CC BY
26
МБ С 34В05
МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНВОЛЮЦИЕЙ
Е.Ю. Романова
Воронежский Государственный Университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, [email protected]
Аннотация. Изучается дифференциальный оператор Ь с инволюцией, порожденный дифференциальным выражением 1(у) = у'(х) — д(х)у(ш — х) с ц Є Ь[0, ш\, и краевыми условиями у(0) = у(ш). Для исследования спектральных свойств данного оператора применяется метод подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра, а также оценки равносходимости спектральных разложений.
Ключевые слова: спектр оператора, дифференциальный оператор с инволюцией, подобные операторы, асимптотика спектра, спектральное разложение, равносходимость спектральных разложений.
1. Введение. Пусть Ь2[0,ш]- гильбертово пространство суммируемых с квадратом на [0,ш] комплекснозначных функций со скалярным произведением
(х,у) = J х(т)у(т)с1т , х, у Є Ь2[0,и\.
0
Через ^^[0,^] обозначим пространство Соболева
{у Є Ь2[0,и] : у- абсолютно непрерывна и у Є Ь2[0,ш]} .
Рассмотрим оператор
Ь : Д(Ь) С Ь2[0,ш] м Ь2[0,ш] ,
порожденный дифференциальным выражением |1|
1(у) = у\х) — Я(х)у(ш — х) , х Є [0,ш] , д Є Ь2[0,ш] , (1)
с областью определения
у Є Д(Ь) = {у Є ^21[0,ш] : У(0) = У(ш)}-Ь
Ьу = Ь0у — Ву, (2)
где (Ь0у)(х) = у'(х). Оператор Ь(0) будем называть свободным оператором, играющим роль невозмущенного оператора, а (Ву)(х) = д(х)у(и — х) — возмущения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты 13-01-00378. 14-01-31196.
Спектр a(L°) состоит го собственных значений вида Лп = 2піп/ш, n Є N. Каждое собственное подпространство, отвечающее собственному значению Лп, n Є N, является одномерным. Соответствующая собственная функция имеет вид en(t) = exp {2nmt/w}. Проекторы Рисса Pn,n Є N, построенные по одноточечным множествам {Лп}, n Є N для любого x Є L2[0, ш] имеют в ид Pnx = (x, en )en, n Є N.
L
теории фильтрации. Ипволютивпое отображение применялось В.А. Плиссом при исследовании субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации |2|, Отметим также, что к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим простейшую инволюцию, сводятся некоторые геометрические задачи, например, задача Бернулли и Эйлера о взаимных траекториях |3|, а также краевые задачи дня уравнений в частных производных гиперболического и эллиптического типов, если оператор уравнения допускает факторизацию.
В теории возмущенных линейных операторов при изучении дифференциальных операторов, определяемых краевыми условиями па конечном промежутке, используются разнообразные методы |10|- |11|. В настоящей статье дня исследования спектральных L
стоит в преобразовании подобия исследуемого (возмущенного) оператора в оператор,
спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам певозмущеппого
L0
L
2. Полученные результаты. Основная идея метода подобных операторов |4|- |9|
A
странстве X (он обычно называется невозмущенным оператором), и B — другой опера-
A
ях естественно ожидать, что оператор A — B подобен оператору A — B0, оде B0 имеет
A
B0 A — B A — B0
мопическим анализом линейных операторов из некоторого пространства возмущений оператора A, которому принадлежит и B, Проверка условия подобия операторов A — B A — B0
в пространстве возмущений.
Применяя метод подобных операторов дня исследования спектральных свойств оне-L, L L = A — B,
L0 = A B
Пусть L2;W = L2;W [0, ш] — гильбертово пространство определенных на R комплексных периодических периода ш функций, суммируемых с квадратом модуля на [0,ш].
