Математическое моделирование робота при работе манипулятора в пространстве Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Markin Dmitry Olegovich, staffer, admin@,nikitka. net, Russia, Oryol, Federal Guard Service Academy of RF,

Makeev Sergey Mwhaylovich, staffer, maksm5 7@yandex. ru, Russia, Oryol, Federal Guard Service Academy of RF

УДК 51-74

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РОБОТА ПРИ РАБОТЕ МАНИПУЛЯТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

Нгуен Ван Шон

Разработана математическая модель колебаний платформы робота, установленной на вязкоупругих опорах, при работе манипулятора в пространстве.

Ключевые слова: мобильный робот, колебательный процесс, передаточная функция, жесткий стержень.

Роботы широко применяются в настоящее время в различных областях. В частности, робот-сапер используются при выполнениях операций: разведки, поиска и разминирования, поиски и слежения за объектами и т.д.. При выполнении излагаемых операций о них требуются обеспечения таких параметров: точность, быстродействие.

Типовой робот-сапер [1] состоит из платформы, 2N колес и манипулятора. Движение робота под действием внутренних моментов для управления движением манипулятора исследуется в системах координат, которые выбираются следующим образом.

Абсолютная неподвижная система координат OXYZ:: начало координат О совпадает с центром массы платформы в исходном состоянии;

ось OZ располагается в вертикальном направлении; ось OX располагается в горизонтальной плоскости, направление которой совпадает с направлением на Север;

ось Y расположена в горизонтальной плоскости, ортогональна осям OX и OZ и направлена таким образом, что совместно с ними образует правую систему координат.

Связанная система координат с платформой O 'X'YZ': начало координат О' совпадает с точкой О; ось OX' направляется от точки O к носу робота; ось OZ' направить в вертикальном направлении, перпендикулярна с плоскостью платформы;

ось OY' направить так, чтобы полученная в результате OX'Y'Z' была правосторонней.

Связанная с манипулятором система координат OmXmYmZm получается преобразованиями системы координат OX'Y'Z' по следующей последовательности: перенос по оси X на величину е, поворот вокруг оси Z на угол а, и поворот вокруг оси Y на угол р. Таким образом, система координат OmXmYmZm относительно системы координат OX'Y'Z' определяется однородными преобразованиями [2]:

TM = Tran( x, e) Rot (z, a) Rot (y, b),

где

Tran( x, e)

Rot (y, b)

r cb 0 - sb 0

0 1 0 0

1 0 0 0

sb

0

cb

0

0 1 0 0 0 ^ 0 0 1

0 0 1 0

e 0 0 1

, Rot (z, a)

ca - sa 0

sa ca 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0 1

матрицы однородного преобразования.

Платформа моделируется как однородная прямоугольная плита массой m. При формировании схемы сделано предположение, что платформа робота является абсолютно жестким телом. Кроме того, принято допущение, что платформа робота является симметричным относительно продольной вертикальной плоскости. Колеса соединяются с платформой с помощью вязкоупругих элементов. Опоры с левого (/) и правого (г) бортов расположены симметрично на расстоянии ±ЬУ от продольной вертикальной плоскости симметрии. Общее количество опор равно 2N, по N опор с левого и правого бортов. Опоры перенумерованы от носа транспортного средства к корме, причем координаты х опор, Ьх1, ..., с одинаковым номером совпадают. Колеса обладают абсолютной жесткостью. Точки подвеса опор лежат в плоскости платформы и могут перемещаться только по прямой, перпендикулярной этой плоскости. Жесткость и вязкость всех опор одинаковая, соответственно равна с и Ь.

Манипулятор представляет собой невесомый, абсолютный жесткий стержень длиной /, положения которого относительно платформы определяется двумя углами: угол курса а и места Ь (рис. 1). Манипулятор соединяют с платформой шарниром Ом, который находится в прямой симметрии робота и на расстоянии е относительно центра масс платформы О по направлению оси ОХ'.

В исходном состоянии манипулятор не движется, робот находится в состоянии покоя. Под действием внутренних моментов Ма, Мр, развивающих для управления движением манипулятора, платформа начинает двигаться. Задачей этой статьи является определение движения платформы при движении манипулятора.

