Метод блочного элемента в приложениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Метод блочного элемента в приложениях

В.А. Бабешко1,2, О.М. Бабешко1, О.В. Евдокимова2

1 Кубанский государственный университет, Краснодар, 350040, Россия 2 Южный научный центр РАН, Ростов-на-Дону, 344006, Россия

Дается изложение основ теории метода блочного элемента. Приведены алгоритмы интегрального и дифференциального методов факторизации, применяемых при построении и использовании блочных элементов. Демонстрируется применение метода к некоторым граничным задачам, в частности для построения блочного элемента в пирамидальной области. Приведены некоторые общие свойства метода блочного элемента, показывающие его достаточно большие возможности для приложений. Приведены сведения о применении метода блочного элемента к различным задачам механики и физики.

Ключевые слова: блочный элемент, факторизация, топология, интегральный и дифференциальный методы факторизации, внешние формы, блочные структуры, граничные задачи

Block element method in applications

V.A. Babeshko1,2, O.M. Babeshko1 and O.V. Evdokimova2

1 Kuban State University, Krasnodar, 350040, Russia 2 Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, 344006, Russia

In the work, the fundamentals of the block element method are outlined. Integral and differential factorization algorithms for construction and use of block elements are presented. The method is applied to some boundary problems, in particular, to construct a block element in a pyramidal space. Certain of general properties of the block element method are put forth to show its fairly wide applicability. Data on application of the block element method to various problems of mechanics and physics are reported.

Keywords: block element, factorization, topology, integral and differential factorization methods, external forms, block structures, boundary problems

1. Введение

Метод блочного элемента возник как подход для математической имитации сложных блочных структур, свойственных коре Земли в сейсмологии. На необходимость развития методов математического описания и последующего исследования блочных структур, в дополнение к слоистым, достаточно детально изученным, указывал академик М.А. Садовский [1]. Как один из вариантов решения этой проблемы, в Южном научном центре РАН и Кубанском государственном университете был разработан метод блочного элемента. В его основе лежат идеи факторизационных методов, имеющих топологическую основу, восходящие к работам Н. Винера [2]. Этот метод не повторяет такие известные методы, как метод конечных и граничных элементов, метод собственных функций и другие подходы.

Средством для реализации метода блочного элемента служат разработанные ранее интегральный и диффе-

ренциальный методы факторизации, позволяющие осуществлять определенные математические действия при построении блочных элементов [3-7].

Кратко изложим сравнительный анализ двух указанных методов факторизации, что пояснит причину их разделения и их назначение при построении блочного элемента.

Общим для методов факторизации является использование свойства аналитических функций, порождаемых интегральными преобразованиями, быть регулярными в определенных областях комплексных плоскостей в зависимости от носителей функций, подвергнутых интегральным преобразованиям [3-7]. Также общими являются сведение исходных задач к исследованию определенных видов функциональных уравнений и возможность построения точных решений для полупространств. К достоинствам методов факторизации следует отнести представление решения в интегральной

© Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., 2012

форме, позволяющей как изучение самого решения, так и исследование влияния входящих параметров задачи на свойства решения. Однако по функциональному назначению и возможностям методы факторизации требуют классификации, поскольку решают разные задачи и дополняют друг друга при построении блочных элементов.

2. Интегральный метод факторизации

Интегральный метод факторизации, созданный в работах Н. Винера и Э. Хопфа [2], возник при исследовании и решении интегральных уравнений или их систем, заданных на полуоси, с разностным ядром. Этот тип интегральных уравнений, называемых уравнениями Винера-Хопфа, порождается граничными задачами для дифференциальных уравнений со сменой граничных условий на вещественной оси или окружности, называемых смешанными задачами [8]. Интегральное уравнение

] к(х Ч) (х), х >0, (1)

0

продолженное на отрицательную полуось вектор-функцией е(х), применением преобразования Фурье сводится к векторному функциональному уравнению Винера-Хопфа вида [2, 8]:

К (а^+(а) = F+ (а) + Е - (а). (2)

Здесь функции, обозначенные большими буквами, означают преобразования Фурье от соответствующих функций, обозначенных строчными буквами, а знаки внизу — свойства регулярности аналитических функций в верхней (плюс) и нижней (минус) комплексных полуплоскостях. Свойства регулярности определяются носителями вектор-функций ^х), е(х) — положительной или отрицательной полуосями. Детальный анализ этих уравнений и их систем выполнен в работах [8-10]. Решающую роль для решения функционального уравнения Винера-Хопфа играет факторизация в виде произведения функции или матрицы-функции

К (а) = К - (а)К+(а), (3)

элементы которой в общем случае являются суммой полиномиальной составляющей и преобразования Фурье суммируемых функций. Здесь матрица-функция К + (а) регулярна в верхней полуплоскости и ее определитель не имеет там нулей, таким же свойством обладает матрица-функция К _ (а) в нижней полуплоскости. Техника решения функционального уравнения или различных его модификаций изложена в работах [8-10] и здесь не повторяется.

