CC BY
48
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 533.69
В.В. Ветров, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-18-79, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
И.В. Дунаева, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-18-79, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
П.В. Панферов, асп., (4872) 35-18-79, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ГАЗОДИНАМИКИ И ДИНАМИКИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ РАКЕТЫ
Моделируются сопряжённые процессы динамики неизотермического деформирования материала гофрированной оболочки и газодинамических процессов внешнего обтекания и во внутренней полости обтекателя.
Ключевые слова: математическая модель нестационарных газодинамических процессов, уравнений движения вязкого многокомпонентного газа, напряженно-деформированное состояние элементов конструкции.
Рассматротрим возможность снижения аэродинамического сопротивления летательного аппарата путем использования деформируемой в полете кормовой части (рис. 1). При выстреле пороховыми газами производится разгон снаряда в стволе и одновременно через дроссельное устройство происходит накопление газа высокого давления в накопительной полости, образованной донным срезом снаряда и опорным диском. Гофрированная оболочка во время нахождения снаряда в стволе под воздействием высокого уровня давления поджимается к опорному диску, поэтому для обеспечения необходимой прочности конструкции не требуется большой толщины ее стенок. После выхода снаряда из ствола давление окружающей среды (давление за донным срезом снаряда) становится значительно ниже давления газа в накопительной полости. За счет перепада давлений дроссельное устройство начинает двигаться в осевом направле-
нии, при этом гофрированная оболочка начинает распрямляться под действием внутреннего давления и обеспечивает обтекаемую форму кормовой части. Расправленная гофрированная оболочка позволяет добиться значительного снижения донного сопротивления и тем самым увеличения дальности полета.
Для расчета необходимых параметров рассматриваемой конструкции требуется моделирование процессов динамики неизотермического деформирования материала оболочки и газодинамических процессов внешнего обтекания и во внутренней полости обтекателя. Эти процессы сопряжены по границам раздела сред - поверхностям деформируемой оболочка - и объединены граничными условиями в зоне их взаимодействия.
Рис. 1. Кормовая часть до и после деформирования
Основу математической модели процессов нестационарной газодинамики составляют уравнения движения вязкого многокомпонентного газа. При построении математической модели движения газовой фазы использовались следующие общие допущения: газ представляет изотропную среду со свойствами ньютоновской жидкости, фазовые переходы отсутствуют.
Система уравнений имеет вид [1]:
- уравнение неразрывности многокомпонентной газовой среды
дсь —' N
р—^+pw§г^^ = .1к — div(mDkX X^ =1; v^ , t >0; (1)
д k=1
- уравнение количества движения
d w _ -
р-= -gradP + Div а —х Div(mDkWDk), ^ xm eVo, t > 0; (2)
dt k
- уравнение энергии
dE —► —► — —
р— =—div(PW) + div(аW) + divqт + Xpck ^к ■ WDk +
л k
+ X div(аW Dk) — X Л;у(рскЕк WDk), V хт eVO, г > 0, (3)
k I
2
где Vo - объем области; г - время; Е = и + W /2 - удельная полная энергия смеси; и = суТ - удельная внутренняя энергия; W - вектор скорости потока в данной точке (среднемассовая скорость); Р и Т - местные термодинамическое давление и температура; хт - пространственные координаты; р - плотность среды; qт - вектор плотности теплового потока; k = 1,2,3..^ - индекс компонента смеси; N - число компонентов смеси; Ck - массовые концентрации к-х компонентов, определяющие состав среды; а - тензор напряжений вязкости; W Dk - вектор скорости диффузии компонента к, вектор скорости компонента относительно потока WDk = Wk — W; X - коэффициент теплопроводности; су - удельная теплоемкость смеси; ду - удельное выделение теплоты, отнесенное к единице массы; mDk - диффузионный поток массы к-ого компонента;
- уравнение состояния:
N
Р = рТ XСккк . (4)
k=1
Для расчета рассматриваемых течений использован модифицированный численный метод крупных частиц [2], реализованный на неравномерной сетке методом конечных элементов [3]. Введение указанной сетки объясняется необходимостью совместного моделирования процессов газодинамики и динамики неизотермического деформирования оболочки.
Схема расщепления приведенной системы уравнений построена для конечных частиц тетраэдальной (для трехмерной постановки) и треугольной (для двумерной постановки) форм с использованием линейной функции аппроксимации параметров потока. Подробно соотношения эйлерова этапа для таких частиц рассмотрено в [3]. На лагранжевом этапе расщепления при вычислении эффектов переноса массы через стороны как тетра-эдальных, так и треугольных ячеек используется разностная формула первого порядка точности
АМ; = Аг
~П
р±
N
+ X mDki к=1
(5)
где АМ; - приток массы через ¡-ю грань частицы; р ± - значение плотности в данной или соседней частице в зависимости от направления перетекания массы; эх;, Эу;, - площадь проекции соответствующей
грани тетраэдра на оси х, у и г соответственно; V$, - значения со-
ответствующего параметра в середине грани /.
Значения плотности, скорости и энергии частиц к концу шага интегрирования по времени вычисляются в соответствии с законами сохранения массы, импульса, полной энергии.
