CC BY
30
УДК 519.8:539.217
С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН С ДИСЛОКАЦИЯМИ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
Показано, что наличие в ферромагнетике дислокаций приводит к локализации на них спиновых волн. Получено и исследовано дисперсионное уравнение, а также определена зависимость амплитуды локализованных волн от расстояния до дислокации. Найден частотный интервал, отделяющий локализованные колебания от объемных.
Кристаллические решетки, дислокации, ферромагнетики, спиновые волны, дисперсионное уравнение, локализованные колебания.
S.G. Gestrin, E.A. Salnikova
MATHEMATICAL MODEL OF INTERACTION OF SPINAL WAVES WITH DISLOCATIONS IN FERROMAGNETICS
The authors demonstrate the presence of dislocations in ferromagnetic lead to spinal waves localization on it. They research the dispersion equation, and also determined the dependence of amplitude of localized waves from the distance to dislocation. The frequency interval was received, which separates localized oscillations from volumetric oscillations.
Cristal lattice, dislocations, ferromagnetic, spinal waves, dispersion equation, localized oscillations.
Известно, что наличие в кристалле дефектов структуры различной размерности приводит к возникновению локализованных на них колебаний. Амплитуда локализованных колебаний быстро убывает с удалением от дефекта, а частота отделена некоторым конечным интервалом от спектра объемных колебаний [1, 2, 3]. Характер убывания амплитуды с удалением от дефекта определяется его размерностью. Для дислокаций, представляющих одномерные дефекты, амплитуда убывает с удалением от дислокации ~K0 (к r), где К0 (к r) - функция Макдональда, к - поперечное волновое число. При большом значении аргумента к r >> 1 имеет место соотношение К0 (к г)<х(к r) exp (-к r). Наличие в кристалле дополнительных ветвей колебаний может в некоторых случаях существенно влиять на его свойства [1, 2].
Ниже построена математическая модель локализованных на дислокации спиновых волн, представляющих собой колебания относительной ориентации спинов в кристаллической решетке ферромагнетика. Простейшими ферромагнитными системами являются ферромагнитены - диэлектрики, в которых все электронные спины ионов параллельны в основном состоянии (CrBr3, EuO, EuS) [4, 5]. Возможным возбужденным состоянием такой системы является состояние, в котором один или несколько спинов перевернуты. Значительно меньшей энергией будет обладать состояние, в котором спины повернуты лишь частично. При этом концы спиновых векторов прецессируют по поверхностям конусов так, что существует постоянный сдвиг фазы между двумя
соседними спинами, а по кристаллу распространяется спиновая волна. Для простоты в дальнейшем будем предполагать, что дислокация в кристалле ориентирована вдоль оси 2, направление которой совпадает с ориентацией спинов в основном состоянии.
Энергия взаимодействия двух атомов, обладающих спинами и , в модели Гейзенберга определяется выражением:
и = -Л&, (1)
где J - обменный интеграл.
Энергия ферромагнетика может быть представлена в виде:
и = -1 X JJ,S^, , Jш = J(^ - Г ). (2)
2 т*п
Здесь суммирование ведется по всем атомам в кристалле; «векторные» (с целочисленными компонентами) индексы т и п нумеруют узлы решетки; гп - их
радиусы-векторы.
Магнитный момент в узле п :
Дп =-£ ДБ8п , (3)
где £ - фактор Ланде; дб - магнетон Бора.
Введем в рассмотрение эффективное магнитное поле Ап (поле Вейсса):
Бп =----— X '^пт^т , (т * п). (4)
£Д Б т
Тогда энергия взаимодействия магнитного момента Дп с полем Вейсса может быть представлена в виде: -ДпБп. Изменение во времени момента количества движения равно вращающему моменту Дп х Бп, действующему на спин:
Й= Дп х Бп. (5)
т
Рассмотрим кристалл, содержащий дислокацию, совпадающую с осью 2. Будем предполагать, что обменное взаимодействие атомов, расположенных вдоль дислокации, отличается от взаимодействия между атомами в остальном объеме кристалла. В этом случае:
Й ) =Х J(г - Г')$(г )х 8(г'), (р* 0), (6)
тх г'
Й т^2) = X J(г - г')?(0, г)х 8(р ',2 0 + Х Jl ( - 2 ')8(о, 2)х 8(0, г') . (7)
МХ 2,р'*0 г'
Соотношения (6) и (7) можно объединить:
Й М (р, 2) = X (г - г' )8 (р, 2 ) х 8 (р' , 2 ' )+§0 р X J1(2 - 2' )8 (0,2 ) х 8 (р' , 2 ')-
М 2',р' 2' (8)
- 50,р^ ( - 2 ')8(0,2) х 8(р' , 2 '), (Г * г' ).
