CC BY
86
УДК 51-74
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РОБОТА ПРИ РАБОТЕ МАНИПУЛЯТОРА
Нгуен Ван Шон
Разработана математическая модель колебаний платформы робота, установленной на вязкоупругих опорах, при работе манипулятора. Для получения качественных характеристик колебательного процесса решение получено для плоского расположения платформы, вязкоупругих опор и манипулятора.
Ключевые слова: мобильный робот, колебательный процесс, передаточная функция, жесткий стержень.
В настоящее время мобильные роботы широко применяются в различных областях человеческой деятельности. Типовой мобильный робот состоит из платформы, установленной на вязкоупругие опоры и несущей на себе манипулятор для выполнения механических операций [1]. Одной из сфер применения мобильных роботов являются поиск и разминирование мин. Выполнение этой работы требует высокой точности фиксации местоположения рабочего органа. Точность определяется следующими факторами: расположения люфтов в сочленениях, упругостью звеньев, методом управления. Наиболее существенным фактором являются поперечные колебания, которые обусловлены упругостью опор. В настоящее время модель колебаний платформы, расположенной на вязкоупругих опорах, возбуждаемых движением манипулятора, отсутствует, чем объясняется актуальность статьи. Ниже проблема определения параметров колебаний решается методом аналитического моделирования. Для качественной оценки параметров движения достаточно решить проблему в упрощенном виде, а именно построить модель плоской системы.
Кинематическая схема плоской модели приведена на рис. 1. Робот состоит из четырех основных элементов: двух вязкоупругих опор 1 и 2, платформы 3, манипулятора 4. В первом приближении платформа может рассматриваться как жесткий стержень, обладающий массой т1, а манипулятор - как невесомый, жесткий стержень длиной 13, на конце которого сосредоточены массы манипулятора и перемещаемого груза т2. Опоры моделируются как вязкоупругие элементы, установленные вертикально. Манипулятор установлен на платформу с помощью шарнира О, который находится на расстоянии 11 от первой опоры, и на расстоянии 12 от второй опоры. Обозначения геометрических параметров, определяющих взаиморасположение элементов конструкции, приведены на рис. 1.
Движение платформы описывается в системе координат Х00У, в которой начало Оо совпадает с точкой касания второй опоры и Земли; ось х расположена по горизонтали; ось у - по вертикали.
Высота опор в свободном состоянии составляет Ь. В состоянии покоя первая опора сжимается на величину гю, вторая - на 22о- При движении манипулятора первая опора относительно состояния покоя сжимается на величину вторая - на Перемещение точки О относительно состояния покоя обозначается 2. Угол колебания платформы относительно горизонтальной оси ОоХ обозначается а.
Рис. 7. Модель плоского робота с одним манипулятором
о)
Из рис. 1 следует, что
гг\ +г10 =г + г0+11а;
Манипулятор 4 с грузом массой т2 вращается относительно платформы на угол р под действием внутреннего момента Т. Обозначаем угол у, который равен сумме углов аир. Координаты точки М в абсолютной системе определяются выражениями
< хм =Ь+1зу; ^ [*м = -НЬы у;
1М = Ь + 20 +2 + /351пу; [¿м =¿ + /3 усозу;
=-'зУ2 сову-^увту;
=:~'зУ2 вшу + ^усову.
(2)
Допустим, что опоры обладают одинаковыми параметрами: жесткостью с и вязкостью Ъ. Уравнения равновесия системы в состоянии покоя а = 0, (3 = 0 имеют следующий вид:
Кю+К20+Г1+Р2=0;
■104
1
/1-/2
2
+ Р213= о,
где Д10 - сила со стороны первой опоры в состояние покоя 2?до Я2о - сила со стороны второй опоры в состоянии покоя Т?20 ~~С22(Ъ ^ь Р2 - силы тяжести. Отсюда
-cz10-cz2o-mg = 0;
U -U
czioh -cz20l2+mlg-^^ + m2gl3=0,
(3)
где g - ускорение свободного падения; гп - сумма масс платформы и манипулятора.
Для составления динамической модели рассмотрим силы и моменты, действующие на элементы кинематической схемы мобильного робота [2]. На платформу действуют следующие силы и моменты: силы реакции со стороны вязкоупругих элементов Я2; сила тяжести Ри сила реакции со стороны манипулятора 1?; внутренний момент Т', имеющий направление, как показано на рис. 2.
r2
i О i \ \ T
Г h H r h .
r
i?1
Рис. 2. Силы и момент, действующие на платформу
Уравнения движения платформы будут иметь следующий вид: 'т^ = Щ +Я2 +Я + Р1, ^ а = -Т + ВД - Я212 -Р\ —
U-h
(4)
(5)
Из (1) следует, что
Rl = -bii -c(z1 + z10) = -b(z + /¡â) - c(z + /¡a) - cz0; R2 = ~bz2 - c(z2 + z20 ) = -b(z -12 à) - c(z -12 a) - cz0. Момент инерции платформы относительно точки О определяется
щУх+Ъ)2 , Miih-hf rn^l+^-hh)
выражением J\ - —----f
4
На манипулятор действуют следующие силы и моменты (рис. 3): сила реакции со стороны платформы сила тяжести Р2: внутренний момент Т.
