Математическое описание функциональных преобразований сигнала с угловой модуляцией в последовательно соединенных квантователях фазы и напряжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 621.37

DOI 10.26732/2618-7957-2018-1-38-46

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

СИГНАЛА С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ КВАНТОВАТЕЛЯХ ФАЗЫ И НАПРЯЖЕНИЯ

Д. С. Викторов, Е. В. Пластинина

Военная академия воздушно-космической обороны имени Маршала Советского Союза Г. К. Жукова,

г. Тверь, Российская Федерация

Важнейшей составной частью современных земных станций спутниковой связи являются цифровые синтезаторы сигналов. С их помощью формируются различные сложные сигналы, требуемые показатели качества. Интерес разработчиков к использованию в создаваемых и перспективных земных станциях спутниковой связи цифровых синтезаторов сигналов обусловлен рядом объективных причин:

- цифровые синтезаторы сигналов по сравнению с аналоговыми имеют высокую ста-

бильность параметров формируемых сигналов и низкий уровень фазовых шумов;

- сочетание широких функциональных возможностей с высокой скоростью переключения и малым шагом перестройки по частоте (доли герц) позволяет с использованием одного и того же устройства формировать сигналы различной частоты с высокой

точностью установки и скоростью переключения;

- быстродействие современной элементной базы позволяет формировать гетеродинные сигналы в широком рабочем диапазоне частот, составляющем сотни мегагерц.

Исследованию методов и устройств цифрового формирования различных видов сигналов посвящено достаточное количество научных работ. Цифровые же синтезаторы сигналов с угловой модуляцией рассматриваются в них недостаточно полно, как правило, отдельно друг от друга, без выявления общих для них закономерностей и особенностей анализа. Анализ преобразований цифрового сигнала с угловой модуляцией в цифровых синтезаторах сигналов, представленного функцией нескольких переменных, как правило, основан на численных методах. Для его проведения необходимо получить математическое описание преобразований сигналов с угловой модуляцией в аналитическом виде. В статье представлены функциональные зависимости, описывающие преобразования сигналов с угловой модуляцией в последовательно соединенных квантователях фазы и напряжения с использованием метода отображения сигналов и метода контурнъх интегралов. Полученные зависимости позволяют оценить искажения формируемого сигнала с помощью спектрального и корреляционного анализа.

Ключевые слова: сигнал с угловой модуляцией, квантователь фазы и напряжения, метод отображения, метод контурных интегралов.

Для формирования сигналов с угловой модуляцией (УМ) используют цифровые синтезаторы сигналов (ЦСС). В зависимости от типа ЦСС с УМ используется как раздельное, так и совместное квантование фазы и напряжения [1-3]. При квантовании могут использоваться два способа: округление и усечение [4-6]. На рис. 1, а-б изображены передаточные характеристики квантования, соответствующие операции округления, а на рис. 1, в - операции усечения.

© Викторов Д. С., Пластинина Е. В., 2018

Рассмотрим функциональные преобразования сигнала с УМ в квантователе напряжения с передаточной характеристикой, соответствующей операциям усечения и округления первого и второго типов.

Ступенчатая функция Н(х), описывающая нелинейную передаточную характеристику квантователя, имеет точки разрыва 1-го рода. Для её аппроксимации аналитическими функциями можно использовать метод, в основе которого лежит представление нелинейной функции в виде контурного интеграла [7]

н

X

а

н

А

-1-1—

Л X

б Рис. 1

И'

X

39

где

Н (х) = -1-{F (>) ь*"0Ь, 2н 1

¿н(ах)= |#(х) е-Зх*0х.

