Математическое моделирование тепломассообменных процессов в двухфазных системах газ-жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.В. ШАЛАЙ, С .А. КОРНЕЕВ

Омский государственный технический университет

УДК 536.24

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМАХ ГАЗ-ЖИДКОСТЬ

В СТАТЬЕ ПРЕДСТАВЛЕНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ И ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ. ПОВЕДЕНИЕ ГАЗОВОЙ ФАЗЫ РАССМАТРИВАЕТСЯ С ПОЗИЦИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД, А ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ ОПИСЫВАЕТСЯ В ЛАГРАНЖЕВОЙ ФОРМЕ. В ЯВНОМ ВИДЕ УЧТЕНО ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ ФАЗ НА ПЕРЕНОС МАССЫ, ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. ДЛЯ УДОБСТВА ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИВОДИТСЯ ЗАПИСЬ ПОЛУЧЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

Введение

При создании систем термохимического обезвреживания в двигателях внутреннего сгорания, в отделившихся частях ракетных средств выведения, в топочных системах, системах очистки грунтов и некоторых других системах возникает проблема комплексного моделирования происходящих процессов. Основные трудное™ обусловлены двухфазностью потока, когда наряду с процессами тепломассообмена в каждой из фаз требуется принимать во внимание эффекты межфазного взаимодействия. Как правило, в существующих моделях используется интегральный метод описания или же принимается допущение о независимости ряда протекающих процессов. В предлагаемой модели двухфазного потока таких упрощающих допущений не делается, что позволяет повысить точность расчетов.

1. Газовая фаза

Газовая фаза рассматривается как многокомпонентная сплошная среда. Кинематическое описание осуществляется в системе среднемассовой скорости где I-время, *- место (радиус-вектор),

занимаемое точкой среды в выбранной системе отсчёта. Поскольку для протекающих процессов характерны большие значения градиентов температуры и концентраций, осуществляется учёт термодиффузионных эффектов.

1.1. Перенос массы

Распределение массы каждого из компонентов задаётся плотностью ра, а = 1,...,к,где к -общеечисло компонентов в газовой фазе. Плотность многокомпонентной среды определяется соотношением

Р = £р<х т

а х '

Эволюция распределения массы а-компонента смеси описывается уравнением переноса

<1ра = -РаV • V- V • 7а + оа. (2)

Первое слагаемое в правой части уравнения (2) характеризует изменение плотности в данной точке смеси за счет сжатия, второе слагаемое учитывает наличие диффузионного потока уа, последнее слагаемое Оа описывает объемные источники а-компонента, обусловленные химическими превращениями, а также массообменом между жидкой и газообразной фазами из-за испарения или конденсации.

Согласно кинетической теории газов [1] для многокомпонентной газовой смеси

М = + 1лр + 1п6 + к$(ь -

где

(3)

(4)

ха=па/п -молярная доля а-компонента;

"а =Ра/та (5)

- молярная плотность (та -молекулярныйвесодного моля а-компонента);

а

- молярная плотность газовой фазы;

к а ~ ха ~ У а

- коэффициент бародиффузии;

У<х=Ра1Р

- массовая доля а-компонента; - коэффициент термодиффузии, удовлетворяющий равенству [1]

а р

(6)

(7)

(8)

(а ~ Ра/Р

(9) (10)

- коэффициент седиментации;

Р = (11)

- термодинамическое давление смеси; /; -универсальная газовая постоянная; е - абсолютная температура смеси; Ьа - плотность внешних массовых сил, приложенных к а-компоненту;

й = £.Уайа (12)

а ' '

- плотность внешних массовых сил, приложенных к смеси в целом;

Ч 7 & '

- коэффициент взаимной диффузии в системе средней массовой скорости; Дф - коэффициент взаимной диффузии в системе средней молярной скорости1.

Объёмное производство а-компонента равно

где Сц - производство в ходе химических реакций, а о* - производство за счёт межфазного массообмена. Если для химических реакций применить символическую форму записи

1 В справочной литературе (см., например, [2]) приводятся значения коэффициента А^, а не . Обусловлено это тем обстоятельством, что коэффициент £>ор практически не зависит от состава смеси. Значения термодиффузионных коэффициентов одинаковы как в системе средней массовой скорости, так в системе средней молярной скорости [1].

