Математична модель каналу зв'язку з сигналами OFDM та навмисними завадами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.391.254 С.В. ЗАЙЦЕВ

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ КАНАЛУ ЗВ’ЯЗКУ З СИГНАЛАМИ OFDM ТА НАВМИСНИМИ ЗАВАДАМИ

Анотація. У статті запропонована математична модель каналу з технологією OFDM-систем зв ’язку наступних поколінь, яка враховує вплив флуктуаційного шуму та навмисних завад. Застосування запропонованої моделі при імітаційному та математичному моделюванні каналу зв ’язку з технологією OFDM дозволить суттєво спростити процес моделювання.

Ключові слова: технологія OFDM, навмисні завади, моделювання.

Аннотация. В статье предложена математическая модель канала с технологией OFDM-систем связи следующих поколений, которая учитывает влияние флуктуационного шума и преднамеренных помех. Применение предложенной модели при имитационном и математическом моделировании канала связи с технологией OFDM позволит существенно упростить процесс моделирования. Ключевые слова: технология OFDM, преднамеренные помехи, моделирование.

Abstract. Mathematical model of the channel of OFDM technology of communication systems of the future generations, which considers the effect of fluctuating noise and intentional interferences, is offered. The application of this model in simulation and mathematical modeling of the communication channel with OFDM technology will greatly simplify the modeling process.

Keywords: OFDM technology, intentional interferences, modeling.

1. Вступ

Мобільні телекомунікаційні технології еволюціонують у напрямі створення та розвитку мережевих IP-технологій, технологій з використанням спектрально-ефективних сигнально-кодових конструкцій на основі використання модуляції ФМ-М (M-PSK), КАМ-М (QAM-M) та турбокодування, технологій ортогонально-частотного мультиплексування OFDM (Orthogonal frequency-division multiplexing) та багатоантенної техніки „багато входів - багато виходів” (Multiple-input multiple-output - MIMO), яка поєднує просторове рознесення та OFDM [1, 2].

Технологія OFDM є цифровою схемою модуляції, яка використовує велику кількість ортогональних піднесучих та швидке перетворення Фур’є [2].

В області сучасних систем відомчого радіозв’язку особливу увагу приділяють програмованим радіостанціям (SDR-software defined radio), принцип побудови яких заснований на апаратно-програмній реалізації. Програмовані радіостанції наступних поколінь будуть застосовувати декілька режимів роботи: робота з сучасними транкінговими радіоза-собами, КХ/УКХ радіостанціями та мобільними радіозасобами покоління 3G та 4G. Одним із режимів є режим роботи в умовах впливу навмисних завад, тобто завад, які створюються станціями радіоелектронної протидії.

2. Постановка задачі

Існують математичні моделі каналів зв’ язку, які враховують вплив навмисних завад лише від однієї станції завад, коефіцієнт розширення спектра сигналу та цифрові методи модуляції, такі як ФМ-М [3, 4].

Виникає необхідність розробки математичної моделі каналів з урахуванням технології ортогонально-частотного мультиплексування OFDM та навмисних завад від декількох станцій радіоелектронної протидії.

© Зайцев С.В., 2011

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4

Метою роботи є розробка математичної моделі каналу зв’язку з урахуванням впливу флуктуаційного шуму та навмисних завад від декількох станцій радіоелектронної протидії для програмованих радіостанцій з технологією OFDM.

3. Основні аналітичні залежності

Основна ідея методу OFDM полягає в тому, що смуга пропускання каналу розбивається на групу вузьких смуг (субканалів), кожна зі своєю піднесучою. На всіх піднесучих сигнал передається одночасно, що дозволяє забезпечити велику швидкість передачі інформації при невеликій швидкості передачі в кожному окремому субканалі [2].

Сигнал OFDM складається із N ортогональних піднесучих, модульованих N паралельними потоками даних. Частотна незалежність утворених таким чином субканалів забезпечується взаємною ортогональністю піднесучих, яка визначається співвідношенням

-1 S

|sin 2pfnt sin 2pfktdt = 0 , n Ф k .

Формування підканалів з ортогональними піднесучими відбувається за допомогою процедури зворотного дискретного перетворення Фур’є (ДПФ). На практиці процедури зворотного ДПФ (на передаючій стороні) та прямого ДПФ (на прийомній) реалізуються за допомогою алгоритму швидкого перетворення Фур’є (ШПФ) й виконуються процесором ШПФ.

