Исследование алгоритма адаптивной спектрально-марковской комплексной фильтрации сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Исследование алгоритма адаптивной спектрально-марковской комплексной фильтрации сигналов

Ю.П.Иванов, А.Л. Даргевич ([email protected] )

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Работа выполнена при финансовой поддержке в форме гранта Министерства образования

Рассматривается алгоритм комплексной адаптивной спектрально-марковской фильтрации сигналов в условиях априорной непараметрической неопределенности характеристик оцениваемого сигнала и погрешностей измерения. Модель измерения предполагается линейной с некоррелированными сигналом и помехами измерения. В процессе фильтрации обеспечивается оптимально-инвариантная оценка сигнала. Проектирование систем обработки информации часто происходит в условиях значительной априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и помех измерения. Для преодоления неопределенности характеристик сигнала широко применяют свойство инвариантности ошибки оценки от характеристик полезного сигнала комплексных систем обработки информации /1/.

Для преодоления параметрической неопределенности флюктуационных погрешностей измерения обычно применяют адаптивный байесов подход /2/. Существующие на данный момент алгоритмы адаптивной фильтрации при априорной неопределенности являются сложными, имеют ряд серьезных ограничений на область применения и обычно используются в условиях непараметрической априорной определенности информации о сигнале или помехах измерения /3/. Одним из методов, позволяющих преодолеть значительную неопределенность априорной статистической информации как сигнала так и помехи, значительно упростить алгоритмы обработки сигналов и обеспечить требование ко времени адаптации, является предлагаемый алгоритм комплексной адаптивной спектрально-марковской оптимально-инвариантной фильтрации сигналов.

Рассмотрим следующую модель непрерывного измерения сигналов:

У () = Я • X ^) + н (г),

* (*)

где у = 1,2, Я = ла, н (() =

- матрица комплексирования, У (() =

У2 ()

вектор измерении сигна-

н 1 ()

Н 2 (

- вектор погрешностей измерения, X (г) - произвольный скалярный

случайный процесс.

Предположим, что Н1 (() и Н 2 (() — квазистационарные случайные непрерывные некоррелированные между собой и с полезным сигналом процессы с математическими ожиданиями М [Ну (()]= 0, у = 1,2, спектральные характеристики которых разнесены

по частоте. Н1 (() - случайный процесс, апроксимированный белым шумом, спектральная плотность и2 которого известна. Н2 (г) - марковский процесс г -го порядка, корреляционная функция и параметры которого неизвестны. В качестве критерия оптимальности фильтрации сигнала используется средний квадрат ошибки оценки низкочастотной погрешности измерения.

Рассмотрим комплексную обработку сигналов на основе схемы с фильтром разностного сигнала. В рассматриваемом случае оцениваемым случайным процессом является погрешность Н 2 ((), которая выделяется из разностного сигнала I (() = Н1 (()- Н 2 ((), а помехой является погрешность Н1 (г). В исследуемом алгоритме спектрально-марковской фильтрации разностный сигнал представляется в виде конечного дискретного спектра относительно выбранного ортогонального базиса при дискретном изменении во времени непрерывного конечного интервала разложения случайного процесса I (). Задача фильтра состоит в оптимальной оценке временного ряда спектральных компонент разложения случайного процесса Н2 (). По полученным с выхода фильтра разностного сигнала оценкам спектральных компонент погрешности Н 2 () восстанавливается непрерывная оптимальная оценка погрешности Н 2 ((). Подобное разложение на спектральные компоненты вектора разностного сигнала позволяет ускорить обработку на вычислительных машинах, получить непрерывную оценку при использовании дискретной обработки наблюдаемого сигнала, обеспечить одновременно с фильтрацией интерполяцию сигнала и устойчивую

адаптивную обработку сигнала /4/. В связи с тем, что при обработке используется частичная сумма представления случайного процесса в виде дискретного спектра появляется ошибка аппроксимации входного сигнала, увеличивается общая ошибка оценки сигнала. Поэтому встаёт вопрос о выборе базиса ортогонального разложения, обеспечивающего высокую точность аппроксимации при заданном числе компонент разложения. Как известно, наивысшую точность аппроксимации при выбранной размерности спектра к обеспечивает разложение Корунена-Лоэва, но в условиях неизвестной корреляционной функции случайного погрешности измерения H 2 (t), исключается возможность его использования. Поэтому задача выбора базиса заслуживает отдельного рассмотрения. Моделирование показало, что в качестве одного из наиболее подходящих базисов может быть выбран базис Фурье, который отвечает поставленной цели обеспечения высокой точности представления сигнала при заданном числе спектральных компонент для широкого класса случайных процессов /5/.