Рассмотрим ограниченные операторы JB, rB го EndL2 w, определяемые формулами
JB = Y,PnBPn, ТВ = Y^ PiBPi ’ hjez.
n€Z n€Z i-j=n
Далее, введем последовательности операторов (JmB), (rmB), и трансформаторов (Jm), (Гт), m Є N [8], принадлежащих End L2;W и входящих в допустимую тройку метода
подобных операторов |4|:
ЗтВ = Р(т)ВР(т) + РкВРк = 3(В — Р(т)ВР(т)) + Р(т)ВР(т) ) (3)
|к|>т+1
где
ГтВ = Г(В — Р(т)ВР(т)) ) (4)
т Р(т) — ^ ^ Рк , к=1 2ш
{{ЗВ)у){х) = ^ [ д(-—|^)у(з)^, (5)
0
2^
«гв)у)М = ± (6)
2
0
2^
1 /'„/ х — 5 \ , , / 2^ — х — 5'
((вГв)у)И = — f(^--^)q(x)q(^U) *---)у(й)^5 , (7)
2
0
У £ Р2,ш] х € [0,ш], f (£) = г(£ — ш/2), £ € [0,ш], f € 32>ш• В таком случае матрицы (6^), (впу), п, ^ € М, соответственно операторов В и ВГВ в рассматриваемом базисе {еп ; п € имеют вид
6пу — ОП+у ) (8)
2тті ^ к — і к=]
Используя метод подобных операторов, были получены следующие результаты.
Теорема 1. Если число к Є Z + таково, ч то ||Гк В||2 < 1, (т.е. опера тор I + ГкВ обратим), где ГкВ принадлежит идеалу 02(Ь2;Ш) операторов Гильберта-Шмидта, и ||ГкВ||2 — норма Гильберта-Шмидта, то оператор Ь = А — В подобен оператору Ь = А — В, где
В = Зк В + (I + Гк В)-1(ВГк В — (Гк В) Зк В), (10)
причем имеет место равенство
(А — В)(І + Гк В) = (I + Гк В)(А — В).
Операторы ЗкВ, ГкВ, ВГкВ, (ГкВ)(ЗкВ), і? являются операторами Гильберта-Шмидта из 62(Ь2;Ш). Оператор В из (10) представим в виде
В = ЗВ + ВГВ — (ГВ)ЗВ + С, (11)
где оператор С принадлежит идеалу 02(Ь2;Ш).
Непосредственно из теоремы 1 получается, что имеет место
Ь
вентой и существует такая нумерация собственных значений,что а(Ь) представим в виде
В следующей теореме Р(т), Рп, п > т + 1 — спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору Ь и множествам а(т),ап,п > т + 1, соответственно.
Теорема 3 |8|. Имеет место равносходимость спектральных разложений операторов
1. Хромов А.П. Смешанная задача для дифференциальши'о уравнения е инволюцией и
потенциалом специальнох'о вида /7 Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. 10:4. С.17-22.
2. Розовский М.И. Механика урух'онаеледетвенных сфер / Сер.«Итоги науки». Упругость
и пластичность / М.: Мир, 1967. 340 с.
3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / М.: Наука, 1988. 512 с.
4. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / Воронеж: Воронежский
1'осударственный университет, 1987. 164 с.
5. Баскаков А.Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений /7 Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50:4. С.435-457.
6. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитичееких и спектральных операторов /7 Известия РАН. Сер.матем. 1994. 58:4. С.3-32.
7. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы и регуляризованных следов //
Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1984. №3. С.3-12.
8. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектраль-
ном анализе несамосонряженнох’о оператора Дирака с негладким потенциалом /7 Известия РАН, серия математическая. 2011. 75:3. С.4-28.
9. Romanova E.Yu. Similar operators method in spectral analysis of Dirac’s operator in the
lebesgue spaces /7 Spectral and evolution problems. 2011. 21; 2. P.185-186.
10. Данфорд H., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральные операторы / М.: Мир,
1974. 896 с.
11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972. 740 с.
a(L) = a(m) U {an; n > m + І} ,
ще a(m) — конечное множество, a. an, n > m + І определяются равенствами
(12)
(13)
k=0
где en — суммируемая последовательность, | вп |< ^.
n^Z
L и L0 :
n
n
n г
(14)
k=m+1
k=m+1
Литература
SIMILAR OPERATORS METHOD AT SPECTRAL ANALYSIS OF DIFFERENTIAL OPERATOR WITH INVOLUTION
E.Yu. Romanova
Voronezh State University,
Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. The differential operator L with involution defined by the differential expression l(y) = y'(x)—q(x)y(w—x), q € L2[0, w] and boundary conditions y(0) = y(w) is studied. The method of similar operators is used to analyze the spectral properties of the operator. The asymptotic of spectrum and estimates of equieonvergenee of spectral decomposition are obtained.
Key words: spectrum of operator, differential operator with involution, similar operators method, asymptotic of spectrum, spectral decomposition, equieonvergenee of spectral decomposition.
