Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5.015.42

Ю. П. Иванов

МЕТОД АДАПТИВНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В НАВИГАЦИОННЫХ КОМПЛЕКСАХ

Предложен метод непараметрической адаптивной оптимальной фильтрации дискретного сигнала, наблюдаемого на фоне аддитивной, в общем случае коррелированной, помехи измерения. Предполагается, что модель измерения является линейной, сигнал и помеха не коррелированы. В качестве исходной информации используются матрицы моментов второго порядка вектора помехи и модели измерения, а также приблизительное значение интервала квазистационарности сигнала.

Ключевые слова: оптимальная фильтрация, адаптация, непараметрическая неопределенность, линейная модель измерения, марковский сигнал, коррелированная помеха, пространство состояний, модель авторегрессии — скользящего среднего.

Проектирование навигационных систем обработки информации часто происходит в условиях значительной априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и помех измерения. В процессе эксплуатации навигационных систем статистические характеристики наблюдаемых сигналов могут непредсказуемо изменяться и значительно отличаться от исходной информации. В связи с этим классические методы обработки сигналов на основе уравнений Калмана и Стратановича, базирующихся на использовании полной исходной информации и оптимальной обработки сигналов, приводят к значительным ошибкам оценок навигационных параметров. Кроме этого, используемые классические алгоритмы обработки сигналов во многих случаях требуют значительных затрат на необходимую для работы память и производительность вычислительных средств при их реализации. Применяемые в настоящее время методы адаптивной обработки сигналов [1], к сожалению, не обладают желаемой универсальностью, а в случае параметрической априорной неопределенности требуют значительного объема исходной информации и достаточно сложны при их реализации. При использовании параметрической адаптивной оптимальной обработки информации предполагаются априори известными законы распределения и структуры моделей сигналов и помех измерения, которые часто не соответствуют реальным случайным процессам, протекающим в информационно-измерительной системе. В этом случае не всегда удается достичь точности получаемых оценок, а процесс адаптивной фильтрации может расходиться.

Поэтому для устранения указанных недостатков был разработан адаптивный оптимальный способ дискретной фильтрации сигналов в условиях полной априорной неопределенности относительно модели и параметров сигнала, принимаемого на фоне, в общем случае коррелированной помехи. Алгоритм фильтрации сигналов на основе данного метода является достаточно простым, обладает универсальностью в том смысле, что структура алгоритма инвариантна к моделям сигнала как при представлении сигнала в пространстве состояний, так и в виде модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего [2]. Структура адаптивного алгоритма также инвариантна к наличию или отсутствию корреляции помехи измерения.

Предлагаемый алгоритм устойчив в работе, а адаптивные оценки навигационных параметров, полученные на основе предложенного алгоритма, сходятся к оптимальным оценкам, полученным на основе классических алгоритмов в условиях полной априорной определенности.

Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах 67

Эти алгоритмы могут работать и в условиях полной определенности, но их структура при обеспечении эквивалентной точности оценки значительно проще структуры алгоритма фильтрации Калмана, также отпадает необходимость в решении уравнения Риккати. В качестве недостатка метода, присущего всем адаптивным алгоритмам, можно отметить наличие существенного интервала адаптации процесса оценки, величину которого, правда, можно минимизировать.

Рассмотрим следующую линейную модель дискретного измерения сигнала:

У = / + Н, 7=1, 2, (1)

где X/ — произвольный полезный сигнал размерности тх1 в момент времени /, математическая модель и статистические параметры которого неизвестны. Каждая составляющая векторного сигнала представляет собой марковскую последовательность неизвестного к-го порядка (=1, ..., т), И/ — известная (пхт)-матрица измерения, Н/ — вектор помех измерения размерности пх 1.

