Математика ЖИПТО и теория преследования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Вестник ТГУ, т. 8. вып. 3, 2003

МАТЕМАТИКА ЖИИТО И ТЕОРИЯ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

© Г.В. Томский (Париж)

Популяризация интеллектуальных динамических игр преследования (ДИП), проводимая нами с 1989 года [1, 2], привела путем естественного отбора наиболее интересных вариантов к выделению ЖИПТО (JIPTO - Jeux Intellectuels de Poursuite pour Tous) как признанной новой настольной интеллектуальной игры, ставшей национальным видом спорта в Якутии и получившей рекомендацию ЮНЕСКО и специалистов по образованию об использовании для целей развития интеллектуальных и творческих возможностей учащихся [2-5].

Особенности ЖИПТО. Базовая версия моделирует ситуации с одним "преследователем" и пятью "убегающими". Целью "убегающих", сосредоточенных в начале игры на одной стороне игрового поля, является достижение противоволожной стороны, чему стремится препятствовать "преследователь". В случае поимки до пересечения игрового поля результат пойманного "убегающего" оценивается в зависимости от того, в какой из трех основных зон игрового поля он пойман. Одним из секретов успеха ЖИПТО является то, что поле для игры представляет вертикальный триптих, а тема преследования дает неограниченные возможности для творческой фантазии художников "жиптографов". В Париже недавно организована галерея "Эспас ЖИПТО" для проведения выставок "Искусства ЖИПТО". Базовая версия игры проста и доступна детям с 5 - 6 лет. На основе модификации этой версии путем введения веса фишек, возможности их рокировки, дополнительных фишек "спасателей" и др. получаются более сложные и увлекательные версии на любой вкус. Существуют также полуазартные версии, когда очередность хода фишек определяется случаем. На основе таких версий развивается шуточная игра "жиптоманси". Официальный сборник правил ЖИПТО содержит описание 2480 вариантов игры. Для любителей комбинаторных игр придуманы "жиптоиды" - дискретные приближенные версии ЖИПТО.

В 1993 году по инициативе Зам. Генерального директора ЮНЕСКО по образованию Колина Пауэра была организована ФИДЖИП (Международная федерация ЖИПТО, http://www.jipto.net ).

Математические модели. Начнем с того, что в ЖИПТО можно играть, рисуя с помощью трафарета траектории "преследователя" и "убегающих" в виде последовательности касающихся между собой кругов. Такая форма игры достаточно удобна и широко практиковалась в Якутии в 1991 - 1992 годах до начала распространения наборов для игры. Заменяя нарисованные на бумаге круги геометрическими кругами на плоскости, получаем геометрическую модель ЖИПТО. Аналитическая модель ЖИПТО помещает этот обширный класс игр среди динамических игр с дискретным временем. Наконец, базовые версии ЖИПТО можно приближенно моделировать с помощью (дифференциальных) игр простого преследования, называемых "идеальными ЖИПТО". Заметим, что многие версии ЖИПТО являются многокритериальными или неантагонистическими. Моделирование стратегий. В ЖИПТО используются классические стратегии погонного преследования и параллельного сближения, различные их модификации, другие "элементарные" стратегии. Умелая комбинация этих стратегий может дать эффективные "суперстратегии".

Источник нерешенных проблем. Поиск стратегий, желательно описываемых в геометрических терминах, и доказательство их достаточной эффективности в различных версиях ЖИПТО является неичерпаемым источником нерешенных математических проблем, формулируемых обычно на языке школьной математики. Математика ЖИПТО и дифференциальные игры. Наиболее адекватные математические модели ЖИПТО являются многошаговыми, а не дифференциальными играми. Даже в случае "идеальных ЖИПТО" существуют нестандартные для других классов

Вестник ТГУ, т. 8, вып. 3, 2003

дифференциальных игр возможности, например, ограничение по своему усмотрению числа коррекций управлений игроков, что может в некоторых случаях упростить исследование. С другой стороны, многокритериальность большинства версий ЖИПТО значительно усложняет задачу полного исследования даже базовых версий и приводит к неисследованным классам математических моделей. Элементарная геометрия преследования. Элементарные геометрические разделы математики ЖИПТО в совокупности с элементарными задачами "геометрии простого преследования" [6] образуют основу интересного расширения элементарной школьной геометрии, которое можно называть "элементарной геометрией преследования". Математическая культура и математические способности. Приобщение к математике ЖИПТО позволяет приобщиться к методу математического моделирования, понять ее возможности и пределы, что важно и актуально в настоящее время, когда благодаря бурному развитию математики и информатики человечество вступило в "эпоху моделирования". В эту эпоху важно поднять математическую культуру членов общества, которую мы делим на следующие основные уровни:

Начальный уровень: приобщение к элементарным математическим объектам и понятиям. Средний уровень: Освоение одного из разделов математики, начиная от элементарной геометрии, кончая современными математическими теориями.

Высший уровень: Способность к созданию нового математического знания.

Такая классификация позволяет отнести к личностям с высокой математической культурой великих математиков древности. Почти все учителя математики и победители математических олимпиад относятся к лицам с математической культурой повышенного среднего уровня (мы делим средний уровень на несколько подуровней). Популяризация ЖИПТО и элементарной геометрии преследования в школах призвана способствовать поднятию математической культуры учителей и учащихся.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петросян Л.А., Томский Г.В. Элементарные задачи сближения и уклонения. Якутск: ЯГУ, 1989.

2. Петросян Л.А., Томский Г.В. Через игры к творчеству. Новосибирск: Наука, 1991.

3. Tomski G., Kouzmina T. JIPTO: Jeux de reflexion pour tous. Paris: ACL Editions, 1996.

4. Tomski G. JIPTO. Paris: JIPTO international, 2000.

5. Tomski G. Mathématiques du JIPTO. Paris: JIPTO international, 2002.

6. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука, 1983.

ФОРМУЛА РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СО СЛОЖНЫМ ВХОЖДЕНИЕМ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

© O.A. Торшина (Магнитогорск)

Исследуем оператор Л ап л аса-Б ел ьтр ам и с потенциалом на проективной плоскости, что представляется возможным при получении проективной плоскости через сферу посредством отождествления диаметрально противоположных точек и выкалывания полюсов.

Пусть Т = — А - оператор Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости F, действующий в гильбертовом пространстве Н, взятом с плотностью sin 6d0d(p (в,(р - сферические координаты), А„ = п(п + 1) (п = 0, сю) - собственные числа оператора Т, vHti (i = 0,2п) - соответствующие собственные ортонормированные функции оператора Г, ln = {А|А = А„ + п + 1 + ip,