Математическое моделирование управляемых электромагнитных гасителей колебаний высотных сооружений. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 624.04:621.335:621.313

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ. Часть 1

© 2005 г. Г.В. Воронцов, С.В. Бурка

1. Общая постановка задачи Высотные сооружения представляют собой сложные нелинейные диссипативные динамические системы, испытывающие изгибные и крутильные колебания от ветровых и сейсмических воздействий [1-3].

Основными типами высотных сооружений являются: дымовые трубы, башни, высотные здания и уникальные мемориальные сооружения.

Отметим некоторые виды высотных зданий: башни, выполненные из монолитного железобетона; сооружения с центральным несущим столпом или с пространственным рамным металлическим или железобетонным каркасом.

В высотные сооружения могут быть встроены системы антивибраторов пассивного или активного (автоматического) действия (рис. 1). Наиболее эффективными являются комбинированные системы, в которых сочетаются постоянная готовность к работе с возможностью оптимального управления.

Рис. 1. Схема высотного сооружения: т}- - массы антивибраторов; УОСН (?) - ускорение основания; V^ (/), и ^ (/) -

ускорения переносного и относительного движений масс тантивибраторов

Устройства гашения колебаний сооружений могут быть разделены на три группы [4]:

- антивибраторы (АВ) с жесткой настройкой параметров на определенные частоты свободных колебаний сооружения и (или) спектры возмущающих сил. Так, на башне Рижского ТВ установлены на разных «этажах» более десятка АВ;

- самонастраивающиеся АВ с переменными параметрами;

- системы автоматического управления колебаниями, включающие средства наблюдения (измерения), исполнительные механизмы, фильтры и регуляторы, а также устройства адаптации.

В математическую модель наблюдаемого и управляемого высотного сооружения, оборудованного электромагнитными инерционными гасителями колебаний, включаем (рис. 2):

- математическую конечно-элементную модель собственно сооружения, представляющую собой систему линейных или нелинейных дифференциальных обыкновенных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции, подверженной действию сейсмических, ветровых и техногенных нагрузок;

- математическую модель средств измерения, оповещения и прогнозирования НДС сооружения, а также действующих и ожидаемых нагрузок;

- алгоритм уточнения параметров математической модели сооружения;

- модель системы управления стабилизации квазистационарного состояния электромагнитного подвеса масс антивибраторов при детерминированных и случайных возмущениях;

- модель регулятора импульсного или (и) непрерывного управления (гашения колебаний сооружения), а также адаптивной настройки параметров антивибраторов, оптимально размещенных по высоте конструкции и имеющих оптимальный спектр частот свободных колебаний, (рис. 2).

Схеме, представленной на рис. 2, в общем случае ставим в соответствие [5, 6]:

- уравнение колебаний сооружения и массы АВ

V = % (У, О, Р, Р, I), Яп;

X е П X

1Z ,—! 1

Z

ЬСИ —Л]

X П

X ПР - X

1 F (t) + %$ )

Уравнение движения системы

X = f (X, G, P, F, 0

^ i P k А G

Уравнение движения ИМ

А ^ Гт 1-г i Pe ПР Uе Пи V

Регулятор адаптивной системы

X(x1 x2 x3) -►

Рис. 2. Схема системы автоматического гашения колебаний: X(?) - оценки переменных состояния; X ПР ) - программа движения; Р(?) - вектор непрерывно настраиваемых параметров; Ф - фильтр

- математическую модель средств измерения переменных состояния V

S = CV, S е Rv, V < n;

- математическую модель исполнительных механизмов АВ

G = fG (G, U);

- интегральный критерий качества

T

ф =J fo (V, U, P, VПp, Z ) ^ min;

10

- «текущий»критерий качества

Ф: = min ф (X, U, P, Vm, Z),

P

определяющий оптимальную настройку параметров P(t) системы;

- вектор критериев качества в виде равенств

T

к = Jt(V, U, P)dt, to

подробнее о методе решения приведенной совместной системы уравнений см. в [5].