2
В уравнениях (6)-(8) г = (р, 2), р = (х, у), 50 р - символ Кронекера. Введем в
рассмотрение возмущение обменной матрицы, вносимое дислокацией: в (2 - 2') = J(2 - 2')- J1(2 - 2'). При анализе длинноволновых колебаний (А, >> а) это возмущение можно считать сосредоточенным на оси дислокации. Из (8) получим:
Й т^2) = X J(г - г ')$(р, 2) х 8(р', 2 ') - а25(рв(2 - 2(0,2) х 8(р ', 20. (9)
тх р', 2' 2
При записи (9) учтено, что:
«о,=8 «о.,, ^ «( a х аj=а 2 8<х)8^-у)=а 2 8(р) ■ <1о>
где 8<р) - дельта-функция Дирака; а - постоянная решетки кристалла. Если оси X и Y ориентированы вдоль векторов основных трансляций кубической решетки. то для координат x и у узла решетки x/а = пх и у/а = n представляют собой целые числа и
р = пха + пуЪ . где а и Ъ - векторы основных трансляций. перпендикулярные дислокации.
Из (9) находим:
h = Е Л? - ?')(< < <?')-S, (r'S <?))- „
dt ? , ч (11)
- а 2«<р)Е P<z - z ' )< <0. < < <0. z ')- Sy <0.z' )S <0.z));
z
h ^(p» z) = -^ J<? - ?,)Sx <?)Sz <?' ) - ^ <?' )SZ <?)) +
dt r (12)
+ a28<P)ZP<Z - Z '< <0. z)Sz <0. Z ') - Sx <0 z ')Sz <0. z)).
Z '
Если амплитуда возбуждения мала < Sx. Sy << S >. то. положив Sz = S и пренебрегая членами. содержащими произведения SxSy в уравнении для dSjdt. получим приближенную линейную систему уравнений:
h = SE J<? - ?')< <?)-Sy <?'))-a!8<P)SEe<z - z ')< <0. z)-Sy <0..-')). (13)
h dSy <5.z) = -SE J< - r ,< <)- Sx <’)) + а2 «<z p<z - z ) (0. z) - Sx <0. z ')). (14)
dt
h dSz (р.z) = 0. (15)
dt
Предполагая. что Sx.Sy ~ exp<-/rot). из (13) находим:
- /ш hSx <р.z) = Sfs, <?)E J<? - ?' )- E J<? - ?' )s, <?' ) I-
V r r
- а 2«<p)S ( s, <0.z )E P<z - z ' )-E P<z - z ' )s, <0.z' )'l.
(16)
Введем далее обозначения:
XЛ(Г - г') = А, - г') = В, (17)
Г' 2
что справедливо в силу однородности кристалла. Для простой кубической решетки в приближении ближайших соседей: А = 6Л, В = 2(Л - Л1). Из (16) и (17) находим:
- /и(а 2) = 5^А • (г)- X Л(г - г' V(г' ^ - а25(р)£^В • (0,2)- X р(2 - 2 ')8у (0,2';Г|. (18)
Используем однородность кристалла вдоль оси 2 и применим одномерное преобразование Фурье относительно координаты г:
а
I V ( р к ) ехр ( ( к 2 ) Нк ^ (
Sx <р. z ) = — j Sx <р. к) eXP <ikz )dk . Sk <р. k) = E Sx <р. z) eXP <- /kz) .
