Mathematical simulation of city passenger transportation Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.711.2

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ МІСЬКИХ ПАСАЖИРСЬКИХ ПЕРЕВЕЗЕНЬ

В.В. Аулін, професор, к.ф.-м.н., Д.В. Г олуб, аспірант, Кіровоградський національний технічний університет

Анотація. Описано специфіку процесу міських пасажирських перевезень. Проаналізовано сукупність параметрів процесу перевезення за підсистемами. Побудовано модель одноденної роботи пасажирського автотранспортного підприємства за допомогою використання системного підходу і методу поетапного моделювання процесів.

Ключові слова: математична модель, транспортний процес, транспортний засіб, пасажирські перевезення, оптимізація, параметри, підсистема.

Вступ

Математичні моделі за призначенням перевезень можна поділити на два види: моделі

вантажних перевезень і моделі пасажирських перевезень. Більш повно досліджені вантажні перевезення [1 - 3]. Це передусім

транспортна задача. Що стосується опису процесів пасажирських перевезень за

допомогою математичних методів, то через складність системи міських пасажирських перевезень необхідні ще ретельні

дослідження, що враховують

пасажиропотоки по міських вулицях, мережу транспортних маршрутів і зупинок, сукупність різновидів транспортних засобів (ТЗ) і підприємств, що їх обслуговують. Функціонування такої системи в часі, наявність випадкових чинників, врахування інтересів пасажирів і транспортних підприємств, а також множина супутніх чинників свідчать про багатопараметричність моделі.

Мета та постановка задачі

Метою цієї роботи є використання системного підходу і методу поетапного моделювання процесів в системі міських пасажирських перевезень.

Виходячи з вимог до математичної моделі, модель міських пасажирських перевезень має

бути динамічною, багатокритеріальною, керованою і мати стохастичні елементи [4]. Крім того, вона повинна враховувати наявність пасажирів різних категорій, проміжні і кінцеві пункти та різні види ТЗ

[5].

Модель міських пасажирських перевезень на відміну від вантажних має специфіку [6 - 8]:

- наявність декількох учасників процесу з неспівпадаючими і часто суперечливими інтересами (пасажири і різні транспортні підприємства);

- існування багатьох функціоналів якості, що описують цілі різних учасників;

- тлумачення розв’язку задачі відрізняється від визначення оптимальних обсягів перевезень;

- різноманітність принципів оптимальної організації перевезень з урахуванням інтересів всіх учасників процесу;

- істотна мінливість в часі функціонування системи;

- нечіткість поняття «управління» і неявний характер залежності від сукупності параметрів та економічних показників системи;

- великий обсяг задачі (велика кількість маршрутів, зупинок, видів транспорту та ін.);

- необхідність врахування соціальних, технічних, нормативних чинників.

В зміст оптимізації організації міських пасажирських перевезень входять перш за все чинники:

- найкраще задоволення потреб пасажирів: мінімізація середнього часу очікування пасажирів на зупинках і часу в дорозі; підвищення якості обслуговування пасажирів:

комфорт, відсутність відмов транспортних засобів, безпека руху;

- ефективна робота пасажирських автотранспортних підприємств (ПАТИ): мінімізація збитків; максимізація сумарного обсягу перевезень пасажирів.

Оптимальний варіант знаходять з урахуванням найістотніших нормативних і ресурсних обмежень:

- кількість і різновид ПАТП міста;

- обмеженість парку ТЗ (типів, марок, кількості);

- місткість кожного виду ТЗ;

- попит населення міста на перевезення, дані по пасажиропотоках, кількість пасажирів на зупинках та ін.;

- фіксованість кількості і довжини маршрутів, а також кількості зупинок і відстаней між ними;

- середня швидкість руху кожного виду ТЗ;

- вартісні нормативи з придбання, змісту і технічного обслуговування ТЗ;

- штатний розклад і організація оплати праці ПАТП та ін.

Кількість обмежень і передумов задачі математичного моделювання визначається змістом і глибиною досліджуваних питань.

Щоб знайти варіант оптимальної організації міських перевезень, передбачається використовування заходів, що виступають як компоненти важелів управління:

- розподіл існуючого парку ТЗ за маршрутами (за кількістю, видами і місткістю);

- складання графіків руху ТЗ по всіх маршрутах;

- встановлення вартості перевезень (тарифів) для різних груп пасажирів і видів транспорту.

