Математична модель лінії затримки на основі магнітостатичних хвиль Текст научной статьи по специальности «Математика»

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

ТЕХНІКА ТА ПРИСТРОЇ НВЧ ДІАПАЗОНУ. АНТЕННА ТЕХНІКА

УДК 548:621.372

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЛІНІЇ ЗАТРИМКИ НА ОСНОВІ МАГНІТОСТАТИЧНИХ ХВИЛЬ

Кудінов Є.В., к.т.н., ст. наук. співробітник

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут ", м. Київ, Україна

Створення пристроїв НВЧ на основі використання магнітостатичних хвиль (МСХ) у намагнічених епітаксіальних феритових плівках (ЕФП) за-лізо-ітрієвого гранату розглядається як перспективний напрямок магнітое-лектроніки, [1 - 3]. При цьому важливим етапом при аналізі і синтезі МСХ-пристроїв НВЧ є побудова математичної моделі, що визначає велике практичне значення розробки моделей, адекватних поставленим завданням. Такими завданнями можуть бути вибір конструктивних параметрів пристрою, параметрична оптимізація, моделювання на комп’ютері роботи пристрою, визначення допусків на конструктивні параметри та параметри матеріалів і т.д.

Побудова математичної моделі щораз представляє самостійне творче завдання, що вимагає не стільки формального, скільки евристичного підходу. І в цьому зв'язку не можна вважати якийсь один метод або принцип побудови моделі прийнятним у всіх випадках. Але є підстави стверджувати, що для побудови математичної моделі МСХ-пристрою в багатьох випадках доцільне використання принципу декомпозиції.

При моделюванні МСХ-пристроїв застосовна реалізація принципу де-

композиції, прийнята при побудові моделей електродинамічних об'єктів [ 4,5 ]. Пристрій представляється умовно розділеним на автономні блоки, наприклад так, як

МікросмужковГперетворювачі ПОКаЗЯНО На рНС. 1, ДЄ

Рис. 1 Схематичне зображення лінії затримки роз- схематично зображена діленої на автономні блоки: 1 - регулярна хвилесп- лінія затримки (ЛЗ). Пу-рямовуюча структура , 2 - мікрострічкові перетво- нктирними лініями пока-рювачі, 3 - шдбиваючі краї’ ЕфП зані перерізи, що розді-

ляють автономні блоки.

14

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

У такий спосіб виконується декомпозиція пристрою. Кожному автономному блоку ставиться у відповідність математичний об'єкт або оператор, що є дескриптором автономного блоку. Як дескриптори можна використати хвильові матриці - розсіювання і передачі. Дескриптори знаходять як результат розв’язку відповідної задачі або вимірюють. Автономні блоки вважають з’єднаними за допомогою багатомодових, в загальному випадку, хвильових каналів. Лінії передачі, що підводять електромагнітний сигнал до входів пристрою (та відводять сигнал від пристрою) - це також хвильові канали. Поділяючі автономні блоки перерізи варто розглядати як перерізи хвильових каналів, хоча зрозуміло, що в цьому випадку виділення хвильового каналу є формальним і можна говорити про віртуальний хвильовий канал нульової довжини [ 4 ]. Коли дескриптори автономних блоків знайдені, виконується зворотна операція, операція рекомпозиції, тобто об'єднання автономних блоків у пристрій і знаходження дескриптора пристрою в цілому по дескрипторах автономних блоків. Якщо дескриптори -хвильові матриці, то дескриптор пристрою знаходять із використанням звичайних алгоритмів об'єднання матриць. Для лінійного пасивного пристрою визначенням його дескриптора, як правило, закінчують побудову математичної моделі.

Постановка задачі

Із викладеного вище зрозуміло, що ключовою проблемою розробки математичних моделей МСХ-пристроїв є побудова дескрипторів автономних блоків переважно у вигляді матриць розсіювання. Поставлено задачу теоретично розрахувати елементи матриць розсіювання автономних блоків з використанням методів електродинаміки.

