CC BY
28
CONTENTS
Problems of Natural Sciences________________________________________________________________________
Gestrin S.G., Salnikov A.N., Shukina E.V. The analitical model of localized Frenkel’s exitons............5
Geushov Z.M. Natural self oscillations of the three-layer elasticoplastic plates........................10
Zapsis K.V., Morozov D.A., Kosokbudsky I.D. The mechanism of originating and size increasing of
iron nanoscale particles in a matrix of high-pressure polyethylene................................14
Zacharov A.A. Quantitative and structured features of the complex test compositions, formed on base
of Newton’s binomial theorum......................................................................19
Krysko V.A., Kravtsova I.V. Chaotic vibrations of sperical shells under the influece of inhomogene-
ous loads.........................................................................................24
Mikhailova A.M., Nikitina L.V., Kolokolova E.V., Yegorova C.A., Yesin A.A. The development of
compositional volume distribution electrodes on the base of solid electrolytes ...................37
Machine Reliability_________________________________________________________________________________
Brzhozovskiy B.M., Brovkova M.B., Zakharov O.V. Harmonic analysis in research of processes of formshaping and measarments of precision parts..........................................45
Bikadorova O.G., Shumyatcher V.M. About a mechanizm of shaving forming during grinding..................52
Vinogradov A.N. The scientific basis of rise of some operational characteristics tribological gangs of
motor transport...................................................................................59
Danilov I.K. Scheming conception of ICE (internal-combustion engine) service cycles based on system theory........................................................................................64
Denisov A.S., Malakhovetsky A.F., Kulakov A.T., Svetlichny N.I., Gaffarov G.G., Tazeev R.T.
The improvement of the exploitation reliability of the TCR-7N turbo-compressors...................67
New Materials and technologies______________________________________________________________________
Finaenov A.I., Trifonov A.I., Zhuravlev A.M., Yakovlev A.V. Thermally expanded graphite obtaining and application...............................................................................75
Power Engineering and Electrical Engineering________________________________________________________
Arkhangelskiy Yu.S., Kalganova S.G. The working chamber of the microwave electrotechnological
installation for updating polymeric fibres........................................................86
Arshakyan I.I., Artyukhov I.I., Stepanov S.F. Compensation of reactive power in the systems of
power supply devices of air cooling of gas........................................................90
Automation and managment____________________________________________________________________________
Ignatiev A.A., Dobrjakov V.A., Ignatiev S.A. Automized monitoring of dynamic performances of
machines as one of the devices of the systems of monitoring of the technological process..........99
Taran V.M., Lisovsky S.M., Protasova N.V., Gusev N.A. Flexible control system of distribution of
resources for the scientific and technical problems solutions....................................108
Architecture and construction_______________________________________________________________________
Gorokhovsky V.A., Saksonova Y.G., Povitkov G.F. Microhardness of sheet glass...........................114
Humanitarian and economical Problems of Modern Society______________________________________________
Dolinina O.N. Social aspects of using information technologies in management...........................118
Oleynikova E.V. Enterprise innovations development management by firm’s repair system application ..........................................................................................129
Slepukhin A.Yu. Impact of eu TEMPUS-TACIS programme on the internationalization of education at SSTU.....................................................................................138
Yarskaya V.N. Freedom resourse: education as an institution of reformation.............................144
Jubilees____________________________________________________________________________________________
Vladimir Grigorjevich Kashirsky. The way to science....................................................155
ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
УДК 538.911
С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.В. Щукина АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЭКСИТОНОВ ФРЕНКЕЛЯ
Показано, что наличие в кристалле дислокаций приводит к локализации на них экситонов Френкеля. Получено и исследовано дисперсионное уравнение для локализованных экситонов. Определена зависимость амплитуды локализованных волн от расстояния до дислокации. Найден частотный интервал, отделяющий локализованные колебания от объемных.