Рис. 3. Силы и момент, действующие на манипулятор
Уравнения движения манипулятора по Ньютону:
[-Т + Р21ъ cos 7 = т21ъ sin У+cos У)-Из (2) следует, что
sin 7 + cos7 = /37 + z cos 7. Подставляя в систему (6), получим
\R = m2(z + g) + w2lif(-y^ siny+ycosy);
[Т = -W2/3 (/зу+zcosy-^cosy). Подставляя (5), (7) в систему (4), и с учетом (3) получим
(6)
(7)
т = -^2/3 (h У + ^cos у—scos у);
mz = (/2 -1\ ){bô + со) - 2(bz + cz) - m2 (/37cos 7- /372 sin 7) - 2cz0 - mg; (8)
Jxo = -T- (/2 + )(b& + со) + (12 - h )(bz + cz) + (/2 - lx )cz0 - ^y2-.
Для получения системы линейных дифференциальных уравнений разложим первое и второе уравнения системы (8) в ряд Маклорена первого порядка и отбросим слагаемые высокого порядка, В результате система (8) преобразуется к виду
Т
m{z + 2bz + 2cz + -12 )(bà + со) - 2czq =--(m + m2 )g;
h _ 9)
(/l - h m + cz) + Jxa + (/j2 +1\ )(bâ + ca) = -74 il2 ~ h )cz0 -mxg . При t = О согласно (1)
z\0 =z0 +ha0'>
z20 =z0-/2a0-
Подставив а = а'+а0 в систему (9), и с учетом (3), (10) получим
Г
mi'z + 2bz + 2cz + (li -l2)(ba'+ca') =--m2g;
h
-12)(bz + cz) + Jfi'+ilf +)(6а'+са') = -T + m2gl3.
При нулевых начальных условиях, применяя к левым и правым частям уравнений преобразование Лапласа [3], получим
(mls2+ 2bs + 2c)z{s) + (1Л -12)(bs + с)а'(5) - ■
h
(h-l2)(bs + c)z(s) + [jis2 +(/j2 +lj)(bs + c)\pLXs) = -T(s) + m2gl3. Решения этой системы имеют вид
где
z(s) =
T(s) - m2gl3 J\s2 + (/f + + /3/1 - /3/2 )(& + с)
a '(s) = -
7*
7(5) - m2g/3 mj/з^ + (/! - /2 + 2/3 + с)
A =
/З
mjj +2bs + 2c (/j-l2)(bs + c) (h ~ h )(bs + с) J^2 + (/2 + ij )(bs + c)
(11)
Из (11) следуют выражения для передаточных функций
z(s) _ V + (if + /22 + hh - hh )(bs + С)
W:(s) = Wa(s) =
T(s) - w2g/3 a' (5)
T(s)-m2gh
/3A
w1/352+(/1-/2+2/3)(fo + c) hA
(12)
По передаточным функциям (12) может быть построена структурная схема, приведенная на рис. 4.
Рис. Схема управления
254
В качестве примера рассмотрим решения задачи с применением пакета в частный случай, когда /2=/1=/з=/. Выражения (12) имеют вид
Ф)
1
2 с/
Т{з)-т2ё1 1(тхз2+2Ь + 2с) + 1
2 с с -1
оф) _ -1 _ 2с
П*)-т2§1 Щ32+2Ья + 2с + Ъа + 1
3 6с с
Эти передаточные функции являются колебательным звеном при
условиях Д2' = Ь1 - 2т\С < 0 и Да' = Ъ1 - 2тЛс/3 < 0, или Ъ <
\2m\C
. Естест-
венно, манипулятор робота начинается двигаться с начального положения тогда и только тогда, когда момент Г, развивающийся двигателем, больше момента, вызывающегося силой тяжести манипулятора и перемещаемого груза Р21з, т.е. Т > При указанных условиях переходный процесс величин 2 и а' имеет вид, показанный на рис. 5. Параметры этих колебаний определяются по формулам
2 с л2тлс
(13)
т - & . _ Ьл/3 _ 6с'
у12щс
2(0 2 с/
■ I 1 1 I 1
......../......
/ \ ^-:
/ \ . ^^
/
/ - / ............ /
............ / 1 \ 1 \ \
I с
\ \ \ \ 7 ! I
\ . .л .. ..
\ ...Д......:...........
\ : V
\ / .. .. лЬ-. - 1 1 1 1 1
-1 2с
а\Г)
Рис. 5. Переходный процесс величин при ступенчатом единичном сигнале на входе
255
Из анализа переходных процессов могут быть сделаны выводы:
увеличение массы m\ приводит к увеличению постоянных времени и уменьшению коэффициентов затухания;
увеличение жесткости с приводит к уменьшению всех параметров;
чем более вязкость b, чем быстро затухают колебания.
Создание математической модели робота имеет большое значение для управления роботами. Она дает все отношения параметров, показывает их влияние на работу робота в целом. Решение в аналитической форме позволяет подобрать параметры для оптимизации процесса управления особенно точно. В данной статье решается задача для «плоского» робота, в дальнейшем можно решать более сложную задачу колебания платформы робота в пространстве.
Список литературы
1. Игнатова О.А. Плоское движение трехколесного робота с учетом привода // Известия Тульского государственного университета. Технологическая системотехника. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. Вып. 16. С. 99 - 103.
2. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела. М.: МФТИ, 2000. 64 с.
3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003. 752 с.
Нгуен Ван Шон, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MA THEMA TICAL MODELING OF А ROBOT DURING THE OPERATION OF THE MANIPULATOR
Nguyen Van Son
The mathematical model of oscillations of the platform of the robot, established on viscoelastic support during the operation of the manipulator is worked out. For obtaining qualitative characteristics of oscillatory process, the decision for a flat arrangement of a platform, viscoelastic support and the manipulator are achieved.
Key words, mobile robot, oscillation process, transfer function, rigid rod.
Nguyen Van Son, postgraduate, sugus105@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