Визначення матриць розсіювання автономних блоків

До автономних блоків ЛЗ на МСХ відносяться наступні:

- регулярна область поширення МСХ в епітаксіальній феритовій плівці (регулярна хвилеспрямовуюча структура);

- мікрострічковий перетворювач;

- відбиваючий край ЕФП.

Маючи матриці розсіювання цих автономних блоків, можна методом рекомпозиції одержати матрицю розсіювання ЛЗ.

Регулярна хвилеспрямовуюча структура ЕФП. Матриця розсіювання регулярного плівкового хвилеводу МСХ довжиною L має такий вигляд:

SF

ґ 0 exp( -k-'' L ) exp( -ik_' L )^

vexp(-k+''L )exp(-ik+'L ) 0 ,

де k± = k\-ik"± - комплексне хвильове число МСХ. Знак "+" відповідає напрямку поширення хвилі від входу 1 хвилеводу до входу 2, а знак "-" - у зворотному напрямку поширення.

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

15

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

Для обчислення частотної залежності необхідно знати закон дисперсії. Найбільш загальний вид дисперсійного рівняння для всіх типів МСХ у багатошаровій структурі метал-діелектрик-ферит-діелектрик-метал наведене в [6]. Розв’язати це рівняння відносно k при заданій круговій частоті досить важко, оскільки у випадку урахування втрат воно приводить до системи двох трансцендентних рівнянь. Однак, для більше простих структур завдання визначення закону дисперсії значно спрощується.

Розглянемо ізольовану феритову плівку й три основних типи хвиль.

Поверхневі магнітостатичні хвилі (ПМСХ). Рівняння для визначення дисперсійного співвідношення при цьому має вигляд:

Ae-kS - Be-kS = 0 ,

У практично важливому випадку поширення ПМСХ нормально до внутрішнього поля Ні співвідношення виражається через ю аналітично:

kS = 0.5ln-

(4жЫ о)2

(4^Mо)2 - 4[(®/у)2 -Иг(Иг + 4жЫо)]

S - товщина ЕФП, 4жМ0 - намагніченість насичення ЕФП, у - гіромагнітне відношення: у=1,761011к/кг

Підкреслимо, що в загальному випадку ПМСХ невзаємні, тобто k +*k _ і, отже, S12 * S21 . Однак, для ізольованого феритового шару й поширення нормально до Иі дисперсія ПМСХ не залежить від напрямку поширення й, таким чином, k + = k _ і S12F = S21F.

Ситуація у випадку ЕФП відрізняється від феритового шару або пластини тим, що в області границі плівка-підкладка завжди існує перехідний шар, фізичні параметри якого істотно неоднорідні й відрізняються від параметрів іншої досить однорідної частини феритової плівки. Оскільки максимуми амплітуди ПМСХ, що поширюються в різних напрямках, зосереджені на протилежних поверхнях плівки, існування перехідного шару приводить до невзаємності ПМСХ навіть у випадку поширення нормально до Иі. Експериментальні дані вказують, що в більшості випадків істотно невзаємним виявляється загасання, причому для хвилі "притиснутої" до перехідного шару воно значно більше. Виходячи з цього, можна записати наступні співвідношення:

k-' = k+' = k , k_ = rj(k )k+ .

Коефіцієнт r (k) повинен бути визначений експериментально для кожної плівки. Для малих значень kr цей коефіцієнт близький до 1 і збільшується експоненціально з ростом k \

Зворотні об'ємні магнітостатичні хвилі (ЗОМСХ)Дисперсійне співвідношення для ЗОМСХ у випадку поширення уздовж внутрішнього поля має вигляд:

16

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

kS = 2у/-м (arctgyj-м + пп) ,

п = 0,1,2...

М =1 -

ую04пМ0 _

2 2~” ’

ю - ю0

Де ю0 = їн,

Многомодовість ЗОМСХ приводить до клітинної структури матриці розсіювання, однак на практиці, як правило, досить ураховувати збудження й поширення основної моди з n = 0.