(1)

(2)

, х А^--1! . С 2н

Н (х ) = х Н— 2 --— 81п I— тх

К ' н 0=1 т I А

Н (х 1 = п 2-2 —81

Н т=1 т

2н

81п I — тх т I А

, . А А^ 1 . Н ((х) = х---1—)) — та! — тх

2 н Мы т

2л

Т

о» (-1)

ни ( и 1=и 2 22^—(п

(

1=1

а

Л

2л

с—ао

V Аи у

Тогда выражение (6) можно преобразовать

к виду

+

Решение задачи можно упростить, сводя интегральные преобразования (1) и (2) к ряду Фурье. При этом передаточные характеристики квантователей трех рассматриваемых вариантов, соответствующих операциям округления первого, второго типов и операции усечения, можно представить соответственно в виде:

ифи(0 = иосс8 {^[-(0]} + ^(-1)2-4 Ап(т-1)со8 {{[-(И])).

(8)

В свою очередь, с помощью оператора квантования фазы, соответствующего операции усечения,

) = ио51П171/^ СС8[Фт)-71/М]-

(3)

(4)

(5)

1-Х 2

7Т/ММ

81пп( тМ ± 1) /М

о

где А - шагквантования.

Математическое описание сигнала с кванте ванной фазой и напряженнам можно получнть с номощью охеритсф-в кваш^оват(^лей фазы Н9 и напряжения Ни:

КЛн М1 = "А {Я- (- И1ф}( • (6)

Нпхратор квантования папрятенш:, соответствующий операции =аругления первого типа (3), имеетвид

П тМ ±1) / ММ хссн {(тМ ± 1) [ф(1) - п /ММИ^},

извыражения(8) получим

-Л' ) = ) (2ПП=/МС08 М*)М ]-

(9)

-ьаХ

п/М

8т7г(тМ 8:1)/М 1 я(тМ 4: 1) /М '

х сов ((тМ ± 1) ((') - п /М]} -

2ип

(10)

Н(И-1)

£ ^ ш(*2 - 1) С08 (Я ф[ф(, )]}).

(7)

где Ди = 2и0 / (£-1) - шаг квантования напряжения; и0 - амплитуда исходного сигнала с УМ; Ь -количествоуровнейквантованиянапряжения.

Первое слагаемое в (10) описывает основную составляющую сигнала с квантованной фазой и напряжением, второе слагаемое - дополнительные составляющие, обусловленные квантованием сигнала с УМ по фазе, а третье слагаемое - составляющие, обусловленные квантованием по напряжению сигнала с квантованной фазой. Однако

То м 2

40

получить запись третьего с лаг аем ого в (10) в явном аналитическом виде в данном случае затруднительно. Выраженш!, близкие по струетуть к (10), имеют место и в случае, когда передаточная характеристика квантователя фазы соответствует операции усечения, и пвденаточнш иаиовке н истика ивонто вате го наприкешня иоовееасяяунт оперитияа ояеугления второго типа о усечлоиа [8, 9]. Для преодоления этих трудностей напрамую воспс^]^ьзуе моя метоуо м отображения сигнамот, сущность которого состоит в следующем [13]. Дер;оономерно дистр)е^тизиуо-ванный сигнал с УМ зяз обласри опредиления отображается в оОлариь рзоМлвжрний теким образом, что в дай еже имена меодо (»тснодриитя дидолтт-зация сигнала с УМ. Полое этого исследуют функциональные преобрсзозтнря соинала с УМ и квантовой фазой, исполузмл дм ото го рзвестные ррпуоь-санч1, пмлуччнные для рсдичмеаной дкся-етязации и интеруозоции, я ооте м осумл севляетсо о (Зратное отображение.

Тигда получии оттброжлние ситали сзвон-тованной фазрй о напряжер

нМзя ио )-о>н^ая3оо)е^е3v).

