Математическое описание тепломассообменных процессов в системе термического обезвреживания остатков ракетного топлива Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. В. ШАЛАЙ, С. А. КОРНЕЕВ, А. П. ДУБОНОСОВ, М. И. ЧАРУШИН, О. Г. РОТОВА

Омский государственный технический университет

УДК 536.24

Введение

Создание химических реакторов, а в частности, реакторов систем термического обезвреживания, для обезвреживания остатков токсичных компонентов ракетного топлива двигательных установок ракет, сталкивается с проблемой невозможности применения теории подобия к химическим реакторам. Поэтому проблема исследования процессов тепломассообмена в них может быть смещена либо в область математического моделирования, либо в область экспериментального исследования на пилотных установках, близких по масштабности к натурным. В обоих случаях необходимо иметь математическую модель процесса, наиболее адекватно отражающую реальные физические процессы.

Приведенная в [1] математическая модель может быть использована для анализа возможности моделирования процессов в экспериментальной установке бортовой термической системы обезвреживания остатков токсичных компонентов топлива в отработавшей ступени РН «Космос», схематическое изображение которой представлено на рис. 1. На дне горизонтально расположенного цилиндрического сосуда находятся остатки горючего. Посредством форсунки А впрыскивается окислитель. Продукты реакции удаляются в атмосферу через фланцевое отверстие.

Г I* 'I

N

2Д,

Рис. 1.

Возможны два режима диспергирования капельных жидкостей в газовых средах: капельный и струйный. В первом случае капли образуются непосредственно при истечении жидкости из сопла или отверстия. Во втором случае струя распадается на капли на некотором расстоянии от выходного сечения диспергирующего устройства.

Самым несложным диспергирующим устройством является простое сопло, откуда жидкость под некоторым давлением вытекает с большой скоростью в виде струи. Последняя распадается на капли благодаря избыточному скоростному напору относительно газовой среды. Распад происходит на некотором расстоянии от выходного сечения сопла, зависящем от скорости истечения, формы и шероховатости стенок сопла.

В случаях, когда сообщение жидкости большого избыточного давления невозможно или нежелательно, применяют двухпоточное сопло. В нбм медленно вытекающая струя жидкости окружена тангенциальным

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ТЕРМИЧЕСКОГО ОБЕЗВРЕЖИВАНИЯ ОСТАТКОВ РАКЕТНОГО ТОПЛИВА_

В СТАТЬЕ ПРЕДСТАВЛЕНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА СИСТЕМЫ ТЕРМИЧЕСКОГО ОБЕЗВРЕЖИВАНИЯ ТОКСИЧНЫХ КОМПОНЕНТОВ РАКЕТНОГО ТОПЛИВА С УЧЕТОМ ГЕТЕРОГЕННОСТИ ПРОЦЕССА ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ И ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ.

кольцевым высокоскоростным потоком газа. Распад струи происходит, как и в первом случае, под действием разности скоростей обеих фаз. Иными словами, в случае простого сопла для диспергирования жидкости используется кинетическая энергия последней, а в случае двухпоточного сопла — кинетическая энергия газа.

Причиной распада струи на капли являются продольные волны, возникающие на её поверхности по выходе из сопла главным образом под действием аэродинамических сил. Последние, возрастая по мере увеличения относительной скорости струи и плотности внешней газовой среды, стремятся деформировать и разорвать струю, чему препятствуют силы поверхностного натяжения. При небольшой относительной скорости струя на некотором расстоянии от выходного сечения разрывается на отдельные части, которые под действием поверхностного натяжения свёртываются в сферические капли. С увеличением относительной скорости возникают волнообразные деформации струи и происходит её распад на более мелкие капли. Наконец, при больших относительных скоростях на поверхности струи возникают малые волны, гребни которых отрываются, и струя распадается на очень мелкие капли (распыляется) вблизи выхода из сопла.

