Математическое описание генерации двух длин волн 1064,2 и 1061,5 нм YAG:Nd-лазером Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 51+53

О.Л. Головков, Г.А. Купцова, В.А. Степанов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ ДВУХ ДЛИН ВОЛН 1064,2 И 1061,5 НМ YAG:ND-ЛАЗЕРОМ

Рассматривается решение системы уравнений, описывающих генерацию YAG:Nd+3-ла-зера с двух энергетических подуровней мультиплета 4^3/2, имеющего три близких контура усиления, с учетом релаксационных переходов между рабочими подуровнями и сравнению полученных результатов расчета с экспериментальными данными.

Экспериментально получены спектры излучения YAG:Nd+3-лазера в режиме генерации одной и двух длин волн. Приведено решение системы уравнений Танга, Статца и Демарса, описывающей многомодовую генерацию YAG:Nd+-лазера, с учетом излучения с двух подуровней мультиплета ^ъп. В полученное решение введена функция, учитывающая релаксационные переходы между рабочими подуровнями мультиплета.

лазер, твердое тело, излучение, многомодовая генерация, система уравнений.

Экспериментально установлено, что спектр излучения YAG:Nd+3-лазера на длине волны с максимумом усиления 1064,15 нм при генерации двух длин 1064,15 и 1061,5 нм отличается от спектра излучения при генерации одной длины волны 1064,15 нм [1].

Предположение, что, как только произойдет обеднение населенности какого-либо из подуровней, произойдет мгновенное восстановление населенно-стей подуровней в соответствии с распределением Больцмана [2], требует доказательства. Учет релаксационных коэффициентов М^в и М^д между рабочими подуровнями мультиплета ^3/2 приводит к невозможности получить аналитическое решение системы уравнений Танга, Статца и Демарса для YAG:Nd+3-лазера [4] в случае многомодового излучения.

Для эксперимента используются активные элементы, вырезанные из монокристалла YзAbОl2:Nd3+ вдоль кристаллографической оси (001) с концентрацией активных ионов Nd3+ 1 ат.%, изготовленных в виде цилиндра диаметром 4 мм длиной 10 мм. На входной торец активного элемента нанесено селективное зеркало с высоким коэффициентом отражения (более 99 процентов) на длине волны 1064 нм и высокой прозрачностью на длине волны 808 нм, а выходной торец активного элемента просветляется. Линейный резонатор лазера длиной © Головков О.Л., Купцова Г.А., Степанов В.А., 2015 ;сенным на торец активного элемента, и сферическим зеркалом радиусом 200 мм с коэффициентом отражения 84 процента на длине волны 1064 нм. Генерация осуществляется на основной поперечной моде ТМ00. Линейно поляризованное излучение трех лазерных диодов (808 нм) суммарной мощностью 8,5 Вт фокусируется на торец активного

элемента зоной накачки 0,5 х 0,5 мм2. Ориентация поляризации лазерной генерации задается положением внутрирезонаторного окна Брюстера.

Одновременную генерацию двух длин волн 1064,15 и 1061,5 нм при 300 К получают вращением активного элемента вокруг оси [1; 2].

Схема экспериментальной установки для измерения спектра излучения лазера представлена на рисунке 1.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

1 - полупроводниковые лазерные диоды, 2 - линза фокусирующая, 3 - YAG:Nd+3-кристалл, 4 - окно Брюстера, 5 - выходное зеркало, 6 - термоэлектрический модуль с датчиком температуры, 7 - анализатор спектра лазерного излучения LM-5

Для анализа структуры спектра генерации УАО:№+3-лазером двух длин волн 1064,15 нм и 1061,5 нм использовуется анализатор спектра лазерного излучения LM-5, имеющий точность измерения 0,05 нм.

На рисунке 2 приведены результаты экспериментов измерения спектра излучения УАО:К^3-лазера в нормальных условиях (300 К).

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

1061 1062 1063 1064 нм

а) б)

Рис. 2. Спектр генерации YAG:Nd+3-лазера а) при генерации на одной длине волны 1064,15 нм, б) при одновременной генерации двух длин волн 1064,15 нм и 1061,5 нм.

Проведенный анализ результатов измерения спектров генерации УАО:№+3-ла-зера показал следующее:

- при генерации на одной длине волны 1064,15 нм (рис. 2 а), часть ионов неодима генерирует на длине волны 1064,23 нм, что соответствует общеизвестному влиянию слабого перехода на спектр излучения сильной линии усиления [3];

- при генерации на двух длинах волн 1064,15 нм и 1061,5 нм (рис. 2 б), наблюдается уширение спектра генерации.