2П z
Sy <0. z) = -а- j Sy <0. к)exp <ikz)dk. Sy <0. к) = E S <0. z)exp<- ikz). 2n
z
Из (18) и (19) имеем:
-mhS,(p,k) - s\a• Sy(p,k)-ZI„(p-p'S(p') I-a'S(p)S(B• Sy(0,kbPS(0,k)), (20)
k
p'
где
Ik (p)-Z J (r) exp(- ikz), Pk-ZP(z) exp(- ikz). (21)
zz
Из (21) при ак << 1, разлагая экспоненту в ряд, находим:
к 2
Рк ~ЕР(2)- (кX 2Р(2)- X 22Р(2)+ .. (22)
2 2 2 2
Используя четность функции в(2), а также условие (17), из (22) получим:
Pk - В - k J|3o, Po *-! z’-p(z). (23)
2
Подставим (23) в (20):
- rnhS,(A k) - S\A • s,(p, k)- ZIk(p - p')Sy (p')^) - a2k2PoS(p)SSy (0, k). (24)
Воспользуемся далее двумерным разложением Фурье: a2 1
S,(p, k) - (^2 j S, (К, k )exp (i Кp)d2 К, 5(p)-в—;jj exp(iКp)d-К, (25)
(2n) (2n)
где К - двумерный волновой вектор: К - (kx,ky). Компоненты Фурье определяются из соотношений:
- i ш h S, (К, k)- S(A -1, (К)) Sy (К, k) - k2 poSSy (0, k); (26)
- i ш h Sy (К, k) - -S (A - Ik (К)) S, (К, k) + k2 Po SS, (0, k). (27)
Перепишем систему (26),(27) в виде:
i ш h S, (К, k) + S (A -1, (К)) Sy (К, k) - k2 po SSy (0, k); (28)
S (A - Ik (К)) S, (К, k)-i ш h Sy (К, k)-k2 Po SS, (0, k). (29)
Система (28), (29) представляет собой неоднородную систему алгебраических уравнений. Заметим, что в случае, когда дислокация в кристалле отсутствует, правые части уравнений (28) и (29) обращаются в ноль. Условием существования нетривиальных решений в этом случае является равенство нулю определителя:
A-
-ш2 h2 -S2(A -Ik(К)) - 0. (30)
i ro h S<A - Ik <K))
S <A - Ik <K)) - i ro h
Соотношение (30) определяет закон дисперсии объемных спиновых волн. В приближении. когда взаимодействие осуществляется только между ближайшими соседями. из (21) находим:
Ik <K) = E Ik <5) exp <- i K р) = E J exp [- i<K р + kz)] = JE exp [- i (K р + kz)] = J£ cos <k0 8) .(31)
р р^ р.z 8
где шесть векторов 8 соединяют центральный атом с его ближайшими соседями. k0 = <K. k). Из (30). (17) и (31) получаем:
ГО = ГО0 <K. k) = SJj (6-£ cos (£,«)). (32)
Соотношение (32) совпадает с известным законом дисперсии для спиновых волн. полученным Блохом. При ka << 1 из (32) следует:
3SJ , 2 2 3SJ 2/2 1 2\ /->->\
ro^------k0а =-------а (к + k ). (33)
h h
Для решения неоднородной системы (28), (29) воспользуемся правилом Крамера:
к2в0V (иБу(0,к) + и0(к,к)^(0,к)
(K, к) = --
П
и2 -и2(К,к)
5 (К к)= к2р0V (и5х(0,к)-И0(Кк)5у(0,к)
у(K, ) П и2-и2(К,к)
Из (34), (35) и (25) получим:
(ак )2 р0 V Г
(34)
(35)
^ (р к ) = --
П(2п)
Си5у(0,к)\ 2К + 5,(0,к)\и(К,к)С(0?(Кр)н2к |, (36)
и2 -и2(К,к)
5У (Р, к ) =
(ак )2 р0 V Г
П(2п)
(и5, (0, к ){
соБ-Кр) и2 -и0(К,к)
Н2 К- 5у (0, к )\
Положим в (36) и (37) р = 0:
(0, к) = -С / и 5у (0, к)\
кНк
■+V, (0, к )\
и2 -и02(К,к)
и0 (К, к )соБ(Кр) и2 -и2(К,к)
и0 (К, к)к НК |
Н2 К
ч и2 -и2(К,к)
8Г (0, к) = сГ(и V,(0, к)/-г-К^^ - Ху (0,к)\- , 2(К к)
^ и2 -и2(к,к) и2 -и2(к,к)
и2 -и2(К,к) и0 (К, к)к НК |
(37)
(38)
(39)
где С =
(а к )2 в0 V П
Перегруппируем слагаемые в (38) и (39):
о (п 1\(л лг®0(К,к)кНк1 ( Л. г кНк
(0,к) 1 + С\ 2' Ч- 7) | + ^(0,к)(ис\—------Т-—- = 0,
^ и2 -и2(к,к)) и2 -и2(к,к)
О (п 1\- /'■» г К Нк . „ги0 (К, к )к Нк1
-(0,к)(иС\—--------^(0,к) 1 + С\ 2' 2-К 7) | = 0.