Рис. 1. Кинематическая схема робота с одним манипулятором

В статическом режиме робота ориентация системы координат ОХТ^' относительно системы определяется преобразованиями координат [2] по трем углам (р, 0, \|/ с такой последовательностью: поворот системы ОХУ2 вокруг оси Ъ на угол ф, поворот системы вокруг Г на угол 0, поворот системы вокруг 1 на угол \|/. Матрица поворота имеет вид

Яфеу = =

/СфС0С\)/-5ф5\|/ - СфС05\|/ - 5фС\|/ Сф50^ ^ 5фС0СЦ/ + Сф5\|/ - Яфсбе^у + СфС\|/ 5ф50

- 50С11/ 505\|/

где сф = сов ф; 5ф = бш ф; Кг,у ~

с0

Г -5ф 0Л 5ф Сф О

О 0 1

/

е\\ е\2 е\Ъ

е2\ е22 е2Ъ =соти

^31 еЪ2 еЪЪ у

( св О 50Л

О 1 О

О С0

Я

г,у

5\|/ С\|/ О

О о

1

; еу - элементы матрицы ЯфОу; / = 1 ...3,у = 1...3.

/

В динамическом режиме положение и ориентация платформы определяются ее движениями относительно исходного состояния, которые носят характер вынужденных колебаний под действием внутренних моментов, действующих на манипулятор Ма, Мр. В связи с движением манипулятора 1-я правая и левая опоры сжимаются соответственно на величины АГ1 , Ац относительно исходного состояния. Следовательно, платформа осуществляет движения по оси О2' (поперечное линейное перемещение центра масс Дг), по углу тангажа Ф (продольное угловое вращение относительно центра масс), по углу крена у (поперечное угловое вращение относительно центра масс). Эти величины носят характер дифференциального перемещения. Матрица однородного дифференциального преобразования [2] имеет вид

Т

1уф 000

р

1

где Туф = Тф =

' 1 0

0 1

V

Ф у

-у 1

- матрица дифференциального поворота на

Т

углы у и Ф; р = (0,0, Аг) - вектор дифференциального переноса.

Перемещение правой и левой 1-й точки подвеса относительно исходного состояния

Аг\г = -ЬхгФ - Ьуу + Аг; Аг/ = -Ь^Ф + Ьуу + Аг. (1)

Уравнения равновесия системы в исходном состоянии при нулевых начальных положениях манипулятора а = 0, в = 0 имеют следующий вид:

(2)

Т ¥ = 0;

X М = 0,

где ^ ¥ - сумма всех сил, действующих на систему; ^ М - сумма всех моментов. Действующие силы на робот в исходном состоянии: силы реакции со стороны вязкоупругих элементов в исходном состоянии &0г(/)/, ' = ^ ; сила тяжести платформы Р0; сила тяжести манипулятора

Р0 м.

В исходном состоянии опоры сжимаются весами платформы и манипулятора, положение робота в пространстве определяется тремя параметрами ф, 0, у. Проецируя первое уравнение системы (2) на ось О2' и второе на оси ОХ', ОУ', получим

N

Е (Р0г1г' + К0/1г ■) + Р0 г' + Р0Мг' = 0; 1 =1

N

Е (Р0пг^у - Р0/1г^у ) + М0МХ = 0; (3)

1=1

N

Е (К0пг' Рх1 + К0//г' Рх1) + М 0Му' = 0 1=1

где М 0 М (М 0Мх', М 0му, М 0Мг')Т = (^0 + /0)х /м - момент, действующий

Т т

на систему силой тяжести манипулятора; ео = (е,0,0) , /0 = (/,0,0) - ради-

Т

ус-векторы в системе ОХ'У'2'. Сила тяжести /оМ = Р0М(0,0,-Mg) в системе ОХУ2, а в системе координат ОХ'У'2' она определяется выражением:

(т> Л р0 МХ

Р0М Р0Му =

V Р0Мг' у

' е11 е21 е31 е12 е22 е32 V е13 е23 е33

0 1 ' - Mgeзl "

0 = - Mgeз2

Mg , V-^е33 ,

(4)

Аналогично

(р Л ро х '- mgeзl^

/о р0 у = - mgeз2

V р0 г' V - ^33 у

(5)

В соответствии с выражением (4)

М 0М = (ео + /о) х р0М =

о

Mg (е + / >33 - Mg (е + / )е32 ,

(6)

(7)

Силы реакции Яог(/)г- со стороны 1-го вязкоупругого элемента в исходном состоянии в системе ОХ'У'2' определяются по закону Гука:

Р0т (/)1 = (0,0, К0г (/)1г,);

К0г(/)1г' = -сАг0г(/)1; 1 = 1 ... N,

где Агог(/)/ - сжатие соответственно 1-й правой (левой) опоры от нена-

груженного состояния по оси О2\

Подставляя (4), (5), (6) и (7) в систему (3), получим

169

N

Е( cDz0ri - cDzoli) -(m+M)?езз =0; i=1

N

Е (—cDz0riLy + cDz0liLy ) =0; i=1

N

(8)

Е (—cDz0riLxi — cDz0liLxi) + M(e +l )e33 = 0 li=1

Таким образом, положение робота в исходном состоянии полностью определено системой (8).

Для составления динамической модели рассмотрим силы и моменты, действующие на манипулятор и платформу.

На манипулятор действуют следующие силы и моменты: реакция со

T

стороны платформы Rpm = (RpMx',pPMy',RpMz') в системе OX'Y'Z'; мо-

T

мент по улгу курса манипулятора Ma = Ma (0,0, Ma) в системе OX'Y'Z';

T

момент по углу места Mp = Mp (—Mp sin a, Mp cos a,0) в системе OX'Y'Z'; сила тяжести Pm .

Уравнения движения манипулятора в общем виде

ГЕ F = Мам;

dLM (9)

Е m

= Щ-М

dt '

где ам- вектор ускорения точки См; Lм = ['м хМУм]- вектор импульсного момента точки См; м - вектор положения точки См; Ум -вектор положения точки См.

Первое уравнение системы (9) имеет вид

*РМ + /М = Мам. (10)

Проецируя (10) на ось О2', получим

КРМг' + РМг' = МгМ , (11)

где '¿М - ускорение точки См в системе ОХ'У'2'. Координаты точки

Т

См (хМ , УМ , ¿М ) в любой момент времени в системе ОХ'У '2':

'Л

г ri л x м

У' м _ i

z м 1

Tran( x, e) Rot (z, a) Rot (y,p)

0 0

V1У

откуда

z

M

-l sin p; z'

M

l

d (sin p) dt2

(12)

Подставляя (12) в (11), получим

170

RPMz' =- РМ;' - М1

d 2^п Р) dt2

(13)

Проецируя второе уравнение системы (9) на оси OZ' и ОмХм , в окрестности приращения от исходного состояния углов а и в, получим:

М

2...

а

■■МГ а;

2

М р + Mgl (е31д- е32 у+ е33) = М1 р.

На платформу действуют следующие силы и моменты: силы реакции со стороны вязкоупругих элементов Яг/, Я1/ , / = 1 ... И; сила тяжести Р; сила реакции со стороны манипулятора ЯМР; внутренние моменты

- ма ,-МР.

Сила реакции при движении платформы Яг/ в системе OX'Y'Z' Ягг( Япх', Rriy,Rriz)T=(0,0,- с(Ы п '0г/) - ЪЫг/ )Т, / = 1. N (15)

(14)

Аналогично:

Т

Кц = (0,0,Я^'У = (0А-с(Дг'й ) -ЪЫи ).

Сила тяжести Р в системе ОХУ^. P(0,0,-mg) Р(Рх<,Ру>,>) в системе ОХ'У'2' с помощью формулы:

Т

(16) Найдем

Рх'1 / = туд

РУ

Р, V ; у V

е11 е12 е13 е21 е22 е23 е31 е32 е33

Т.

0 Л 0

mg

Отсюда

Р' = -^(де31 - Уе32 + е33) .

(17)

Сила реакции со стороны манипулятора, действующая на платформу, имеет вид

КМР = -КРМ = (-ЯРМх'~ЯРМуЯРМ;О . Составляющая по оси О2' силы Ямр имеет вид

d 2 Р)

dt2

Я

-МР?

-Я

РМ?

Рм+ М1

(18)

Движение платформы в системе ОХ'У'2' описывается уравнениями

N

X (Ят' + Яц;О + Р;' + ЯМР;' = тШ; i=1

N

X(Яп;'¿у - '.^у ) - Мрх1 = у;

/=1

N

- X(+ '¿х/) -МРу' - еЯМР;' = ^у'д ■=1

mLy 2

где Jx =—-— - момент инерции платформы относительно оси X

Lxi2 + LxiLxN + LxN 2 , Jy < = m^^- Y-—--момент инерции платформы относительно

оси 7'.