Заметим, что в приложениях более важными являются интегральные уравнения (1), заданные не на полуоси, а на конечных отрезках [9, 10].

С применением функционального уравнения (2) уравнения (1) на конечных отрезках сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

Для целей метода блочного элемента интегральный метод факторизации соответствующим образом модифицирован [3, 4].

3. Дифференциальный метод факторизации

Дифференциальный метод факторизации [5-7] предназначен для получения интегрального представления решений граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в сложных областях. Его основу составляют следующие положения топологической алгебры.

Область задания граничной задачи рассматривается как топологическое многообразие с краем, как известно, гомеоморфное полупространству. Автоморфизм, т.е. топологическое отображение этого многообразия на себя, порождает группы преобразований, изоморфные некоторым группам невырожденных матриц. Последние порождают представления этих групп, описываемые в общем случае сложными специальными функциями.

Излагаемый подход отличается от так называемого группового анализа Ли [11, 12]. Последний применяется во всем пространстве, без границ, в то время как в настоящем подходе он используется для граничных задач, в областях с границей.

Дифференциальное выражение в частных производных, входящее в постановку граничной задачи, рассматривается как дифференцируемое отображение векторного поля, заданного на этом же многообразии. Оно приводит к функциональному уравнению, отличающемуся от (2). Обеспечение автоморфизма приводит к необходимости исследования функционального уравнения методом факторизации. В том случае, когда порождаемые при автоморфизме специальные функции оказываются инвариантными относительно дифференцируемого отображения, исследование функционального уравнения оказывается особенно простым, поскольку граничные условия глобально формулируются на координатных поверхностях. В общем случае для обеспечения автоморфизма приходится использовать внешний анализ и свойственные ему карты и атласы, применять топологическое разбиение единицы.

4. Применение метода факторизации к граничным задачам в различных постановках

В работах [5-7], а также в работах, на которые имеются в них ссылки, рассмотрены варианты применения метода факторизации к граничным задачам в различных постановках. В результате этих исследований сформировались алгоритмы применения дифференциального метода факторизации для исследования и решения граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициента-

ми. Ниже демонстрируется алгоритм применения метода на примере достаточно общей граничной задачи.

Рассмотрим в пространстве медленно растущих обобщенных функций Н* следующую, достаточно общую, записанную в операторном виде, граничную задачу для системы Р дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в частных производных произвольного порядка дифференцирования в выпуклой трехмерной области й и считаем, что она разрешима:

К (Эх1, 3x2, дх3 )ф =

М N К Р

= Е ЕЕ ЕА,ртЛФр,^^ = °> (4)

т = 1 п =1 к =1 р =1

5 = 1, 2, ..., Р,

Адтпк = С0П^ Ф = {Ф1 , Ф2’ ". ФРЬ

Ф = {Ф* }, Ф(х) = Ф(х1> х2, хзХ

х = {х1, х2, х3}, X ей.

На границе дй задаются следующие граничные условия:

R(дxl, дх2, дхз )Ф =

мх N1 к Р

= Е Е Е Е ВртпкФрХ^ = Л , (5)

т = 1 п =1 к =1 р =1

5 = 1, 2, ..., *0 < Р, х едй,

М1 < М, N < N, К1 < к.

Заметим, что подобно изложенному выше интегральному методу факторизации в дифференциальном методе факторизации граничная задача решается точно, если й является полупространством. В случае если область й является выпуклой, задача сводится к решению системы нормально разрешимых псевдодифференциальных уравнений.

С целью систематизации изложения дифференциального метода факторизации, выделим несколько этапов.

4.1. Сведение дифференциальных уравнений преобразованием Фурье к функциональному уравнению

Трехмерным преобразованием Фурье вида:

фп (а) = Ж Фп (х)ег<ах)ах = Fфn, фт = FФm

й

система (4) сводится к функциональному уравнению вида:

К (а)Ф = Ц и, (6)

дй

К (а) = _К (-/«1, _ га 2, _ /аз) = (а)||.

Здесь К(а) — полиномиальная матрица-функция порядка Р.

Вектор внешних форм ю имеет в качестве компонент двумерные функции вида:

и ={юЛ, 5 = 1, 2, ..., Р, (7)

Ю = p2s ^1^*2 + ^1^3 + Р23*ёх2Лёх3.

Операции внешней формы имеют обозначения:

ёх1Лёх2 = ёх1ёх^ _ ёх2ёх2,

ёх1Лёх3 = дх}ёх2 _ ёх13ёх2,

ёх2 Лёх3 = ёх12ёх2 _ ёх^ёх^.

Здесь введены векторы произвольной системы координат из покрытий касательного расслоения поверхности тела. В декартовой системе координат для касательных векторов произвольного элемента покрытия приняты обозначения:

Г 1 2 31 Г 1 2 31

х =\х1,X ,Х1 }, х2 = 1 х2,х2,х2 }

Коэффициенты внешних форм представлены в [5-7].

