Математическое моделирование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при пульсации давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:621.225:621.454

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГИДРОУПРУГОСТИ РЕБРИСТОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ПУЛЬСАЦИИ ДАВЛЕНИЯ

А.В. Калинина, Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, Е.Л. Кузнецова,

И.В. Плаксина

Рассмотрена механическая модель системы, представляющая собой трубу ребристую кольцевого профиля, образованную двумя поверхностями соосных цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя - абсолютно жесткий цилиндр при воздействии гармонического перепада давления на концах трубы. Построена математическая модель этой системы, состоящая из дифференциальных уравнений в частных производных описывающих динамику вязкой несжимаемой жидкости и упругой ребристой оболочки совместно с граничными условиями. Найдены выражения для амплитудных частотных характеристик внешней геометрически нерегулярной оболочки.

Ключевые слова: гидроупругость, труба кольцевого профиля, геометрически нерегулярная оболочка, вязкая несжимаемая жидкость, гармонический перепад давления.

Современные требования машино- и агрегатостроения диктуют проблемы уменьшения общего веса конструкции, при этом элементы конструкции должны сохранять износоустойчивость при различных внешних воздействиях, вызванных различным факторами. Одно из решений задачи уменьшения веса конструкции может быть получено при использовании тонкостенных конструкций, а поддержание устойчивости к внешним воздействиям может решаться как использованием жидкости для демпфирования колебаний, так и использованием конструктивных решений, таких как использование ребер жесткости. В настоящее время в различных отраслях науки и техники, в частности в ракетно-космических системах, в железнодорожном, авиационном и автомобильном транспорте, широко применяются конструкции, состоящие из соосных тонкостенных оболочек, как геометрически регулярных, так и геометрически нерегулярных, и вязкой несжимаемой жидкостью между ними [1 - 8].

Таким образом, построение математических моделей, позволяющих исследовать динамику взаимодействия геометрически регулярных и геометрически нерегулярных цилиндрических оболочек со слоем вязкой несжимаемой жидкости представляет собой актуальную задачу, которая, несомненно, имеет научный и практический интерес.

Механическая модель системы

Рассмотрим общую механическую модель, представленную на рис. 1 и рис. 2.

Рис. 1. Механическая модель

Внешняя оболочка является упругой цилиндрической геометрически нерегулярной оболочкой. Внутреннюю оболочку будем считать абсолютно жестким цилиндром. Между указанными цилиндрическими оболочками располагается вязкая несжимаемая жидкость. Радиус срединной поверхности внешней ребристой оболочки равен Я а ее толщина в местах, где ребра жесткости отсутствуют, равна И0. Длины цилиндрических оболочек I одинаковые, а упругие перемещения внешней ребристой оболочки намного меньше ширины 8 цилиндрической щели. Течение жидкости осуществляется под действием давления, являющимся переменным по времени.

2

Рис. 2. Механическая модель в разрезе

Ширина 8 = Я1 - Я2 << Я2 цилиндрической щели кольцевого сечения, образованная двумя оболочками намного меньше, чем внешний радиус Я2 внутренней оболочки и внутренний радиус Я1 внешней оболочки. Радиус срединной поверхности Я значительно больше толщины внешней

И0 = 2(Я - Я1) оболочки. Перемещение на торцах внутренней оболочки относительно внешней оболочки отсутствует. Полагаем, что рассматриваемая механическая система термостабилизирована.

Для рассматриваемой механической системы строим математическую модель. Для этого вводится система координат 01х1 у^, которая связана с основанием, с прикрепленной к нему механической системой, то есть центр системы координат 01 находится в геометрическом центре со-осных цилиндрических оболочек в невозмущенном состоянии. Считаем, что отсутствует составляющая виброускорения вдоль оси 01 у1. Обозначим через х0, ¿'0 виброускорение основания. Вспомогательно введем еще цилиндрическую систему координат г,0, у (где пг, Щ, у являются ортами цилиндрической системы), которая будет соответствовать требованиям: ее полюс должен совпадать с 01 и должны совпадать направления осей 01 у1, Оу декартовой и цилиндрической систем координат (рис. 3).

Поскольку рассматриваемая модель относительно оси 0у является симметричной, то можно рассматривать случай осесимметричный, тем самым упростив постановку данной задачи.

Рис. 3. Цилиндрическая система координат

Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости, которая расположена между двумя упругими соосными цилиндрическими оболочками.