ности

/[ф (0] ~ f (р(V(v(

образ сигнала (6) имеет вид

Мр^Н «(P(V(P(,

где

U^ (к) = Ни {oos [

Ho

У (v) = Ё ^(\|/-уД(,),

UДк(V(= I t5(^-гАфф(,

где амплитуда отсчетов иг в зависимости от спо-соба квонто ванив напряженся рпррдр ляется : - при испольсовании т]аеоации округления пер-вооо тина ,рис. 1 з а}

U е =

2£°о

L-(

ent

L-l

-cos

(/1А)i(p) + 0,5

(15)

при использовании операции округления вто-ро(о типа (у>ис. 1, б(

L-l

cos

(1Аф(

+ 0,5 >;

(16)

при использовании операции усечения (рис. 1, в)

U s

,пи0

L -1

; ent

L -1

-cos

Уаф(

+ 0,5 --п-, (17)

В соответствии с отоошением эквивалент-

еееееее

/i/е фУ)

где ent(x) - операция выделения целой части числа.

Сигнал ида(у) является периодическим с периодом повторения у0 = МДф. В связи с этим спектр его также представляет собой дискретную периодическую функцию, интервал между соседними спектральными линиями которой ^ = 2л/у0 = 1, а период повторения по оси £ равен = 2л/у0 = М. Значения коэффициентов дискретного преобразования Фурье (ДПФ)определяютсяизвыражения

1

M -1

Q = -1 иг

■ 2п r

- -—kr

M

2П r=0

(18)

и представляет собой косинусоидальную функцию с квантованной фазой и напряжением.

Процесс квантования фазы и напряжения гармонического сигнала в области изображения представлен графически на рис. 2. Поскольку феза иукого сигнала ф (у) изменяется по линейному закону, то длительность всех ступенек квантованного сигнала одинакова. Поэтому сигнал ниу можно рассматривать как результат последе вательно проводимых операций: дискретизации сигнала и0созу эквидистантной последо кате льно-стью дельта-функций

Ступенчатую интерполяцию сигнала ида(у) можно представить в виде свертки ида(у)®£0(у), где £0(у) для квантователя фазы с передаточной характеристикой, соответствующей операции усечения, представляет собой прямоугольный импульс вида

S (V - =

[1, 0<¥<Дф; ¡0, у<0, ¥>Д(

спектральная плотность которого определяется выражением

CÍ0 (0=$'"СД=( /2 e--^

квантования амплитуды дискретных отсчетов к ступе нчатозЯ иотертстяции.

Дискреткаированкый и квантованный гармонический сигнал можно описать выражением

Свт

]В этом случае коэффициенты Ск сигиала ЦДу) можно определить из произведения

с JcCM .-nCU—"£

k I nk/ M | \M ^ '

kr

> .(19)

r=0

и„

л и„

-и

44

1

X X Тс б •1 у / V

41

V

и

<ри

и

V

ди,

Рис. 2

Сначала рассмотрим ситуацию, когда пере- нала и^ (у) содержит только нечетные состав-даточная характеристика квантователя напряже- ляющие ния соответствует операции округления первого и второго типов. В этом случае, как видно из (15) и (16), амплитуды г-го и (г + М/2)-го дискретных отсчетов иг одинаковы, а их полярности разные. Поэтому по аналогии со спектром сигнала с УМ, квантованного по напряжению, спектр сиг-

С.

81И

[п( 2к -1) / М ]

2к-1

- ]п(2 к-1)/М

п( 2к -1) / М 1

(20)

М -1

М

I и,-

]—п( 2 к-1)г

М V '

г=0

а

в

г

д

Том 2

4 т

Тогда сигнал (у) можно представить рядом Фурье :

и - „ (с)=00 ф с

и=1

1cos

[(си- п4 (11)

где фс и -1 =с|Сср_1

Пфдстовляя 0л Ф в -12) и ссфщест_ляя об_аг-ное отображение ©: Щ(у) ^ Щ?) в соответствии с _тня]еениее экеиваленгноети(11)(Поеучим

Фси(г ) = Фу1тов^ф(?1-тоС сЫР] + + 0 ФВ2П-1сов [(2)) -1) ф(н) - п (2с_ -1) / М). (22)

И=2

В выражении (22) первое слагаемое описывает основную составляющую сигнала с квантованной фазой и напряжением, которая имеет такую же фаз-вую ст^;уктуне;^, что и исходнрш сигнал с УМ. Вторио слаиаемое оп+со1ваер дополнительные неуетные составляющие снгнала с квантованной фазой и напряжением. Их полный фазовый угол в (2k - 1) раз больше, чем полный фазовый угол (=(0 доходного сигну-а с УМ Пооколы- три кваотовани( И-зы ыпользуется оыерасия усечения, то сигнал с квантованной фазой и напряжением имеет постоянный фазовый сдвиг, пропорцио-нальыые ноиеру состав-жох-ей 2-: - 1)/М.