З урахуванням різних умов діапазон вибору кожного з трьох компонентів управління є достатньо широким.

Підсистеми та сукупність параметрів

процесу міських пасажирських перевезень

Задачу математичного моделювання процесу пасажирських перевезень розглянемо з поетапною побудовою рівнів оптимізаційної моделі і функціональних зв’язків між її елементами для одного робочого дня одного ПАТП на закріплених маршрутах.

При математичному моделюванні процес перевезення пасажирів слід розглядати як систему, що містить кілька підсистем: транспортних засобів, маршрутів (маршрутна мережа), пасажиропотоків, тарифів.

Кожна з підсистем характеризується такою сукупністю параметрів:

- транспортні засоби: k - індекс марки ТЗ

k = 1,...,т ; Ak = { 1,...,тк} - сукупність ТЗ марки k у цього ПАТИ; ak - місткість одного ТЗ марки k; а^- - залишкова

місткість на зупинці 7 ТЗ марки k; ^-середній час стоянки на зупинці 7; Тіі - час в дорозі між зупинками 7 та і ; ^ - час (момент) прибуття ТЗ на зупинку 7; у1к -число ТЗ марки к, що працюють по маршруту і; иі - середня швидкість руху по маршруту і; Г| к - кількість водіїв одного ТЗ для к та і за робочий день; А к - кількість рейсів, здійснюваних за робочий день одним ТЗ марки к ; $ к - тривалість (в годинах) робочого дня для к та і;

Т - час в дорозі по маршруту і.

- маршрутна мережа: N ={ 1,., п} -

сукупність закріплених за цим ПАТП маршрутів; і - номер маршруту; 7г - номер зупинки на і -у маршруті; гг - кількість зупинок на маршруті і; р1 - протяжність маршруту і.

- пасажиропотоки: Рі - кількість всіх

пасажирів, що чекають на зупинці 7; Р/ -кількість всіх, що ввійшли на зупинці 7 пасажирів; иу - кількість всіх, що вийшли на зупинці 7 пасажирів; Ь7 - наповненість ТЗ на зупинці ]; т і - частка пасажирів категорії

і від їх загального числа; Жі1 - функція корисності пасажирів категорії і, для оцінки якості обслуговування пасажирів по

маршруту і ;

T

середня тривалість

очікування посадки на зупинці 7; V -функція, що описує сумарний обсяг перевезень пасажирів для цього ПАТП.

- тарифи: х'ш - тариф по маршруту і для категорії пасажирів І =1...р і ТЗ марки к ; sk

- змінні витрати ПАТП на експлуатацію одного ТЗ автобуса марки к за один робочий день (ремонт, заправка і т.д.); р1к -погодинна зарплата одного водія ТЗ марки к на маршруті і; й - частка податкових і страху-вальних відрахувань від добової виручки ПАТП; F - функція прибутку цього ПАТП; ск - постійні витрати ПАТП на утримання одного ТЗ марки к на добу.

де т г = 0 (кінцева зупинка).

Крім цього, ряд х ={ хі, і = 1,.,р} є загальною тарифною сіткою, а послідовність

ї = {,., ґгі} , де +! - графік руху ТЗ

по маршруту і.

Побудова математичної моделі роботи ПАТП як багатокритеріальної оптимізації

Наповненість Ь'ц ТЗ марки к для маршруту і

для зупинки 7 визначається узагальненою рівністю

=min{pi,ak} + е (pk- uk),

(5)

kJ T c H k wk

k - 2'

Характерним є те, що деякі параметри є матрицями певного розміру:

- матриця х1 = {х’1к} пґ - тарифна сітка для

цієї категорії І пасажирів;

- матриця y - {yk} - розподіли ТЗ по

маршрутах, якщо

е yk J mk , k - 1,

іО N

m .

Оскільки відстань між будь-якими двома зупинками У і І (У < І) дорівнює

і -1

Р (1) - е Р (q, q + 1)

(1)

то протяжність маршруту і можна оцінити за виразом

ri -1 .