Математическая модель системы

Для вязкой несжимаемой жидкости в выбранной системе координат г, 0, у, которая жестко связана с центром координат, учитывая переносное

движение основания уравнения Навье - Стокса и уравнение неразрывности для осесимметричного случая в скалярном виде примут вид [1, 9, 10]:

Э^ + у ^ + У У = - 1 Эр Э? г Эг у Эу р Эк

к Т^иук т^иук (Э V 1 ЭУк Э V Уг Л

к + + У,^^ = —-Т- + У +--- + —к

ж2 -гл -Л-м -.ж2

К Эг г Эг Эу г у

ЭУ У ЭУу

+ + = о, (1)

Эг г Эу

где к = г или у; % = 1 при к = г, % = 0 при к = у; у - координата, проходящая вдоль оси симметрии Оу; р - давление вязкой несжимаемой жидкости; Уу, Уг - в цилиндрической системе координат (пг, у) в которой начало О расположено в центре внутренней оболочки являются компонентами вектора скорости жидкости; ? - время; V - кинематический коэффициент вязкости; г - расстояние от оси Оу; р - плотность жидкости.

Граничные условия для цилиндрической системы координат на непроницаемой поверхности внешней и внутренней оболочек в цилиндрическом зазоре для системы уравнений (1) выглядят так

Уг = Эи3 / Э?, Уу =- Эщ/ Э? при г = Я2 + 5 + и3;

Уг = 0, Уу = 0 при г = Я,; (2)

и1 = и1 (у, 0, ?) - упругое продольное перемещение оболочки, которое является положительным в направлении п8, противоположным направлению у ; и3 = и3 (у,0, ?) - прогиб оболочки, который является положительным в направлении п, совпадающим с пг и противоположным направлению к центру кривизны.

Также на торцах механической системы вводятся необходимые условия для давления:

р = р- при у = - Ц 2,

р = р+ при у = I/ 2, (3)

где р-, р+ - давление на торцах.

Внешняя поверхность внешней оболочки трубы представляет собой геометрически нерегулярную оболочку, имеющую п ребер жесткости, у которых высота изменяется ступенчато. Ребра являются внешними шпангоутами. Крепление геометрически нерегулярной оболочки на торцах имеет свободное опирание.

Уравнения динамики ребристой оболочки, основанные на гипотезах Кирхгофа - Лява, полученные исходя из интегрального вариационного принципа Гамильтона, в цилиндрической системе координат при осесим-метричной деформации

Eh0 Э

1 ~Мо эУ

Эи и. Э у ^ R

с

\

1 + У к . АГ.

11 Я

V 1=!

Э и

Э у

, hnУк АГ.

2 21 у

1=1

= КпР

Э 2щ

/

Э?2

л

1 + У к . АГ.

< 1. у.

V м У

Чу

Э2 Г Ehn3 Э 2и3

Э у2

12(1 -т2) эу2

1 + У к3. АГ.

3. у.

.=1

ЕК

1 -т

Эи и

—1 -т —

Эу ^ R

Кп У к. АГ.

п^ 2. у . =1

+

где к. =

I _ЕК_ R1 -тП

' 7 Л 1 -

к

и Эи

--т у1

R Эу

= -КпР

/

л Э 2и

V М Э2 и '

1 + У к, АГ. -т—3 К У к АГ . \ =

1. у у ^п Э у 2 0^1 2. у [

. =1

3

V "И У п

Здесь АГ. =Г(у - у. )-Г(у - у. -еп. *), Г(у) - является единичной функцией Хевисайда по продольной координате у; - коэффициент Пуассона материала оболочки; у. является точкой, когда ребро появляется по продольной координате; рп - плотность материала оболочки; Е - модуль Юнга материала оболочки.

Граничные условия свободного опирания внешней геометрически нерегулярной оболочки имеют вид

К .

, к =

К

Э?2

/

1 + У к . АГ

1. у

V !=1

+ Чп,

(4)

у

2 .

1 -

V К у

ЛК2

к =

2К2' 3'

г 7 V 1 -

V К УЧ

К К2 I К3

4 - 2^ + К К

К

и у п

Эи1

Л Л Э ^ /

п, и3 = п, —21 = п при у = ±—

(5)

Эу "3 Эу2 * " 2 Поверхностная нагрузка представляется напряжением, которое действует со стороны жидкости,

Чу =-

Чп

Ргу соб(п, пг)+ Руу соб(п ,.)

Л Л

Ргг СОБ (п, пг )+ Ргу СОБ (п,.)