и2 -и2(к,к) ^ и2 -и2(к,к))
(38а)
(39а)
Нетривиальное решение (38а), (39а) существует, если равен нулю определитель системы:
+ й]-,(ЬЩdк)) |-ис 2 Л
к Нк
и2 -и0(К,к)
и2 -и2(К,к)
= 0.
Из (40) получаем:
, лг и0 (К, к )к Нк к Нк
1 + Ы= ±иС I
и2 - и 2 (К, к) и2 - и 2 (К, к)
Если перед правой частью (41) стоит знак плюс, из (41) находим:
1 = ы\ ^(Кк))КНк = с\ КНк
При отрицательном знаке правой части (41):
к Нк
и2 -и2(К,к) вой част
1 = -Ы\-
и + и0 (К, к)
(40)
(41)
(42)
и -и0 (К, к)
Заменяя верхний бесконечный предел интегрирования в (43) конечным к0 ~ 1/а и воспользовавшись выражением (33), имеем:
к НК
(43)
К0
1 = -ы\-
и --
3
п
-а
(44)
2
Выполним интегрирование в (44), пренебрегая малыми членами порядка величины
к 2 —и* /к2:
3VJa/ 0
3VJa2 2 3VJa2 2 Г 12 п У1 , ч
и,, «-------к2---------Кехр---------— |. (45)
я 1 П П 0 Я в0к2 )
Вычисляя интеграл в (42), получим закон дисперсии для волны,
распространяющейся в противоположном направлении:
3S J a2 2 3S J a2 2 f 12 п J Л шЁ2 *-:— k2 +—-—к2 exp — —-1. (46)
h h
V
Из системы (38 а), (39 а) и соотношения (40) следует также, что:
S„ (0, к ) = -iS, (0, к). (47)
Подставляя (47) в (36) и (37), находим:
Sx,y (ft к ) = -^ ^ S Sx,y (0, к Я-3 dK--------£ C0S(KP C0s Ф)й?Ф • (48)
2П П 0 ffl- 3J£a2 (2 + к2 )
h v '
Воспользуемся интегральным представлением функции Макдональда K0 (хр) :
-к2-шё 1 I w" „ Р
в0 k2 „ ^ TJ \3SJa2 I2 Vh Л
S,,y (p, k )-^— S,,y (0, k )K
6п J
h 1V3sj
P0k2 „ ^ „ f f 6п J Л Л
(49)
6п J
Sx,y (0, k )K o
exp
v
V В k2
V Po* У У
При больших значениях аргумента К0 (хр) ~ VV 2кр exp (-хр), таким образом, как видно из (49), амплитуда локализованной волны убывает с удалением от дислокации в основном экспоненциально.
Заметим, что равенство, аналогичное (47), будет выполняться для любого р :
Sy (а к ) = -iSx (а к), (50)
т.е. решение описывает круговую прецессию. Действительно:
Sx (р, к, t) = Re [Sx (р, к) exp i (к z - ш t )] = Sx (р, к )cos (к z - ш t), (51)
Sy (р, к, t) = Re [Sy (р, к) eXP i (к z - ш t)] = (52)
= Re [- iSx (р, k)exp i ^z-ot)] = Sx (р, ^sin^z-ш t).
Таким образом, в работе исследованы спиновые волны, локализованные на дислокациях в ферромагнитенах. На основе анализа системы дифференциальных уравнений, описывающих кристаллическую решетку ферромагнетика с линейным дефектом, получено дисперсионное уравнение для локализованных волн, а также выведен закон убывания амплитуды с удалением от дислокации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах / С.Г. Гестрин // Известия вузов. Физика. 1996. № 10. С. 45-50.
2. Гестрин С.Г. Локализация плазменных колебаний вблизи заряженных дислокаций и дислокационных стенок в полупроводниках / С. Г. Гестрин // Известия вузов. Физика. 1998. № 2. С. 92-95.
3. Гестрин С.Г. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Известия вузов. Физика. 2005. № 7. С. 23-25.
4. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т. ІХ. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1978. 447 с.
5. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Наука, 1978. 791 с.
Гестрин Сергей Геннадьевич —
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Gestrin Sergey Gennadyevich -
Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor of the Department of «Applied Physics» of Saratov State Technical University
Сальникова Екатерина Александровна -
студентка
Саратовского государственного
университета
им. Н.Г. Чернышевского
Salnikova Ekaterina Aleksandrovna -
Student
of Saratov State University in the name of N.G. Chernyshevsky
Статья поступила в редакцию 10.02.09, принята к опубликованию 11.03.09
