CC BY
32
УДК 517.929
© А. В. Ким, А. В. Ложников
[email protected], [email protected]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ: ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ1
Ключевые слова: системы с последействием, моделирование, устой-
Abstract. The report presents some new results on mathematical modeling and simulation of systems with delays. Constructive theorem on asymptotic stability of linear systems with delays is presented.
Линейные функционально-дифференциальные уравнения
широко применяются при математическом описании различных процессов и систем с последействием. Здесь А, Ат — постоянные матрицы размерности п х п , (?(«) — матрица размерности пхп с кусочно непрерывными элементами на [—т, 0] , х €Е И” , т > 0 .
При исследовании устойчивости таких уравнений возникают существенные трудности, связанные с бесконечномерностью фазового пространства таких систем. Для линейных систем с запаздыванием известен ряд критериев асимптотической устойчивости в терминах собственных чисел характеристического уравнения, функционалов Ляпунова-Красовского, фундаментальной
1 Работа поддержана РФФИ (грант Г1 01-01-00576) и Министерством образования РФ (грант Г1 Е 00-1.0-88).
чивость.
■0
матрицы системы (см., например, [1-6]). Однако следует отметить, что практическое применение этих критериев затруднительно ввиду сложности их представления в форме конструктивных алгоритмических процедур. Поэтому разработка конструктивных критериев исследования асимптотической устойчивости таких систем представляется важной задачей как с теоретической, так и с прикладной точки зрения.
В настоящей работе получен конструктивный критерий асимптотической устойчивости линейных функционально-дифференциальных уравнений (1) в терминах фундаментальной матрицы и параметров системы. Фундаментальной матрицей системы (1) называется пхп матрица F[t], являющаяся решением при t > О матричного функционально-дифференциального уравнения
Г°
F[t] = A F[t] + Ат F[t -т]+ G(s) F[t + s] ds
J —T
с начальными условиями F[0] = 1(1 — единичная матрица), F[t] = 0 при t < 0.
Теорема 1. Система (1) асимптотически устойчива в том и только том случае, когда существует константа Т > 2т такая, что
max \\F[T + s]||nXn х
-2r<Cs<C0
í ís ^
х ^1 + т ||Ат\\пХп I I Wnxndvdsj < 1.
— Т
\\I3x\\
Здесь ||ж|| — норма вектора х €Е R" ; ||/i||„ . „ = max ——— —
IMI=1 INI
норма матрицы В размерности пхп.
Замечание 1. Согласно теореме 1 для асимптотической устойчивости системы (1) достаточно выполнения условия (2) для некоторого конечного момента времени Т > 2т . При
этом для конкретной системы (1) входящие в неравенство (2) нормы матриц могут быть вычислены априори, а фундаментальная матрица F[t] может быть найдена численно на конечном интервале [Т — 2т, Т] (соответствующие алгоритмы и программное обеспечение реализованы в пакете прикладных программ Timedelay System, Toolbox [7]).
Таким образом, теорема 1 позволяет реализовать конструктивную процедуру проверки асимптотической устойчивости системы (1) на основе пошаговой проверки неравенства (2) на последовательности интервалов конечной длины.
Пример 1. Рассмотрим систему (1) с матрицами
А - ( _1 0 ^ А - ( ^0’3 °’2 ^ Г( \ _ ( ^°,3 0
V 0 -0,5 / т V -0,1 0,3 0,5 0,2
и запаздыванием г = 0, 5 . При Т = 15
max \\F[T + s]||nXn х
-2r<Cs<C0
0
х (l + т ||^4т||яхп "I- j \\G(^Wnxndvds^ =0,081.
— T
Таким образом, в силу теоремы 1 тривиальное решение системы (1) с выбранными матрицами асимптотически устойчиво.
Пример 2. Рассмотрим систему (1) с матрицами
А =
-1,89 0 0,2 \ / -1 0
0 -0,9 ° , Ат = -0,1 0
0,1 0 -1,1 / \ 0 0
/—0,2 0 0 ' \
G(s) = 0,1 0 0
V 0 0,2 -h 1
и запаздыванием т = 1. При Т = 8
F[T + s)\\nxn х
о
х (1 + г || А
-ТІІЯХП
+
IIG'HIUxnA'ife) = 0,48946698796
— Т
—Т
Следовательно, тривиальное решение системы (1) с выбранными матрицами асимптотически устойчиво, так как выполнены условия теоремы 1.
Результаты теоремы 1 могут быть распространены на линейные системы функционально-дифференциальных уравнений более общего вида.
Другие конструктивные алгоритмы анализа и компьютерного моделирования систем с последействием представлены на сайте http: //f de. iirnn. uran. ru.
1. Азбелев H.B., Симонов П. М. Устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. 200 с.
2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М: Физматгиз, 1959. 212 с.
3. Chukwu Е. N. Stability and time-optimal control of hereditary systems. Boston: Academic Press, 1992. 509 p.
4. Hale J.K., Lunel S. M.V. Introduction to functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1993. 448 p.
5. Kim A. V. Functional differential equations. Application of i -smooth calculus. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 167 p.
6. Kolmanovskii V. B., Myshkis A.D. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1999. 664 p.
7. Kim A.V., Kwon W. H., Pimenov V. G., Han S.H., Lozhnikov A. B., Onegova О. V. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). 2001. 131 p.
Список литературы