1*АаХа <^>Ъв'аХа (15)

а а

где А'а - стехиометрический коэффициент о-компонента в прямой (элементарной) стадии /-й химической реакции, а В^ - стехиометрический коэффициент на обратной стадии той же реакции, то можно записать

< (16) /

где

(17)

а а

- скорость протекания /-й химической реакции, и к~ - константы скорости прямой и обратной стадий /'-й химической реакции соответственно.

Согласно модифицированному закону Аррениуса

к? = ^е^ехр(-£/"/лв), А,г =^,~6^ехр(-£г/ле), (18)

Л = -Ра| Д$[йср/Э*р + кЦ Э + *ре ЭЬ8/Э7 + кЦ(а,

ьг = ЪУоРа , V= Ъуаьа , Ьг = Х^а^а .

а ' а ' а

1.2. Перенос импульса

Уравнение переноса импульса для многокомпонентной смеси имеет вид

рЛу/<Ь = УТ + рЬ + /, (24)

где Т - тензор напряжений, f - объёмная сила межфазного взаимодействия. В соответствии с кинетической теорией газов [4]

Т = -р1+х, (25)

где 1 - единичный тензор;

где а*. А~< С/" - СГ' ■ - постоянныепараметры. х = 2|хб Если просуммировать все уравнения (2) и учесть

соотношения (1), (3)-(18), получим уравнение переноса - тензор вязких напряжений; массы для смеси в целом

с!р/а/=-рУ-у+ст;. (19) ¿» = /)-(1гЯ)//Э

Согласно данному уравнению изменение плотности газовой фазы может произойти лишь за счёт сжатия и межфазного массообмена.

Чтобы записать полученную систему уравнений массопереноса в цилиндрической системе координат (r,<p,z), представим уравнения (2) и (19) в эйлеровой форме записи

âPaM + V.(pav) = -Vv„+cTa, (20)

dp/3r + V-(p v) = Oq. (21)

Принимая во внимание известную из векторного анализа формулу для градиента скалярной функции

УФ = (ЭФ/Вг)ег + (ЭФ/Эф)е<р/г + (M>/dz)e2, (22)

где ег, «ф, е2 - координатные орты, и учитывая соотношение для дивергенции произвольного вектора

V • F = [d{rFr )/Эг]/г + [Э£ф /Эф]//- + 3Fjdz, (23)

где Fr, Fy, Fz- физические компоненты [3], на смену уравнениям (3), (12), (20), (21) приходим к следующей системе уравнений:

Эр/Э/ + [Э(груЛ )/Эг] / г + [a(pv9 )/Эф] / г + Э(ру 2 )/dz = a'i,

dpjdt + £[г(р„у, + j'n )J/3r}/ r + 1э(р„уф + j; )/ЭФ > г +

Ja = -Ра1[Эхр/Эг + кЦ Э l'np/дг + к$ д 1пв/Эг + к$(br -)J _

jS = -(р,г/г)1 /Эф + tp" Э ln/г/Эф + к* д 1л9/Эф + -Лрф)]_

- девиатор тензора скоростей деформации ^) = [Vv+Vvг)/2; ц - коэффициент динамической вязкости, величина которого в первом приближении может быть оценена по формуле

а

где (д.® - коэффициент динамической вязкости ос-ком понента в чистом виде.

В эйлеровой форме записи уравнение (24) имеет

вид

Э(ру)/Эг+У(руу-/) = рА + /. (26)

*

Чтобы записать данное уравнение в цилиндрической системе координат, воспользуемся известной формулой для дивергенции тензора второго ранга А [5]

где НГ=Н2-1, Ну=г - коэффициенты Ламе цилиндрической системы координат. Поскольку отличными от нуля являются лишь производные

деГ/д Ф = <?9, Эвф /Эф = -ег,

то для симметричного тензора А получаем

(V • А)г = [эКг)/Эг]/г + (Э/Ц/ЭФ)/г - Ат/г + ЭЛ„/Эг ,

(V. А)г = + (эЛф2/Эф)/г + bAjbz.