В настоящей и последующих статьях намеченной серии публикаций исследуется возможность применения и разрабатываются математические модели инерционных АВ с электромагнитным подвешиванием масс и исполнительными механизмами (ИМ) на основе линейных асинхронных двигателей (ЛАД).

2. Уравнение колебаний высотного сооружения и математическая модель средств измерения

2.1. Математическую конечно-элементную модель линейно деформируемого сооружения представляем уравнением типа [3, 5]

mv (t)+(а 1M+а 2 H)V (t)+Hv (t)=F (t)+|(t).

Здесь М и Н - матрицы масс и жесткостей, отвечающие вектору V(?)£ Кп перемещений; р(?) и ) - векторы детерминированных и случайных воздействий; а^ и а 2 - коэффициенты, определяющие силы линейного вязкого трения. В уравнение включаем параметры и перемещения масс гасителей колебаний.

При значительной размерности вектора V(?) переходим к так называемым главным координатам %(?), таким, что

К (?) - V(t )х у (?),

где V - матрица, составленная из V собственных

векторов матрицы М ^Н, соответствующих частотам Ю^<Ю2 <...<Юv свободных колебаний сооружения.

Умножая уравнение колебаний слева на матрицу

*

V и вводя обозначения

V MV = diag \ту да2 • ^^mv ]=:т; V HV = diag [ ^2 ]=: к; V* (а^ + а 2 Н ) = ат + а 2 к =: г; V *( Р + |) =: /,

получаем

(? )+гХ (?)+кх (?) = / (?),

поскольку матрица М ^Н одновременно приводит симметричные положительно определенные матрицы М и Н к диагональным формам.

Отметим, что введение главных координат не только снижает размерность задачи, но и приводит к системе раздельных уравнений

m j X (?)+rj х (?)+hj х(? )=fj (?), ] = 1,. • - V,

где обычно принимают v <10.

2.2. Математическую модель средств измерения

перемещений V(?) сооружения принимаем в виде [5, 6]

^ (0=с ^п (?), ц< п,

где матрица С цп состава измерений (СИ) зависит

как от размещения чувствительных элементов (датчиков), так и их типов (тензорезисторные, магнитоупру-гие, лазерные и др.).

Полагая все каналы СИ независимыми, принимаем

Sц(t) [Сцц • Сц,п-ц]

Vv (t) Vn-v (t)

det 0,

и выводим выражение

^ (? ):= о пц ^ £ (?)+в п,п-ци п-ц (? x в котором обозначено

D

пц'

'цц

O

п-ц,ц

B

п,п-ц'

С-1С

E

п-ц,п-ц

Для определения неизвестного вектора и(?) необходимо ввести некоторое дополнительное условие, например,

* = (У )У):=

DS+Bu-V

adm

^ Ш1П,

где Vadm - допускаемые отклонения сооружения.

Составляя производную

И р * ^ ^

— = В (Ш + В13 ^ат ) = 0,

d u

получаем

>-1

Ви = В(В В) B(Vadm).

*

Здесь принято, что матрица В В является неособенной.

3. Математическая модель системы магнитного подвеса массы

В работе [7] при составлении уравнений движения массы левитации введена модель абсолютно твердого тела с шестью степенями свободы, отвечающими перемещениям и х (?), и у (?), и 2 (?), и углами «рыс-

кания» 9 у (?), «галопирования» 9 х (?) и боковой качки 9 2 (?). При этом в уравнения введены не только осевые Iх, 1у, 12, но и центробежные 1уу, Iу2, 12Х моменты инерции относительно осей

X, У, X . В статье [8] рассмотрена задача об угловой стабилизации экипажа ВСНТ с электромагнитным подвесом. Учитывая специфику конструкции антивибратора, приняты следующие допущения:

- оси X, У, X являются главными центральными

осями (1 ху=V=12х=0);

- в силу малости пробега и 2 (?) конструкция рельсового пути может быть сделана весьма совершенной, так что можно принять 9 х (?) = 9 у (?) = 0;

- настройка боковых электромагнитов обеспечивает «боковую» устойчивость системы подвешивания, причем и х (?) « 0, 9 2 (?) « 0;