Таким образом, нужно различить три режима диспергирования вытекающей струи жидкости, которые условно называются: 1) капельным, 2) волновым, 3) распылительным. Границы между этими режимами характеризуются соотношением критериев >Уе = м>2ржЫ/а и Re=wd/vж, где и> - относительная скорость истечения из выходного сечения сопла диаметром - коэффициент поверхностного натяжения. Граница первого режима и диаметр образующихся капель до достижения этой границы определяются по следующим эмпирическим формулам:

„0.5

(\Уе),_2 =(1.74-104)/Яе ¿О = 1.43(к/^1 + з( \Уе0"5 / Яе||

Граница между вторым и третьим режимами определяется по формуле:

„0.5

(\Уе)2_3=(0.4-103)/11еС

т.е. режиму распыления жидкости соответствует условие:

Н'>

245 (<

04 0 СТ |Х

¿6)/К6р

©.б1» ж I ■

При диспергировании жидкостей с помощью сопел образуется смесь капель различных диаметров (полидисперсная смесь). Максимальный диаметр капель в этой смеси, как показали многочисленные опытные данные, удовлетворяют уравнению

4.8 ■ Ю-5\Уемакс = ¡1 + 10й(шема((с / Ке^аис)] [1 -0.5(рг / рж)]

в котором \Уешкс и Яешкс отнесены к ¿ткс.

Капли диаметром > с/макс имеют поверхностные волны и распадаются на более мелкие. Из-за полидисперсности смеси образующихся капель в инженерных расчетах часто оперируют средним объёмно-поверхностным диаметром капель:

" з /" 2 ¿он = 1^0/П; / ХУо/и/, /=1 / 1=1

где - число капель узкой фракции, диаметр которых близок к ¿о,. Величина ¿/оп при диспергировании с помощью простых сопел определяется по формуле:

¿оП =47</[(рж /Рг)\УеРг]'/4¡1 + 3.31 (\Уе1/2 /Яе)],

а при диспергировании двухпоточными соплами — по формуле:

¿оп =0.585^0^ /рж +53.2(КЖ /КГ)Ь5(^Ж

где и'от - относительная скорость струи, Кж и Кг -объёмные расходы жидкости и газа. Следует отметить, что диаметр самых крупных капель обычно в 2-3 раза больше (10Л, т.е. степень полидисперсности смеси капель, образующейся при истечении жидкости из сопел, весьма велика.

На основании ранее полученных результатов выпишем полную систему уравнений, описывающую процесс обезвреживания остатков топлива. При этом учтем, что ьа~8 (В - ускорение свободного падения). Придём к следующей системе уравнений:

Эр 1Э(груг) ] Э(руф) Э(ру2) _ „

--1----!----1 аа

д1 г дг г Эф Эг

ЭРо, 1 Э[Г(р<^г+^а)] 1 ^(Рау<р + Лх ) э(р„Уг+у£)

+ - = <ха,

Тгг = -(р + 2(11тО / З) + 2ц£>г(.,

Уфф = -{р + 2ц 1г0 / 3) + 2цАр<р'

Т22 = ~(Р + 2Ц 1г/> / 3) + 2\Юа,

1 Эф г

э '12.1 + 1^

гэГ г J г Э<р

' Эг

1 (ЭУГ ЭУ. . _, _ .

1 Г ^Ч»

Эг

= + --

Эф

а= 1,к — 1, «^К) 1Э., „. ,1 ^^^ф-7^) Ц^"7«) ЦргЪ-Ъ,)

— + - -5---;---5-=1

г(руф)

7 ¿Г Кур —^— +—^ Ч

---+---= рЬ,+/я

(эе эе I эе эв

рс,, -+-V, +--V,- + — у2

Э/ Эг г Эф Эг

1ЭИ), 1

г Эг г Эф Эг

(Р=_£а.у „(у) 7а Го аР

Эг р Эг 9 Эг

Эр

Эф р Эф в Эф

р 6 Эг /7 Эг в Эг

2^ Эг Эг Эг г Эф /

Эуг 1 уг ЭУ,

Г, =+ />х(*5 +1•*в }а / Ра ,

4 + +{*а]/о 'Ра ,

Р = £Рв. "а=РаК, " = 5Па- ^ = ^а=Ра/Р. к£ = ха-уа, *а="а/"> Ц = ^ = с» = ЕдЧиСю

а ' а ' а

7 78'

Ь,.=£ ОИф, Ь2 = О,

" I

N 2

N

I

А=Г

v;=vr-v^

/ф—хк.р+адкх-дг,),

яе, =2л,Р ^у;)2 +(у?)2 /ц.