Рассмотрим теперь сивуацию, ко-дашреда-точные хар актер иетики юентователя у-пр-же ния, как и квантователя фазы, соответствуют операции усечения. В этом случае для ко эффициентов ДПФ cифна-a ^„(ч-), -читывн+ 0Ф о (СВX си-уч-ш следующее выражение:

Г5Ш (кк/М) \ \

пИ ты

2М

м-\

I'

р=С

2 п.

-/-кт

. М

(23)

Первое слагаемое в (23) аналогично выражению (19), а второе слагаемое равно А„/2 при к = 0 и равно нулю при остальных значениях к. -огда, _и-тыIвня (23) и производя преобразования, аналогичные используемым при выводе выражения (22), для последнего рассматриваемого случая получим:

Ффи (ОнС^ов[фО-пТы)

+

+

0 Ф си-1сов [(2И -1)фC)-л(CИ-1)Т М ]-

(24)

где и2к-1 = 2 С2к-1 , а коэффициенты ДПФ С2к-1 определяются из (20) и (16).

На рис. 3 в логарифмическом масштабе изображены нормированные значения амплитуд нечетных составляющих сигнала с квантованной фазой и напряжением и2к-1/Щ0 в зависимости от значения k, рассчитанные в соответствии с выражениями (20) и (15), для различных числа разря-довквантования фазы Яф и напряжения Яи.

На рис. 4 приведены аналогичные зависимости, рассчитанные в соответствии с выражениями (20) и (16), также указаны нормированные значения амплитуды основной составляющей сигнала с УМ с квантованной фазой и напряжением Щ1/и0.

Сопоставляя выражения (24) и (22), с учетом (16), (19), (20) и (23) нетрудно убедиться, что при использовании операции усечения для квантования фазы и напряжения аналогичные графики будут отличаться от графиков, изображенных на рис. 3, только постоянной составляющей, равной Ди/2. Как следует из (10) и (22), (24) и наглядно видно на рис. 3 и 4, дополнительные составляющие сигнала с УМ с квантованной фазой и напряжением можно разделить на два вида. Первые из них, имеющие индекс тМ ± 1, представляют собой дополнительные составляющие, обусловленные квантованием фазы сигнала с УМ. Их полный фазовый угол в тМ ± 1 раз больше, чем у исходного сигнала с УМ, а амплитуда пропорциональна значению

Бт[л;(тМ ±1)/М] / [п(тМ ± 1)/М].

Вторые из них, имеющие индекс 2k - 1, обусловлены квантованием напряжения сигнала с УМ с квантованной фазой. Эти составляющие, как видно из (20), в зависимости от их номера имеют амплитудную модуляцию в виде

- 1)/М] / [л(2£ - 1)/М].

Максимальное значение этих составляющих не превышает половины шага квантования напряжения.

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать следующие выводы:

- полученные аналитические выражения описывают функциональные преобразования сигналов с УМ в последовательно соединенных квантователях напряжения и фазы с использованием методов контурного интеграла и отображения сигналов;

- полученные математические модели функциональных преобразований сигналов с УМ в последовательно соединенных квантователях фазы и напряжения позволяют использовать их для анализа структуры спектров и для аналитических расчетов искажений спектров и корреляционных функций этих сигналов.