Таким чином, функції ОББМ-модулятора зводяться до формування складового неперервного сигналу, який містить N піднесучих, більша частина з яких модульовані інформаційними символами на інтервалі Т [2]:

N

хЦ) = ^ ак со8(2р^ ~фк ) = 2), (1)

к=1 к=0

де ак = акєт - комплексний модулюючий символ (ФМ-М або КАМ-М), Т - тривалість

символу, ак - амплітуда символу, фк - фаза символу, к = 1, N.

Реалізація функцій ОББМ-модулятора на базі цифрового процесора ШПФ передбачає перехід від безперервного часу до дискретного (ґ = пТ). При цьому вираз (1), з урахуванням періоду дискретизації Т = Т8 / N, прийме вигляд [2]:

k=0

j 2pkn

Xn = X(nT) = Z Re &te = Z Re

k=0

jknu ake N

v У

(2)

Вираз (2) являє собою дійсну частину зворотного ДПФ набору паралельно переда-

них символів ak .

При демодуляції прийомний пристрій з прийнятого сигналу видобуває часові відліки X(пТ) і, застосовуючи до них процедуру ШПФ, формує оцінки переданих інформаційних символів [2]:

N-1 ,2р

ak = £ X (nT )e

n=0

Структурна схема формування сигналів OFDM показана на рис. 1. Частотно-часова матриця формування сигналу OFDM показана на рис. 2. Принцип OFDM-демодуляції показаний на рис. 3.

0

Кожен субканал модулятора сигналів OFDM, показаний на рис. 1, має вигляд, як на рис. 4. Субканал демодулятора сигналів OFDM показаний на рис. 5.

Рис. 1. Структурна схема формування сигналів ОFDM (ОFDM-модулятор)

Час (номер ОРБМ-символу)

Рис. 2. Частотно-часова матриця формування сигналу ОРБМ

'(t)

- j 2ft

(l+1)T

J...

e 1 42 (l +1)T J... m

>

a

a

il)

■(l)

e ) (l+1)T f

J - m

a

■(l)

N

e

m

Рис. 3. Структурна схема ОББМ-демодулятора

(l)

k1

cos2pfkt

cos2pfkt

x

(l)

k2

Є

xk(t)

'(t)

(l +l)T J Уп

> J... l

sin2pfkt

Рис. 4. Субканал OFDM-модулятора

(l +l)T J yk2

J... l

sin2pfkt

Рис. 5. Субканал OFDM-демодулятора

Набір сигналів {xk (t)}, k = 1, N виражається лінійною комбінацією N ортогональних сигналів уkl(t),Vk2(t),K,уkN(t) [5]:

x

(t )=Е xkn у (t), k=l, N,

n=1

де xkn - коефіцієнти при уkn (t) розкладання сигналів по базисних функціях (коефіцієнт ортонормованого розкладання або проекція сигналів {xk (t)}) на базиси у кп (t).

При передачі цифрової інформації за допомогою модуляції ФМ-М радіоімпульси на виході модулятора мають однакову амплітуду та частоту і відрізняються лише початковими фазами.

Для когерентних M-позиційних схем ФМ - сигнал xk (t) = Re(akej2pfkt) = д/ 2Es / T cos(wkt-jk) = yj 2Es / T cos(wkt - 2pm / M), 0 < t < T, Es -

енергія сигналу, wk - несучі частоти, Т - час передачі символу, m = 1,M , M - розмірність сигнального простору [5].

Припускаючи простір ортонормованим, представимо сигнали xk (t), k = 1, N М-позиційної ФМ у вигляді

xk (t) = xk^kl (t)+ xk2у k2 (t) = 4K cos(2pm /M )у kl (t)+ л/^ sin(2pm /M Vk2 (t) .

уи (t ) = л/ 2/ T cos wkt, yk2 (t ) = V 2/T sin wkt, xk1 =-yjE~s cos(2pm / M),

k2

д/E^ sin(2pm /M) є коефіцієнтами ортонормованого розкладання сигналів {xkm (t)}

у

двовимірному евклідовому просторі.

Зі способу синтезу сигналів {хк (ґ)} з відповідних коефіцієнтів {хкп} походить і спосіб відновлення векторів по сигналах (передбачається, що сигнали хк (ґ), к = 1, N завадами не спотворюються).