« И' °а =Оа +Оа

а о

= ^г+0^ехр(~£г+/лв), = Лехр(- Е;/яв),

w * au =au +ct„,

< = , <=-z(è;+),

ex* = Nu* Л/Л*, Nu^ =2+Pr0-4(0.4Re^ + 0.06Re^/3), уРг = ц(с„+я)/Х,

=4' v* =»*Ф*> =гк, 8(-*-**)=^5(г-|>)б(ф-ф *)8(z-z*), , . ÎO прив* <9»,

nP„e*=e,

Начальные условия для газовой фазь^ :

при / =0: Ра=РаО. vr=0, v(p = 0, vz = 0, e = 60-

Начальные условия для капель жидкой фазы:

при|-|д: вл =в40,Я4 = «i0,vJ - vjo.vlf -vjn.v} « vi0,n - зд.ф^ = ф40,г4

где tk - время рождения к-й капли. Граничные условия:

/а =0 при r = RH, arcos(A/Лн) <ф< Л, 0 <z<L\

,<Р _ 0 1ПРИ (лн ~ д)^г <Лн, ф = О, 0 < г < L, >а [при 0 < г < ян, ф = я, 0 <z<L,'

/а=0

(при 0 < г < Лк, arcos(A / RH)<<p<n, z = 0, при 0 < г < Д / coscp, 0 < ф < агсоз(д / Ан ), z = 0,

|при Лв < г < Ан, агсоЦД / Ян ) < ф < 7t, z = L, при Лв < г < Д / С05ф, 0 < ф < arcos(A IRH ), z = L,

при r = Д/со.чф( 0<ф<агсо(д/Л||), 05г< i

Д.™ п - 2: smp - /¿см»-./5,./J - 0 для (1*2: у'ц = 0, = 0, = 0

./£ =аст(в-ес) при r = RH, arcos(A/ Лн ) S ф < л, 0<г<,Ц

А

{при (лн-д)<г<лн, ф = 0, 0 < z <

] п = «J

4 = ",т(е-вс)

4=°гг(е-ее)

при 0 < г < Ан, ф = л, 0<z<L,'

при OS г <, Ан, агсоз(Д/Лн)2<р<п, г=0,

1); 9е и ре -температура и давление в окружающей среде. При записи краевых условий учтено, что плоскость xz является плоскостью симметрии.

Чтобы привести данную начально-краевую задачу к безразмерному виду, применим подход, изложенный в монографии [91. С этой целью в качестве основных масштабов возьмём следующие величины: l0=Rn- масштаб длины;

(0 - масштаб времени, равный длительности протекания процесса обезвреживания;

c0=cv0 - масштаб теплоёмкости (с„0 - удельная изохорная теплоёмкость газовой фазы в начальный момент времени);

80 - масштаб температуры, равный начальной температуре смеси;

pQ = ре -масштаб давления;

Ро - масштаб плотности, равный начальной плотности газовой фазы;

vo - масштаб скорости, равный средней скорости капель аэрозоля на выходе из форсунки;

D0 - масштаб коэффициента диффузии, равный начальной величине наибольшего из всех коэффициентов

Акр;

|д.0 - масштаб коэффициента динамической вязкости, равный начальному значению коэффициента динамической вязкости смеси;

- масштаб коэффициента теплопроводности, равный начальному значению коэффициента теплопроводности смеси;

щ и _ масштабы скорости и теплоты химической реакции (берутся наибольшие значения из всех протекающих реакций);

60 = g - масштаб плотности внешних массовых сил. На базе основных масштабных единиц введём также вспомогательные масштабы (см., например, [Щ):

t0=p.ov0//0 - масштаб компонент тензора вязких напряжений,

у'о = Ро£>о//о ~ масштаб компонент вектора диффузионного потока,

JQ -XqBq 110 - масштаб компонент вектора теплового потока,

F0 = |io4jvo -масштаб компонент силы сопротивления, м0 — pqIq - масштаб массы, "о = Ро^л ' мо ~ масштаб молярной плотности, "о = со®о ~ масштаб внутренней энергии (к примеру, безразмерная величина внутренней энергии капель аэрозоля определяется в виде йк = ик / uq ).