Теоретическая часть. Для описания многомодовой генерации лазеров В класса, в том числе YAG:Nd+3-лазера, с учетом генерации с двух подуровней мультиплета ^ъп удобно использовать систему уравнений Танга, Статца и Де Марса [5]:

41} («о + п)+(42) + 43))(п + ",

итк Ит

= Отк

Ип0 И т

= А - п

м

1 + Е ¿а тт - Е ^ тт пт - WABn0 + WBAn'о

V т=1

м

г(1)

т =1

ИП ;

м

Их

= - п.

1 + Е т

(1) т

т т

1 г (1)

- 2А ткпо

(1)

1

Ип0 И т

= А'-п0

м , , \ м . ,

1 + Е (42) + ¿(3 ) т„ 1-Е (42) + ¿т)

т =1 у т =1

+ wABn0 -

ВА 0

ттП

ИпО

Их

к = - пО

1 +Е (^ + С К I- 2 (^ + ^

т = 1 У

кп о

где по и пк - пространственно однородная инверсия и ее решетки на переходе с верхним рабочим подуровнем (11 507 см-1); пО и пО - пространственно однородная инверсия и ее решетки на переходе с верхним рабочим подуровнем (11 423 см-1); С 7 - сечения перехода 7-й компоненты усиления; ¿к) - нормированные к сечению сильного перехода о\ лоренцевы формы линий усиления

7-ой компоненты, равные:

¿к =

-1

т(3) = С3 ¿к =

С

1 + ((р - к)А0)

1 + ((р - к)А0 + А3)

т(2) = С2

С

1 + ((р - к)А0 + А2)

-1

-1

А 2 =

Ш (2) Ш (1) Ш 0 - Ш 0

У±

А 3 =

Ш(3) Ш(1) Ш0 -Ш0

У±

(1)

(2)

где Ш — центр сильной линии усиления на длине волны X = 1064,15 нм, Ш 0 центр линии усиления на длине волны X = 1061,5 нм, ш03) — центр линии усиления на длине волны X = 1064,4 нм, А0 — межмодовый интервал, задаваемый

2

длиной резонатора; - потери к-й продольной моды, А и А' - параметры

накачки на рабочие подуровни А и В мультиплета ^3/2; м>аб и м>ба - скорость релаксации между рабочими подуровнями А и В мультиплета ^3/2. Система уравнений (1) не имеет аналитического статического решения [4].

В результате решения системы уравнений (1) получено соотношение:

м

п0 + п0 = А + А'-(1 + Рк )£

к ) ^ тт .

т=1

(2)

Для того чтобы решить систему уравнений (1), необходимо в уравнении (2) разделить переменные п0 и П . Так как «время жизни» на мультиплете ^3/2 -- 2,5 10-4 с и время кросс-релаксации между подуровнями мультиплета ^3/2 - 10-7 с, то можно предположить, что распределение населенностей подуровней всегда соответствует распределению Больцмана и м>аб = м>ба = 0. Тогда уравнение (2) разбивается на два уравнения:

1

(

п0 =

1 + М

м

Л

А + А'-(1 + р к )!

т„

1 + М

к I / , т т=1 )

м

(3)

А + А'-(1 + рк)! тп

т=1 )

где М = —у = ехр

/ Е - Е Л V кБТ )

Еа и Ев - энергии подуровней, кв - постоян-

ная Больцмана.

Тогда для статического состояния получаем решение системы уравнений (1):

м

п0 =

1

1 + М

А + А'-(1 + р к )!

т

кт т=1 )

(3.1)

1 + М

м

А + А'-(1 + р к )!

т„

кт т=1 )

(3.2)

к

Пи =

+ р , -(+ ¿р ) п 0

¿(2) + ¿(3)

к 2 + к к

-П

¿к

Пк =

(1 + Рк)-(¿2 + ¿3)(П0 + Пк)

L(1) ¿к

- П

(3.3)

(3.4)

1 +1 V

0) т

т т

Л )П о

(3.5)

м

где

К = По (ЬР + 43>)|1 +Х т™

V т = 1

м

1 + 1 (42) +¿3)(

л

к = П тт

г2 - П0¿к

Ы2) + ¿3) )(т 12) + т(3)

т = 1

С учетом межмодового интервала А о = 0,05, что соответствует длине резонатора 30 мм, для удобства расчетов положим, что мода, соответствующая максимуму усиления на длине волны 1064,15 нм, имеет номер 70, тогда мода, соответствующая максимуму усиления на длине волны 1064,4 нм, имеет номер 56 и мода, соответствующая максимуму усиления на длине волны 1061,5 нм, имеет номер 222.

На рисунке 3 приведены результаты расчетов системы уравнений (3) и определены зависимости модового состава генерации лазерного излучения YAG:Nd+3-лазера от уровня потерь на длине волны 1064,15 нм (¡5к = 0,15, рк = 0.225 и ¡Зк = 0.25). При этом на длине волны 1061,5 нм уровень потерь составит ¡5к = 0,15 , параметр накачки А = 10, ^ = 0,66, что соответствует температуре кристалла 300 К.