S.G. Gestrin, A.N. Salnikov, E.V. Shukina THE ANALITICAL MODEL OF LOCALIZED FRENKEL’S EXITONS
It is shown here, that the presence the dislocation in crystal brings to localization of the Frenkel’s exitons on it. The dispersion relation for localized exitons is obtained and researched. The correlation of localized waves amplitude from the distance till the dislocation is determined in this paper. The frequency interval separating the localized waves from the volumetrical ones was presented here.
Известно, что наличие точечных, линейных и двумерных дефектов кристаллической структуры приводит к локализации на них различных видов колебаний. Амплитуда локализованных колебаний быстро убывает с удалением от дефекта, а частота отделена некоторым конечным интервалом от спектра объемных колебаний. Как было показано в [1], существуют звуковые колебания, локализованные на дислокациях и дефектах упаковки. В работах [2] и [3] построены математические модели, описывающие локализацию поляритонов в ионных кристаллах и плазменных колебаний в полупроводниках, содержащих заряженные краевые дислокации. Характер убывания амплитуды с удалением от дефекта определяется его размерностью. Для дислокаций, представляющих одномерные дефекты, амплитуда убывает с удалением от дислокации ~К0(к r), (К0(к r) - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка, к - поперечное волновое число). При большом значении аргумента кг>>1 имеет
1/2
место соотношение К0(к r)ro(K r)- exp (-к r). Наличие в кристалле дополнительных ветвей колебаний может в некоторых случаях существенно влиять на его свойства [1,2].
Известно, что в щелочно-галоидных кристаллах NaBr, KBr экситоны с наименьшими энергиями локализованы на отрицательных ионах. В ультрафиолетовой области их спектры поглощения содержат дублеты, обусловленные дублетной структурой самого низшего экси-
тонного состояния иона Br-. Экситонные линии поглощения наблюдаются также в молекулярных кристаллах, например в кристаллах антрацена. В ряде теоретических и экспериментальных работ были исследованы экситонные волны, локализованные на поверхности кристалла [4]. Такие экситоны аналогичны поверхностным релеевским волнам в теории упругости. Подробный анализ свойств поверхностных экситонов применительно к металлам приведен в [4].
В настоящей работе построена аналитическая модель локализованных на дислокации экситонов Френкеля, представляющих возбужденное состояние отдельного атома, передающееся от одного атома к другому вследствие связи между соседними атомами. Основным ограничением модели является предположение о том, что дипольные моменты p отдельных атомов, возникающие при распространении в кристалле экситонной волны, ориентированы вдоль одного направления. Данная модель позволяет получить дисперсионное уравнение для локализованных экситонов и определить зависимость амплитуды локализованных волн от расстояния до дислокации.
Предположим, что дислокация в кристалле ориентирована вдоль оси Z, а сам кристалл обладает осью симметрии четвертого порядка.
Уравнение движения для электрона в атоме в локальном электрическом поле можно записать в виде:
u (r, t) + £ a(r - r')u (r', t) = -a2 8(g)£ p(z - z')u (0, z', t)- eEloc (r)exp (- irn) , (1)
/ z' m
где u(r, t) - смещение электрона; a(r -r') - матрица, характеризующая взаимодействие электронов в различных атомах кристалла и определяющая скорость передачи взаимодействия от одного атома к другому; а - постоянная решетки; r = (<;, z), £ = (x, y); 8(Z) - дельтафункция; e, m - заряд и масса электрона.
Первое слагаемое в правой части (1) описывает возмущение, созданное в кристалле дислокацией. При анализе длинноволновых колебаний (X»a) это возмущение можно считать сосредоточенным на оси дислокации. Суммирование по узлам кристаллической решетки в (1) может быть заменено интегрированием:
£... =1|... dz, £... = ЛI... dV . (2)
z a f a
Предполагая, что u(r, t) зависит от времени в виде exp(-irot), из (1) находим:
- ю2 u z)+ £ a (r - r ')u z') = -a 2 8 (<;)£ e(z - z')u (0, z')-e El0c fo z) . (3)
r z m
Функция P(z) описывает возмущение, созданное в кристалле дислокацией, и является четной функцией z. При помещении кристалла в однородное электрическое поле u(0, z') = const и данную величину можно вынести за знак суммы в (3), при этом передача возмущения от атома к атому отсутствует, и первое слагаемое в правой части (3) должно обратиться в ноль.