В безразмерной форме записи рассматриваемая начально-краевая задача имеет вид

1 Эр 1 d(rpvr) 1 Э(р^р) Э(руд) __«

rH : I i I I

Но Э< г дг F Эф dz

1 Эрд t 1 ¿(гРпУл) f I ^(Ра^ф) | Э(Ра*г) ( 1 Но 3< r if f Эф Э? Pec

при 0 £ г < Д / совф, 0 < <р < arcos(A / Ан ), z = О,

при Д„ <г< Ап, arcos(A / Л„)S(р<7t, z=L, при Rairi Д / соир, 0 < tp < агссв(д / Л„ ), z = L,

1 Э(, 1 , Фа f Ът г dip dî

но э/ г ' г з<р г э?

= =0 при г = Д /сокф, 0<ф <агым(д / Л„), 0525 Ц

р = ре при 0<г<я„, 0<ф<л, г = Здесь - массовый поток горючего (компонента с номером а=2) за счёт испарения, которое обусловлено тепловым потоком , подводимым от газовой фазы (рис.

Eu d(r/') г 1 а -, 1

+--^—---ru irO)+—

г Яг 3Re г iff 'Re

Э(гт„) 1 ^ Дтгг

Эг г Ар г Эг

:Frp*r+/„

] э(р"ф) 1 ^2РУгУф) | э(руфуф) Д(рУфУг) Но ВТ г1 Зг т Эф iS

Eu Эр 2 1 э(м trD) J_ г Зр 3 Rc г Эф Rc

Г1 Ьг

1 ^Тфф ЭТфг г Зф гё

■ Fr рЛф + /ф,

1 В начальный момент времени газовая фаза находится в состоянии равновесия. Поэтому распределение всех параметров является равномерным по всему объёму, занимаемому газовой фазой.

1 д(руг) 1 Э(гру,.уг) ^ 1 ¿(рУфУг) ^ Э(рУгУг) | Но д! г Эг г Ар 31

„Эр 2 Э(ДО-Д) 1

+ +--г-——

дг ЗЯе Э? Яе

1 1 дТд

г Эг г Э<р ОБ

= ТтрЬг+/г,

1 __ эе „ __ (за _ 1 эе „ эв _ ^

1 У?

г Эг г дер дг

+ П,(т„.5„ + Тфф^ + + 2т,, Д, + гт^А, +

- Ей ЯеПтр 1г5 --Птр(|10)2 +о;.

длр *р Ф Э0 дг р дг 0 Эг

7<Р ТлМ

7а -- - £^ар

./а = "Ра2Д$

д*р ¿р Э9 Эф я ^Р 9 Эф

э*р *р др ^эе

Эг р Эг 0 Эг

тгг = 2\ЮГГ ,хщ= ,х2г = 2\Фг2,

Эу,

д\г - 1 Эу<р \ иу

Л =—— л =--—+ —— л =——

ГГ д7 ' ^ г Эф г' 2г эг '

. д (%

А* = ¿V = о

Эг| г J г Эф

°п = О»

- 1ГЭуг ЭУЛ- -

- _ ЭУГ 1

= Оп. + Ощ + Оа =-ф+ I

^Эу»

Эг г Эф / - — Эуг 1 ЗУф уг ЭУ,

>-Э9

Г-Х^

Ц + Епр!^® /Рв ,

Р = 5Р°. "а = Ра/™а > =

У у В '

^а - ха

АГ = ссиф, йф = -51пф, ь2 = 0,

N

л=-х *=1

Яе *>г Но <1/ к

/Г/)2=6^(1 + ЗЯе^/32)У/1

Яе, =2ЯеЛ,ф;)2 + (\?)2 + (^)2 /¡Г, оа=оа+аа, а Но ^ V к),

а а

о -а^+о4 =пг£9/Щ ,

ом — тии, . I

6/ = ыи^ [9(/, »>, Фь (?)], = 2 + Рг0'4 (о.4 Яе^ + О.Об Яе£/3),

Ро ёГ А,

Но 1

Но2

¿ Гц -(¿*кГ

Яе *<г-

Мк\гк

- <1 <Рк +2&к ¿Ф*

А12

<17 (1/

Яе

1 _ А2гк 1 _е \ — _ Авк -

— 4 —з_

_г ' ^ _ф _ гк ^^ -г 1 «Ь» Ук Но <и ' Но «1? ' Но а/ '

&(*~ х к ) = = -?к Жф ^~'ФА- Ж5 '¿к)'

- V [о при в^ < 0ф; м * ' [1 при 0* = 0,. Начальные условия для газовой Фазы1: при /=0: Ра = РаО■ уг=0, ч2=0, 0 = 0О.