- уравнения относительно перемещений и 2 (?) и и у (?) являются несовместными, а воздействие вихревых токов от движения массы и 2 (?) можно учесть,

вводя в уравнения подвеса некоторую случайную составляющую сил;

- случайными погрешностями в каналах СИ можно пренебречь;

- параметры системы электромагнита подвеса в начальной стадии расчета можно считать заданными (метод их оптимизации будет представлен в следующей статье);

- тепловые воздействия на систему антивибратора несущественны (будет обеспечено введением ограничений на сопротивления обмоток ЭМ и напряжение).

Принципиальную схему ЭМ-подвеса принимаем в соответствии с рис. 3 и 4, см. также работы [9-11].

В настоящей статье рассмотрена задача о стабилизации левитационной массы и сравнительном анализе различных методов оптимальных управлений.

3.1. Уравнения математической модели системы левитации

В соответствии с рис. 4 вводим следующие координаты, характеризующие переменные состояния основного

у()=8н-8(), у()=-8()=-п(?) (1) и возмущенного

Ду()=8СТ-8(), Ду()=-Д8()=-Дп()

движений системы ЭМ-подвеса. Здесь 8 н и 8СТ есть

зазоры между полюсами ЭМ и массой притяжения в начальном и стационарном состояниях.

Рис. 3. Принципиальная схема активного антивибратора: 1 - упругий элемент; 2 - масса виброгасителя; 3 - демпфер; 4- электромагнит подвеса; 5 - феррорельс электромагнита подвеса; 6 - реактивная шина линейного двигателя; 7 - линейный двигатель; 8 - феррорельс электромагнита боковой стабилизации;

9 - электромагнит боковой стабилизации

Pэм (t) + f (t) + S(t) - mg - my (t)

Рис. 4. Принципиальная схема взаимодействия электромагнита и рельса (механизм демпфирования не представлен)

В математическую модель системы включаем где ^ 0 - магнитная проницаемость вакуума

(рис' 3): - I / 2\

- уравнение движения совместной массы (Н/А 2 ); п - число витков обмотки; ^ - площадь т = т э + М , приходящейся на один электромагнит (ЭМ), -

полюсов ЭМ. В уравнении (2) _Д?) и - соответственно детерминированные и случайные возмущения;

P,^(t) + mf](t)-кц(()-mg + f (t)+^(t)= 0; (2) g - ускорение силы тяжести (м/с2); к - коэффициент

демпфирования.

8 (t )=n(t);

(3)

- выражение для нахождения подъемной силы ЭМ

Pэм (t )=V [ I (t)) 8(t)) 2;

(4)

v(t )=2vi (t)/8(t);

(5)

U (t )=RI (t )+\j/ (t).

(6)

В приведенных соотношениях

v = :0.25| 0 n 2 S, Нм 2/ А 2,

В дальнейшем используем систему единиц м, с, Н, А, в соответствии с которой

| 0 ~ Н/А 2; v ~ Нм 2/А 2; ^ ~ Нм/А; u~Нм/АС; Г~Нм/А2;

- зависимость между потокосцеплением силой тока ДО в обмотке ЭМ и зазором 8(0 -

R

Нм А2С

; P ~ Н; I ~ А; S ~ м 2;8 ~ м; r| ~ м/с.

- выражение для напряжения в обмотке ЭМ с активным сопротивлением R

3.2. Варианты выбора переменных состояния 1. Исключим из выражений (2), (6) функции

Рэм(0 и I(t), положив

1

I(t))8(t)=(t)

см. формулу (5). В результате получаем систему уравнений

)=m )-xm v2 (')+g - m [f (' )+«()];

(7)

Линеаризованные уравнения (8) записываем в ви-

да

4vm 8 (t )=л (t) ;

m1

V ()=и^ () 5 () ,

см. соотношения (2), (3) и (6).

2. Исключим из уравнения (6) потокосцепление у(() с помощью зависимости (5), полагая

и(()=Ш(()+2^[/(()/5 (()] .