При малых значениях углов а и ß, с учетом системы (8), подставляем уравнения (16), (17), (18) в (19) и получим

- 2N(cAz + bAz) + 2(cJ + b J)Llx - (m + M)g(Je31 - ge32) + M/ß = mAz;

- 2Ly2N(cg + bg) - [Mg/(ез 1J - ^32g) + M/2ß]a = J^g; (20)

^y

2L1x (cAz + bAz) - 2 L2x (c J + b J) + M (/ + e)[/ß - g (e31J - e32 g)] = JyJ.

В операторной форме система (20) принимает вид [тл 2 + 2 N (с + bs)]Az + [(т + М) ge31 - 2(с + bs) Ь1х ]■ -

- (т + М) ge32 у = МЫ р;

Мф31Ъ + + 2Ьу 2 N (с + Ьл) - Mgle32]g = М12рas 2; (21)

- 2 Ь1х (с + + [ Jy' л 2 + 2¿2- (с + Ьл) + Mg (I + е)е31 ]■■ -

- Mg (I + е)е32 у = М1 (I + е)л 2р.

В качестве примера рассмотрим движение робота со следующими параметрами:

е31 = е32 = 0; е33 = 1; N = 2; Ьх1 = 1 м; Ьх2 =-1 м; Ьу = 1 м; I = 2 м; е = 0,5 м.

Решение системы (21): у(= 3М12р(л)а(л)л2 ; Дz(= М12р(л)л2 ; д(= 3М1 (I + ф2р(л).

тл2 + 12(с + Ьл) тл2 + 4(с + Ьл) тл2 + 12(с + Ьл)

Представим эти уравнения в зависимости от моментов:

3М а (л)(М р (л) + 20М)

g(s)

M/ 2(ms2 + 12bs + 12c)s2

M ß (s) + 20M

Az (s) = —^-; (22)

ms + 4bs + 4c

j( s) = M ß (s) + 20M

0,8ms2 + 3,2bs + 3,2c'

Моделирование движения мобильного робота с параметрами с = 105 Н/м, Ь = 4000 Нс/м, т = 1000 кг; М = 100 кг было проведено в системе МаШаЬ. Результаты моделирования показаны на рис. 2.

172

Создание математической модели робота имеет большое значение для управления роботами. Она позволяет определить движение робота в целом, отсюда может построить систему управления движением с высокой точностью компенсацией перемещений платформы. Кроме того, зная движения платформы, а камера располагается на ней, можем определить связь изображений, что позволяет улучшить качество наблюдения за объектами.

Список литературы

1. Нгуен Ван Шон. Общий подход к построенению мобильного робота // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 5: Ч. 2. С. 285 - 290.

2. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 400 с.

3. Игнатова О. А. Плоское движение трехколесного робота с учетом привода // Известия Тульского государственного университета. Технологическая системотехника. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. Вып. 16. С. 99-103.

4. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела. М.: МФТИ, 2000. 64 с.

5. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003. 752 с.

Нгуен Ван Шон, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODELLING OF А ROBOT DURING THE OPERATION OF THE MANIPULATOR

Nguyen Van Son

The mathematical model of oscillations of the platform of the robot in the space, established on viscoelastic support during the operation of the manipulator, is worked out.

Key word: mobile robot, oscillation process, transfer function, rigid rod.

Nguyen Van Son, postgraduate, sugusl 05'a yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.932

ОБНАРУЖЕНИЕ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ В СИСТЕМАХ

ТЕХНИЧЕСКОГО ЗРЕНИЯ

М.Б. Никифоров, С.В. Орлов

Рассмотрен предложенный метод детектирования объектов на телевизионных изображениях. В основу метода положены адаптивную методику оценки фона со статическим накоплением информации о положении детектируемых объектов в кластеры. Метод апробирован на контроле парковочных мест автомобильных стоянок.

Ключевые слова: детектор объектов, модель фона, кластеризация объектов, парковочная система.

На сегодняшний день всё большее распространение получают системы технического зрения. Если раньше они устанавливались преимущественно на крупных военных, транспортных и промышленных объектах, то в настоящее время в связи с удешевлением аппаратуры, увеличением мощности персональных компьютеров, развитием средств разработки такие системы стали общедоступными [1].

174