Прямі об'ємні магнітостатичні хвилі (ПОМСХ). На відміну від ПМСХ й ЗОМСХ, що поширюються у дотично намагніченій ЕФП, ПОМСХ збуджуються й поширюються в плівці при її намагнічуванні близькому до нормального. При намагнічуванні перпендикулярно площини поверхні ЕФП дисперсійне співвідношення для ПОМСХ має вигляд

kS =

2

4-м

(arctg

1

4-м

+ пп),

п = 0,1,2.

Варто пам'ятати, що внутрішнє поле Ні в цьому випадку виражається сумою зовнішнього поля підмагнічування Н0 і поля розмагнічування, що дорівнює - 4nM0; Ні = Н0 - 4пМ0. Як і у випадку ЗОМСХ, цілком достатньо обмежуватися розглядом основної (п = 0) моди ПОМСХ.

Для урахування хвильовідного характеру поширення МСХ, що виникає у вузьких ЕФП, необхідно використати граничні умови на торцях плівки. Гарним наближенням є граничні умови типу "магнітна стінка" [ 13 ]. Їхнє використання приводить до "квантування" поперечної компоненти хвильового числа МСХ. Наприклад, у випадку ПМСХ хвильове число к =yjky + k2z , де kz = mn / b, b - ширина ЕФП. Дисперсійне співвідно-

шення наведене без урахування анізотропії ЕФП. На відміну від ПМСХ об'ємні типи хвиль характеризуються взаємністю дисперсії й загасання стосовно напрямку поширення.

Одноелементний мікрострічковий перетворювач. Одноелементний

Рис. 2 Одноелементний мікрострічковий перетворювач

мікрострічковий перетворювач МСХ ( рис. 2) являє собою шести-полюсник, матриця розсіювання якого (Srt)= iSifi має розмірність (3х3). Комплексні компоненти Sj виражаються співвідношенням

через нормовані амплітуди прямих і зворотних хвиль, які визначаються в результаті побудови фізичної

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

17

Техніка та пристрої НВ Ч діапазону. Антенна техніка

моделі перетворювача. Найбільш повна самоузгоджена теорія перетворення й взаємодії МСХ із одноелементним мікрострічковим перетворювачем

розвинена в [7,8].

Рис. 3 Г еометрія досліджуваної структури ня:

На рис. 3 зображена геометрія досліджуваної структури : ЕФП (1), що вирощена на галій - гадолиниевой підкладці (2), є лежачою на полікоровій підкладці

(3), де методом фотолітографії сформована мікрострічкова лінія (МСЛ), відповідно (4) - металева стрічка, (5) - шар металізації.

При побудові самоузгодженої теорії збудження і прийому МСХ прийняті такі основні наближен-

- хвилі поширюються уздовж координати у, нормально до осі мікрострі-чкового перетворювача;

- функція Гріна отримана у наближенні необмеженої в площині yz ЕФП;

- для постійної поширення h електромагнітної хвилі в МСЛ виконується умова hb<<1, при цьому відсутня залежності від z величини струму, що збуджує МСХ, й збуджених полів;

- наявність шару металу (5) ураховується тільки при рішенні електростатичної задачі, а дисперсійні співвідношення МСХ отримані для наближення dpol^rn, (dp0i - товщина полікорової підкладки).

Відзначимо, що взаємність об'ємних типів МСВ приводить до співвідношень \Sjjn\ = \Sjin\, iij для компонентів матриці розсіювання перетворювача. Крім того, у відсутності дисипації матриця розсіювання перетворювача повинна бути унітарною. Це значить, що (Sn)^(Sn)t = (I), де (Sn)t матриця ермітово сполучена до матриці (Sn), (I) - одинична матриця. Остання умова повинна виконуватись, зокрема , коли не враховуються втрати у фериті й МСЛ, а перетворювач на кінці має реактивне навантаження.