Оптимально-инвариантная оценка X (t) полезного сигнала X (t) в любой момент времени t для рассматриваемого случая определяется следующим соотношением:

X(t) = Y (t)- H2(t) (2)

В случае спектрально-марковской фильтрации на i-ом, i = 1,2,... интервале разложения (( - T, ti) разностный сигнал и оптимальные адаптивные оценки на i - h, h = 1,. r предыдущих интервалах представляются в виде следующего вектора

С tfi ) = |~0 (tti ) ^,0 (ti_1 ) # H Г 2,0 (-г ) # ( ) H Г 2,к-1 (ti -1 ) # /Кк-1 (t-r | ,

~ J fs (t)-Z (ti-T)dT ~ J fs (т)-Нr 2 (tti-T)dT где Zs () = -, Нr 2,s () = --компоненты спектрально-

\fs (т) - f; № jf, (z)-f; (r]dr

0 0

го разложения соответственно процессов Z (t) и Hr 2 (t), к — количество компонент спектрального разложения, fs (t) — базисные функции разложения, T — ширина интервала разложения. Hr 2 (t) — интерполяционная оценка зависящая от порядка марковского процесса H2(t), s = 0,.,к -1, * — оператор комплексного сопряжения.

Оптимальная оценка Н2 (( - г) случайного процесса Н2 (г, - г) на основе оценок полученных спектральных компонент определяется следующим выражением /5/

Н2 ((-г)=£ Н~2, (( )/ (г), (3)

,=0

где г = г1 - г, г е [0, Т]

Рассмотрим случай, когда вектор компонент спектрального разложения оптимальной оценки погрешности Н2 () в текущий момент времени ti определяется следующим соотношением

Н 2 )= А(г1 )• С (г,), (4)

где матрица оптимально-инвариантной комплексной спектрально-марковской фильтрации размерности к х к • г имеет следующий вид

2 Л,0и(г,) - А,,01г(гг) 4,,Ц (гг) - (гг) - -1 (() - (гг^

)=

0,01,1 V и 0,01гки 0,11д\ и 0,1\гГки 0,к —1V г/ 0,к-11>г'

41,01 1 ( ) # 41,01 г() 41,111 ( ) # А1Мг( ) # 41,к-111( ) # Ак-цЛ )

чАк-1,01,1 ( ) — Ак-1,01>г (г, ) Ак-1,11,1 ( ) "" Ак-1,11>г ( ) — Ак-1,к-11,1 ( ) "■ Ак-1,к-11>г () 4 ш0 р (г,) — элемент матрицы А, т (г,), который располагается в строке о и в столбце р, I = 0,...,к -1, т = 0,...,к -1 Матрица А1 т(г,) — это матрица, которая определяется

следующим образом А1,т ( )= КНЦ.т (гг ^ ^ ^ ) /1/. КН1,т (г,) — матрица взаимной корреляции процессов

С, (г, )= ~ (г,) Н (г,-А) - Нг, (г, - г •А)

Т

, и

~ ~ ~ ~ 1 /т(г)^Н2(г, -г>/г

Н 2 т ( )=| Н т ( ) Н т ( - А) - Н~2 т ( - г • А^ , где Н2 я ( )= ^--ком-

\ /т (г) • /т (г)^г

0

поненты спектрального разложения оцениваемой погрешности Н 2 (() в момент времени ti, А = ti - — шаг смещения интервала разложения сигнала в , момент времени.

КН21т — матрица взаимной корреляции компонент спектрального разлажения С1 (ti)

и Ст (г,).