Моделью каждого компонента векторной помехи является марковская последовательность известного порядка ргх1 (г =1, ..., п). Известны (пхп)-матрицы начальных одномерных

моментов второго порядка N7 векторной марковской последовательности Н/ в /-й момент

времени и двумерных моментов второго порядка 7 / размерности (хп)хп на интервале,

определяемом /Д, где Д — интервал дискретизации, / — предполагаемый максимальный порядок компонентов марковского сигнала. Полезный сигнал и помеха измерения предполагаются взаимно некоррелированными. Если случайная последовательность, определяющая сигнал, не является стационарной, будем предполагать, что известен минимальный интервал квазистационарности компонентов сигнала. В качестве критерия оптимальности используем среднеквадратическую ошибку (СКО) оценки. Будем искать алгоритм оптимальной оценки после окончания процесса адаптации в классе линейных алгоритмов. Если законы распределения сигнала и погрешностей являются нормальными, то полученная оценка после окончания процесса адаптации будет оптимальной в классе любых оценок, в альтернативном случае оценка будет оптимальной только в классе линейных оценок [3].

Сформируем входной сигнал размерности (тх(к+1))х1 адаптивного фильтра, обеспечивающий рекуррентную обработку информации, в следующем виде:

'Л./-к =

VI V * V *

¥1/,Х/-1..., Х/-к

(2)

Т —1 т

где ¥1у= (И / • И /) • И / У/ — приведенный к размерности сигнала результат измерения,

г* ъг*

X/-1,..., XX/-к — векторы оптимальных оценок фильтрации и интерполяции сигналов

X/,..., X/-к на шагах наблюдения/-1, ...,/-к . Структура вектора Z/'/-k определяет структуру

рекуррентного алгоритма фильтрации сигналов. Можно при формировании вектора Z/'/-k использовать линейные модели сигналов в виде процессов авторегрессии, скользящего среднего или авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего [2]. В этом случае размерность вектора Z//-к может уменьшиться.

Начальное значение вектора Z//-к можно определить в следующем виде:

2 к+1Д = | |У1к+1,..., У1^|Т,

где значение к определяется априори исходя из предположения о возможном минимальном порядке марковского процесса, определяющего модель полезного сигнала.

Как известно, оптимальная оценка по критерию минимума СКО в классе линейных оценок для рассматриваемой дискретной модели измерения определяется следующим выражением [4]:

X*3'3_к = А*3 >3-кZ3 >3-к . (3)

В данном случае вектор XX*•/'•/_ размерности (тх(к +1))х1 определяет оптимальные на текущем шаге 7 оценки сигналов X,- , ..., Х7-к, полученные по результатам наблюдения входного сигнала фильтра Z3,1 на всем интервале наблюдения. Матрица размерности (тх(к +1))х х(тх(к + 1)) оптимального преобразования сигнала Z3,3-к будет в этом случае равна [4]:

А*7,7-к =М[Х73-к ^73-к)Т>М7 ^73-к)Т]-1, (4)

где X

]\]~к -

Х7■,•", Х7-к

— вектор-столбец размерности (тх(к +1))х 1 сигналов на шагах

3, ..., --к наблюдения. М[ ] — оператор математического ожидания. Начальное значение матрицы оценки можно определить в виде единичной матрицы размерности (тх(к+1))х х(тх(к+1)). Оценку матрицы М 3 -к 3-к)Т] в процессе адаптации можно найти в случае стационарной последовательности Z7■ с помощью рекуррентного соотношения

M[z73-k ^73-к)Т]= М^7-13-к-1 ^7-13-к-1)Т]+

1

+—

,J'3-k • (Z7'7-к )Т

МЛ

7-1,7-к -1 • (z7-157-к -1)Т

)

(5)

и в случае нестационарных последовательностей Z7■ в следующем виде:

М7 (z73-k)T]= - ^

1

7-1

« =7-1-5

ггл-к

1

+-{[Z

5

],]-к

7-1

• (z7^-к)Т] -1 ^ • (1и-к)Т]},

5 «=7-1-5

(6)