Р г - е Рг (j, j +1). j -1

(2)

Тривалість подолання шляху ТЗ між будь-якими зупинками 7 і І ( 7 <І) дорівнює

і -1

і -1 і -1

Tfl - Є Tq,q+ 1 + Є! q - Є ( Тад+ 1 +Х q ) , (3)

q- j q- j q- j

а тривалість всього маршруту і можна розрахувати за виразом

j -1

де blk5 = min{/5,ak} - наповненість на першій

зупинці; bl = min{Pr,ak} - на останній, яка може розглядатися як проміжна з подовженим часом очікування, де сідають Pr пасажирів.

Пропозиція перевезення по маршруту і

і r‘ -1 j

дорівнює: Rj = е Rj , а одноразовий (за один

j -1

r -1

виїзд) попит на перевезення - P - е Pj .

j -1

Серед сукупності параметрів, що характеризують пасажирські перевезення, є постійні величини: кількість маршрутів п; кількість зупинок Г ; протяжність маршруту р1; марка ТЗ т ; кількість ТЗ марки к - тк; місткість ТЗ марки к - ак ; кількість категорій паса-жирів р .

Враховуємо обмеженість управляючих параметрів моделі

0 J xik J xik,

(6)

де xk - встановлена максимально можлива

вартість проїзду для цих

l, k, і

0 J yk, е yk J mk, i - l,П 1 - l, ^ , (7)

іО N

ук - цілі числа к = 1, т , що одночасно не можуть бути рівні нулю;

t-jj t)\ т;,

(8)

А ^ І • •

де ¿7, ¿7 - встановлені допустимі значення.

У відповідності з вибраним критерієм якості, слід розглядати функціональні залежності

Т = т (^ ї), Т = т (у, ї),

F = F (х, у, ї) , V = V (х, у, ї) ,

Р = Р (хy, ї), Р = Р (^y,ї),

Ь]. = Ь) (x, ^ ї) ,и і = и і (y, ї) , А к = А к (*') ,

8к = 8к (y,ї) ,т) = т) (у).

Керовані параметри, у свою чергу, також залежать ще від чинників: собівартості робіт ПАТП, розмірів міських дотацій, рівня обслуговування пасажирів, часу доби, щільності пасажиропотоків і т.д.

Отримаємо аналітичні залежності для сукупності приведених показників.

Середня тривалість очікування т згідно з роботою [8] обчислюється за виразом

т; =1 + °^ +х ;і-1 2 21 1

(9)

1

q= і'........

і = 1, rl, і = 1, n

min,

Будемо вважати, що рівень задоволення (корисності) пасажирів від якості обслуговування при міських перевезеннях описується лінійною функцією

, m

W (x, y, z) = е е a 'kx'kl +

іО N k = 1

(12)

+ е е P kyk + е е g® max, l = 1, p,

іО Nk = 1

іО N j = 1

де ak, pk, gj корисності.

- показники одиничної

Обсяг перевезень за один день для цього ПАТП дорівнює

n m й r r -1 . Щ

V ( x,y,z)= е е кD k е b; I yk Ю max, (13)

i=1 k=1 л j =1 b|

де внутрішня сума дорівнює кількості

пасажирів, що перевозяться одним ТЗ за один рейс.

Виручку ПАТП за один робочий день можна оцінити за виразом

F+ (x, y, z) =

p n m . й r r - 1 , Щ

= е е е xlk к m lD k е b; I yk,

l = 1 і = 1 k = 1 л j = 1 b

(14)

де 1 - плановий інтервал руху, в умовах а добові витрати ПАТП дорівнюють графіка руху Z , і = t[1 +1 - 11; о ; - середнє-

квадратичне відхилення інтервалу від

графіка руху; х- ймовірність відмови в посадці на зупинці 7 по маршруту .

Якщо середнє значення інтервалу руху

-і m ж n , ц

F- ( x,y, z) = е з ckmk- sk е yk ч +

k = 1И і= 1 Ш

+ е е J kpkh kyk + w F+. k = 1 і = 1

(15)

-1

Ж m ■ Ц

представити у вигляді T з е yk ч , то маємо

И k= 1 k ш

Тоді функція прибутку ПАТП за день визначається як різниця виразів (5) і (6):

т;(y,z ) = +

„ 2 ж m, і ц

ті 0 ; з е yk ч

T УИ k= 1 ш

2T

+ х

T

2е yk

k = 1

jm

е yk

(10)

F (x, y, z) = F + (x, y, z) -- F- ( x,y,z) Ю max.