4.2. Удовлетворение заданным граничным условиям (5)

Удовлетворение заданным граничным условиям (5) достигается внесением в представление внешних форм значений решения Ф(дй) и его производных по нормали на дй, взятых из граничных условий. Наличие производных по касательным во внимание не принимается. Внешние формы содержат значения решения Фп и его производных на границе дй. Из граничных условий (5) подбором и обращением невырожденной матрицы находятся функции или производные по нормали на границе и вносятся в соответствующие представления внешних форм ю. Остальные функции или производные по нормали должны быть найдены из псевдодифференциаль-ных уравнений, получаемых при преобразовании функциональных уравнений.

Факторизация матрицы-функции К(а) функционального уравнения изложена в [13].

4.3. Сведение функционального уравнения к системе псевдодифференциальных уравнений

Заметим, что при сведении функционального уравнения к системе псевдодифференциальных уравнений [3, 14] приходится вычислять формы-вычеты Лере, возникающие в случае функций нескольких комплексных переменных. Опуская выкладки, представленные в работах [3, 14], приходим к соотношениям вида:

Е 1^тр (2;_) = о, *_ = 1,2,..., е_. (8)

р=1 дй

Здесь и ниже приняты обозначения параметров из [5].

Простроенная система является системой псевдо-дифференциальных уравнений.

4.4. Получение представления решения краевой задачи

Допустим, с учетом пункта 4.2, удалось решить систему псевдодифференциальных уравнений (8). Внесем найденные составляющие в вектор внешних форм (7)

и используем трехмерное обращение Фурье к функции Ф(а). В результате получим соотношение

ф(ху) = Ж К-1 (а^, -)К-1 (а^) х

х Л юе_г<аз Хз ^ dаV dаV dаV,

эп

ї'ей.

Решение можно сделать более наглядным, вычислив интеграл по параметру а^ по теории вычетов. В результате имеем

1

4п2

ф<х')=^т JJS

Р i(a1xl +a2x2 )v

1 я 1 Г. э Ї

x

1 дх3 V 3 у

т+ (av, a2, zS+ )e~

- K

-l

. _э_

1 SxV

tm± (a1, a2, Z;± ) =-Ё JJ

т- (a1, av2, z1-)e~izs

®pZmp (zS±)

dav dav, (9)

р=1 эп± !б(^± )к (г1±)

Т± = {0, 0,...,0, т± ,0,...,0}.

В этой формуле граница Эй для выбранного х% < 0, х’ей разбита по следующему правилу:

и ® = и ® + и ®,

Эй Эй+ Эй_

Л ю ехр(_;а^х3) ^ 0, 1т ,

эп+

JJ ю exp(-iav x3) — 0, Im a

—— —ГО.

эп-

В случае полупространства или слоистой среды псев-додифференциальные уравнения (8) вырождаются в алгебраические, после обращения которых решение строится в конечном виде. Здесь К г (ау) — матрица-функция, получающаяся при осуществлении факторизации в виде произведения матрицы-функции К(а) [13].

4.5. Граничные условия, допускаемые дифференциальными уравнениями граничной задачи

Построенные псевдодифференциальные уравнения содержат в себе все возможные граничные условия, допускаемые дифференциальными уравнениями граничной задачи. Поэтому они, после внесения желаемых граничных условий, сводятся ко всем основным типам интегральных уравнений смешанных задач меньшей размерности, т.е. на границе области. Последние исследуются интегральным методом факторизации [3, 4].

В задачах, рассмотренных в [5-7], показано, что оба метода факторизации не повторяют, а дополняют друг друга, дают возможность исследовать более широкий круг проблем.

Совокупность контактирующих деформируемых тел, описываемых граничными задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, занимающих произвольные области, образует блочную структуру. Ее исследование опирается на исследование отдельных составляющих тел [7].

5. Метод блочного элемента

Метод блочного элемента [14-16] опирается на два приведенных выше метода и предназначен, прежде всего, для исследования и решения граничных задач с переменными коэффициентами, а также нелинейных задач.

Теория блочных структур позволила построить для исследования и решения краевых задач новый метод, не повторяющий известные. Этот метод, в соответствии со своим происхождением, назван методом блочного элемента. Он отчасти похож на метод конечных элементов. Справедливо сказать, что на основе метода конечных элементов создан большой набор компьютерных программ. Среди них следует отметить, например, такие как ANSYS Mechanical, Multiphysics, Structural, CivilFEM, AUTODYN и др., позволяющие решать различные граничные задачи механики, физики, экологии, биофизики, инженерных приложений и других областей.