В уравнении (2) значение Рэм(() заменяем по формуле (4).

Таким образом, в первом варианте переменными состояния считаем П((), 5(() и Х((), во втором - П((), 5((), /((), причем уравнения имеют вид

П (()=— п(()-- Р (()) 5(')]2+^ - — [/ (' КС)];

m m -1 mL

8 ((И (t);

d г

(8)

и(()=Ш(()+[/(()/5 (()] .

Принимая

5 (()=0, п (()=0, /(()=£(()=0, XV (()=0,

получаем характеристики стационарного состояния подвеса массы:

= mg; X СТ = 2^рэм;

1 (9)

иСТ VСТ5СТ; /СТ = иСТ /Ш. 2у

Значение 5СТ считаем заданным.

3.3. Геометрическая линеаризация уравнений математической модели системы

Сравнивая уравнения (7) и (9), отдаем предпочтение первым.

Произведя геометрическую линеаризацию уравнений (6), имеем

ДП (()=-ДГ|(()-VСТ (()АХ(()-тД/(();

— 2у— —

Д8 (t )=Дп(();

Ay(t(tСТ -A[vСТA8(t)+AV(t)8СТ] .

(10)

Здесь An(0, A8(t), Ax(t) - отклонения системы от стационарного состояния (9) системы ЭМ-подвеса.

де

Дп (t)=ГД1 (t)+Г2Д8 (t)-L[f (t)+ВД] ;

Д8 (t)=Дп (t) ; (ц)

U(t)-UСТ = RAI (t)+ 2vД

d i (()

dt I8 wj

Здесь введены коэффициенты линеаризации

1 2 / ^гг, \ 3

СТ СТ

Г =-2vIСТ /8

= -2v(lСТ) /(8СТ) .

Вариацию последнего члена третьего из уравнений (7) не выписываем. Легко видеть, что уравнения (10) содержат два коэффициента геометрической линеаризации, в то время как уравнения (11) - четыре.

4. Методы проверки устойчивости и оптимальное управление квазистационарным состоянием левитации

4.1. Управление ЭМ-подвесом по принципу отрицательной обратной связи В соответствии с выражениями (1) полагаем в третьем уравнении (7)

и (() = -*! у (()-к 2 у ((); и (()=-к1 (-5(( ))+к 2П(();

5 (()=п(().

В результате получаем

ш

XX (()=-к1 (5 н -5(())+к 2П(()-— х(( )5(( )• (12)

Здесь к1, к2 - коэффициенты, определяемые из

некоторого критерия оптимальности управления.

Аналогично для возмущенного движения (относительно стационарного состояния) ЭМ принимаем

Ди (()=к1Д5(()+к 2Дп(().

Геометрическая линеаризация уравнения (12) приводит к соотношению

ДхХ (t ) = к 2Дг|(( )+

R СТ

к1- — V 2v

Д8(t)-

- £8 стДх(),

которым заменяем третье из выражений (10). Введем обобщенный вектор

X(t) = colon[r|() ) 8(t) ) )]

переменных состояния системы ЭМ-подвеса и представим уравнения (7), (12) в виде

1Н ) = А(Н ),пН ),8(? ))Х ()+р ()+и Н),

где обозначено

П (t -10 )=Ve Л( "to )V-1.

Здесь обозначено:

V = (Vi V3 ],

(16)

A ((t ),8(t))

к ' ! 1

m 1

4vm 0

V()

4 «()

F (t ) =

11 2v g - i (f (t )+5(())

■ Л("о )= di.

:diag

)e A 2 ((-t0 )/з((-to)

! e

m

0

-к18 н

Соответственно записываем выражение для вариации

Al (t )=г( СТ ,8 СТ )а1 (t )+AF (t )+АС (t),

(14)

где Vj - собственные векторы; А] - характеристические числа матрицы Г. Если вещественные части чисел А] отрицательны, стационарное состояние (9) считаем устойчивым. Переходной процесс при возмущении АХ(?о) определяется первым слагаемым

выражения (15). Соответственно напряжение будет изменяться по закону

Аи ( )=к^8()+к 2Ап( ).