и=с

Д. С. Викторов, Е. В. Пластинина

Математическое описание функциональных преобразований сигнала с угловой модуляцией

Ьк-1 /и0 |,

и

-50 -60 -70 -80 -90 -ЮО

|и2к-1 /и0|,

-ЮО

И2к-1 /ио|> й

дб

-40

-50 -бО -70 -80 -90 -ЮО

32

2*К+1

43

1 -6

1

\ЛА л V /"Л /-Л Л

V4* / \ / V Л А А ■

V 4 V ^ V V А а/УАг

У м

т

16

24

32

б

40

48

56

2*К+1

64

в

2*К+1

й

*

IV

Ь»-9Ди =8

64

96

128

г

160

192

224

2*К+1

Том 2

44

hk-i /u0| ft

дб

-40

-50 -60 -70 -80 -90 -lOO

□

Iu2k-1 /u0

Дб — 40

-50

-60

-70

-80

-90

-lOO

kk-1 /u0| ft

дб

-40

-50 -60 -70 -80 -90 -lOO

I1-12 Ье-1 /"О

дб

-40

-lOO

16

\ Rp-6,RU -5

j

л , л /

—f V V ' \ /4 . /

^ V

12

16

а

2D

24

28

2*K+1

Rp=7,Ru =6

i

\ / \ A

V 1 vy V- J ^ ^ A./ л

\J V V

16

24

32

б

40

48

56

2*K+1

Rp -8,RU -7

32

48

64

в

SO

96

112

2*K+1

Rp = 9,Ru =8

32

64

96

128

г

160

192

224

2*K+1

Список литературы

1. Гомозов В. И. Формирование сложных радиолокационных СВЧ-сигналов с высокой скоростью угловой модуляции : дис. ... д-ра техн. наук. 1982. 485 с.

2. Цифровые фильтры и устройства обработки сигналов на интегральных микросхемах : справ. пособие / под ред. Б. Ф. Высоцкого. М. : Радио и связь, 1984. 216 с.

3. Варакин Л. Е. Цифровая обработка сигналов // Радиотехника. 1984. № 3. С. 6-10.

4. Гольденберг Л. М., Матюшин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов : справочник. М. : Радио и связь, 1985. 312 с.

5. Цикин И. А. Дискретно-аналоговая обработка сигналов. М. : Радио и связь, 1982. 160 с.

6. Пестряков В. Б., Белецкий А. К., Журавлев В. И., Сердюков П. Н. Дискретные сигналы с непрерывной фазой: Теория и практика // Зарубежная радиоэлектроника. 1988. № 4. С. 16-37.

7. Маркюс Ж. Дискретизация и квантование / пер. с фр. под ред. А. В. Шилейко. М. : Энергия, 1989. 144 с. 45

8. Семенов О. Б. Нелинейные искажения генератора цифрового гармонического сигнала // Радиотехника. 1987. № 4. С. 49-51.

9. АС № 272536 (СССР). Цифровой синтезатор ЛЧМ-сигналов / Бондарь Л. В., Гомозов В. И., Кандырин Н. П., Михайлов Н. А., Романов Ю. М. - заявл. 11.05.87.

10. Викторов Д. С., Гарин Е. Н., Пластинина Е. В., Лютиков И. В. Метод компенсации искажений сигналов с угловой модуляцией в цифровых синтезаторах сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. 2017. № 12. С. 85-88.

История статьи

Поступила в редакцию 16 марта 2018 г.

Принята к публикации 5 апреля 2018 г.