где 7=к+1 (к+2, ...), 5 — число дискретов, определяющих максимальный интервал квазистационарности компонентов сигнала Х7, М[ ] — оценка математического ожидания. Матрицу М 3-к (Z7 3-к)Т] можно представить в виде следующих подматриц:

где Х

у1-1,7-к =

М^73-к (Z73-k)T] = *]-\]-к =

М[¥1Г У1Т ]

М[¥17■• (Х

4-1,7-к )Т

)Т ]

М[\13-1>3-к • ¥1/ ] М[Х*3-1-3-к • (Х*3-1-3-к)Т ]

(7)

* V *

Х3-1,..., Х7-к

— вектор оптимальных оценок сигналов Х7_1,..., Х 7-

7-к'

¥17-1,..., ¥17-к

— вектор преобразованных результатов измерений сигналов

Х^,..., Х3-к на шагах наблюдения 7-1, ..., 7-к. Для определения матрицы М[Х7 3-к (Z7 3 -к)Т] можно воспользоваться следующими очевидными соотношениями:

М [Х73-к (z73-k)T]= М [¥13-к (z73-k)T] - ММ [И13-к ^73-к)Т]= М[¥1у • ¥1/ ] - N1^ 1 М[¥1у • (Х*-1-3-к )Т ] - М[Н1у • (Х*7-и-к)Т ]

М[¥13-1-3-к • ¥1Т ] - ЮН/-к М[X*3-1'3-к • (Х*3-1-3-к)Т ]

где

ш7-1^ =

Н1

7-1

3

Н1

(8)

3-к

— вектор преобразованных помех измерений Н!^ =

Т — 1 т

= (Я7-г • Я7-г) • Я7-гН^ (г=1, ..., к) на шагах наблюдения 7-1, ..., 7-к, (тхт)-матрица

Метод адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в навигационных комплексах 69

N1^ 1 = М[Н1 / х Н1Т ], ((кхт)хт)-матрица ^_1и-к;J = М^_и-к х Н1Т ]. Можно показать,

* / _1 / _к т

что матрица М[Н1 / • (XX 7 ) ] определяется рекуррентным способом с помощью следующего соотношения:

М[Н1 / • (X*-1'/_к )т ] = , М[Н1 _ • (X*_2'/_к-1 )т ] • (А1*/-1' / _к-1 )Т, (9)

где N1^ _1 — (тхт)-матрица взаимных начальных вторых моментов векторов помех измерения сигналов Н1/ и Н1/-1 на шагах/ и/-1 наблюдения, А1*-/_1'/_к_1 — матрица оптимальной адаптивной фильтрации сигналов на (/-1)-м шаге измерения сигнала размерности

(тх(к+1))хт. Матрица А1*/_1'/_к_1 размерности (тх(к+1))хт является подматрицей матрицы

А*/_!'-/ _к _1 :

*/-1,/-к -1 =

А1*/-1,/-к~1 А2*/"1'/"к"1

^ *к 1 Т

Начальную матрицу М[Н1к+1 • (XX ' ) ] можно определить в следующем виде:

М[Н1 / • (XX*/-1' /-к)т ] = NН+1'1.

При определении соотношения (8) было использовано следствие теоремы ортогонального проецирования (теорема Пугачева) [4]:

М^/к (XX//-к )т ] =М[ XX *^-к (XX */'/-к )т ].

Если моделями помех измерения являются белые последовательности, то алгоритм адаптивной оптимальной оценки сигналов значительно упрощается. В этом случае матрицы

М[Н1 / • (X*/-1'/-к)т ] и N¿11'■/'_kявляются нулевыми при всех значениях /, а матрицу М[У 1 / • У1 /Т ] - NHl при малом значении дискрета А можно приближенно представить в следующем виде М[У1/ • У1/_1 ], т.е. в этом случае можно обойтись без знания начальных вторых моментов помехи измерения.

При этом т строк и т первых столбцов матрицы А/определяют подматрицу матрицы усиления Калмана.

