Исследование автоколебаний, возникающих при динамическом контакте деформируемых тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 004.3

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИИ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ КОНТАКТЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

© 2012 г. ВА. Кабельков, А.Н. Кабельков, В.В. Нефедов, П.В. Калинин

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Решается задача об исследовании колебаний деформируемых конструкций с использованием уравнений механики вязкоупругого твёрдого тела. Вариационными методами уравнения в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае, с переменными коэффициентами. Исследование устойчивости производится на основе совместного решения уравнений основного состояния и спектральной задачи для линеаризованного уравнения возмущённого движения. Для исследования периодических режимов, ответвляющихся от основных, используются методы Ляпунова - Шмидта и эквивалентной линеаризации. Для подавления колебательных режимов или ограничения их амплитуд конструируются системы оптимального управления.

Ключевые слова: колебания; устойчивость; линеаризация; подавление колебаний; оптимальное управление.

The problem about research of fluctuations of deformable designs with use of the equations of mechanics of a viscoelastic firm body dares. By variation methods of the equation in private derivatives are reduced to systems of the ordinary differential equations, generally, with variable factors. Stability research to be made on the basis of the joint decision of the equations of the basic condition and a spectral problem for the linearized equation of the indignant movement. For research of the periodic modes which are branching offfrom the cores, Lyapunov-Schmidt's methods and an equivalent linearization are used. For suppression of oscillatory modes or restriction of their amplitudes optimum control systems are designed.

Keywords: fluctuations, stability, a linearization, suppression of fluctuations, optimum control.

Для постановки задачи исследования колебаний деформируемых конструкций используются уравнения механики вязкоупругого твёрдого тела.

Соответствующие уравнения сопровождаются смешанными граничными условиями: на одной части поверхности тела задаются неконсервативные нагрузки; на другой - перемещения. Вариационными методами уравнения в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае, с переменными коэффициентами.

Исследование устойчивости производится на основе совместного решения уравнений основного состояния и спектральной задачи для линеаризованных уравнений возмущённого движения.

Для исследования периодических режимов, ответвляющихся от основных состояний, используются методы Ляпунова - Шмидта и эквивалентной линеаризации.

Решены задачи: о фрикционных колебаниях в различных механических системах; об обтекании высотных сооружений потоком воздуха.

С целью подавления колебательных режимов или ограничения их амплитуд конструируются системы оптимального управления на основе формализма Ла-гранжа - Эйлера.

Решены задачи о подавлении колебаний в различных фрикционных системах; управлении параметрически возбуждаемыми колебаниями в высотных сооружениях; оптимальном переносе роботом-манипулятором изделия из одной точки пространства в другую; управлении впрыском топлива в дизельных двигателях автомобилей; пассивно-активных методах управления колебаниями высотных и протяжённых сооружений.

Общие уравнения движения вязкоупругих тел

Для постановки и решения задачи исследования автоколебаний в деформируемых системах используем уравнения механики вязкоупругого твердого тела.

Пусть тело занимает область V трехмерного евклидова пространства, ограниченную поверхностью & Положение (конфигурацию) деформируемого тела в

пространстве задаем радиусами-векторами его точек в любой момент времени. Рассматриваем три конфигурации тела: отсчетную V, в качестве которой выбираем конфигурацию недеформированного тела; основную V0, соответствующую установившемуся процессу деформаций; возмущенную V . Радиусы-векторы точек в каждой из них обозначаем соответственно г,

'(t), r (t) , причем

r

(t ) = f (r, t), r (t ) = f (r, t), r e V

(1)

Отображения (1) конфигурации V в V или V называем деформациями. Якобианы этих отображений в каждый момент времени считаем не вырожденными:

где матрица-оператор E* = diag

D+V1

DD+Х31

D - производная по времени, X5 - постоянные, имеющие размерности времени; V - вектор параметров нагрузки.

Связь между напряжениями и деформациями представляем в виде

£ = Es +....

(2)

Е = JG^T (G-1) ;

(3)

Т - тензор истинных напряжений в конфигурации V

В формулах (2) и (3) обозначения «-» и «-1» соответствуют операциям «свертки» и «обращения» тензоров.