В результате уравнение (26) запишется следующим образом:

dt r dr r d<p

(py.-Q, Э(ру,у..~7%)

--+-5--Pö, +/,,

r dz

¿fabib].^.

dt r ör r oq>

r Эф

+ 8(pv..v.-J= Эг

В соответствии

его

В соответствии с реологическим уравнением (25) физические компоненты тензора напряжений равны

Тп = -(/> + 2ц 1гД / 3) + 2цО„., Тгч/ = 2цД„р,

^ФЧ> =-СР + 2Ц.1г/>/3) + 2Ц£»ч,ф, Тп=2\Юп,

Та = -{р + 2ц Ь/>/3)+ 2цО„, = 2110^

а компоненты тензора скоростей деформации р и след ц-Х) = V ■ у определятся выражениями [6]

0„.=дчг/дг. АФ = Ар, = [»-Э(уф//-)/Эг + (Эуг/Эф)//-] / 2 , Лр<р = /Эф)/г + уг/г, Ал = Аг = (Эуг/Эг + Эу2/ЭГ) / 2 ,

Арг = Аср = /Эг + (Эуг /Эф)/г] / 2, »О = £>„• + Ар<р + йгг = Эуг/Эг + (Эуф/Эф)//- + v Г/г + Эуг/Эг.

1.3. Перенос внутренней энергии

Удельная внутренняя энергия многокомпонентной газовой смеси равна

и = ¡СудВ,

где

<-\ = 1.уа<

а

- удельная (на единицу массы) изохорная теплоемкость смеси, а Сш - изохорная теплоёмкость а-компонента в чистом виде. По уравнению переноса внутренней энергии

(27)

а 1

где - вектор теплового потока, аи - плотность объёмных источников теплоты:

_ _„к , *

Составляющая

< =1 Ч;Щ

I

учитывает химические превращения (у,- - тепловой эффект 1-й химической реакции, протекающей в изохорных условиях), а составляющая с*ц характеризует межфазное взаимодействие.

Согласно кинетической теории газов [1]

}ч = -ХТО + + 5ха / 2)уа / ра .

а

Здесь х - коэффициент теплопроводности многокомпонентной смеси, который в первом приближении можно оценить по формуле

X = ^,хаХа

а

где Х°а - коэффициент теплопроводности а-компонента в чистом виде.

Исходя из соотношений (22), (23) для цилиндрической системы координат находим

/ч =-хае/эr+/,s(t® +5*„ и)/а /Ра

а '

jq = (Эв/Эф)/г + + 5:ta / 2)7* / Ра

а

J* =-Хд9/дz+pX(k% +5ха I2),itlpa

а

В результате уравнение (27) принимает вид

рс„(эе/э; + \г эе/э г + (уф//->эе/э ф v9 + vz эе/эг)= =)/э,]/г+[а,* /эф]/г+э/,г /&]+

+ 2T^Dnр + IT^D^ + +

а ' i

2, Жидкая фаза

Для описания поведения капель жидкой фазы примем следующие упрощающие допущения:

1) каждая капля имеет форму, близкую к форме шара с исчезающе малым (по сравнению с характерным макроскопическим масштабом) радиусом;

2) различие в величине скорости и температуры между точками капли незначительно, плотность постоянна (условие несжимаемости);

3) в межфазном массообмене участие принимает только компонент с номером а=1, из которого состоят капли жидкой фазы;

4) причиной межфазного массообмена является испарение.

Чтобы получить уравнения движения капли, применим общие теоремы динамики механической системы переменного состава [7]. Посредством данных уравнений описывается, например, полет самолета при обледенении и реактивное движение ракет. Обозначим через S некоторую аддитивную физическую величину (массу, импульс или энергию), а через I и Несоответственно материальные системы постоянного и переменного состава, занимающие в рассматриваемый момент времени одну и ту же область пространства. Для обеих систем скорости изменения свойства I связаны уравнением баланса [7]

dSll,fdi = dSl/di + J^ (28)

где величины j* и обозначают пределы

jf = lim Js = lim AS^/д/ (29)

Д|—>0 ' Д/-»0

характеризующие «приход» и «уход» свойства £ из системы Wb единицу времени.

Положим поочередно Sw=[Mk, Рк, Uk), где Мк-масса, Рк=Мк\к - импульс /,(<) = ~ скорость центра масс, хк - радиус-вектор центра масс), ик=Мкик -внутренняя энергия к-й капли (ик = Jt-^dö^ - внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы; с-к = сfj (9*) -

удельная изохорная теплоёмкость жидкой фазы; вк(/) -температура капли). Для системы постоянного состава Г сШ1/ё/ = 0, ая^/сК = = А'к. (30)

Здесь сила, действующая на к-ую каплю со стороны газовой фазы; - скорость подвода теплоты через поверхность капли со стороны газовой фазы; А'к -мощность внутренних сил. При вычислении силы можно с достаточной для практики точностью использовать приближение Озеена [8]