г = Д2+£+щ

г=Я2+8+и3

(6)

где п - является единичным вектором нормали к срединной поверхности оболочки; пг,. - единичные векторы введенной цилиндрической системы

координат

г 1 Л 1 Кп

к

1.

К.

V р. У

К. к

7 , к 2 .

1 -

К.

V р. У

К

'р.

2К

2 , к3 .

Г } V

1 - _Кп

V К У

4-2-^+ п

КР. К. У

К

'р.

К3

ЭУ„

Ргг =-р + ^р^, Ргу =ур

Эг

Эу Эг

Руу =- Р + 2пР

ЭК,

Эу '

л

л

2

3

со$>{п,пг)

Я-.+Ъ + и, * Я-, + 5-И/, Эг/, Чет (/?,;) = —

N

N

Эу

N = (Д2+8 + и3).

1 +

Эу

Таким образом, нашли математическую модель механической системы, которая состоит из двух соосных цилиндрических оболочек, внешняя из которых является упругой геометрически нерегулярной оболочкой, а внутренняя - абсолютно жесткий цилиндр, взаимодействующих между собой посредством слоя вязкой несжимаемой жидкости при существовании приложенного на торцах гармонического по времени перепада давления [4]. Математическая модель построенной механической системы имеет вид связанной системы уравнений, которая включает в себя нелинейные уравнения в частных производных Навье - Стокса и уравнение неразрывности (которые необходимы, чтобы описать динамику жидкости, расположенную между цилиндрическими оболочками), уравнения в частных производных, которые описывают динамику упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки оболочек, полученные исходя из гипотез Кирхгофа - Лява с использование вариационного принципа Гамильтона и соответствующие им граничные условия.

Решение задачи

Чтобы решить выведенную связанную систему уравнений (1) - (5), необходимо осуществить переход к следующим безразмерным переменным [1]:

5

V. = м&ти

1

2Д,

V,

^ / \|/ 2Я2

Иг

(7)

М1 =иМ\ «з Яе =

52со

v

Е®

Ро

(х)

ГШ

VI/ = — « 1

7 = 1,2.

При этом в слое жидкости редуцированное давление для цилиндрического зазора будет иметь вид

р = р0+рЯ2

к^со2

т р

у/Ке

(8)

Считаем, что отношение 5 к Я2 в исследуемой сложной механической системе очень мало. Величина \|/ представляет собой малый параметр, характеризующий относительную ширину слоя вязкой несжимаемой

жидкости, находящейся между внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки и внутренним абсолютно жестким цилиндром. Введение малого параметра у позволит упростить постановку связанной задачи гидроупругости (1) - (5).

Тогда уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости (1) в безразмерных переменных (7) с учетом малости параметра у (в нулевом приближении по у) будут иметь вид

ЭР = 0.

ЭХ

(9)

Re

Э

u

z

Эт

Э

u

u

z

Э

u

+ u

эх ' "z эх

z

2R2Л i

Э P Э2 uz Э ux Э u

Х

эz эх эх эх

= 0.

Граничные условия (2), (3) в безразмерных переменных (7) на непроницаемых поверхностях с учетом малости параметра у запишутся в виде

зи «

u

Х

ux = 0 при Х = 1 + (1)и31);

(10)

1 -í г

Эт х

u^ = 0; ue= 0; u ^ = 0 при Х = 0,

P = P + при Х= 1, P = P- при Х = -1. где P + = Pm + sin т, P- = Pm - sin т - гармонические функции времени.

Уравнения динамики внешней упругой геометрически нерегулярной оболочки (4) учетом условия y << 1 запишутся в виде [6]

г (1) „ Л1) ^ -^.mv ~ л

л 1 э и?1

(1)^2

V " m

wr' а2 ЭХг

1 R2 Эи31)

Í

+

u

(1)

1 Эи11)

w

V m

m а ЭХ " а R

а R(1) ЭХ ,

m - А- и (!)

m0__(1) U 3

1+1 k1 DG

j=1

1 n

- Z k j d +

+

/

а j=1

h01)

R

1 Э 3UÍ1) „n

а3 ЭХ3

Z k2 DG +m

1R

Л

j=1

= um R2V Э2U1(1)

а R

r

и (1)

(1) U 3

1 n 1 Z

У

а j=1

yj

w

(1) m

Л

W 1

//

12 R22 а4

w

2 Эт

эМ)Zk G . Э3uP

ЭХ4 Zk3jDyj ЭХ3

1+Z k j dg

v

j=l У

(11)