Таким образом:
£ e(z - z') = £ e(z ) = 0 . (4)
z z
Используем однородность кристалла вдоль оси X и применим одномерное преобразование Фурье относительно координаты г:
и (?»г) = а| ик (^)ехр {¡кг)йк , ик (д) = £ и (<;, г)ехр (- 1кг) , (5)
2П г
Eioc foг)-aJEloc>k (q)exp{ikz)dk , Elock (q)- XEloc (q,z)exp(-ikz) . 2n z
Из (3) находим:
e
q m
-Ю2 uk (q) + X^k (q-q,)uk (q,)--a2 S(q)Pk uk (0)------Eloc,k (q) , (6)
где
^k(q)-Za(r)exP(-ikz) , ek -Ze(z)exp(-ikz) . (7)
zz
Уравнение (6) описывает колебание электронов в двумерном кристалле с точечным дефектом в начале координат.
При выполнении условия ak<<1 из (7) с использованием (4) находим:
Рk --k2Ро , Ро -1Ze(z)z2. (8)
2 z
Функцию uk (q) представим в виде двумерного разложения Фурье:
a 2
Uk (q)-(2П)2 J u(к’k )exp (iKq)d 2 K ’ (9)
2
Eioc,k (q)^T^2J Kc(kk)exp (iKq)d 2 K ,
(2n)
5(q)-?-VJexp(iKq)d2K ,
(2n)
где K - (kx, ky) - двумерный волновой вектор.
Из (6) получим
-(ю2-m2 (к,k))u(к,k) + -Eloc (к,k)-k2 e0 uk(0) . (10)
m
Здесь
ю0 (к, k)-Z ^k (q)exp (- iKq) . (11)
q
Дипольный момент атома связан с локальным электрическим полем соотношением:
p --eu -ad Eloc , (12)
где ael - электронная поляризуемость. Используя (12), из (10) находим:
С Є 2 ^
ю2-ю0(к,k)+----- u(к,k)--k2в0uk(0) . (13)
V 0 ma el J
Отсюда:
( i\2 в0 (n\r cos(Kq)d2
(ak) uk (0)J------------------------------------------------5-— . (14)
( п) ю2 -ю2 (к,k)+ e
0 m a el
Полагая в (14) Z=0, имеем:
1+(ak )2 J----------K^K-----_ - 0 .
\2 P0_
л J 2
2П 0 ЛЛ2 r<2 („і \ . e
ю - Ю0 (к, k )+
ma
(15)
el
Здесь верхний бесконечный предел интегрирования заменен на конечную величину, к0 ~ а_1 [1]. Соотношение (15) может быть использовано для определения величины ае/.
Вблизи от линии поглощения учет пространственной дисперсии приводит при малых волновых числах к разложению вида [5]:
ю0 (к,к)~ю0 +у(к2 + к2) . (16)
Представляя в (15) стоящую в знаменателе подынтегрального выражения разность квадратов в виде произведения двух сомножителей и сохраняя величину -V только в разности ю-ю0, получим:
1 _(Л )2_Ё^|----------К*К------ = о . (17)
4ПШ° 0VК2 +ук2 + ш-ш- е
0 2 ш0 т а е1
Выполняя интегрирование в (17), приходим к уравнению:
1 — (ак )2 ———1п---------^Ко--------------------------------2-= 0, (18)
8пш0 V , 2 е2
ук + ш — ш—
2 ш0 т а е1
в котором учтено ограничение:
е 2
ук2 >>ук2 +ш0 —ш--------------, (19)
2 ш0 т а е1
а соответствующие слагаемые опущены в выражении под логарифмом.