Паре комплексных характеристических чисел

А j = rj ± j , КеА j < 0

соответствует пара комплексных собственных векторов см. уравнения (10) и (13). Матрица геометрической л ^ V

линеаризации

Г( СТ ,8 СТ )=

к / m 1 к 2

I

0 0

r. ,ст

■ к1-—V I 2v

1 СТ —V СТ

2vm

0

-R 8 СТ i 2v

матрицы Г устойчивой системы. Поэтому выражение (16) может быть представлено в виде

векторы AX (t), AF (t), AU (t) имеют вид

AX(t) = colon[An(t) AS(t) A^(t)],

1 (t) = 2 {(V1 + iV2 )eRt (cosßt+isinßt )C1 +(V1 - iV2 )e Rt (cosßt - isinßt )C 2},

+

AF (t ):= colon

- m (f (t )+yt ))jojo

m

AU (t ) = colon [0|0| AU (t )].

Заметим, что при математическом конструировании регулятора, основанного на введении обратных связей, коэффициент демпфирования к можно опустить.

Решение уравнения (14) записываем в виде

AX (t ) = П (t -10 )AX (t 0 )+

(17)

где V и V2 - вещественные матрицы, составленные из векторов Vj и Vj; е , соъО!, бш^? -диагональные матрицы, сформированные из компо-

±/'Ю 1 ^ ^

нентов е 1 е ^ ; С1, С2 - неизвестные векторы. Если характеристическое число вещественно, векторы Vj также будут вещественными. Из разложения (17) следует

X () = ^е ш С08й( - V2e т мп^С 2.

+

} П (t-t)[aF (т)+АС/ (t )] dx,

(15)

где переходная матрица

Используя начальные условия

X(0) = V1C1, X(0) = ГX(0) = -V2^-1C2,

находим постоянные

C1=v1-1 X(0), C2=-^v2-1 гX(0)

t

0

и составляем решение однородного уравнения при AF = 0 в виде

X ( )=

VxeRt cosßtVj 1 + V2eRtsinQtQV2 1Г

X (0)

фл = J

ф+(д!-ГАГ-AF-AU/) L

dt,

где ф(АХ, AU) - интегрант выражения (18).

Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид

W1AX - Г L - L = 0; W2AU+L = 0.

Подставляя значение

AU (t ) = -W2-1L (t)

(19)

(20)

d "ax" " Г \ -W2-1" "ax" " F

— = 1 +

dt L W^ - Г * L 0

AF (t) = 0 представим в виде

"ax (t ) Г V11! V21 ]

AL (t) V12! V22 J

()t!

Л

д(2)/

C1 C 2

Здесь VII, ^2 есть (3x3) матрицы, составленные из собственных векторов, отвечающих характери-

стическим числам Л(1);

V21, V22 - векторы, отве-

где выражение в квадратных скобках определяет передаточную матрицу.

4.2. Управление квазистационарным состоянием по критерию минимума квадратичного функционала

Введем функционал (критерий качества стабилизации стационарного состояния системы)

ф =| -2 (д! +ди *W2ДU ) шт, (18) 0 2

где Wl, W2 - диагональные матрицы весовых коэффициентов.

Учитывая условие связи (14), составим функционал Лагранжа

(2)

чающие числам Л '. Поскольку

lim AX (t) = 0, lim AL (t) = 0,

постоянный вектор C2 := 0 . Следовательно,

AX(t) = V11eЛ(1)СЬ AL(t) = V12eЛ°)С1.

Используя начальные условия

AX (0) = VnC1,

находим

C = VulAX 0

и получаем вектор-функции

AX (t )=(Vne Л%11 W (t 0);

AL (t)

V eЛ(1)^-1Л V12e V11

AX (t 0).