2 В безразмерном виде дельта-функция Дирака записывается следующим образом: 8(дс-хк ) =

3 В начальный момент времени газовая фаза находится в состоянии равновесия. Поэтому распределение всех

параметров является равномерным по всему объёму, занимаемому газовой фазой.

Начальные условия для капель жидкой Фазы:

при<=<"*: в4 ='¡0.'* =^Д0.Ч>* =<Р10.*4 = ?М

Граничные условия:

7£=0 при г=Ян, агсо8(Д/Дн)5ф£ л, 0<г£1;

т(р=0 |при (лн-д)<г<лн, ф = 0,0^г<1, ° [при ф = л,0<г</,,

{при 0<г<Ян, агсо^Д/Лн)^ф< л, г = 0, при 0<г<Д/со8ф, 0<ф<агсо8(д/Лн), ? = 0,

при Ав £ г < Ан, агсо^Д / Лн) < ф £ л, ? = при А„ < г< Д / со8ф, 0< ф< агсо8(Д / Ян), г =

7á=o

дл«в-2: /¡únt-jáa¡«f = J¡,]¿ «О

при ?«Д/созф, О <ф <ajco](¿/ ff„), OS г £ Г-

|^ = Nu|0-Ic| при г = Лн, агссЦд/Ан)<ф¿я, О£?<Г;

]q =0 (ПРИ

[при

при (Лн-Д)<г<Лн, ф = 0, 0£z<¿, О ^ F < Лн, ф = л, 0< z<Z,

-§=к»(ё-ё<)

az эе

при Oür<,R„, агсоя(д/Д,,)£ф<я, z = 0, при OSr SA/cosV, 0<<р<arcos(A/ Ап), г = О,

(в-«-)

при Я, ür<RH, arcos{A/AH)<(p£n, z = L, при Ra йг á Д/cosq), 0<(p < агс<м(Д/Ян), z = í,

j^HÍnq-jqCmtp = -Jq =0 при г - A / cosip, 0 < tp < aruu^ Д / 0 < ¿<

p = = 1 при 0<F<AB, 0 < ф £ л,z = L-Как видно из приведённой системы уравнений, в качестве определяющих критериев надлежит взять следующие безразмерные комплексы: Но = v0/o //о -число гомохронности; Рел = v0/0 IDq - диффузионное число Пекле; Eu = ^0/(p0v§) - число Эйлера; Re = p0v0/0 /М-о -число Рейнольдса; Fr = íf/0 / vi ~ число Фруда; Fo=/0х0 / (p0q>/02) -число фурь®; Ре = pocovo'o l^-o ~ (теплообменное) число Пекле; Пт=ц0Ф(Мо) ~ критерий термомеханического тепловыделения4;

= чо^о_ критерий термохимического тепловыделения5;

пя = Wo'<.Navo) ~ критерий производства массы в ходе химических реакций6 (N¿ - число Авогадро), En = paD0 /(Я.0бо) - число Энскога7. К системе определяющих критериев подобия следует добавить

безразмерное время t = t/t0,

безразмерные цилиндрические координаты г = г / /0, ф, z = z / /0 и следующие параметрические критерии:

Ра = М-а1 М-о ~ безразмерные коэффициенты вязкости компонентов смеси в чистом виде;

V*a=\oal\0 - безразмерные коэффициенты теплопроводности компонентов смеси в чистом виде;

= с®, /с-о - безразмерные изохорные теплоёмкости компонентов смеси в чистом виде;

Ск = ск / с*о - безразмерные изохорные теплоёмкости капель аэрозоля;

ma=maNА I А/о - безразмерный молекулярный вес а-компонента;

