CC BY
54
Список лтератури
1 Хомич А.З. Эффективность и вспомогательные режимы тепловозных дизелей. Транспорт, 1979 г., 144 с.
2 Хомич А.З., Тупицын О.И., Симсон А.Э. Экономия топлива и теплотехническая модернизация тепловозов. М., «Транспорт», 1975 г., 264 с.
3 «Сравнительные испытания бортовых систем прогрева тепловозных двигателей. Система электропрогрева тепловозов с использованием электроэнергии генератора». Отчёт о научно-исследовательской работе, ХИИТ,1987г., 10 с.
4 Хомич А.З., Мартышевский М.И. Электропрогрев водяной системы.-Электрическая и тепловозная тяга. - М., 1978, № 9, с. 30
5 Сергиенко Н.И. Выбор и научное обоснование технико-экономических показателей тепловозных дизелей для локомотивного парка Украины. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Харьков, ХарГАЖТ, 2000 г., 194 с.
6 Мартышевский М.И. Совершенствование режимов прогрева дизелей тепловозов с электрической передачей. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Харьков, 1982 г., 133 с.
7 А.О. Каграманян, А.В. Онищенко Аналiз витрат тепла секцп тепловоза та його вплив на визначення кшькосп теплоти при самопрогрiвi дизеля// Энергосбережение, енергетика, энергоаудит. - 2007. - №12. - с. — 30.
УДК 629.4.027.3
Жижко В.В., старший науковий ствробтник (Д11Т)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕТЕКАНИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗА В ПНЕВМОСИСТЕМАХ
При расчете и моделировании пневматических исполнительных и управляющих элементов обычно используются уравнения состояния идеального газа. В данной работе применена приближенная формула, позволяющая с достаточной для технических расчетов точностью вычислять значения коэффициента сжимаемости реального газа при заданных температуре и давлении. Рассматривается изоэнтропное и адиабатическое перетекание газа из пространства 1 с известными параметрами состояния реального газа в пространство 2 также с известными параметрами состояния газа. На этом примере показано
существенное отличие функции расхода реального газа от функции расхода идеального газа при различных начальных температурах и давлениях газа.
Развитие железнодорожного транспорта и совершенствование конструкций рельсовых экипажей направлено на увеличение скоростей движения поездов при обеспечении показателей безопасности. При разработке новых пассажирских вагонов, элементом, формирующим динамические и ходовые качества экипажа в целом, является тележка. Поэтому совершенствование конструкции тележек пассажирских вагонов и особенно их рессорного подвешивания является актуальной научно-технической задачей.
Как известно, в тележках пассажирских вагонов долгое время применяются комбинированные системы рессорного подвешивания, то есть системы с использованием рессор, как правило, металлических, а также гидравлических и фрикционных гасителей колебаний. Представляет интерес использование более современных систем амортизации, таких как пневмоподвешивание. Принцип работы этих систем основан на использовании воздуха (газа или смеси газов) в качестве наполнителя эластичных баллонов, которые выполняют функцию амортизаторов и их упругие характеристики регулируются соответствующей аппаратурой в зависимости от параметров движения вагона. При этом одним из важных процессов, требующих изучения является процесс перетекания газа (воздуха) между двумя сообщающимися полостями. Математическое описание этого процесса позволит более точно на этапе проектирования оценить свойства и параметры всей пневмосистемы в целом.
Как правило, исследование при рассмотрении пневмосистем принимают аналитические выражения для идеального газа, что несколько искажает действительное положение. Поэтому ниже сделана попытка все же перейти к рассмотрению процесса перетекания для реального газа. Математическое моделирование выполнено в рамках научных исследований, которые выполняются в Научно-исследовательском центре подвижного состава, пути и транспортных сооружений Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, под руководством профессора Манашкина Л. А.
Перетекание идеального газа из одной полости в другую достаточно подробно рассмотрено, например, в работах [1, 2]. В этих работах получены формулы Сен Венана и Вантцеля, позволяющие рассчитать массовый расход идеального газа при его перетекании из одного пространства в другое. Однако, в ряде случаев, давление и температура
газа в связанных полостях могут быть такими, что состояние газа существенно отличается от состояния идеального газа.
Далее будем считать, что газ из пространства 1, характеризуемого температурой Т], плотностью р1 и давлением р], перетекает в пространство 2, характеризуемое температурой Т2, плотностью р2 и давлением р2. Состояние реального газа каждой из камер описывается уравнениями
р, = zI (рТ )Р^КТ1, / = 1,2, (1)
№
где zI(pI,TI) - коэффициент сжимаемости реального газа, Я-универсальная газовая постоянная.
В работах [3, 4] приведены обобщённые кривые зависимости коэффициента сжимаемости газов от величин давления при разных температурах. С помощью этих кривых для ряда значений приведенного
= р Т
давления рг = и приведенной температуры Тг = — получены численные
Рс Тс
величины экспериментально определённого коэффициента сжимаемости газа z(pr,Tr) [3, 4], которые приведены в таблице 1. Значения давления и температуры равны отношениям величин давления и температуры к их критическим значениям Тс и рс, Тс - критическая температура, выше которой никаким давлением газ не может быть превращен в жидкость, а рс - критическое давление так, для азота Тс = 126°К,р = 3, 39 МПа [4, 5]. В скобках в Таблице 1 показаны для азота значения давления и температуры, соответствующие их выбранным приведенным величинам.