Напряженно-деформированное состояние элементов конструкции моделируется в динамической постановке с учетом нестационарного нагружения конструкции силовым воздействием со стороны газового потока. Для получения уравнения деформирования использован принцип виртуальных работ [4]:
|с уЬеудм = |¥^ Ьи^дм +1ТдUjdS - |ра;-Ьи^дм, (6)
где м и $ - объем и поверхность тела; Су, еу - компоненты тензоров напряжений и деформаций; и} и а} - компоненты векторов перемещений и ускорений; ¥} и Т - компоненты векторов объемных поверхностных сил;
р - плотность материала.
В области упругости связь напряжений и деформаций выражается в
Е Е
виде {с} = [О ] • {е}, где [О ] - матрица упругих постоянных. В связи с
тем, что рассматриваются быстропротекающие процессы, для определения сил сопротивления, вызванных явлениями вязкости, использовалась зависимость
*•” = 2ц(Т, еу, % ^ - 8уви / 3), (7)
где /л(Т, еу, ¿у) - коэффициент, учитывающий вязкость; 8у - символ Кро-некера.
Решение задачи при наличии пластического деформирования проводится на основе теории течения при изотропном упрочнении, основу которой при условии текучести Мизеса составляют уравнения Прандтля-Рейса, при этом учитывается неизотермичность нагружения. В соответствии с теорией неизотермического упругопластического течения при изотропном упрочнении приращение полной деформации деу представляется
в виде суммы [4]
деу = дгу + де™ + де Р + ЬудеТ, (8)
где ее - приращение упругой деформации; ет - приращение деформаций
вследствие вязкости; еР - приращение пластической деформации;
Т
е -приращение температурной деформации.
В рассматриваемых задачах диапазоны перемещений точек конструкции находятся в таких пределах, когда форма тела значительно изменяется, однако, деформации при этом остаются малыми. Для таких конст-
рукций решение усложняется требованием пересчета геометрии тела в процессе вычислений в связи с необходимостью коррекции граничных условий при больших перемещениях. В связи с этим, в данной работе при расчете рассматривается изменяющаяся геометрия тела, а деформации и перемещения в каждом актуальном состоянии связываются в области упругости известными соотношениями Коши.
Учитывается возможное вращение элемента среды, приводящее, с одной стороны, к изменению составляющих тензора напряжений и деформаций в глобальной системе координат при повороте локальной системы, а с другой - к изменению кинетической энергии вращения элемента.
Для численного решения уравнений упруговязкопластического деформирования применялась итерационная процедура метода дополнительных деформаций.
В соответствии с методом конечных элементов построена дискретная модель тела, состоящая из конечного числа связанных соответствующим образом в узловых точках конечных элементов. Для расчета как механической, так и газодинамической задач в осесимметричной постановке использовались единые гибридные элементы, состоящие из нескольких кольцевых треугольных конечных элементов с тремя узлами с линейной функцией распределения перемещений и температуры.
Глобальное разрешающее уравнение МКЭ для НДС имеет вид
внешних сил, демпфирования и масс.
Дискретизация по времени при численном расчете динамического процесса деформирования осуществлена методом конечных разностей с применением неявной разностной схемы
Расчет процесса нестационарной теплопроводности осуществляется методом конечных элементов по стандартному алгоритму (рис. 2) на единой конечно-элементной сетке с задачей деформирования.
(9)
Т Т
где [К], {^}, {О} , {М} - глобальные матрицы жесткости, узловых
[К] + -±-[О] + -11[М] |{и4+1} = {^} + {О}Т{-1}+
^ 2Д д^2 ) 2Д к }
(10)
Рис. 2. Обобщенная блок-схема алгоритма численного моделирования сопряженных процессов газодинамики и динамики деформирования
элементов конструкций
Разработан алгоритм (см. рис. 2) и программа численного моделирования рассматриваемых процессов. Для оценки справедливости предложенных соотношений и алгоритма вычислений произведено решение ряда тестовых задач и доказаны сходимость и устойчивость решений.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.
847 с.
2. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с.
3. Дунаев В. А., Бригадиров М.Г. Вычислительный эксперимент в тепломеханике реактивных снарядов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. 144 с.
4. Термопрочность деталей машин; под. ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1975. 456 с.
V. Vetrov, I. Dunaeva, P. Panferov
Mathematical modeling of conjugate processes and dynamics of non-isothermal gas dynamics of deformation of a structural missiles
The dynamics of processes involving non-isothermal deformation of the material of corrugated shell and gas-dynamic processes and the external flow in the inner cavity of the fairing are modeled.
Keywords: mathematical model of unsteady gas-dynamic processes, equations of motion of a viscous multicomponent gas, stress-strain state of structural elements.
Получено07.04.10
УДК 664-047.58
Е.А. Ядыкин, д-р техн. наук, проф., начальник Управления ПКВК,
(4872) 35-54-66, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ В ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВАХ
Показана необходимость широкого применения математического моделирования объектов и процессов в пищевых производствах. Приводятся основные принципы моделирования, примеры математических моделей процессов и объектов.
Ключевые слова: моделирование, математическая модель, пищевые производства.
Предприятия пищевой промышленности должны быть надёжны с точки зрения пищевой безопасности и эффективности своего функционирования. Система пищевой безопасности предприятия включает в себя процедуру санитарно-гигиенических мероприятий: личная гигиена персонала, строгое соблюдение технологического процесса производства пищевой продукции, контроль и предотвращение попадания в готовый продукт посторонних включений, санитарная обработка и дезинфекция помещений и оборудования и т.д.
Эффективность функционирования предприятия предполагает стабильность (надёжность) работы пищевого предприятия и минимизацию