Поверхневі МСХ. Матриця розсіювання одноелементного мікрострічко-вого перетворювача ПМСХ має такий вигляд:

л n

S

1

Z

Z і b + Z і a - Z 0

- 2^ Z о R j+b 2л1Z оR і- b

2л/Z оR і- b 2л/R і+R і- b Z - 2R1 - b

- 2^ Z о R і+lb b Z - 2R і+b ,

2A/Rxr b

де Z = Z1*b + Z1d - Z0; Z0 - хвильовий опір мікрострічкової лінії, що підводить сигнал; Z1d - комплексний опір навантаження на кінці z = - b перетворювача; Z1 - погонний імпеданс перетворювача, рівний Z1 = R1 + i (X1 + X0)

і8

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

Тут R1 = Ri+ + R1 - погонний опір випромінювання, як сума опорів ви-

промінювання для ПМСХ, випромінюваних відповідно в позитивному й негативному напрямках осі у, Х0 - погонна індуктивність перетворювача у відсутності збудження, X1 - погонна індуктивність перетворювача, що з'являється при збудженні МСХ і яка розраховується за допомогою перетворення Гільберта від R1:

x,(/)=- J // df.

— / — /

—ю J J

Сам опір випромінювання (в Ом/м) визначається по формулах

V4-2/ \ / (k )|2 „—2dJcn -2dp

Rl+ =

kS [(1 + и )2 — u2 ]

—2^ (i — e-^k ),0 < kw < 0,45-;

22

m-fjо (k,w/2) e-2d,>(1 — e-Vk),kw > 0,45-;

k1S (Ua — S2)

R,— =

u4-2/\/ (—k )\2 —2 d,rk

e 2a<rk (1 — e 2dp°‘k),0 < kw < 0,45-;

kS [(1 — JUa )2 — /JZ] k

R1 + —, kw > 0,45-, 1 2k

. vco04-M0

Ua =—]~0-----T;

o — o

де и та ца - відповідно симетрична та несиметрична компоненти тензора магнітної проникливості, k1 - хвильове число ПМСХ, що поширюється уздовж металізованої поверхні феритової плівки; j0 (kyw/2) - функція Бесе-ля нульового порядку; / (k) - Фур'є-образ щільності струму / (у), що збуджує МСХ.

Взагалі кажучи, поперечний розподіл щільності току повинен бути визначений в результаті рішення інтегрального рівняння Фредгольма, до якого приводить самоузгоджена задача збудження. Однак більш просто гарні результати можна отримати якщо використати розкладання щільності струму по поліномах Чебишева T (у):

/ (У) = exP

іР ln

w /2 — у w / 2 + у

Ф( У )

•ЮW—y1

де

ю

Ф( У) = Z [ AnTn (у) + iB2n+1T2n+1 (у)],

n=0

р = _L,nA(U+U >.

2- B(U+ Ua )

У підсумку, для Фур'є-образу щільності струму / (у), що збуджує, маємо

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

19

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

f (±k) —

W2

j f (y)dy

w /2

w/2

dy

V(w / 2)2 -y2

• s cos

w/2 — y

(An —^ + ky

w / 2 + y

іф( у)У

—w / 2

1

Слід зазначити, що подання щільності струму у вигляді розкладання по поліномах Чебишева досить зручно з погляду уточнення моделі й одержання збігу експериментальних і теоретичних даних шляхом правильного вибору коефіцієнтів розкладання.

Зворотні об'ємні МСХ. Матриця розсіювання одноелементного мікро-стрічкового перетворювача для основної моди ЗОМСХ має такий вигляд:

де

(s 1 sn , s 1 S12 , — S,21 Ї

Л — 1 Z V — s 1 S12 , s 1 °22 ’ 1—S227

s 1 12 ’ 1 — ^22J s 1 5 °22 )

S 1 S11 — Z10b + Z1d — Z 0 ,

S 1 S12 0 0 N II Vі — 22 R10b,

Zl - zwb + Zd + z0.