Э 2Uí1)

Z k3jDdyj Z Md

h01)

R

(u(1)

j=1 1 Э М

j=1

эх^

j=1

+

3T r(1)

V w(l) а3

VV m

а3 ЭХ3

(1) R

R 1 Э U

r(1)'

R(1) а2 ЭХ2 48

Z kvAr>¡ +

j=1

2

n

n

к

(1)

Я

и

w

± э2и^_и(ч эи

(1)

(1) а 2

чч к'11

да

«2 Я

и

(1)

эх2

1 эи1(1)

и

Я(1) а эх

И

I к2- А5 у-

+

у

а -=1

ч w(1)

ЧЧ 1

а ЭХ

Ио

а)А_ и^

Я

(1)

1

Я

(1)

/

Я

^ г(1)_ „(1)

чч

Я

(1)

и 31'

и

(1)

1 эи1(1)'

w

(1)

а ЭХ

_2 I к2 -Щ +

Уа -=1

V и ^

1 +1 к1 -Г

-=1

V

Ио

к(1) 1 Э2и(1) п (1) ^ Ц к2, ДГУ

Л

«2 а2 ЭХ2

и

11 я|®2 э 2и31)

w

(1)

Эг2

-=1

' и ^

1 + I к1- ^у-

. -=1 У

+

1

Я 2

Р^щ2

(1)

(11)

Условия свободного опирания внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки на концах механической системы запишутся в виде

Эи(1) /ч Э 2П(1)

Эи^ = о, и(1) = о. Э и3

о при Х = ±1.

(12)

ЭХ ^3 эх 2

Так как в задачу гидродинамики включен малый параметр ((1) << 1, который характеризует относительный прогиб внешней оболочки, то решение можно представить с помощью асимптотического разложения по степеням малого параметра ((1):

р = Р0 + ((1) Р1 +....

ие = иео + ((1)ие1 +..., их = и^ + 1(1)и^1 +..., их = их0 + ((1)их1 +..., (13)

и 1(1) = и 1(о) + + ... , и221) = и2о) + ((1)и 21) +..., и 3(1) = и 3о) + ((1)и 31 +....

Подставляя выражения (13) в уравнения (9), (11) с соответствующими граничными условиями (1о), (12) и приравняв к нулю стоящие при соответствующих степенях

((1)

коэффициенты, получим необходимую в

дальнейшем систему уравнений в нулевом приближении по ((1).

В результате решения уравнений гидродинамики в безразмерных переменных получим выражения для скоростей жидкости и давления с учетом неизвестности прогибов оболочки:

и

1 Э2

е2а2 ЭХ^ 1

р | ь2 т+^г I ьшх

э

иХ = „2,2

е а ЭХ

Эг-

ь2 (Х)р+ь (X)

эр

Эг

1

И

2

С

о

о

-10

2 е~а-

Э т

U?> +

2

И

я

¿"о

(J1 J J Л т /-) т

Эг

Эг

где

А G) = (^)к + - 4F4 (фС};

2А

А (4) = 4 {^з " (фЯ - 4F2 (фС}; Fj (£•#) = che$- cos ^ F2(е^) = ^(сЛе^• sinгЪ, + shet,■ cosе^), F3(е^) = ^shzt,-sinе^,

1

со

FAt^) = -(che£-sin££-s/?e£-cose£), £ = 5J— , A = F-,-(£) + 4F4"(e), 4 V2v

В = 4F3 (£)F4 (£) + Ft (£)F2 (£) - F2 (£), С = F2 (£)F3 (£) - Fj (£)F4 (£) + F4 (£),

^ 1 2 / . , 1/ \

= ¿ = 1,4; a = d2+f2

f = -(c1+c2), ct =

6 ^ + r

sine

<?/?£ +cos£

<?/?£ + cos£

Форму перемещений упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки выберем в виде тригонометрического ряда по пространственной координате с коэффициентами, являющимися гармоническими функциями по времени:

«f>=W=Z k=1

("ill + «ill M)sin ^ JC^ + («¡20* + "St (^))cOS

2

==t (4l+++МЦ^

*=1

.(14)

Подставляя выражения для компонент скорости и гидродинамического давления жидкости в уравнения динамики оболочки, получим систему интегродифференциальных уравнений, решение которой будем искать методом Бубнова - Галеркина в первом и втором приближении, в результате получим систему линейных уравнений [10].