Тензоры четвертого Е ранга определяем выражением

_ t

Е = ЕЭ(/,0)(-)d0 ,

о

здесь Е - тензор упругих характеристик материала; Э - тензорное ядро релаксации.

Движение тела в отсчетной конфигурации V описываем нелинейными уравнениями:

(4)

0 < J = det(5Д)<<», 0 < J = detгf .

Поле смещений описываем вектором W (г, t). Градиент деформации по отношению к конфигурации V0

G = I + )т ,

где обозначено I = ггт;- - единичный тензор; V -

оператор Гамильтона; Т - знак транспонирования.

В качестве меры конечной деформации выбираем тензор Коши - Грина

2е = Gт G -1 = VW + (VW )т +VW (VW )т .

Объемные силы, действующие на тело, полагаем стационарными:

F = F (г, W, XV, VW).

Считаем, что на части поверхности конфигурации V заданы смещения w| 51 = 0; на части 52 -неконсервативные усилия

Е*Р =ф(г, W, , V),

где тензор обобщенных напряжений по отношению к конфигурации V

pW = + F; Ет = Е, Р = ^Е) п .

Уравнения (4) совместно с граничными условия-

W| 5 = 0,

^Е) п = Е-1ф (г, W, , V) = Р (г, W, , V)

составляют нелинейную смешанную краевую задачу движения вязкоупругого тела относительно отсчетной конфигурации V.

Аппроксимирование вязкоупругих систем с распределенными параметрами системами с конечным числом степеней свободы

Вязкоупругое тело может быть аппроксимировано системой с п степенями свободы при описании

смещений W (г, ^ = [W1 (г, t) W2 (г, t) Wз (г, t)]т выражением W (г, t ) = ^ (г) W ^), где ^ (г) -матрица с заданными компонентами-функциями г; W^) = [W1 (t) ... Wn (t)]т - конечномерный вектор обобщенных координат.

Уравнение движения системы, полученное на основе принципа стационарности дополнительной работы, в этом случае представляем в матричной форме:

М^ + R(W, , v1) + Н (W) W = F* (W, , V2).

Здесь инерционная матрица М = | х¥т px¥dV ; R -

V

вектор обобщенных диссипативных сил; Vу (у = 1,2) -

векторы параметров системы и нагрузки; Н - секущая матрица жесткости.

Вектор обобщенных неконсервативных стационарных усилий

F* = | FdV + | Тт Pds .

V 52

r

Основное (равновесное) состояние системы определяем из уравнения

R(W0, XV0, и,) + Н (W0) W0 = F* (W0, XV0, и2). (5)

Уравнение возмущенного движения системы имеет вид

- Г (а, W0 )5\У + II (W0 ^ = F (W0,8W, , а),

(6)

где матрицы

i F*" R )|

5W W 0

Н

HW - F* + R). cW

Соотношением S( HW ) = HT SW вводим

W0

«танген-

циальную» матрицу жесткости.

Определение критических параметров вязкоупругих систем

Для исследования устойчивости основного состояния рассматриваем линеаризованное уравнение возмущенного движения

M5W -SW + H5W = 0.

(7)

X 2M -xr +

Нш)

5w = 0.

(8)

и = m + an .

(9)

Расчет автоколебательных режимов методом Ляпунова - Шмидта

Для нахождения амплитуд и частот автоколебаний в уравнении (6) производим замену переменной х = юt . Здесь ю - разыскиваемая частота автоколебаний. В результате получаем

-юГ+ H5W = F(8W,,ю,а) , (10)

где матрицы Г, Н и вектор F зависят от смещений W0, соответствующих акр. Точками обозначены

производные по х.

Параметрам сообщаем приращения, полагая

2

а = акр +У .

Решение операторного уравнения разыскиваем в виде рядов по степеням малого параметра V :

SW = £ ^v к Wk, Ю = Е

ад к к=0V ®к

(11)

Дифференциальное уравнение (7) исследуем стандартным образом. Полагая SW ^) = ех*8w , получаем спектральную задачу

Критической совокупности параметров системы соответствует пара корней X = +/ю ; остальные имеют Re Х< 0.