Погонний опір випромінювання основної моди ЗОМСХ обчислюється по формулі:

«10 - —

8« fr , 2

J n

(1 — H)k 0 S

k 0 w 2

e~2d,rk (1 — e 2dpolk).

Як й у випадку ПМСВ Z10 = R10 + i (X10 + X0), де X10 визначається за допомогою перетворення Гільберта від R10.

Прямі обємні МСХ. Матриця розсіювання перетворювача для основної моди ПОМСХ така ж як для ЗОМСХ, тобто зберігає вид (S1 ) Єдина відмінність полягає у вираженні для погонного опору R10, що обчислюється по формулі:

R

10

8n2f

ґ

(1 — M)k 0S

-Jn

k 0w 2

_—2dr,kn_ „—2dp0,k

-2dtrk ґл

e tr (1 — e

2

).

Строго кажучи, матриця розсіювання (S1 ) не є унітарною навіть при реактивному навантаженні Z1d. Однак, якщо ширина w мікрострічкового перетворювача помітно більше товщини ЕФП (що, як правило, має місце на практиці), вищі моди збуджуються не ефективно. При цьому погонний

20

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

опір випромінювання близький до погонного опору випромінювання основної моди й матрицю розсіювання (S ) приблизно можна вважати унітарної.

Пласкопаралельний край феритової плівки. Він являє собою двополюсник, матриця розсіювання (S) r якого містить єдиний елемент: Sr = (S r). Введемо амплітудній коефіцієнт відбиття МСХ від краю ЭФП r = \r\ exp (iqr). Тоді:

n n it

Sr — | r | e'^re~(k+ + k- )le~’(k+ + k~)l

де l - відстань від краю плівки до перерізу ЕФП, що є вхідним хвильовим каналом автономного блоку. Підкреслимо, що в силу інваріантності

Sr щодо заміни k + ~^k_ матриця розсіювання не залежить від того, з якої сторони падає хвиля.

Знайти строге рішення задачі про відбиття МСХ від краю ЭФП і визначення | г | й ф важко. Однак, як показують проведені експерименти, у випадку якісного виготовлення краю плівки шляхом шліфування або хімічного травлення, для всіх типів хвиль |г| > 0.93 и фг « п..

Визначення матриці розсіювання лінії затримки

Отримані матриці розсіювання автономних блоків ЛЗ на МСХ мають бути використані для вирішення задачі рекомпозиції, тобто об'єднання цих дескрипторів автономних блоків для побудови математичної моделі ЛЗ у вигляді S-матриці. Відомі різні алгоритми об'єднання S-матриць каскадно з’єднаних автономних блоків для отримання S-матриці пристрою в цілому, наприклад такий, як викладений в монографії [9]. При цьому варто вьідмі-тити, що далеко не завжди доцільно виконувати об'єднання відразу всіх автономних блоків пристрою, блоки можна поєднувати групами, у кілька прийомів. Але це вже має відношення до завдання раціональної організації обчислень. Що ж стосується ключової проблеми побудови математичної моделі МСХ-пристрою, такого як лінія затримки, це, безсумнівно, проблема визначення дескрипторів автономних блоків.

Висновки

Серед причин, які дозволяють вважати декомпозиційний принцип побудови математичних моделей МСХ-пристроїв доцільним і продуктивним, відзначимо наступні.

Постановка й рішення ряду завдань для знаходження дескрипторів автономних блоків виконуються більш просто, ніж пряма побудова досить повної і точної математичної моделі пристрою в цілому, а в багатьох випадках тільки декомпозиційний підхід дозволяє досягти поставленої мети. При цьому істотно, що для знаходження дескрипторів різних автономних блоків можна застосувати різні методи залежно від конкретного завдання.

При розбивці пристрою на автономні блоки природним є виділяти як

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

21

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

такі блоки "базових" елементів, а їх, стосовно до МСХ-пристроїв, не так багато. Отже, маючи набір дескрипторів деяких "базових" елементів, можна будувати моделі різноманітних пристроїв.