Решая данную систему линейных уравнений, получим ранее неизвестные коэффициенты в выражениях прогиба внешней геометрически нерегулярной оболочки, которые в размерном виде примут вид

¡Det{ + Pet 2

X

cos4/(p++/? J+sin^—(р+ +р )

di

иЪ2 ~ W32 S^n(T + Фи32 ) ~

i

Deter? + Deter}

D,

x

x

cosO(p+-p )+sinO — (p+ -p )

di

(15)

w(i) ю2

где p± = p-Р±, р ,р+ -давления, имеющие размеры, которые соху Re

иоставимы с соответствующими давлениями являющимися без-

размерными, а фазочастотные характеристики (ФЧХ) принимают вид

DeU ^ Deten

Т = arctg--, Ф = arctg -

DeU

Deter;

По лучшем из уравнений для прогибов внешней оболочки (15) соответствующие амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) прогибов внешней оболочки

(¡б)

где

Del __MLe« Det -i!law

1 cWpJ'^W 11 ' 2 c(lVX> 31' 1 cWpWftW 11 '

Deter - (Д(0)2 CM 2 " с«р«й« 31'

d2=tMF++2c<;>c«(4»)2 и- 4

+

+

+ <

a\i — At3g, —

, U31 — Ul3 ? U33 32 18 36 »

33

^33 - AZÍ£>0 A > -^'21 52 54' C11 -^'16' C13 ~Л|54 ,

33 Л/44

C31 ~~ c13 > c33 ~ ^52^72 ^ ^'78^76 > "33 ~~ AZ,r°00 ,, >

At

AU

o(l) _ At — At At ^00 — ^¿34 65 58'

где А!у - матрица коэффициентов системы линейных уравнений.

Гидродинамическое давление в слое жидкости имеет размерный

вид

Р = Ро+-

к=

х

{2к-\)к

соь

2к-\

т(т + Г + Х31)+

+ ¿-1у^ъУ^^А^х Ш 81П(7^)81П(Х+Г+Х32)}, (17)

где Г = агсщ

пк

12у

Хг=агс* х ; { Х2=аг^ ^ (

А\{ (со) С05 У А\{ (со) С05 Ф

Таким образом, получаем из (17) для давления слоя жидкости ам-плитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики

Ас/1(со) = Ас/2 (со) =

м

Ккку

Н^о^г^ + веЯх^К»), (18)

\|/Ке

^1-(со)=Г + Х1-, 1 = 1,2,

Исследование модели

Произведем численное моделирование построенной модели.

Расчеты показали, что при увеличении количества слагаемых в ряде (14) происходит увеличение резонансных частот прогиба внешней геометрически нерегулярной оболочки. Однако увеличение количества слагаемых никак не сказывается на первой резонансной частоте, а добавляет только последующие резонансы, которые меньше, чем величина первого резонанса.

Таким образом, можно считать, что именно первое слагаемое ряда (14) определяет максимальную величину (главный тон) прогиба оболочки, а остальные (полутона) лишь добавляют незначительные колебания на более высоких частотах.

Данный вывод справедлив для вычислений с любым количеством ребер жесткости и их расположением на внешней оболочки трубы.

Введем в рассмотрение коэффициенты динамичности (а>) = (со)/(0), К${(о) = (о), которые определяют ве-

личину прогиба, если сравнивать со статическим прогибом (со = 0) АЧХ.

В табл. 1, 2 приведены резонансные частоты, имеющие точные значения и величины АЧХ, а также АЧХ давления в слое жидкости. Расчеты производились для модели с параметрами: Я2=2-1о-1 м, I =2о-1о-1 м, 5 =2-1о-2 м, р =1о3 кг/м3, V =Ю"4 м2/с, к^=Ю"2 м,

Е(1)=1,6-Ю11 Па, Ио1) =о,25, р^ =7,4-Ю3 кг/м3 , sJ = о,о2 м, hPJ = 2,2Ио.