J xk(t V kl(t d = J

IN

Е xkn у kn(t)

N T

x

n=1 0

NN

у kl(t d = Е xkn J у kn(t V kl(t d = Е xkn0

x'™ 0 knl = xkn ■

z f7, n = l

де символ Кронекера onl = і .

\ 0, n Ф l

n =1

0

0

Виконуючи множення та інтегрування для кожної з функцій ykl (t), 1 < l < N, отримуємо хк =(xki, хк2, K, хт) .

В N-вимірному евклідовому просторі коефіцієнти сигналу OFDM можна представи-

ти як

X:

x

x21 x22

1N

2N

NN

Відповідно у двовимірному просторі:

11

12

X =

XN1 XN 2.

У каналі зв’язку переданий OFDM-сигнал x(t) спотворюється мультиплікативними та адитивними завадами. Мультиплікативні завади представляються матрицею передачі каналу H [1]. У роботі передбачається, що всі елементи матриці H дорівнюють одиниці. Як адитивні завади розглядаються флуктуаційний шум n(t) та навмисні завади j(t) .

Флуктуаційний шум n(t) математично можна представити як випадковий процес: n(t) = N (t)cos(wkt-jk ) = N (t)cos jk cos wk + N (t)sin jk sin wk, де N (t)cos jk та N (t)sin jk - гаусівські нормально розподілені випадкові величини. Шум nk (t), який присутній в k-му субканалі OFDM-демодулятора, можна виразити як лінійну комбінацію N ортогональних сигналів y kl (t \ У k2 (t ), ■ ■ ■, У kN (t) :

n

(t ) = Z nkn У kn (t) , k = 1, N •

n=1

Для двовимірного простору

nk (t) = ПиУ kl (t) + nk2У k2 (t\ k = 1, N •

nk

Таким

(nk^ nk 2 ,

чином

,n

сигнал

n

(t)

можна представити у вигляді вектора

kN

) або в матричному вигляді Nk = [nk1 nk 2

kN

]•

В К-вимірному евклідовому просторі для кожного субканалу ОББМ-демодулятора коефіцієнти процесу шуму будуть мати такий вигляд:

N

n

II

n

I2

n

IN

n

2I

n

22

n

2N

nNI nN2 ■■■ nNN

Відповідно у двовимірному просторі

x11 x12

xN1 xN 2

x21 x22

N=

n21 n22

n

N1

n

N1

Аналогічно флуктуаційному шуму навмисні завади математично можна записати теж як випадковий процес: j(t) = J(t) cos(wkt - jk) = J(t) cos jk cos wk + J(t) sin jk sin wk, де J(t)cos jk та J(t)sin jk - гаусівські нормально розподілені випадкові величини. Заваду jk (t), яка присутня в k -му субканалі OFDM-демодулятора, можна виразити як лінійну комбінацію N ортогональних сигналів y k1 (t), y k 2 (t),..., y kN (t):

jk(t )= Z J'knVkn(t), k = 1, N.

n =1

Для двовимірного простору

Зк ) _ Jkly к1 () + Зк2у к2 , к = 1 ^ •

У N -вимірному евклідовому просторі для кожного субканалу ОББМ-демодулятора коефіцієнти процесу навмисної завади будуть представлені як

J =

j11 j12 j21 j22

j1N

j2 N

_JNl JN 2 ••• .)ж_

Із загальної теорії зв’язку відомо, що сигнал на виході каналу г(ґ) = х() + п(ї). Таким чином, коефіцієнти ОБОМ-сигналу на виході ОББМ-демодулятора можна представити таким чином:

xll X12 •• X1N nl1 nl2 • •• nlN

Y = X + N = Х21 X22 fe; 2M X + n21 2 2M n •• n2 N

_ XN1 2 fe; X • XNN _ _nN1 2 N n • nNN _

X11 + nl1 X12 + nl2 • X1N + nlN У11 У12 • 1 £

X21 + n21 X22 + n22 • X2N + n2N = 21 2 2 % 2

_ XN1 + nN1 XN2 + nN2 • XNN + nNN _ _ У N1 M 1N У^ _

У випадку застосування постановником завад навмисної завади вплив завади на переданий сигнал буде визначатися в залежності від коефіцієнта перекриття g завадою смуги частот сигналу OFDM.