Fj; = бяцЛ* (l + 3Re* / 32) V* ,

- относительная скорость газового потока, набегающего на каплю. Расчёт скорости подвода теплоты можно проводить по формуле [9]

(33)

Здесь а* -коэффициент теплоотдачи, вычисляемый по формуле [10]

N11* = 2 + Рг04(0.4 Яе£! + 0.06 Яе2/3),

где 1МиА = акЯк IX -число Нуссельта, Рг = ц(с„ +л)/Х - число Прандтля. Величиной мощности внутренних сил Ак пренебрегаем.

На основании ранее принятых допущений можно записать

./1=о. ./+ ■ о. ./;=6?х(е*-е,)/А..

Здесь 0* - температура испарения компонента а=1 при значении плотности жидкой фазы р„; - теплота испарения, отнесённая к единице массы;

0 при вк <04;

1 при вк = 8-,

- функция Хэаисайда.

Таким образом, благодаря соотношениям (28)-(34) можно получить следующую систему уравнений, описывающую поведение каждой капли жидкой фазы:

х(е*-е.)=

d{Mkvk)/di = Fl+vtdMtl<Jt. d(Mkuk)/di = Qek+uk AMкIAl.

(35)

При расчётах вместо последних двух уравнений в системе (35) удобнее пользоваться уравнениями

дополненными очевидным равенством

Мк =4кЯкр, / 3, связывающЬм массу капли с ее радиусом.

Правые части уравнений (35) характеризуют межфазное взаимодействий отдельной капли жидкой фазы и окружающей её газовой смеси. С помощью этих выражений нетрудно получить явные выражения для величин а*а, f и , замкнув тем самым систему уравнений для газовой фазы:

N *=1

/ = -Х [fke + Mkyk)&{x-xk)t k=1

*=i

Здесь 8,ф - символы Кронекера (5^ = 1 при a = ß и 5aß = 0 при а * ß); N - общее число капель жидкой фазы; S(x-jr*) - дельта-функция Дирака, принимающая значения

(31)

8(*-■**) =

где Як - радиус капли; Яе* = /у - число

Рейнольдса; у = р./р - кинематический коэффициент вязкости газовой фазы;

~ при х - хк.

(32)

[0 при х хк

и удовлетворяющая интегральному соотношению

ГкС W J1 пр их*бК'

где V- некоторый объём.

Замечание. В цилиндрической системе координат положение центра масс к-й капли жидкой фазы характеризуется координатами (rk,yk,zk), которые меняются с течением времени. Физические компоненты скорости \к и ускорения ak=i/k центра масс капли определяются следующими соотношениями:

vi =/>■ v1=rkv>k. ^ =zk. 4 =r> -rkyk,

°k ='*Фк +2г*фА., a\=ik.

В цилиндрической системе координат дельта-функция Дирака имеет вид

s(* ~хк) = - гк)5(ф - <Р* Жг - Ч).

где 5(г - гк) и т.д. - одномерная функция Дирака.

Литература

1. Вапьдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении //Термодинамика газов. — М.: Машиностроение, 1970, — С. 169-414.

2. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев, И.А. Бабушкина, A.M. Братковский и др.; Под ред. И.О. Григорьева, Ё.З. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. —1232 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — 720 с.

4. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976. — 554 с.

5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. —512 с.

6. Слеттери Дж. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. — М.: Энергия, 1978. —448 с.

7. Айэерман М.А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980, —368 с.

8. Слёзкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.: ГИТТЛ, 1955. —519 с.

9. Теория тепломассообмена / С.И. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кофанов и др.; Под ред. А.И. Леонтьева. — М.: Высш. шк., 1979. —495 с.

10. Лыков A.B. Тепломассообмен: (Справочник). — М.: Энергия, 1978,—480 с.

11. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. —Л.: Изд-воЛГУ, 1970, —375 с.

12. Гельперин Н.И. Основные процессы и аппараты химической технологии. В двух книгах. — М.: Химия, 1981. — 812 с.

ШАЛАЙ Виктор Владимирович - кандидат технических наук, доцент, зам. зав. кафедрой «Автоматические установки».

КОРНЕЕВ Сергей Александрович - кандидат технических наук, доцент, докторант ОмГТУ, кафедра «Основы теории механики и автоматического управления».