В то же время метод конечных элементов имеет существенные недостатки, отмеченные самими его создателями. К числу главных следует отнести замену сплошной среды конечным числом элементов меньшей размерности. В результате локальное описание решений краевых задач носит лишь приближенный характер. В методе конечных элементов носитель должен быть ограниченным. Области задания граничных задач также должны быть ограниченными. Носители конечного элемента, как правило, берутся в двухмерном случае в форме треугольника или прямоугольника, в том числе криволинейного, а в трехмерном — в форме пирамиды, параллелепипеда, также возможны криволинейные. Функции формы, задаваемые на таком носителе, являются полиномами двух или трех переменных соответственно, содержащими несколько неизвестных коэффициентов, т.е. являются сплайнами. Порядки входящих в них полиномов диктуются порядком производных в дифференциальных уравнениях граничных задач. При этом важную роль играют вершины, ребра и грани вводимых таким образом носителей, на которых выделяются избранные точки — узлы. Они берутся в форме множеств — в вершинах пирамиды или треугольника, а также на ребрах или гранях. Функции формы, т.е. полиномы, строятся из требования однозначного определения коэффициентов по значениям в узлах носителя. Полиномы сплайна лишь приближенно описывают решение граничной задачи в зоне носителя. Наличие

функций формы конечного элемента в полиномиальном виде не позволяет анализировать волновые составляющие решения, особенно в граничных задачах для сред при многочисленных воздействиях на среду различными физическими полями. Кроме этого, если решение содержит сильно осциллирующие функции, то полиномиальная функция формы их не сможет правильно представить. Эти проблемы становятся актуальными для композиций микроразмерных и наноразмерных материалов. Повышение порядка производных в дифференциальных уравнениях усложняет построение конечных элементов, их функций формы. Уменьшение размеров сплайнов конечных элементов ухудшает сходимость вычислительных процессов. В то же время большим достоинством метода конечных элементов является ленточность, или почти диагональность матрицы «жесткости», возникающей в этом методе, что существенно облегчает вычислительный процесс при его применении. Наличие многочисленных вычислительных программ, несомненно, ставят метод конечных элементов в число эффективнейших вычислительных средств настоящего времени.

Блочный элемент свободен от главного недостатка конечного элемента—он сохраняет сплошность среды, что выражается в точном удовлетворении соответствующих дифференциальных уравнений граничных задач.

Как и конечный элемент, блочный элемент имеет носитель, вне которого он равен нулю, но его носителем может являться любая область — ограниченная, полу-ограниченная или неограниченная, с границами, уходящими в бесконечность. Носителями блочного элемента могут быть как выпуклые области — экспоненциальная факторизация, так и многосвязные области, в случае обобщенной факторизации. Блочные элементы строятся по определенному алгоритму однотипно для систем дифференциальных уравнений в частных производных любого конечного порядка. Они имеют представление в форме интеграла по границе области носителя. Дифференциальные уравнения соответствующих краевых задач могут иметь любой порядок производных и не привязаны к наличию у них функционалов интегралов энергии. Применение метода конечного элемента для таких граничных задач крайне сложное.

Метод блочного элемента не повторяет другой важный вычислительный метод, а именно метод граничного элемента. Последний предполагает построение фундаментального решения дифференциальных уравнений, имеющего на границе области рассматриваемой граничной задачи сингулярные и иные особенности. Количество и свойства особенностей растут с увеличением порядка производных. Разница этих двух методов состоит также в удовлетворении граничных условий: в методе граничных элементов — функциональное, в методе блочного элемента—топологическое, но приводящее к тому

же результату. Кроме этого, в методе блочного элемента факторизация оставляет в представлении решения только нужные составляющие, а получаемые псевдодиффе-ренциальные уравнения не только достаточно просто регуляризуются, но даже исследуются аналитически и допускают различные варианты приближенных решений. В методе граничных элементов приходится решать интегральные уравнения со сложными, в том числе сингулярными, особенностями в случае высоких производных в дифференциальных уравнениях. Метод блочного элемента, порожденный блочной структурой, вводимой сеткой, разбивающей область задания краевой задачи на блоки, приводит, как и метод конечных элементов, к почти диагональной системе псевдодиффе-ренциальных уравнений. Можно выделить и другие достоинства этого метода, но главным можно назвать его исследовательские возможности, позволяющие производить анализ решений граничных задач, не прибегая к конкретным вычислениям. Метод позволяет пролонгировать решение на всю исследуемую область.

Отметим, что метод блочного элемента, как и другие методы, не лишен недостатков. Главным является принадлежность блочного элемента как функции к пространству медленно растущих обобщенных функций Н ^.

Однако этот недостаток легко преодолевается путем игнорирования обобщенной функции, происхождение которой связано с дифференцированием ступенчатой функции на границе носителя блочного элемента. Классическая составляющая решения продолжается с сохранением требуемой гладкости из блока в блок.