А'а, В1а - стехиометрические коэффициенты а-компонента в ей химической реакции;

I* = £,+ /ле0. £,' = £Г Аео - безразмерные энергии активации химических реакций;

безразмерные характеристики предэкспонентов в выражениях для констант химических реакций;

Аф = ^ар 1 А> - безразмерные коэффициенты диффузии (в системе среднемолярной скорости); ¿р - коэффициенты термодиффузии; А=Алово/ро - безразмерная величина газовой постоянной;

Л»=Л*/и0 - безразмерная теплота испарения горючего;

в* =в»/е0 - безразмерная температура испарения горючего;

р» = р« /ро - безразмерная плотность капель аэрозоля; 9е - безразмерная температура окружающей среды. К параметрическим критериям следует присоединить величины рао, во, характеризующие начальное состояние газовой фазы, и величины Ц, гк0, ф*0, гк0, у£0> у]Р0, \к0, 9*о и л*0, определяющие начальное состояние капель жидкой фазы. Все перечисленные параметрические критерии подобия вместе с геометрическими характеристиками установки Ан, Лв, а< I (Рис- 1) Аля простоты записи обозначим через р.

Остальные безразмерные величины, фигурирующие в полной системе безразмерных уравнений являются определяемыми параметрами. Перечислим наиболее важные из них:

V,- = /у0> Уф = V,, /у0, =уг / у0 - безразмерные значения физических компонент скорости газовой смеси;

Р = Р/Ро> Ра = Ра 'Ро -безразмерная плотность смеси и а-компонента соответственно;

£ = р1 Ро~ безразмерное давление; 0 = 9 / §0 - безразмерная температура; N11 = а^/о / А. - число Нуссельта, характеризующее теплообмен с окружающей средой;

величины массового потока = / jQ и теплового потока = ¿д / J(¡, которые отражают взаимодействие с остатками горючего;

Рг = ц(е„ +я)1Х - число Прандтля газовой фазы. Соответственно для оценки поведения капель аэрозоля важными являются следующие величины:

Гк =гк 110, ф*, гк =г*//о - безразмерные значения цилиндрических координат;

=угк/у0, = у* / уо> у* = у * / у о - безразмерные значения физических компонент скорости; Як = Л* / /0 - безразмерный радиус; в* =в* /во - безразмерная температура; Яе* -число Рейнольдса; Ыи* =акЯк /X - число Нуссельта.

Таким образом, основные уравнения подобия могут быть представлены в виде следующих функциональных зависимостей:

N11 = /| (Г, г, ф, ?, Но, Ро д, Рс, Ей, Еп, Яс, Рт, Ро, П г, П ^, П 0, Р), 9 = /2 (/, г, ф, г, Но, Ре д, Ре, Ей, Еп, Яе, Рг, Ро, Пт, , п„, Р),

4 Данное число выражает соотношение мехеду мощностью вязких (диссипативных) напряжений и скоростью отвода теплоты за счёт теплопроводности.

5 Данное число выражает соотношение между темпом выделения теплоты в ходе химических реакций и скоростью отвода теплоты за счёт теплопроводности.

'Данное число характеризует соотношение между скоростью производства массы в ходе химических реакций и конвективным переносом газовой фазы.

7 Данное число характеризует вклад термодиффузии в величину теплового потока.

* г = /з (■" > г, ф, 5, Но, Рс 0, Рс, Ей, Еп, Яс, Иг, Ро, П т, П №, П а, Р), Уф = /4(Г,г,ф,2, Но,Рс£),Рс,Еи,Еп,Кс,Рг,Ро,Пт,П(у,П0,Р),

= /5(/", г, ф, 2, Но, Рср, Рс, Ей, Еп, Яс, Бг, Ро, П т, П ¡у, Па, Р),

р = /(¡{¿,г, Ф, г, Но, Ре £,, Ре, Ей, Еп, Яе.Рг.Ро.П^.Пи/.П^.Р).