Оптимальные управления находим по формуле (20). Переходную матрицу, отвечающую уравнению, определяем выражением

П (t)

V1

11

V1

12

Л(\/-1 e V11•

в уравнение (14), получаем совместно с (19) систему уравнений

(21)

Полагая все характеристические числа матрицы уравнения (21) различными, разобьем их на две группы и сформируем из них матрицы

Л (1)= diag [1 X 2 X з ] ;

Л(2)=-diag[ Х2 Х3] , где все Яе X у < 0. Решение уравнения (21) при

4.3. Применение метода динамического программирования

Введем функцию Беллмана

го

ф^,) = min f /0 (X(т), U(x))dx

0

и уравнение движения системы

X(t) = f (X(t), U(t))• Уравнения Беллмана запишем в виде

f +/*Ф'=0, /0 + /*Ф' = 0, Ф' =:d^.(22) du du 0 dX

Из приведенных уравнений можно получить равенство

/0

д/ _ д/0 д/

du du du

Ограничимся рассмотрением линейной системы

AX (t )=Г AX (t )+AU (t)

Если удерживать в разложении

при квадратичном критерии качества управления

Ф(Xt )=J(

t

AX W1AX + AU W2AU)dx^ min.

(24)

(25)

AX

4W1 - 4 Г* K - K *W2-1K

AX = 0.

dU

= fo (lÄV) (

u-u" ), =fo (m

ф(U+AU)-ф(и) : =dU'AU+dU|AU2 + 0

При этом из уравнений типа (22) следует

2Ж2Аи + Ф ' = 0, АХ *Ш1АХ+Аи *Ж2Аи + (ГАХ+А0 )* Ф'=0. (23)

Подставляя в условие (23) управление

А ¿7 = -1Ж2-1Ф', 22

получаем

4 АХ*Ж1АХ+(ф')* Ж2-1Ф'+4 АХ * Г * Ф'--2(Ф ')* Ж2-1Ф ' = 0.

Решение уравнения (25) разыскиваем в виде

Ф ' = КАХ, (26)

где К есть матрица, подлежащая определению. Подставляя формулу (26) в условие (25), имеем

квадратичные члены, получаем [3]

и7=-$(пМ(и-и-).

Удерживая лишь линейный член, полагаем

и

= -f0 (8 ¥)(

U-U СТ),

(28)

что соответствует методу «наискорейшего спуска» в направлении антиградиента. В некоторой степени выражения (27), (28) напоминают уравнения оптимального управления метода отрицательной обратной связи. Формулы (27), (28) дополняют уравнения (7) до полной системы относительно переменных

n(t), 8(t), V(t), U(t).

Поскольку полученное равенство должно выполняться при любом АХ () , получаем

К *Ш-1К + 4 Г * К - 4Ж1 = 0.

После вычисления матрицы К по формулам (24) и (26) находим управления Аи(1) .

4.4. Управление квазистационарным состоянием системы ЭМ-подвеса по дифференциальному критерию качества

Введем «текущий» критерий качества управления

ф = 1шт/0(п,8,Ж) (и-иСТ)2,

где, например, полагаем

/0: =Х1 (П-Пд)2 +Х2(8-8СТ)2 +Х3 2

Х1, Х 2' Х 3 - весовые коэффициенты. Определим производные

ЭФ _ г (гг ггСТ\ д2Ф

4.5. Перевод системы из заданного начального в конечное состояние за определенное время

Составим матрицу управляемости [3]

Т

¥(Т, 10) = / П(Т-т)Ви(х)Б;(т)П*(Т-т^т (29)

системы

АХ (1) = Г( Т СТ ,8 СТ ,п СТ )АХ (1)+В и Аи (1),

где Г - матрица геометрической линеаризации; П(Т -т) - переходная матрица.

Введем допущение, что матрица У(Т,10) является неособенной; 10 — 1 — Т.

Определим управление А и(1) , переводящее сис-

^ ^ СТ

тему из состояния Х0 в положение X (Т), выражением

-1,

AU(t):=-Бц-П (t0,t)Y \T, to)x

X 0 - П(Т, t1)AX По определению

СТ

(30)

X (t)=П(Т ,t 0)

X 0 + J П(t 0,т)Би AU (T)dT

,(31)

так как

П(Т 10 )П(10,т) = П(Т ,т).