Ради простоты проиллюстрируем его применение на примерах простых граничных задач. В качестве примера построения блочного элемента рассмотрим следующую двумерную граничную задачу в ограниченной области й с гладкой границей Эй для дифференциального уравнения вида:

[ Ап( х1, х2)д 2 х + А22(х1, х2)Э 2 х2 +

+ А(х1, х2)]ф(х1, х2) = 0 (10)

с некоторыми граничными условиями, например Дирихле или Неймана. Здесь коэффициенты Акк(х1, х2), А( х1, х2) являются положительными гладкими функциями.

Введем в области й прямоугольную сетку, настолько плотную, чтобы в интересующей зоне этой области коэффициенты Акк (х1, х2), А(х1, х2) можно считать постоянными и будем обозначать их Акк, А, а область выбранного прямоугольника сетки — й0 с границей Эй0. Пусть в исходной системе координат она описывается соотношениями | х11 < а, | х21 < Ь.

В области й0 решим дифференциальным методом факторизации граничную задачу (10), применяя алгоритм, изложенный в пунктах 2, 3. В процессе его применения осуществляется касательное расслоение ориенти-

рованной границы дй0 и вводятся правые локальные

к к координаты с внешними Х2 и касательными хх нормалями. Локальные координаты располагаются на сторонах прямоугольника, следуют против часовой стрелки с начальным индексом k = 1 на верхней стороне. Таким образом, блочные элементы целесообразно вводить в областях, разбитых сеткой на более мелкие фрагменты. Дальнейшие детали можно найти в [15]. Некоторые примеры построения различных блочных элементов приведены в [ 17-21]. В этих работах на простых граничных задачах демонстрируется метод построения блочных элементов в различных областях.

Приведем пример построения блочного элемента для пирамиды. Блочный элемент в форме произвольной пирамиды, занимающей область й с границей дй, является элементом, на которые можно разбить или достаточно хорошо ими приблизить, уменьшая размеры, любую область. Одновременно он является ограниченным объемным элементом, имеющим среди многогранников наименьшее количество граней, которые будем обозначать дй к, k = 1, 2, 3, 4 [18]. Последнее обстоятельство позволяет уменьшить количество псевдодифференци-альных уравнений, возникающих при решении граничной задачи. В развитие указанных работ ниже строится такого типа блочный элемент. Надо отметить, что при его построении имеется достаточно большой произвол в части расположения локальных систем координат касательного расслоения границы, что позволяет в некоторой степени упрощать формулы, описывающие как сам блочный элемент, так и возникающие при его построении псевдодифференциальные уравнения. При построении блочного элемента принято расположение локальных систем координат с началом в двух вершинах, причем в одной сосредоточено три системы, оставшаяся, основная, имеет начало координат в отдельной вершине треугольной пирамиды. Ниже принято, что третья ось локальных систем координат во всех системах направлена по внешней нормали к соответствующим граням, а две другие лежат в их плоскостях.

В соответствии с вышесказанным расположим основную декартову прямоугольную локальную систему координат х'о1 (X, х2, х|) на нижней грани дй1. Поместим начало системы координат ххох в одной из трех вершин грани дй1, направив орт е\ вертикально вниз, соответственно орт е1 — вдоль линии пересечения граней дй1; дй2, взяв орт е2 в виде е2 = е\ Xе11. Тогда в системе ххох уравнение плоскости дй1 принимает вид: х3 = 0.

В результате плоскости остальных граней пирамиды в координатах ххох описываются уравнениями

дй2 ■ ^2х2 + d2— 0, С2 > 0,

дйз: &зх! + С3х2 + dзх3 + е3 — 0, Ьъ > 0, ез < 0,

дй4 : Ь4х! + с4х2 + d4— 0, Ь4 > 0.

Здесь постоянные коэффициенты Ьп, ст, dк определяются размерами пирамиды. Приняв вершину схождения боковых граней ЭП2, дП3, ЭП4 в качестве начал координат локальных систем Хок (Хк, Хк, Хк), k = 2, 3, 4, построим орты ек, ек, ек, k = 2, 3, 4, лежащие вдоль координатных осей Хк, Хк, Хк соответственно. Во всех указанных системах координат орты ек, k = 2, 3, 4, расположим вдоль исходящих из этой вершины ребер, по одному на каждое ребро. Производя при принятых построениях достаточно простые преобразования, имеем

е12 = {Ь20, ~d2, с2 } і „ „ „ = {сП, с12, с123 },

Ь20 = Ь3 (с3Л 2 с2Л3 е3),

2 2 . . 2 і 2 2 22 22 2 2> е2 = е3 Хе1 = {с32с13 с12с33, с11с33, с1 с2} =

= {с21, с22, с23}, е32 = {0, - с2’ - Л2} 1

= {0, с32, с33}, е1 = {Ь30> Л30, с30}

\/Ь30 + Л30 + с30

= {с11, с12, с13},

Ь30 = _Ь4 (с4Л30 +Л4с30),

Л30 = ~(^3Ь3 + Ь4 Л4 + е3Ь3 с3о),

с30 = с3Ь3 — с4Ь4 >

е2 = е33 Х е13 =

= {с332с33 — сІ3с|, с?1 с333 — с33 1 с?3,с33 1 & — с?1 с332} = = {с21, с22> с23}>