Для нахождения критических параметров следует совместно решить задачи (5) и (7), например, при

где т и п - векторы с заданными коэффициентами. Уравнению (9) соответствует некоторая прямая в многомерном пространстве параметров уе (е = 1,...,k). Значения акр определяют расстояния от точки с координатами mj до пограничных поверхностей, разделяющих области устойчивости и неустойчивости. Постепенно наращивая параметр а, из уравнения (5) находим соответствующие смещения W0 и корни спектральной задачи (8). Используя метод последовательных приближений, с необходимой точностью вычисляем акр .

кр

Изложенный способ нахождения критических параметров и является распространением метода D -разбиения на связанные задачи для вязкоупругих систем, когда матрицы и Н зависят от основного состояния W0.

Подставляя ряды (11) в уравнение (10), получаем последовательность уравнений:

ю2M8Wk - ю0+ Н^ =

= Фk (5^,..., SWk-1; 5^,..., 5Wk-l), (12) где ф - нелинейные вектор-функции, зависящие от предыдущих решений. Первое уравнение ^ = 1), однородно и соответствует задаче (8) о собственных значениях.

Для k > 1 имеем

5Wk (х) = Ak (5Сие'х +5Спе-гх) + 5™; (х),

где 5Wk' - частное решение уравнения (12).

Лк находим из условия существования 2л - периодического решения соответствующих приближений:

2л

| (у,фdх = 0.

0

Здесь (у,Ф^ = | уФkdV; у - решение системы

уравнений

[м-1нкр ]

[M-1Гкр ]_

сопряженной с

"sW" " 0 I " "SW

sW _ М-1Н КрЮ-2 М-1Г кр®-1 _ sW

Изложенная методика использована при решении задач о колебаниях высотных сооружений, роботов-манипуляторов, фрикционных систем, систем резания и бурения [1 - 4].

Задачи об определении оптимальных управлений, доставляющих минимум квадратичному критерию качества, рассмотрены в работах [2 - 4].

Работа частично поддержана грантом РФФИ №09-08-90711-моб ст.

(

Литература

1. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование автоколебаний возникающих при динамическом контакте вязкоуп-ругих тел // Прикладная механика. 1987. № 1. С. 108 - 114.

2. Нефедов В.В., Кабельков А.Н. Расчёт управляющих воздействий при заданной программе движения схвата по-грузочно-разгрузочного робота // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2002. № 1. С. 15 - 17.

3. Притыкин Д.Е., Кабельков А.Н. Исследование устойчивости программного движения робота-манипулятора на основе пантографного механизма по первому приближению // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 2. С. 40 - 45.

4. Исследование состояний и управление колебаниями вяз-коупругих систем / А.Н. Кабельков [и др.] // Нелинейный динамический анализ : тез. докл. междунар. конгресса, г. Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007. СПб., 2007. С. 38.

Поступила в редакцию 27 января 2011 г.

Кабельков Виктор Александрович - старший преподаватель, кафедра «Теоретическая механика», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. +7 (8635) 255-444. E-mail: [email protected]

Кабельков Александр Николаевич - д-р тех. наук, зав. кафедрой «Теоретическая механика», Южно-

Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Нефедов Виктор Викторович - канд. техн. наук, доцент, декан физико-математического факультета, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. +7 (8635) 255-444. E-mail: [email protected]

Калинин Павел Васильевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Теоретическая механика», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. +7 (8635) 255-444.

Kabelkov Victor Aleksandrovich - senior lector, department «Theoretical Mechanics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. +7 (8635) 255-444. E-mail: [email protected]

Kabelkov Alexander Nikolaevich - Doctor of Technical Scince, professor, head of department of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

Nefedov Victor Viktorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, The dean of physical and mathematical faculty, South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph.+7 (8635) 255-444. E-mail: [email protected]

Kalinin Pavel Vasilevich -Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Theoretical Mechanics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph.+7 (8635) 255-444.