Подставляя в выражение (31) управление (30), имеем

X

СТ

X (T) = П(Т ,t 0 )

J|n(t 0,т)Би (T)B^(t )П *(t 0,т)

и возмущения

Ф (t): =:

g

f (t H(t)

xdTX Y-1(T,t 0) XoСТ - П(Т,^) XIТт

= П(Т 10 )П(10,Т ) X (Т ) - X (Т ),

см. обозначение (29). При малых зазорах ЭМ-подвеса уравнения (30), (31) оказываются весьма корректными. В частном случае принимаем X0 := 0 .

5. Пример исследования устойчивости возмущенного состояния ЭМ-подвеса, управляемого по методу обратных связей

Введем безразмерные переменные состояния

,1 (1 ) = М1, ,2(1 } = А|), (1 )=Л¥()

П adm { ^ Уравнение (10) представим в виде

() = а13х3 ()+ф() ,

* 2 ( ) = а 21Х1 ( ) ,

*3 () = а31Х1 ()+ а32*2 () + а33*3 () .

Все постоянные коэффициенты а13,...,а33 име-

-1:

ют размерность с 2

a13 =-((СТ)2vtmnadm =—; а21 =Пат ^

nadm С

СТ

а31 = k2^adm ' V ; а32:

n adm управления

.AUít/ =1 к 8 СТ

V

СТ

k1 R8

СТ

V

СТ 2V

Au (t)

UCT UCT

(k18 СТ x2 (t)+* 2П admx1 (t))

(32)

^ СТ а33 =--8 , 2v

см. размерности величин П, 8, I, а также т, Я, V. При этом размерности

k1 ~ Нм/Ас, к2 ~ На.

СТ

i

1

2>]

A8(t)

adm ^

AU (t)

An(t)

Рис. 5. Структурная схема системы автоматического управления

t

0

Заметим, что в формулу (32) можно ввести и обратную связь по ускорению 8 .

Матрица геометрической линеаризации:

Г х =

0 0 a13 a 21 0 0

a31 a32 a33

Приведем результаты исследования возмущенного движения массы системы ЭМ-подвеса при следующих исходных данных: $ = 1,08-10 2 м2;

n

= 216; R = 1,43 Нм/Л2с.

Характеристики стационарного состояния подвеса массы:

8 СТ = 0,02 м ; рСТ = 1000 Н;

m

= 101,94 кг ; Y СТ = 0,79 Нм/Л

v = 1,58-10

-4

(Нм 2/ Л:

uСТ = 50,25 Нм/Лс; IСТ = 35,14 А . a13 =-1959,6 с-1; a21 =0,5 с-1; a31 =1,258 с-1;

ц 0 = 12,56-10 -7H/A2;

СТ

-1

а32 = 22,816 с-1; а33 =-90,392 с

где принято П ^т = 0,01 м/с - допустимая скорость изменения зазора; = 90 Нм/Ас, к2 = 100 НА .

Блок-схема управления и результаты расчетов, выполненные на основе пакета программ МЛТЬЛБ, приведены на рис. 5 - 9.

х2(г)

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2

Рис. 6. График изменения переменной состояния х 2 (г) при X 0 = [0 1 0]

xi(t) 0 -2 -4 -6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 г, с Рис. 7. График изменения переменной состояния х1 (г) при X 0 = [0 1 0]

x3(t) 0,2 0,15 0,1 0,05 0

-0,05 0

-0,05 -0,1

t, с

Рис. 8. График изменения переменной состояния х 3 (г) при X 0 = [0 1 0]

ди (г), Нм/Ас

0,05

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 -0,0 -0,1 -0,15 -0,2 -0,25 -0,3

Рис. 9. График изменения напряжения Ди (г) Литература

1. Воронцов Г.В., Кузина О.А. Уравнения пространственных колебаний башенного типа // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1997. № 2. С. 53-69.

2. Воронцов Г.В., Ефимов А.И., Саенко А.В. Гашение коле-

баний плоских высотных конструкций системами «пассивных» и управляемых антивибраторов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1997. № 1. С. 49-60.