Анализ полученной системы уравнений показывает, что предложенная экспериментальная установка будет моделировать процессы в баке ракеты при работе термической системы обезвреживания только при равенстве всех критериев подобия для установки и бака ракеты. Проведенный численный их анализ показал, что уменьшение масштаба установки по сравнению с баком не представляется возможным и только в частном случае, когда процесс термического обезвреживания внутри бака происходит в условиях асимметричных вдоль продольной оси, то представленная экспериментальная установка будет моделировать процесс происходящий в секторе с углом ф. Кроме того полученная система уравнения может служить основой для численного математического моделирования реакторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована математическая модель гетерогенного горения с учетом межфазного взаимодействия жидкой и газообразной фаз.

2. Предложена математическая модель термической системы обезвреживания остатков КРТ в баке отработавшей ступени РН «Космос».

3. Показано, что процесс термического обезвреживания в баке ракеты можно моделировать на пилотной установке упрощенной конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шалай В.В., Корнеев С. А. Математическое моделирование тепломассообменных процессов в двухфазных системах газ - жидкость / в настоящем сборнике.

ШАЛАЙ Виктор Владимирович - кандидат технических наук, доцент, зам. зав. кафедрой «Автоматические установки»

КОРНЕЕВ Сергей Александрович - кандидат технических наук, доцент, докторант ОмГТУ, кафедра «Основы теории механики и автоматического управления» ДУБОНОСОВ Анатолий Павлович - зам. главного конструктора.

ЧАРУШИН Михаил Иванович - аспирант ОмГТУ, кафедра «Автоматические установки»

РОТОВА Оксана Геннадьевна - аспирантка ОмГТУ, кафедра «Автоматические установки»

н.и.лаврович СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ

Омскии государственный ^

технический университет КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ

УДК 534.014.1

Собственные частоты колебаний являются важной характеристикой изделия. На этапе проектирования конструкции их обязательно определяют для того, чтобы либо избежать резонанса на рабочих режимах эксплуатации, либо, наоборот, использовать его эффект. Кроме того, собственные частоты используются для определения состояния изделия, например, широко распространен частотный контроль для определения качества изделий из хрусталя, фарфора, а в настоящее время широко используется такой контроль, например, для турбинных и компрессорных лопаток.

С течением времени в любом изделии происходят изменения геометрии и физико-механических свойств материала. Причины могут быть разные, например, статические, динамические, температурные воздействия, коррозия, усталостное старение и т.д. Наибольший интерес представляют поперечные колебания изделий, которые обобщенно можно представить в виде некоторого стержня с консольным закреплением.

В теории колебаний поперечные колебания стержней, как систем с распределенными параметрами, описываются дифференциальным уравнением

В СТАТЬЕ РАССМАТРИВАЮТСЯ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ И ДАЮТСЯ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА И КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ДЕТАЛЕЙ.

представляется в форме Фурье

У(х,1)=у,(х) . у20), (2)

подставляя (2) в (1) и преобразуя, получаем следующее уравнение упругой линии:

у^х^с, сЬ г,х + сгБЬ г,х + С3С05 г,х + с4вт г,х (3)

Из условия закрепления стержня получают

трансцендентное уравнение относительно г, и г,, допускающее множество решений. Наибольший интерес представляет решение , при котором гн . £ =СС,, где £ -рабочая длина стержня, (X 1 - параметр, определяющий вид упругой линии при ¡-х главных колебаниях.

Решив (1), получим [1]

Р, =

(4)

г.,д4У д2у , (, Ек

(1)

)ск 2 Л

у(х,1) - динамическое уравнение упругой линии стержня; Е, С - модули упругости материала 1го и 2го рода соответственно;

(1,р- погонная и удельная массы соответственно; и- осевой момент инерции поперечного сечения; к - коэффициент неравномерности распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения. При решении уравнения (1) первый интеграл обычно

2С'Лср-

Зависимость (4) имеет сложную структуру и неудобна для практического использования.

Обычно поступают более простым способом и не учитывают влияния инерции поворота поперечного сечения и сдвига, то есть ограничиваются двумя первыми членами уравнения (1), это означает переход к эквивалентной системе с сосредоточенными параметрами. В этом случае выражение для определения частоты собственных колебаний стержня имеет вид

(5)

Точность определения собственных частот колебаний по выражению (5) невысока, но вполне удовлетворительна для длинных стержней.

Недостатками приведенных выше выражений для определения собственных частот колебаний стержней