Из представленных расчетов установлено:

- при минимальной разнице внутрирезонаторных потерь между длинами волн 1064,15 нм и 1061,5 нм, равной 0,075, происходит генерация двух длин волн 1064,15 и 1061,5 нм;

- при минимальной разнице внутрирезонаторных потерь между длинами волн 1064,15 нм и 1061,5 нм, равной 0,1, происходит генерация на длине волны 1061,5 нм;

- длина волны максимальной моды генерации соответствует величине 1064,23 нм, что не противоречит общеизвестным данным [5];

П

к

т = 1

тк =

- при одновременной генерации двух длин волн максимальная мода генерации на длине волны 1064,15 нм сдвинулась в длинноволновую область на 0,25 моды (на 0,01 нм).

0,8 0,6 0,4 0,2 0

- - - - —

60 62 64 66 68 70 72 а)

0,8 0,6 0,4 0,2 0

216 218 220 222 224 226 228 г)

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,8 -0,6 -0,4 -

г— 1 Л ( 1 0,2 0 - 1 |

60 62 64

66 б)

68 70 72

216 218

220

222 д)

224 226

228

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,8 0,6 0,4 0,2 0

/ - _ -<

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 в)

216 218 220 222 224 226 228 е)

Рис. 3. Расчет модового состава излучения на длине волны 1064,15 нм (а - в) и длине волны 1061,5 нм (г - е), от потерь на длине волны 1064,15 нм:

(а, г) рк = 0,15; (б, д) рк = 0,225 ; (в, е) рк = 0,25 ; при потерях на длине волны 1061,5 нм, р = 0,15 , температуре 300 К, параметре накачки А = 10

Сдвиг спектра излучения на 0,1 нм мал, что не подтверждают экспериментальные данные, представленные на рисунке 2. Следовательно, релаксационные процессы между рабочими подуровнями мультиплета ^3/2 необходимо учитывать.

Для учета релаксационных переходов при нормальных условиях предположим:

- если осуществляется генерация на одной длине волны 1064,15 нм, то распределение населенности по подуровням равно ^ - 0,1;

- если осуществляется генерация на одной длине волны 1061,50 нм, то распределение населенности по подуровням равно ^ + 0,1;

- если осуществляется генерация на двух длинах волн с одинаковой интенсивностью, то распределение населенности по подуровням равно м>.

Таким условиям удовлетворяет функция

м?(х) = 0,2|ехр(-0.69х) -1 + 0.56,

где X = /ю61 /^1064 . Тогда уравнения (3.1) и (3.2) приобретут вид:

1 + ^ ( х )

( м \

А + А' -(1 + Рк)£ тт

т=1 у

(4.1)

п =

( х )

( X

(

1 + и> ( X )

м

Л

А + А'-(1 + Рк )£

т„

т=1

(4.2)

На рисунке 4 приведены результаты расчетов системы уравнений (3) с учетом уравнений (4.1) и (4.2) и определены зависимости модового состава генерации лазерного излучения YAG:Nd+3-лазера от уровня потерь ¡5к = 0,15, Рк = 0.225 и рк = 0.275 на длине волны 1064,15 нм. При этом уровень потерь на длине волны 1061,5 нм составит ¡5к = 0,15 .

Из представленных расчетов установлено, что в отличие от расчетов без учета релаксационных переходов между рабочими подуровнями:

- минимальная разница внутрирезонаторных потерь между длинами волн 1064,15 и 1061,5 нм, когда происходит начало одновременной генерации двух длин волн 1064,15 нм и 1061,5 нм, уменьшилась с 0,075 до 0,04;

- минимальная разница внутрирезонаторных потерь между длинами волн 1064,15 нм и 1061,5 нм, когда происходит генерация на длине волны 1061,5 нм, увеличилась с 0,1 до 0,15;

- при одновременной генерации двух длин волн сдвиг максимума моды генерации на длине волны 1064,15 нм в длинноволновую область увеличился с 0,25 до 1,1 моды (на 0,05 нм), что соответствует экспериментальным данным.