Из (18) получим электронную поляризуемость аеі в кристалле, содержащем дислокацию:
е 2
аеі =-------7---------------------Т~8-------^ ' (20)
8 пш0 V
2 Ш0 т
ук2 +ш0 — ш—ук 2 ехр
(ак )2 в
0 /У
В области оптических частот диэлектрическая проницаемость почти полностью обусловлена электронной поляризуемостью. Для кристалла с кубической симметрией справедлива формула Клаузиуса - Масотти:
£+2=т ^а- • (21)
где £ - диэлектрическая проницаемость; N - число атомов в единице объема, имеющих поляризуемость а е1> ].
Из (21) и (20) вблизи одной из линий поглощения выражение для £ может быть представлено в виде
£(ю,к) = Ь +----------------------------------------------------В-?^ , (22)
' 8 пш0 V '
V к2 +ш0 —ш-ук 2 ехр
V (ак)2 в0 у
где Ь и В - некоторые константы.
Закон дисперсии электромагнитных волн в кристалле дается уравнением:
п2
= е(ш к) . (23)
Используя (22), находим из (23):
(п2 — Ь)
V к +ш0 —ш-ук 2 ехр
(ак )2 в
= В .
(24)
2 12 2 12
Введем далее обозначение у^ю/с ^ю0/с и из (24) получим:
(п2 — ь)
22 у п +ш0 — ш—ук 2 ехр
7 8пш0у ^ (ак )2 в0
В.
(25)
Уравнение (25) описывает взаимодействие двух волн - световой волны с п =Ь и волны с
Ш —Ш0 + V к 0 ехр
(ак )2 в
0 У
У
(26)
представляющей собой экситоны, локализованные на дислокации. Сила взаимодействия определяется величиной В.
Из (14) определим закон, по которому убывает амплитуда волны с удалением от дислокации:
и, Ы = («к )2 V
(2 п)
1
2 м к
(0)^-1 2ш,
Ык
2п
008 (кр008ф)^ф . (27)
0 0 Л11/-2
ук2 +у к +ш —ш—
2 ш0 т а е1
Из (27) находим:
:(Р):
в0
4 пш0у
(ак)2 ик(0)К0
7 7 4 пш0у ^ ^
ехр 0
(ак )2 в0
к 0 р
(28)
V V V—/ у у
Как видно из (28), на больших расстояниях от дислокации амплитуда волны убывает
2
экспоненциальным образом. На рисунке представлена зависимость п (ю).
2
п
2
е
0
и
Дисперсионные кривые объемных и локализованных колебаний: а) у>0, б) у<0. Штрихпунктирные линии изображают объемные колебания, а сплошные линии - колебания, локализованные на дислокациях
Локализованные экситоны отделены от объемных частотным интервалом:
8ю = УК 2 exp
7 8пю0у ^
2 в0 у
(ак )2 в
(29)
Таким образом, в работе построена аналитическая модель экситонов Френкеля, локализованных на дислокациях, в рамках которой получено дисперсионное уравнение и найдена зависимость амплитуды локализованной волны от расстояния до дислокации. Показано, что спектр объемных колебаний отделен от локализованных волн конечным интервалом частот.
ЛИТЕРАТУРА
1. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972. 280 с.
2. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах // Изв. вузов. Физика. 1996. № 10. С.45-50.
3. Гестрин С.Г. Локализация плазменных колебаний вблизи заряженных дислокаций и дислокационных стенок в полупроводниках // Изв. вузов. Физика. 1998. № 2. С.92-95.
4. Агранович В.М. Теория экситонов. М.: Наука, 1968. 382 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 621 с.
Гестрин Сергей Геннадьевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная физика»
Саратовского государственного технического университета
Сальников Александр Николаевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Щукина Елена Вячеславовна -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная физика»
Саратовского государственного технического университета
