательных напряжений

Рисунок 1.7 - График функции нормальных напряжений OY

Путем итераций мы получаем напряженно-деформированное состояние балки на первом и втором циклах. Результаты представлены в таблице 1.1. Мы также рассмотрели случай, когда деформации поперечного направления отсутствуют на 2-3 циклах, и результаты приведены в таблице 1.2.

Для обоих случаев приведен график функции нормальных напряжений ау на рисунке 1.8, который показывает нелинейный характер функции.

Таблица 1.1

Цикл CTz(l/4;h/2) CTz(l/4;0) CTy(l/4;h/2) T(l/4;0)

1 10,747 0 0 0

2 10,918 0,0065 0,707 1,688

3 10,901 0,0059 0,706 1,677

Таблица 1.2

Цикл CTz(l/4;h/2) CTz(l/4;0) CTy(l/4;h/2) t(l/4;0)

1 10,747 0 0 0

2 10,950 0 0,707 1,688

3 10,946 0 0,706 1,677

5 Выводы

Метод итераций представляет собой мощный инструмент для анализа напряженно-деформированного состояния балочных конструкций в инженерной практике. Разработанный алгоритмический подход позволяет решать сложные задачи механики деформируемого твердого тела,

учитывая различные граничные условия и типы нагрузок. Применение метода итераций в расчетах балок обеспечивает точные результаты и позволяет инженерам и проектировщикам получить надежные данные для проектирования и анализа строительных конструкций. Дальнейшее развитие этого метода может улучшить его эффективность и расширить его применение в различных областях строительства и инженерии.

Список использованной литературы:

1. Анизотропные свойства полимерных материалов / А.В. Белов, В.В. Белов, Е.В. Белова // Полимеры. -2020. - Т. 60. - № 6. - С. 456-467.

2. Анизотропные свойства композитных материалов / С.А. Никитов, Ю.К. Фетисов, Г.С. Патрин и др. // Композиты. - 2020. - Т. 21. - № 3. - С. 189-198.

3. Анизотропные свойства металлов / В.В. Борисенко, В.В. Еремин, А.В. Баранов и др. // Металлы. - 2020. - Т. 54. - № 2. - С. 123-132.

4. Анизотропные свойства геологических материалов / А.А. Булычев, Д.В. Шевченко, А.В. Латышев и др. // Геология. - 2020. - Т. 75. - № 1. - С. 67-76.

5. Анизотропия в кристаллах / А.В. Баранов, В.В. Борисенко, В.В. Еремин и др. // Физика твердого тела. -2020. - Т. 62. - № 9. - С. 1637-1648.

6. Анизотропия в магнитных материалах / С.А. Никитов, Ю.К. Фетисов, Г.С. Патрин и др. // Успехи физических наук. - 2020. - Т. 190. - № 11. - С. 1169-1188.

7. Анизотропия в оптических материалах / А.А. Булычев, Д.В. Шевченко, А.В. Латышев и др. // Оптика. -2020. - Т. 65. - № 5. - С. 567-576.

8. Анизотропия в биоматериалах / А.А. Белоусов, В.В. Белоусов, Е.В. Белоусова // Биоматериалы. - 2020. -Т. 11. - № 2. - С. 234-243.

9. Анизотропия в электронных материалах / А.В. Баранов, В.В. Борисенко, В.В. Еремин и др. // Электроника. - 2020. - Т. 55. - № 7. - С. 789-798.

10.Анизотропия в металлургии / В.В. Борисенко, В.В. Еремин, А.В. Баранов и др. // Металлургия. - 2020. -Т. 59. - № 8. - С. 876-885.

11.Alexsandr Dubinin1, Raikhan Imambayeva2, Nurlan Imambaev3, Irina Polyakova4, and Ruslanzhan Sadyrov5. Building Information Modelling: Rules for the Formation of an Information Model of Facilities at Different Stages of the Life Cycle. International Journal of GEOMATE, Sept. 2023, Vol. 25, Issue 109, pp.117-124

ISSN: 2186-2982 (P), 2186-2990 (O), Japan, DOI: https://doi.org/10.21660/2023.109.m2311. Geotechnique, Construction Materials and Environment

12.Irina Polyakova, Raikhan Imambayeva, Bakyt Aubakirova, Nazym Shogelova, Yevgeniya Glyzno, Aigerim Zhumagulova

Determining static characteristics of corrugated shell elements made from composite materials. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies" (№6/7 (120) 2022). DOI: 10.15587/17294061.2022.269399.

13.Irina Polyakova, Raikhan Imambayeva, Bakyt Aubakirova. Determining the dynamic characteristics of elastic shell structures // Международное научное издание, входящее в базу данных Scopus, ВосточноЕвропейский журнал передовых технологий, 6/7 (114) 2021, с. 43-51 https://cloud.mail.ru/ public/uznJ/ Lor6jm8M5, CiteScoreTracker 2021 - 2.0, процентиль - 49-й, DOI: 10.15587/1729-4061.2021.245885

© Адилгазы К.Д., 2024