3. Воронцов Г.В., Федий В.С. Вариационные методы теории

автоматического управления / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т, Журн. Изв. вузов. Электромеханика. Новочеркасск, 2003.

4. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М., 1988.

5. Воронцов Г.В., Федий В. С. Системы оптимального оценивания состояний и автоматического гашения колебаний высотными механизмами // Изв. вузов. Электромеханика. 2000. № 2. С. 109-113.

6. Воронцов Г.В., Федий В.С. Прямой метод восстановления

переменных состояния в задачах оптимального управления многомерными системами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. № 4.

Постановка задачи. Генетические операторы накладывают стохастический шум на процесс эволюции, осуществляя переход и исследование новых областей и точек пространства [1]. Воздействуя с некоторой вероятностью на генотипы родительских особей, каждый из них, с одной стороны, обеспечивает передачу потомству наиболее важных признаков, а с другой -поддерживает на протяжении эволюционно значимого периода достаточно высокий уровень его изменчивости. Выщепление в потомстве новых, отличных от родительских, фенотипических признаков открывает для популяции дополнительные возможности адаптации, т.е. способствует сохранению ею поисковой способности [2].

Введение элитного отбора в мажоритарный генетический алгоритм и выделение единой для популяции доминанты привело как к изменению генетического алгоритма в целом, так и процессов выполнения его отдельных генетических операторов [3]. Модификации подвергся, прежде всего, оператор кроссинго-вера (ОК), который наряду со способом кодирования решений в хромосоме определяет эффективный обмен информацией в процессе эволюции.

Описание алгоритма. В предлагаемом варианте выполнения этого генетического оператора устранены такие недостатки ОК, описанного в [4], как неопределенность в выборе признака доминантности потомка и

7. Астахов В.И., Кирсанов А.Г. Разработка систем электрического привода и магнитного подвеса. Новочеркасск, 1987.

8. Девятова И.О., Воробьев В.А. Контуры угловой стабили-

зации экипажа ВСНТ с электромагнитным подвесом / Под общ. ред. В.Д. Нагорского // Тр. ММИТ. Вып. 572. М., 1997. С. 40-50.

9. Вопросы магнитного подвеса экипажа высокоскоростного транспорта // Тр. МИИТ. Вып 572. М., 1977.

10. Бочаров В.И., Бахвалов Ю.А., Талья И.И. Основы проектирования электроподвижного состава с магнитным подвесом и линейным тяговым электроприводом. Ч.1. Ростов н/Д., 1992.

11. Бочаров В.И.. Винокуров В.А., Иагорский В.Д. и др. Высокоскоростной наземный транспорт с линейным приводом и магнитным подвесом. М., 1985.

г.

изначальное условное деление родительских особей по «половому признаку». Формально образование нового потомка в результате выполнения ОК в мажоритарном генетическом алгоритме с элитным отбором может быть осуществлено с помощью схемы, представленной на рис. 1, согласно которой предполагается, что в ОК участвуют две родительские особи Р / и

Р т, и в результате создается новая особь Р/+1. Как следует из схемы, набор генов потомка некоторого локуса j е {1, 2, ..., /}, где I - длина хромосомы, формируется из генов соответствующего локуса j родительских особей.

Это служит предпосылкой для распараллеливания процесса выполнения кроссинговера мажоритарного генетического алгоритма с элитным отбором.

Далее для простоты будем обозначать набор генов особи Р / некоторого локуса j = 1, I с помощью

кортежа <х/, у/) соответственно, особи Р'т - с помощью кортежа <хт, ут) и особи Р1+1 - с помощью кортежа <х-+1, у—1 ). Рассмотрим процесс «сборки» набора <х-+1, у—1) потомка из двух наборов <х/, у/) и <, Ут) р°дителей-

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт) 11 февраля 2005

УДК 004.3+519.226.3

ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ МАЖОРИТАРНОГО ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА С ЭЛИТНЫМ ОТБОРОМ

© 2005 г. А.Ф. Чипига, Р.А Воронкин