Таблица 1

АЧХ нечетной составляющей прогиба, коэффициент динамичности, А ЧХ и ФЧХ давления в слое жидкости

Частота ю ,рад/с 41Ы, м/Ра Аё 1 (ю) ^(ю), ед. р

1913 9,25Е-1о 6,о5Е+о1 2,89Е+оо -4,96Е-о1

1оо71 7,5оЕ-11 4,96Е+оо 7,84Е-о1 -4,82Е-о1

Таблица 2

А ЧХ четной составляющей прогиба, коэффициент динамичности, А ЧХ и ФЧХ давления в слое жидкости

Частота ю ,рад/с А3(2)(ю), м/Ра к32)(ю) Аё2 (ю) (ю), ед. р

3789 6,7оЕ-1о 8,77Е+о1 1,21Е+оо -4,98Е-о1

2о141 5,31Е-11 7,о1Е+оо 1,2оЕ+оо -4,87Е-о1

Расчеты показали, что изменением типоразмеров, материала оболочек и параметров жидкости можно сместить резонансные частоты из опасной области рабочих частот, при которых возможны кавитация и износ поверхности.

Выполнено при поддержке грантов РФФИ 13-в1-ооо49-а, 15-й1-о16о4-а.

Список литературы

1. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте. М.: РГОТУПС, 2оо7. 169 с.

2. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условия вибрации // Вестник СГТУ. 2оо7. №3(27). Вып. 2. С. 15 - 23.

3. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия цилинд-ропоршневой группы двигателя внутреннего сгорания и слоя охлаждающей жидкости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2оо3. № 1. С. 79.

4. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом прибора на вибрирующем основании // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 3. С. 11-21.

5. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика. М.: Машгиз, 1963.

696 с.

6. Кондратов Д.В., Калинина А.В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации// Труды МАИ, 2014. Вып. 78.

7. Воробей В.В., Логинов В.Е. Теоретические основы проектирования технологических процессов ракетных двигателей. Технология производства жидкостных ракетных двигателей. М.: Дрофа, 2007. 461 с.

8. Волков Е.Б., Головко Л.Г., Сырицин Т.А. Жидкостные ракетные двигатели. М.: Воениздат, 1970. 592 с.

9. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.

840 с.

10. Плаксина И.В., Кондратов Д.В., Кузнецова Е.Л. Гидроупругость геометрически нерегулярной оболочки, содержащей слой вязкой жидкости и упругий цилиндр, в условиях гармонического давления // Сборник научных трудов Sworld. 2013. Т. 6. № 4. С. 17 - 20.

Калинина Анна Владимировна, асп., [email protected], Россия, Саратов, Поволжский институт управления имени П.А.Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ,

Кондратов Дмитрий Вячеславович, д-р физ.-мат. наук, доц., зав. каф., Kondra-tovD V@yandex. ru, Россия, Саратов, Поволжский институт управления имени П.А.Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ,

Кондратова Юлия Николаевна, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Саратов, Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского,

Кузнецова Елена Львовна, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Плаксина Ирина Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected] Россия, Саратов, Поволжский институт управления имени П. А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ

MA THEMA TICAL MODELLING OF HYDROELASTICITY PROCESSES RIBBED PIPE OF RING LIKE PROFILE A TPRESSURE PULSA TING

A. V.Kalinina, D. V.Kondratov, J.N.Kondratova, E.L.Kuznetsova, I. V.Plaksina 54

A mechanical behavior of the ribbed pipe with ring cross-section filled by the incompressible viscous liquid is investigated. The considered system contains two coaxial cylindrical shells, the outer geometrically irregular one and the inner supposed to be absolutely rigid. The system is loaded by the harmonic surplus pressure on the butt ends of the pipe. The constructed mathematical model consists in the partial differential equations of dynamics of an incompressible viscous liquid and an elastic ribbed shell with their boundary conditions. The frequency response function is constructed for the outer irregular shell.

Key words: hydroelasticity, pipe with ring cross-section, geometrically irregular shell, viscous incompressible liquid, harmonic surplus pressure.

Kalinina Anna Vladimirovna, postgraduate Russia, Saratov, Stolypin Volga Region Institute Russian Academy of Public Administration under the President of the Russian Federation, [email protected]

Kondratov Dmitry Vyacheslavovich, doctor of Physical and Mathematical Sciences, the head of chair, Russia, Saratov, Stolypin Volga Region Institute Russian Academy of Public Administration under the President of the Russian Federation, KondratovD [email protected]

Kondratova Julia Nikolaevna, candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lectures, Russia, Saratov, Saratov State University, kondratvaun@,mail.ru

Kuznetsova Elena Lvovna, candidate of Physical and Mathematical Sciences, docent, vida ku@,mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Plaksina Irina Vladimirovna, candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lectures, Russia, Saratov, Stolypin Volga Region Institute Russian Academy of Public Administration under the President of the Russian Federation, chefirina@,yandex.ru