Сигнал OFDM на виході OFDM-демодулятора у випадку застосування постановником завад навмисної завади на всій ширині полоси частот сигналу OFDM можна представити таким чином:

1 1X 1X 2 X1N ni1 ni2 •• niN J11 J12 K J1N

Y = X + N + J = X21 X22 ••• X2 N + n21 n22 •• n2 N + J21 J22 ■■■ J2 N

_ XN1 XN 2 ••• XNN _ 1 n N1 n N Ю • • nNN_ I J N1 JN 2 K JNN _

хїї + nii + Jii X12 + ni2 + J12 • • X1N + niN + J1N

= X21 + n21 + J21 X22 + n22 + J22 • • X2N + n2N + J2N

X N1 + nN 1 + JN1 XN2 + nN 2 + jN 2 • • XNN + nNN + JNN _

На рис. б показано структурну схему дискретно-неперервного каналу з OFDM, яку можна замінити спрощеною моделлю (рис. 7).

На вхід модулятора сигналів OFDM поступають М-рівневі відліки синфазної та квадратурної складової сигналів ФМ-М або КАМ-М. У зв’язку з тим, що в каналі зв’язку відбувається додавання до синфазної та квадратурної складової сигналів випадкових син-фазних і квадратурних складових шуму та завади, розподілених за нормальним законом (рівні відліки шуму та завади приймають значення від — ¥ до + ¥), то сигнали, які з’являються на виході субканалів OFDM-демодулятора, є випадковими величинами, розподіленими теж за нормальним законом, і приймають значення від — ¥ до + ¥ .

Рис. б. Структурна схема дискретно-неперервного каналу з OFDM

X,.

J11

n

J12

Ф

n

У її

У12

X

N1

X

N2

n

N1

JN2

є>

n

У N1

У N 2

Рис. 7. Структурна схема спрощеної моделі дискретно-неперервного каналу з OFDM 172 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4

У випадку застосування постановником завад навмисної завади з шириною смуги частот, яка відповідає першому субканалу сигналу OFDM, на виході OFDM-демодулятора з ймовірністю P = g(l) OFDM-сигнал буде мати такий вигляд:

Уіі У12 •• У1# X11 X12 • •• X1N nl1 nl2 • •• nlN

Y = У 21 2 2 У2 •• У 2 N = X21 2 2 X2 N 2 X + n21 2 2 •• n2 N

_ У#1 У N 2 • У NN _ _ XN1 X N2 • • XNN _ _nN1 nN 2 • • nNN _

+

+

J11 J12 ОО

ОО

J1N

О

О

З ймовірністю P = 1 -g(l) OFDM-сигнал на виході OFDM-демодулятора буде представлений:

У11 У12 і 1N У1 X11 X12 I 1N X1 nl1 nl2 • 1 1N n1

Y = 21 2 2 У N 2 У2 = 21 2 2 X2 N 2 X2 + 21 n 2 2 n •• n2 N

1 У N1 2 N У •• УШ _ I X N1 XN 2 XNN _ I n N1 nN2 • ■ nNN _

Відповідно можна отримати аналітичні залежності при впливі навмисної завади з ймовірністю P = у(к^ на к -й субканал сигналу OFDM:

" У11 У12 і 1N У1 Xll X12 і 1N X1 " nl1 n12 • 1 1N n1

Y = 21 2 2 У N 2 У = X21 X22 • • X2 N + 21 n 2 2 n • n2 N

і У N1 Ут • • Ут _ I X N1 XN 2 • XNN _ _nN1 nN2 • ■ nNN _

+

+

О

ООО

Jk1 Jk2 ОО

О

JkN

О

З ймовірністю P = 1 - g(k ^ сигнал OFDM на виході OFDM-демодулятора буде мати такий вид: Y = X + N .

У випадку застосування для постановки завад двох станцій завад матриця завад (розглядається двовимірний евклідовий простір) буде мати такий вигляд (перша станція завад впливає на перший, а друга - на третій субканал сигналу OFDM):

і(1) 711 Л(?