Безсумнівно те, що декомпозиційний принцип припускає побудову моделей у формі, зручної для застосування комп’ютера як при створенні моделей, так і при їхньому використанні для аналізу роботи пристроїв, комп’ютерного проектування, оптимізації й т.д.

Тому що декомпозиційний принцип покладений в основу розроблених систем комп'ютерного проектування пристроїв НВЧ розвинене програмне забезпечення цих систем може бути застосоване при побудові моделей МСХ-пристроїв.

Література

1. М.Г. Балинский, Е.В. Кудинов, С.Н. Кущ, А.В. Старунский. Устройства на магнитостатических волнах и методы их расчета. Аналитический обзор // ЦНИИ "Румб", Ленинград, 67 с, 1991.

2. Є.В. Кудінов, Н.С. Юрчак Конвольвер на магнітостатичних хвилях в епітаксіаль-ній феритовій плівці - Наукові вісті НТУУ "КПІ", , №1, с 21 - 26, 2005

3. Кудинов Е.В. Разработка математических моделей и алгоритмов для анализа, проектирования и оптимизации МСВ-генераторов и их элементов. Труды мониторингового семинара по программе INTAS, изд. INTEM LTD, стр. 39-42, Киев, 2001

4. Никольский В. В., Никольская Т. И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики.- М.: Наука, 1983.

5. Кудинов Е.В., Берегов А.С. Использование принципа декомпозиции при построении математических моделей спин-волновых устройств//Изв. вузов. Физика, № 11, с. 106-124. 1988,

6. E. Kudinov, M. Balinsky, Y. Sulema, "Designing of SHF Generators Based on Magnetostatic Waves in the Epitaxial Ferrite Films", Proceedings of the 7 International Conference CADSM'2003 "The Experience of Designing And Application of CAD Systems in Microelectronics". Slavske, Ukraine, 18-22 February, 2003.

7. Бабичев Р.К., Бабичева Г.В,, Иванов В.Н., Эквивалентные схемы преобразователей МСВ//Радиотехника и электроника М., vol. 40, №11, с.1720 - 1724, 1995.

8. G. Bartolucci, R. Marcelli, A Generalized Lumped Element Modeling of Magnetostatic Wave Resonators//Journal of Applied Physics, Vol.87, № 8, 2000

9. Машковцев Б.М., Цибизов К.Н., Емелин Б.Ф. Теория волноводов. - М-Л. Наука, 1966

Кудінов Є.В. Математична модель лінії затримки на основі магнітостатичних хвиль. На прикладі лінії затримки показана можливість застосування принципу деко-мпозиції для побудови математичних моделей мікрохвильових пристроїв на основі використання магнітостатичних хвиль (МСХ) у намагнічених епітаксіальних феритових плівках , що дозволяє на єдиній методичній основі і з найменшими затратами на експериментальне відпрацювання розробляти МСХ-пристрої різного функціонального призначення,

Ключові слова: мікрохвильові пристрої, магнітостатичні хвилі, лінії затримки. Кудинов Е.В. Математическая модель линии задержки на основе магнитостатических волн. На примере линии задержки показана возможность применения прин-

22

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

Техніка та пристроїНВЧдіапазону. Антенна техніка

ципа декомпозиции для построения математических моделей микроволновых устройств на основе использования магнитостатических волн (МСВ) в намагниченных эпитаксиальных ферритовых пленках, что позволяет на единой методической основе и с наименьшими затратами на экспериментальную отработку разрабатывать МСВ-устройстваразличного функционального назначения,

Ключевые слова: микроволновые устройства, магнитостатические волны, линии задержки

Kudinov, E. V Mathematical model of delay lines based on magnetostatic waves. On the

example of the delay line have demonstrated the possibility of applying the principle of decomposition to construct mathematical models of microwave devices using magnetostatic waves (MSW) in a magnetized epitaxial ferrite films, which allows for a unified methodological basis and the lowest cost to the experimental optimization design of MSW devices for various applications,

Key words: microwave devices, magnetostatic wave, delay line

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№43

23