Алгоритм фильтрации сигналов, определяемый соотношениями (2)—(9), применим как к случайным стационарным, так и к нестационарным последовательностям X/ и Н/. Необходимо только учитывать, что при рассмотрении процесса адаптации алгоритма оптимальной фильтрации случайных нестационарных последовательностей X/ и Н/ интервал осреднения ^А матрицы фильтрации А,~к должен выбираться из следующих условий: sА>тXy, sА<tXj, где т^ — предполагаемый максимальный интервал корреляции компонентов последовательности X/, Н — минимальный интервал локальной стационарности компонентов последовательности X/, Первое из этих условий ^А^/ необходимо, чтобы случайные ошибки приближения матриц £1= М [Xj-k (2//к)Т] - М [Xjj-k (2//к)7], £2= М [2/к (2/к)Т] - М [2/к (2/к)Т] были достаточно малыми, второе условие ^А^/ обеспечивает однородность выборки процесса и несмещенность оценок матриц. В случае стационарных последовательностей X/, Н/ значение 8=/.

Для оценки качества адаптивной фильтрации и интерполяции сигналов можно использовать два подхода. Во-первых, оценку СКО адаптивной дискретной фильтрации применительно к рассматриваемой постановке задачи можно получить на основе соотношения, справедливого для произвольной оценки:

М[Е*-/'-/-к • (Е/ )т ]=А*//кЩ2//к • (2и-к )т ]{А*//к )т + +ЩXjJ-k • /к )Т ](А/-к )т - (MXj''j'-k • (2'/-к )Т ](А/-к )т )т +

+MX/'j'-k • (xj''j'-k )т ], (10)

где Е*"к = XX * - Xj'j_к — ошибка адаптивной оптимальной оценки.

Оценку матрицы среднеквадратических значений сигнала Х'/к можно определить следующим образом:

М[Xj'j_к • (Xj'j_k )Т ] = М[У1/_к • (У^;/_к )Т ] - Н1Н£1_к, (11)

где вектор У1^_к размерности (тх(к+1))х1 результатов измерений, полученных в /, /-1,.../-к дискретные моменты времени, матрица №Н{_к размерности (тх(к+1))х( тх(к+1)) определяет

матрицу среднеквадратических значений вектора Н1 /-к.

Во-вторых, оценку СКО рассматриваемого алгоритма фильтрации можно получить, пользуясь соотношением, определяющим только оценку оптимальной фильтрации в соответствии со следующим выражением [4]:

М[Е*//к • (Е*//к)Т] = М[Xj'j-k • (Xj'j-k)т] - А*/-кМ[2 "к • (2/'/-к)т](А*//к)т. (12)

В рассматриваемом методе фильтрации после окончания процесса адаптации в любой момент времени / СКО оценок фильтрации и интерполяции, определяемые по формулам (7)—(10), теоретически должны быть равны. Определение порядка марковости и параметров сигнала X/ осуществляется путем нахождения размерностей вектора 21 / -к , соответствующего минимуму СКО оценок вектора X ■//-к, определяемых соотношениями (10) или (12) при их практическом совпадении. Учитывая, что в большинстве случаев реальные случайные процессы, определяющие сигналы и помехи измерения, имеют порядок марковости к<3, то процедура идентификации свойства марковости исследуемого процесса не вызывает технических затруднений, и в качестве начального исследуемого порядка марковости имеет смысл принимать наименьшее значение (к=2, 3). Об окончании времени адаптации алгоритма обработки сигналов можно судить по оценкам разностей соответствующих диагональных элементов матриц (10) и (12). Если при каком-либо значении / эти оценки становятся меньше по модулю заданного значения 5 и в течение определенного интервала времени не выходят за его пределы, принимается решение об окончании периода адаптации алгоритма фильтрации или интерполяции сигналов.