0 0

j32) J )

Розглянемо випадок, коли застосовуються п’ять станцій завад. Перша станція впливає на субканали сигналу OFDM з другого по п’ятий, друга та третя - на шостий субканал, четверта - на субканали з восьмого по десятий (всього субканалів - 1б). Матриця завад буде мати такий вигляд (двовимірний евклідовий простір):

гт = Го j21) J3(1) J41 j'511) j62) + j63) 0 j94) jffi о к о"

[о j22) j'32) J42 j'512) j622) + j63) 0 j84 j924) jw о к о_.

Вплив першої станції завад на 2-5 субканали сигналу OFDM. У цьому випадку з ймовірністю P = y(1) OFDM-сигнал на виході OFDM-демодулятора можна представити як Yi = Xi + Ni + Ji, i = 1, 4, з ймовірністю P = 1 - g(1) Yi = X,- + Ni, i = 1,4 (i - рядки матриць Y, X, N, J).

Вплив другої станції завад на б субканал сигналу OFDM. З ймовірністю P = g(2) -

Y5 = X5 + N5 + J5, а з ймовірністю P = 1 - g(2) - Y5 = X5 + N5.

Вплив третьої станції завад на б субканал сигналу OFDM. З ймовірністю P = g(3) -

Y5 = X5 + N5 + J5, а з ймовірністю P = 1 - g(3) - Y5 = X5 + N5.

Вплив разом другої та третьої станцій завад на б субканал сигналу OFDM. З ймовірністю P = g(2)Y(3) - Y5 = X5 + N5 + J5(2) + J5(3), а з ймовірністю P = 1 - g(2)g(3) - Y5 = X5 + N5.

4. Дослідження ефективності запропонованої математичної моделі

Розрахунки показали, що для програмної реалізації модуляції та демодуляції сигналу OFDM-2048 (2048 субканалів), каналу з шумом та навмисними завадами процесору необхідно виконати приблизно 430170 елементарних операцій. Запропонована схема для виконання цих самих дій потребує лише 8192 елементарні операції, тобто програмна реалізація вказаного тракту з OFDM-сигналом запропонованою схемою в 50 раз швидше.

5. Висновки

У роботі запропоновано математичну модель каналу з технологією OFDM-систем зв’язку наступних поколінь, яка враховує вплив флуктуаційного шуму та навмисних завад.

Застосування запропонованої моделі при імітаційному та математичному моделюванні каналу зв’ язку з технологією OFDM дозволить суттєво спростити процес моделювання.

Запропонована математична модель може бути використана для розрахунку пропускної спроможності каналу зв’язку з навмисними завадами та сигналом OFDM.

Напрямом подальших досліджень вважається розробка математичної моделі каналу з технологією OFDM-MIMO в умовах впливу навмисних завад для систем зв’язку покоління 4G.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Hanzo L. MIMO-OFDM for LTE, WiFi and WiMax. Coherent versus Non-coherent and Cooperative Turbo-transceivers / Hanzo L., Akhtman Y., Wang L. - West Sussex, UK: John Wiley & Sons, 2011. -б58 p.

2. Dahlman E. 4G LTE/LTE-Advanced for Mobile Broadband / Dahlman Е., Parkvall S., Skold J. - Oxford, UK: Academic Pressis an imprint of Elsevier, 2011. - 431 p.

3. Пат. на корисну модель 52574, Україна, МПК Н03М 13-37. Пристрій перетворення логарифмічних відношень функцій правдоподібності в декодерах для прийняття рішення про прийнятий біт інформації / Зайцев С.В., Горлинський Б.В., Лівенцев С.П.; заявл. 12.04.10; опубл. 25.08.10, Бюл. № 1б.

4. Пат. на корисну модель 47б18, Україна, МПК Н03М 13-37. Пристрій перетворення апостеріорної інформації турбодекодера з повторенням для підвищення завадозахищеності програмованих радіостанцій з технологією MIMO / Овчаров О.О., Зайцев С.В., Лівенцев С.П., Кувшинов О.В.; заявл. 30.09.09; опубл. 10.02.10, Бюл. № 3.

5. Зайцев С.В. Анализ пропускной способности дискретно-непрерывного канала связи для программируемых радиостанций с цифровыми методами модуляции сигнала при воздействии организованных помех / С.В. Зайцев // Правове, нормативне та метрологічне забезпечення систем захисту інформації в Україні. - 200б. - № 2 (13). - С. 27 - 32.

Стаття надійшла до редакції 01.08.2011