Для рассматриваемого случая можно получить следующие выражения для матриц

КНЦ ,т (г ) и КНЦт ( )

Кни т )-

М [1 (г )• Н 2 т ^ (г )]

М

Н 21 (' г )• Н т/ г - А)]

М [[1 ( - ^ А)Н~2 т* (( )] - М | ( - Г- А)Н~2 т* ( - ^ а)

Кт,т(г)-

М

н ( )•<( ^)]] ()-нЛ ъ)

М

Н ^) • нх^г -г А)]+мН~21 ( )НЛ ^ А)] 1

Мн(г -V А<(( )]+МН(г -V А^Нт^^' )] " ' ' М| (г А)^ ^ А]+МН( А'НЛ ^ А)

где М [] — оператор математического ожидания,

Г Т Т

НЧ1 (г ) • Нт (г )] - Ц / (г) • Кч (т, ср) • /; (р>Г/р ,

М

М

М

Н„ (( - г • А) - Н^ (г - г • А)] /г (т) КЧ (т, р) • Ут (р^тЛр ,

0 0

Н „ ( ) ^ (г - Г • А)] - || / (т) • Кд (т, Р + Г • А) /,,* (р>Г/р , * - 1,2.

Кд (т,р) — корреляционная функция процесса Нч (ъ).

Таким образом, входной вектор фильтра низких частот формируется по следующему рекуррентному алгоритму:

С (г)- Г (IЬ))+)• С (Ъ-1) , (5)

1

| /0 (т) • I (г -т^т _0_

] /0 (т)/ (т>/т

0

0

Т

| /-1 (т) • I (Ъг -т)т

где Г (I (г ))-

\ Л-1(т) Л-1*(т)т

0

0

— вектор разложения разностного сигнала I (ъг) на

спектральные компоненты в момент времени ti, у которого все нечетные элементы

нулевые, размерность этого вектора 1 х 2 • к, Q =

0 0 - 0 0

1 0- 0 0

0 0- 0 0

0 0- 0 1

матрица прорежи-

вания размерностью г • к х к, у которой все четные строки нулевые, а нечетные обра^ зуют единичную матрицу.

Матрица адаптивной спектрально-марковской комплексной фильтрации А(г,) в момент времени г, формируется следующим образом

4 А0,01,1 ( ) — А0,01,г ( ) А0,11,1 (г,) — А0,11г (г,) А0,к-11,1 (( ) А0,к-11>г (г,) ^

А (г, ) =

А1,01,1 ( ) - А1,01,г ( ) А1,11,1 ( ) - А1,11,Г ( ) - А1,к-11,1 ( ) - А1,к-11, Г ( )

Ак-1,01,1 ( ) - Ак-1,01г ( ) Ак-1,11,1 ( ) - Ак-1,11г (г, ) - Ак-1,к-11,1 ( ) - Ак-1,к-11г ), где А, Яо (г,) — элемент матрицы А1 т (г,), который располагается в строке о и в

столбце р . Матрица А, т (г,) — это матрица, которая определяется следующим образом А,,т ( )= КНИт ( )-К11,,т ( )-1 . КНИт (г, ) и К1Ит 6 ) в момент времени г, определяются

итеративно:

г' I, (г, )• 1т * (г,) - 2, (г, )• Н2 т * (г, - г- А) " (( -г^ А)2ЯЯ (() - Н~2,(( -^ А)2ЯЯ (( -^ А)

К1Ця ( ) = Кигя (г,-1) + 1 •

К11,,т ((-1 )

К«т()=КЛ)-2П<? *

/¿■/Як-А*

Чбь

(Т

30 0 30

/г-/)

5дбь

30

ж

0

¡jМг■4■/ДГ)

¡Аг^Ау/К^г

¡j(-г■$■j■(г-г■Аd

0

¡/г-/(г-1)А))

1 Гт г

■/.( [\Aг-Г^А^fl(г-Г^)•2\/iг-А^&Г-А)

30

0 30

¡м•/:(г-г•/)

Гт

\ Гт

¡/(г)-/(г)г •! ¡/(-(г-ш:(г-(г-1))