Таким образом, предлагаемый метод адаптивной оптимально-инвариантной дискретной фильтрации сигналов позволяет производить оценку полезного сигнала в условиях значительной априорной неопределенности статистических характеристик сигналов. Устойчивость и сходимость предлагаемого адаптивного алгоритма, проверенные при моделировании различных задач фильтрации сигналов, объясняются тем, что в процессе адаптации неизвестные модели погрешностей автоматически уточняются в виде матриц М^ ■ / -к (21 ,-к)Т], ММ [21 /-к (21 /-к)т] в соответствии с реальными выборками У/ (/=1, 2, ...) наблюдаемого сигнала измерителей.

Проведенный анализ результатов моделирования позволяет сделать вывод, что предлагаемый метод адаптивной оптимальной обработки сигналов дает возможность обеспечить для широкого класса помех измерения в значительном диапазоне отношения средних значений сигнала к помехе устойчивые оптимальные фильтрацию и интерполяцию произвольного полезного сигнала с автоматическим определением порядка марковости сигнала и момента времени окончания процесса адаптации алгоритма оптимальной фильтрации сигналов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Огарков М. А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 208 с.

Автономная навигация космических кораблей с использованием приемника сигналов GPS 71

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов прогноз и управление. Вып. 1. М.: Мир, 1974. 406 с.

3. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптации информационных систем. М.: Сов. радио, 1977. 320 с.

4. Иванов Ю. П., Синяков А. Н., Филатов И. В. Комплексирование информационно-измерительных устройств летательных аппаратов. Л.: Машиностроение, 1984. 208 с.

Сведения об авторе

Юрий Павлович Иванов — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения; E-mail: [email protected]

Рекомендована ГУАП Поступила в редакцию

04.04.11 г.

УДК 621.396

Н. В. Михайлов

АВТОНОМНАЯ НАВИГАЦИЯ КОСМИЧЕСКИХ КОРАБЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОДНОЧАСТОТНОГО ПРИЕМНИКА СИГНАЛОВ GPS

Представлен метод определения относительных координат искусственных спутников Земли, эффективность которого проверена, в частности, с использованием GPS-данных, записанных в ходе выполнения проекта GRACE. Результаты обработки экспериментальных данных показывают удовлетворительное качество оценки относительных координат на базах до 10 км при доле правильных оценок выше 99,5 %.

Ключевые слова: GPS, ГЛОНАСС, спутниковая навигация, относительная навигация, автономная навигация.

Введение. Так называемый „полет строем" (formation flying) в настоящее время считается одним из наиболее перспективных подходов к освоению околоземного космического пространства. По сравнению с одиночным полетом распределение измерительной аппаратуры и датчиков по разнесенным в пространстве космическим аппаратам (КА) обладает существенными преимуществами в надежности за счет избыточности и в функциональных возможностях — за счет увеличения числа датчиков и их пространственного разнесения. Кроме того, полет строем позволяет проводить многие научные космические эксперименты, не осуществимые при одиночных полетах. К таким экспериментам можно отнести интерферометрические наблюдения, получение высокоточных фотоснимков земной поверхности и изучение гравитационного поля Земли. Для выполнения полета строем необходима относительная навигация, т.е. определение относительного расстояния и относительной скорости между КА. Важно подчеркнуть, что для целей оперативного управления относительная навигация должна осуществляться в режиме реального времени.

Использование спутниковых радионавигационных систем (СРНС) для относительной навигации КА является естественным выбором разработчиков космических систем, оно интенсивно обсуждалось в последние годы [1—5]. Как отмечалось ранее [6], в указанных работах использованы данные симулятора сигналов СРНС, отсутствуют обработка данных в режиме реального времени и решение задачи не на борту КА, а на Земле. Для автономной относительной навигации требуется определять вектор взаимного положения двух космических кораблей на борту (без связи с наземными станциями) в реальном масштабе времени. Указанные выше особенности работ [1—5] не позволяют применить разработанные методы для автономной относительной навигации. В последние 4—5 лет были опубликованы работы