THE MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE FUNCTIONAL TRANSFORMATIONS OF A SIGNAL WITH ANGULAR MODULATION IN SEQUENTIALLY THE CONNECTED QUANTIZERS OF A PHASE AND TENSION

D. S. Viktorov, E. V. Plastinina

Military Aerospace Defense Academy, Tver, Russian Federation

The most important constituent of the modern terrestrial stations of satellite communication are digital synthesizers of signals. With their help various composite signals indicators. The interest of developers in use in the created and perspective terrestrial stations of satellite communication of digital synthesizers of signals is caused by a number of the objective reasons:

— digital synthesizers of signals, in comparison with analog, have high stability of parameters of the

formed signals and low level of phase noise;

— the combination of broad functionality to high speed of switching and a small step of reorganization on the frequency (a share of hertz) allows to form with use of the same device signals of various frequency

with a high precision of installation and speed of switching;

— the quick action of the modern element base allows to form heterodyne signals in the wide working range

of frequencies making hundreds of megacycles. Enough scientific works is devoted to a research of methods and devices of digital formation of different types of signals. Digital synthesizers of signals with angular modulation are considered in them insufficiently fully, as a rule, separately from each other, without identification of common for them regularities andfeatures of the analysis. The analysis of transformations of the digital signal with angular modulation in digital synthesizers of signals presented by Junction of several variables, as a rule, is based on numerical methods. For its carrying out it is necessary to receive the mathematical description of transformations of signals with angular modulation in an analytical look. The functional dependences describing transformations of signals with angular modulation in sequentially the connected quantizers of a phase and tension with use of a method of display of signals and a method of planimetric integrals are presented in article. The received dependences allow to estimate distortions of the formed signal by means of spectral

and correlation analysis.

Keywords: angle modulation signal, phase and voltage quantizer, signal display method, contour integration method.

46

References

1. Gomozov V I. Formirovanie slozhnykh radiolokatsionnykh SVCh signalov s vysokoi skorost'iu uglovoi moduliatsii. Dokt. Diss. [Formation of difficult radar very high frequencies of signals with a high speed of angle modulation. Dokt. Diss.]. VIRTA Publ., 1982. 485 p.

2. Tsifrovyefil'try i ustroistva obrabotki signalov na integral'nykh mikroskhemakh [Digital filters and processing devices of signals on integral chips: handbook] (under edition B.F. Vysotskogo). Moscow, Radio i Svjaz Publ., 1984. 216 p.

3. Varakin L. E. Tsifrovaia obrabotka signalov. Spravochnik [Digital signal processing]. Radiotekhnika, 1984, no. 3, pp. 6-10. (In Russian)

4. Gol'denberg L. M., Matiushin B. D., Poliak M. N. Tsifrovaia obrabotka signalov. [Digital processing of signals]. Moscow, Radio i Svjaz Publ., 1985. 312 p.

5. Tsikin I. A. Diskretno-analogovaia obrabotka signalov [Discrete and analog signal processing]. Moscow, Radio i Svjaz Publ., 1982. 160 p.

6. Pestriakov V B., Beletskii A. K., Zhuravlev V. I., Serdiukov P. N. Diskretnye signaly s nepreryvnoi fazoi: Teoriia i praktika [Discrete signals with the continuous phase: Theory and practice]. Zarubezhnaia radioelektronika, 1988, no. 4, pp. 16-37. (In Russian)

7. Markus I. Echantillonnage et quantification. RuMoRGB, 1989. 144 p.

8. Semenov O. B. Nelineinye iskazheniia generatora tsifrovogo garmonicheskogo signala [Nonlinear distortions of the generator of a digital harmonic signal]. Radiotekhnika, 1987, no. 4, pp. 49-51. (In Russian).

9. Bondar' L.V., Gomozov V I., Kandyrin N. P., Mikhailov N. A., Romanov U.M. Tsifrovoi sintezator LChMsignalov [Digital synthesizer of linear and frequency-modulated signals]. Patent USSR, no. 272536, 1987.

10. Viktorov D. S., Garin E. N., Plastinina E. V., Lyutikov I. V. Metod compensacii iskazhenii signalov s uglovoi moduliatsiey v tsifrovih sintesatorah signalov [Method of compensation og distortions of signals with angle modulation in digital synthesizers of signals]. Uspehi sovremennoi radioelektroniki, 2012, no. 12, pp. 85-88. (In Russian)

Article history

Received 16 March 2018 Accepted 5 April 2018