3 1

е3 = {Ь3 > с3 > Л 3}

е1 = {Ь40>—Л 2 ’ с2}

у]ь3; + с32 + Л32 1

+с2

= {с11, с12, с13},

ь40 “2 ^ с2

Ь40 = Ь4 (с4Л2 — Л4с2),

4 4 4

е; = е х е =

_ 44 44 44 44 44 4 4,

= {с32с13 с33с12, с11с33 с31с13, с31с12 с11с32} =

= {с21, с22, с23},

е3 = {Ь4, с4, Л4} — о о = {с31, с32, с33}-

•у/Ь^+с^+Л^

Имеют место формулы перехода между системами координат. Обозначим:

4 =1|стл, сктп = (ет , еП ). (11)

Здесь (а, Ь) — скалярное произведение векторов а, Ь.

С учетом принятых обозначений формулы перехода принимают вид:

ху = Вутхх + Хо , В = 44

—1

яэт=1|ьтт,||, ьтк=)—1=)*=в™,

х0 = А;(хт0 — ху0)> Х0Т = {х10 , х2С)5 х3о }, ау= £этаТ, ат = т а^,

хТ={хТ,хТ,х3Т}, ат={Х а1, а3}.

Здесь через х^о обозначены векторы начал координат систем хтот, т = 2, 3, 4, в системе х'о1.

Участвующие в формулах матрицы Ак, k = 1, 2, 3,4,

л*

являются унитарными, т.е. сопряженные Ак совпадают с обратными, А* = А—1.

Как и в предыдущем пункте, в качестве примера, построен блочный элемент для следующей трехмерной граничной задачи для дифференциального уравнения вида [18]:

Q(Эxl1, Эх2, Эх^ )ф = АПЭ2 х} + А;;д2 х2 +

+ А33Э2х3 + А^ф(х]1, х2, х1) = 0, (12)

поставленной в области П с некоторыми граничными условиями, например Дирихле или Неймана.

Постоянные коэффициенты Акк, А являются положительными числами. Считаем, что треугольная пирамида П, для которой поставлена граничная задача (12), является результатом разбиения на блочные элементы области больших размеров, в которой рассматривается граничная задача (12) с переменными коэффициентами.

Для построения псевдодифференциальных уравнений выпишем граничную задачу также и в каждой локальной системе координат х'о'’, V = 1, 2, 3,4. В результате получим с учетом (1) соотношения

Q(дx1, Эх2, Эх3 )фv = (А'тздх'тдх* + A)фv = 0. Внешняя форма для уравнения граничной задачи (11) в локальных системах координат имеет вид:

юv = Л',ёх1’' л + Qvёх^ л <х + Руёх^ л ёх^,

QV = ei{av xv)

pv = ei{avxv)

A33

22

Эф^

dx3

Эф^

3X2V

Эф^

-ia3 фv

-ia2Фv

л

J

л

)

J

— iav AlVзФv — iaV2 AкзФl Эфv

ial A12фv + A23

-iai Фv

+ A

J

V\

Эф!

+ A

12

Эф^

dxV

et(a x > = exp i(av + av + av v _ i, 2, з, 4. Примем формулы преобразования Фурье в виде:

F(af,«2)Ф= I I Ф(xi ,х2 )ехРi(afxf + a*х2 )&х\ dxf,

F-1( x2, x2 )Ф_

_тАт I I Ф(“2,a2)exp[-i(a2x2 + a2x2)]da2da2, (2n) -^-^

F(aj,a2,a3)ф_/ J J ф(xl ,x2,x,)x xexp i(a\xl + a2 x\ + a\ x^dxfd^dx2,

1 CO CO CO

F-1(xi2,x2,x32)0^---3 J J J Ф(а12,a2,a3)x

(2n) -^-^-^

x exp[-i(a2 xl2 + a2 x\ + a!2 x2 ^da^a^daf.

Далее введем обозначения:

• / V V . V V . V V\ • v v

exp i(a1 x1 + a2 x2 + a3 x3) = exp ia2 x2 =

= exp iav (bZ xi + x£) = Dvt (aV, a*2, aV, xT, x2T, xT), v, т = 1, 2, 3, 4.

Тогда функциональные уравнения для пирамиды можно представить в виде:

Kv% = JJ [А31,3(Фй - ^v ) -

эп„

- ^A^v - a4.3Фv ] x

x expi [aVnV + aV2 n2 ]dnVdr|V2 +

+ £ JJ [A33 (Фт3 - Іb3TiaiФт ) -T=1 3UT

- ib1iaiA1>T - ib'^naViA^зфx]x

x DvT (aV, aV2, aV3, xT, x^,0)dxTdx2, (13)

v = 1, 2, 3, 4.