0,8 0,6 0,4 0,2 0

Ш

0,8 0,6 0,4 0,2 0

60 62 64 66 68 70 72

216 218 220 222 224 226 228

1

П0 =

0,8 0,6 0,4 0,2 0

60 62 64 66 68 70 72

0,8 0,6 0,4 0,2 0

216 218 220 222 224 226 228

д)

б)

0,8 0,6 0,4 0,2 0

м-1 ш_и

60 62

64 66 68 в)

70

а)

1 1

к1- J 1 1 1

г)

Рис. 4. Расчет модового состава излучения на длине волны 1064,15 нм (а - в) и длине волны 1061,5 нм (г - е), от потерь на длине волны 1064,15 нм:

(а, г) - рк = 0,15; (б, д) - рк = 0,225 ; (в, е) - рк = 0,275, при потерях на длине волны 1061,5 нм рк = 0,15, температуре 300 К, параметре накачки А = 10

Наблюдаемое на рисунке 2 б уширение спектра генерации на длине волны 1064,15 нм при генерации двух длин волн указывает на наличие разных зон активного элемента, в которых осуществляется генерация или на одной длине волны, или на двух длинах волн одновременно. Это обусловлено тем, что генерация осуществляется по всей длине YAG-кристалла и влияние потерь, вызванных двулучепреломления для разных сечений YAG-кристалла разные.

Таким образом, в статье экспериментально показано и теоретически обосновано уширение и смещение спектра излучения YAG:Nd+3-лазера в режиме генерации двух длин волн 1064,15 нм и 1061,5 нм за счет релаксационных переходов между основными подуровнями мультиплета.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Головков, О.Л. Непрерывная генерация УАв:№-лазера на двух длинах волн 1064, 15 и 1061,5 нм [Текст] / О.Л. Головков, Г.А. Купцова, В.А. Степанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. -№ 1. - С. 113-121.

2. Головков, О.Л. Особенности спектра излучения УАв:№-лазера в режиме одновременной генерации двух длин волн [Текст] / О.Л. Головков, Г.А. Купцова, В.А. Степанов // Научно-технический вестник С.-Петерб. гос. пед. ун-та. Физико-математические науки. - 2013. - № 2. - С. 110-114.

3. Зверев, Г.М. Лазеры на алюмоиттриевом гранате с неодимом [Текст] / Г.М. Зверев, Ю.Д. Голяев, Е.А. Шалаев, А.А. Шокин. - М. : Радио и связь, 1985. - 144 с.

4. Иевлев, И.В. Непрерывная двухволновая генерация в микрочип-Ш:УАв-лазерах [Текст] / И.В. Иевлев, И.В. Корюкин, Ю.С. Лебедева, П.А. Хандохин // Квантовая электроника. - 2011.- № 8. - С. 715.

5. Ханин, Я.И. Основы динамики лазеров [Текст]. - М. : Наука : Физматлит, 1999. -

360 с.

REFERENCES

1. Golovkov, O.L. Nepreryvnaya generatsiya YAG:Nd-lazera na dvukh dlinakh voln 1064, 15 i 1061,5 nm [Continuous generation of YAG: Nd-laser at two wavelengths 1064, 15 and 1061.5 nm] [Text] / O.L. Golovkov, G.A. Kuptsov, V.A. Stepanov // Proceedings of the higher educational institutions. Volga region. Physical and mathematical sciences. - 2013. - N 1. - P. 113-121.

2. Golovkov, O.L. Osobennosti spektra izlucheniya YAG:Nd-lazera v rezhime odnov-remennoy generatsii dvukh dlin voln [Features of the emission spectrum of YAG: Nd-laser mode simultaneous generation of two wavelengths] [Text] / O.L. Golovkov, G.A. Kuptsov, V.A. Stepanov // Scientific and Technical Gazette of St. Petersburg. State Pedagogical University. Physical and mathematical sciences. - 2013. - N 2. - P. 110-114.

3. Iyevlev, I.V. Nepreryvnaya dvukhvolnovaya generatsiya v mikrochip-Nd:YAG-lazerakh [Continuous two-wave generation in microchip-Nd: YAG-lasers] [Text] / I.V. Ievlev, I.V. Koryukin, Y.S. Lebedeva, P.A. Khandokhin // Quantum Electronics. - 2011. - N 8. - 715 p.

4. Khanin, Y.I. Osnovy dinamiki lazerov [Fundamentals of dynamics of lasers] [Text]. -Moscow : Science : Fizmatlit, 1999. - 360 p.

5. Zverev, G.M. Lazery na alyumoittriyevom granate s neodimom [Lasers YAG garnet with neodymium] [Text] / G.M. Zverev, Y.D. Golyaev, E.A. Shalaev, A.A. Shokin. - Moscow : Radio and communication, 1985. - 144 p.

O.L. Golovkov, G.A. Kuptsova, V.A. Stepanov

THE MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE GENERATION OF TWO WAVE LENGTHS OF 1064,2 AND 1061,5 NM

BY YAG:ND LASER

The paper describes the experimentally acquired laser emission of one or two wave lengths by YAG:Nd+3. The author suggests a solution of the equation system of Tang - Stats -deMars, which describes a polymodal generation of YAG:Nd+3 with two sublevels of 4F3/2 multiplet. The acquired solution contains a function considering relaxation transitions within 4-F3/2 sublevels.

laser, piece of matter, radiation, multioscllation, set of equations.