(16)

k = 1

Враховуємо ряд обмежень, що містяться в задачі моделювання процесу перевезення:

- обмеженість ТЗ

е yk J mk, k = 1m; (17)

i= 1

роботи ПАТП як багатокритеріальну оптимізацію.

- умова місткості на проміжних зупинках кожного маршруту

j +

bkj = min {P1, ak} + е (Pi - Ui) J ak , l = 2

j = 2,...,r- 1, k = 1^ . (18)

- умова місткості на першій і кінцевій зупинках кожного маршруту

bkj = min { ^ ak } J ak , bkr = min { Pr , ak } J ak ,

(19)

k = 1, m ;

- якщо вираз (18) подати у вигляді:

bj = bk,; -1 - Uj + P, j = 2,-, r - 1

та akj = ak - (bk, j -1 - Uj) , то маємо

Pj J akj ,або Pj J ak -(bk, j -1 - Uj) ,

k = 1, m ;

(20)

- умова задоволення попиту населення на перевезення (на кожному маршруті )

r - 1 г . , r -1

# = е max { 0, akj} і е Pj = P , або

j= 1

r -1

е

j = 1

r -1 ,

е йтах{ 0,a.

j = 1

{0.akj}- P Si 0 i= 1--.я ; (21)

- тимчасові обмеження

е (j 1 - tj )J T , i= 1,..., n , (22)

j = 1

причому, якщо середня швидкість и руху по маршруту фіксована, то маємо

r -1/ \

'I Tjj. 1 + ’ j j) Lr; (23)

q = 1

r..

u. ;

- обмеження на вартість квитків витікає з умови рентабельності ПАТП

F+ (x, y, z) .

F- ( x, y, z)

і 1.

(24)

Якщо об’єднати систему обмежень, цільові функції та початкові умови (тобто вирази

(6) - (8), (11) - (13), (16), (18) - (21), (23), (24), то отримаємо математичну модель

При цьому собівартість приймаємо за функціонал (критерій) якості

min .

У розглянутій моделі для більшої визначеності цей критерій можна замінити двома: F ® max, V ® max .

Висновки

Проведені дослідження дають можливість зазначити таке:

- моделювання процесів міських

пасажирських перевезень є

багатокритеріальною задачею оптимізації;

- наведено специфіку процесу перевезень і сформована постановка задачі;

- проаналізовано сукупність параметрів процесу перевезень за підсистемами;

- на основі поетапного процесу моделювання

побудовано модель одноденної роботи пасажирського автотранспортного

підприємства.

Література

1. Вагнер Г. Основы исследований операций:

В 3-х т. - М.: Мир, 1973.

2. Исследование операций: В 2-х т. / Под ред.

Дж. Моудера, С. Элмаграби. - М.: Мир, 1981.

3. Интрилигатор М. Математические методы

оптимизации и экономическая теория. -М.: Прогресс, 1975. - 67 с.

4. Машина Н.И. Моделирование пассажиро-

потоков города с использованием стохастических моделей: автореферат дисс... канд. техн. наук / Н.И. Машина. -Донецк, 1989. - 19 с.

5. Антошвили М.Е., Либерман С.Ю., Спирин

И.В. Оптимизация городских автобусных перевозок. - М.: Транспорт, 1985. -102 с.

6. Афанасьев Л.Л. Единая транспортная си-

стема и автомобильные перевозки. - М.: Транспорт, 1984. - 333 с.

7. Михалевич В.С. Оптимизационные задачи

производстенно-транспортного планирования: Модели, методы, алгоритмы -М.: Наука, 1986. - 264 с.

8. Антошвили М. Е. Оптимизация городских Рецензент: Є.В. Нагорний, професор, д.т.н.,

автобусных перевозок. - М.: Транспорт, ХНАДУ.

1985. - 102 с.

Стаття надійшла до редакції 17 квітня 2008 р.