0 30

¡лМ/Мг-1)^))

о_

Л /т

/Г

л /т

¡Л(г)•/(г) •l¡/m(г-г•А^.j;(г-г• А)

0 30

)/l(г-А•/Яl(г-г•Аdг

о_

л /Г

0 30

I ¡/(г-А/М) • ¡/я(г-(г-1)4/Лг-(г-)г I ¡/(г-А)./(г-А)г • А/г-г• А)

30 0 30 0 30

¡/ (г-(г-^•^^./^(г-г • А)

л Гт

¡/(г-(г-)•-) • ¡/m(г-г•А)•/;(г-г• А)

0 30

где я — символ Кронекера.

Значение среднеквадратичного функционала, показывающего качество алгоритма адаптивной спектрально-марковской фильтрации, определяется следующим соотношением

М [е ()2 ] = М [Н 2 (г )2 ] - 2 • М [Н 2 (г) • Н2 (г)]+м [н 2 ()2 ]

(6)

где

м [Н 2 ( -г), н 2* ( -г)]= / (г)•A(ti )• м [г (I (г, ))• г * (н 2 (г, ))т ]• Q • / * (г) м [Н ( -г)2 ]= / (г) А(г, )• м [г (I (г, ))Г (I (г, ))т ]• а! * (г, )т • / * (г)т М [г (I (г, ))• Г * (I (г, ))т ] можно найти из следующего выражения

я

м

))Т( ))г ]=

11 11

Ц/ой-М[ -Р-ЛТ /(ТМ[ -р]](рТр

т 1 4т

{./о(т)./о*(т)т • ]/о(т)/о*(т)

0 зо

о

о • •• о

о ••• о

\^fk-l(z)•fk-^(Tdz\\^(í(z)•f:(z)dт

о

тт

о ••• о о о

тт

о о

1 Тт

0

о ••• о

о о

о ••• о о

У"/ (Т' /о* (т)Тт^ • / (Т/Т о

Где М [1 (()• 1 ((- т)] — корреляционная функция входного процесса, которую можно определить из следующего рекуррентного выражения

м [ (() 1 ((- т) = м [ ((- а) 1 ((- а - т)]+1 •

Ц1 (р) 1 (рр - т)р - А^ М [1 ( -А)1 ( -А-т)

¡-А

М [т(1 )) • Т * (н 2 ))т ] определяется аналогичным образом через М [1 () Н 2 (г - т)]. М [[(() Н2 ((- т)] и М [н2 (() Н2 ((- т)] можно найти из М [12 () Н2 ((- т)], используя апри орную информацию:

М[1 () Н2 (- т)] = М[Н2 () Н2(- т)] = М[1 (,)• 1 (, -т)]-а2 • б.

/ (т) =

/о (т)

/к-1 (т)

— вектор обратного разложению сигнала на спектральные компоненты

преобразования размерностью 1 х к .

Проведенный анализ результатов моделирования показывает, что алгоритм адаптивной спектрально-марковской фильтрации позволяет производить оценивание полезного сигнала в условиях значительной статистической априорной неопределенности. Спектрально-марковский метод позволяет использовать для непрерывной фильтрации сигналов способы дискретной обработки информации, что значительно упрощает алгоритмы фильтрации. Одновременно с фильтрацией появляется возможность получения интерполированной оценки. При этом уменьшается время адаптации по сравнению с аналогичными алгоритмами адаптивной обработки во временной области. Рассмотренный алгоритм адаптивной обработки сигналов мо-

с

с

о

о

жет быть использован для стационарных и нестационарных марковских сигналов как первого так и г -го порядков.

Список литературы

1. Иванов Ю.П., Синяков А.Н., Филатов И.В. Комплексирование информационно-измерительных устройств летательных аппаратов. Л:. Машиностроение, 1984.

2. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределённости и адаптации информационных систем. М:. Советское радио, 1977.

3. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990.

4. Иванов Ю.П. Методы оценки достоверности аттестации и прогнозирования состояния измерительных систем// Оборонная техника. Научно-техн. Сб. 1995.№ 910. С.61-66.

5. Пугачёв В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1962.