Здесь и ниже штрих у знака суммы обозначает, что член T = v опущен.

Составим псевдодифференциальные уравнения для рассматриваемого блочного элемента. Для этого найдем корни характеристического уравнения в каждой локальной системе координат:

K(aV) = -g(-iaV) ^ A3V3 (a3 )2 + A? -av3 + A0 - A = 0. Здесь коэффициент A3v3 не зависит от aV, а коэффи-

,v ^v V V

циенты Ao, A зависят только от a1, a2.

Обозначаем через a3V- корень с отрицательной мнимой частью, точнее Ima?j- < 0. Применяя к функциональным уравнениям (13) алгоритм построения псев-додифференциальных уравнений, приходим к соотношениям вида:

F-1(xv,x^) J JJ [AзVз(Фvз - ial^V ) - ІaVAVзФv -

lanV

- a A23 Фv ] expi [aVn!’ + aV2nV2 ]dn1 dnV2 x

x]C JJ [A;^3(Фтз - i(b3Tiai)-Фт) -

T=1 3UT

- i(b1Tvai)- A1>T - i(b2Tiai)- ^4^зФт ] x

x DvT (aV, aV2, aV-, xT, x^, 0)dx1TdxT = 0,

v = 1, 2, 3, 4.

Здесь приняты обозначения:

(b>i)- = b?1 av + b?2av + b^-.

Решение краевой задачи, записанное в локальных системах координат xvov, v = 1, 2, 3, 4, представимо в форме:

Фv (x1V,xV, x3) = f-1 (x1,4, xV3 )kv_1 x x{ JJ [A3V3^V3 - ia>v ) -

ЭЦ,

- ^A^v - aAVзФv ]x

x exp i [aV nV + a2 n V ] dn1 dnv2 +

+ X JJ [А^з (Фтз - ib3Tia>T) -

T=1 эпт

- ib1iaiA1^T - ^aiA^]x x DvT (aV, av2, aV, xT, x^, 0)dx1TdxT}.

Отметим, что блочный элемент в форме произвольной треугольной пирамиды позволяет рассматривать граничные задачи в любых областях, в том числе с криволинейными границами, для дифференциальных уравнений и их систем, имеющих переменные коэффициенты. Такие блочные элементы дают возможность приближать границы областей с любой заданной точностью. Кроме этого, блочный элемент в форме произвольной треугольной пирамиды и алгоритм его построения позволяют строить блочные элементы для произвольных выпуклых многогранных областей и областей с криволинейной границей.

Все эти приведенные построения лишь технически более сложно переносятся интегральным и дифференциальным методами факторизации на граничные задачи для любых конечных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

6. Общие свойства блочных элементов

Приведем некоторые общие свойства блочных элементов, более детально раскрывающие их особенности [22]. Здесь и ниже, говоря о построении решений методом блочного элемента граничной задачи, имеется в виду, что построено решение соответствующих псевдо-дифференциальных уравнений.

Пусть рассматривается однозначно разрешимая граничная задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами в выпуклой односвязной области Q с границей 3Q [22]. Блочные элементы такой граничной задачи представляют векторы, компонентами которых являются блочные элементы, подобные скалярным случаям граничной задачи для одного дифференциального уравнения. В дальнейшем не будем различать эти два понятия, называя их в обоих случаях блочными элементами.

Теорема 1. Множество блочных элементов однозначно разрешимой в некотором пространстве Hs граничной задачи, рассматриваемой в области Q с кусочно-

гладкой границей Э^, представляет топологическое множество с топологией, имеющей структуру топологии области

В задачах механики сплошной среды топология в пространстве, содержащем область индуцируется эвклидовым пространством.

Эта теорема объясняет возможность выбора в качестве носителей блочных элементов богатого арсенала всевозможных областей, допускаемых принятой топологической структурой и конкретной граничной задачей. Каждый носитель блочного элемента может иметь собственную локальную систему координат, связь которой с локальными системами носителей соседних блоков регулируется картой.

Приводимые ниже результаты показывают, что зависимость блочного элемента от граничной задачи не является неизменным свойством.

Рассмотрим две однозначно разрешимые в Н ^ граничные задачи для системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в частных производных равного порядка, имеющие неизвестные вектор-функции одинаковой размерности в области ^ с кусочно-гладкой границей [22].

Теорема 2. Решение одной из названных выше граничных задач допускает представление в виде разложения по блочным элементам другой граничной задачи, рассматриваемой в области ^ с границей Э^.

Приводимая ниже теорема указывает на связь граничных задач с постоянными и переменными коэффициентами. Рассмотрим в области ^ с границей однозначно разрешимую в Н граничную задачу относительно вектор-функции ф1 для системы дифференциальных уравнений в частных производных конечного порядка с переменными, без особенностей, коэффициентами.

Рассмотрим в области ^ с границей предыдущую граничную задачу относительно вектор-функции той же размерности для системы тех же дифференциальных уравнений в частных производных, в которых вместо переменных коэффициентов находятся постоянные значения, обеспечивающие однозначную разрешимость граничной задачи в Н ^.

Теорема 3. Решение ф1 граничной задачи с переменными коэффициентами допускает представление в виде разложения по блочным элементам граничной задачи с постоянными коэффициентами.

Ряд приложений метода блочного элемента к различным граничным задачам механики и физики можно найти в работах [23-28].

Отдельные фрагменты работы выполнены при поддержке РФФИ (грант № 11-08-00381), программы «Юг России» (проекты №№ 11-08-96502, 11-08-96503, 1108-96506, 11-08-96504, 11-08-96522, 11-08-96505), проектов НШ-914.2012.1, ФЦП 2009-1.5-503-004-006, про-

грамм ОЭММПУ и Президиума РАН, государственного контракта № 16.740.11.0135.

Литература

1. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. - М.: Наука, 1987. - 104 с.

2. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen / Sitzungsberichten der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Phys.-Math. Klasse. - Berlin: Akademie der Wissenschaften, 1931. -V. XXXI. - P. 696-706.

3. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. - 2006. -Т.410. - № 2. - С. 168-172.

4. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред // ДАН. - 2009. - Т. 426. - № 4. - С. 471-475.

5. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный

метод факторизации в блочных структурах и наноструктурах // ДАН. - 2007. - Т. 415. - № 5. - С. 596-599.

6. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А. О дифференциаль-

ном методе факторизации в неоднородных задачах // ДАН. -2008. - Т. 418. - № 3. - С. 321-323.

7. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова А.В. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // ДАН. - 2009. - Т. 424. - № 1. - С. 36-39.

8. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. - М.: ИЛ, 1962. - 280 с.

9. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. - М.: Наука, 1979.- 320 с.

10. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. - М.: Наука, 1974. - 456 с.

11. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

12. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. - М.: Мир, 1989. - 638 с.

13. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // Докл. РАН. - 2004. - Т. 399. -№ 1. - C. 26-28.

14. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента // ДАН. - 2011. - Т. 438. - № 5. - С. 623-625.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента // ДАН. - 2009. - Т. 427. - № 2. - С. 183-186.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.А. Садовского // ДАН. - 2009. -Т.427.- № 4. - С. 480-485.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О пирамидальном блочном элементе // ДАН. - 2009. - Т. 428. - № 1. - С. 30-34.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О блочном элементе в форме произвольной треугольной пирамиды // ДАН. - 2009. -Т. 429. - № 6. - С. 758-761.

19. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Блочные элементы со сферической границей // ДАН. - 2010. - Т. 434. - №2 5. - С. 616619.

20. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Блочные элементы с цилиндрической границей в макро- и наноструктурах // ДАН. -2011. - Т. 440. - № 6. - С. 756-759.

21. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О блочных элементах в слоистых средах с рельефной границей // ДАН. - 2010. -Т. 435. - № 1. - С. 29-34.

22. БабешкоВ.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Некоторые общие свойства блочных элементов // ДАН. - 2012. - Т. 442. - № 1. -С. 37-40.

23. Бабешко В.А. О некоторых проблемах механики в сейсмологии. Актуальные проблемы механики // Современная механика и развитие идей В.Г. Шухова / Под ред. Ф.Л. Черноусько. - М.: Наука, 2011. - С. 52-80.

24. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О методе блочного элемента в нестационарных задачах // МТТ. - 2011. - №2 2. - С. 8186.

25. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об особенностях метода блочного элемента в нестационарных задачах // ДАН. -2011. - Т. 438. - № 4. - С. 470-474.

26. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Горшкова Е.М., Иванов П.Б., Рядчиков И.В., Плужник А.В. Блочные элементы в проблеме моделирования оползневых явлений // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2011. - № 3. - С. 7-15.

27. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А., Мухин А.С., Лозовой В.В., Кашков Е.В., Горшкова Е.М., Иванов П.Б. Метод блочного элемента в проблеме шахт, подземных сооружений и теории сейсмических трасс // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2011. - № 4. - С. 5-10.

28. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О квантовомеханических свойствах блочных элементов в наноматериалах // ДАН. - 2010. - Т. 435. - № 2. - С. 190-194.

Поступила в редакцию 23.01.2012 г.

Сведения об авторах

Бабешко Владимир Андреевич, д.ф.-м.н., академик РАН, зав. каф. КубГУ, зав. отд. ЮНЦ РАН, [email protected]

Бабешко Ольга Мефодиевна, д.ф.-м.н., гнс КубГУ, [email protected]

Евдокимова Ольга Владимировна, д.ф.-м.н, гнс ЮНЦ РАН, [email protected]