Экспериментальные графики удаётся достаточно точно для практики технических расчётов аппроксимировать выражением
z(рг Тг )= 1 - 1,16е~0ЛТг + (0,012 + 0,16е\г + [о,27 + 0,057^ - 4)2 ] е(5,0 - рг) (2)
в котором оо(5,0 - рг)- оператор Хевисайда, равный единице при рг < 5,0 и нулю при рг > 5,0.
В таблице 1 приведены значения zappr(pr,Tr) и погрешности определения с помощью аппроксимирующей формулы (2) коэффициента сжимаемости газов, показывающие, что в пределах 0 < рг < 40 и 1,8 < Тг < < 6,0 (для азота от -50°С до +483°С) точность расчёта коэффициента сжимаемости газа достаточна при выполнении технических расчётов.
Таблица 1 - Значение коэффициента сжимаемости газов
Тг (!°,С) Рг (р, МРа) 2(р, Тг) 2аррг(р,> Тг)
1,8(-50) 2 (6,78) 0,94 0,93 -1,1
4 (13,56) 0,92 0,98 +6,5
6 (20,34) 0,96 1,02 +6,3
8 (27,12) 1,06 1,13 +6,6
10 (33.9) 1.17 1.24 +6.0
20 (67,8) 1,73 1,82 +5,2
30 (101,7) 2,28 2,39 +4,8
40 (145,6) 2,81 2,96 +5,3
2,0(-21) 0 (0) 1.00 1.01 +1.0
1 (3,39) 0,98 0,96 -2,0
2 (6,78) 0,97 0,94 -3,1
4 (13,56) 0,96 0,99 +3,1
6 (20,34) 1,01 1,02 +1,0
8 (27,12) 1,08 1,13 +4,6
10 (33,9) 1,17 1,23 +5,1
20 (67.8) 1.67 1.74 +4.2
30 (101,7) 2,16 2,26 +4,6
40 (145,6) 2,63 2,77 +5,3
2,5(+42) 1 (3,39) 1,00 0,97 -3,0
2 (6,78) 1,01 0,97 -4,0
4 (13,56) 1,03 0,96 -6,8
6 (20,34) 1,07 1,04 -2,8
8 (27,12) 1.13 1.12 -0.9
10 (33,9) 1,17 1,20 +2,6
20 (67,8) 1,57 1,59 +1,2
30 (101,7) 1,96 1,99 +1,5
40 (145,6) 2,32 2,23 -3,9
3,5(+168) 0 (0) 1,00 1,00 0,0
1 (3,39) 1,03 0,99 -3,9
2 (6,78) 1,03 0,99 -4,0
4 (13,56) 1,06 1,03 -3,0
6 (20,34) 1,11 1,08 -2,7
8 (27,12) 1,15 1,13 -1,7
4,0(+231) 10 (33,9) 1,19 1,15 -3,4
20 (67,8) 1,41 1,36 -3,5
30 (101,7) 1,67 1,58 -3,7
40 (145,6) 1,87 1,80 -3,7
6,0(+483) 10 (33,9) 1,18 1,13 -4,2
20 (67,8) 1,32 1,27 -3,8
30 (101,7) 1,48 1,41 -4,7
40 (145,6) 1,5 1,64 +9,3
При этом следует иметь в виду, что погрешность определения коэффициента сжимаемости газа по экспериментально полученным графикам соизмерима с погрешностью аппроксимации.
Следует также отметить, что аппроксимирующее выражение (2) построено формально математически и не опирается на какие-либо физические предпосылки.
Для определения расхода газа через канал, соединяющий пространства 1 и 2 друг с другом, воспользуемся уравнением Бернулли [1, 4], взятом для случая постоянных объёмных потенциальных сил в виде
2
^ + Р(()) = Const. (3)
В этом уравнении Бернулли и- скорость течения газа из полости i, Р(р) - функция давления (движение баротропно)
р(р, И
РР), <4>
р(р) - зависимость плотности газа от давления. Эта зависимость определяется рассматриваемым процессом, р1 - некоторое начальное давление в пространстве с номером /, р$)- изменяющееся во времени давление газа при его перетекании из пространства с номером /.
Для построения указанных зависимостей воспользуемся несколько упрощённым уравнением Ван дер Ваальса, представленном в виде
Рг
f Р Л
i - ьА
= *ятг , г = 1, 2, (5)
и
= р
V)
где ц - масса одного моля газа, а величина коэффициента Ь, определяется (исходя из выражений (5) и (1)) в каждый момент времени с помощью выражения
Ь = ^ё1 ^ , I = 1, 2, (6)
в котором есть известное экспериментально определённое значение коэффициента сжимаемости газа для его состояния, определяемого
температурой Tt в данный момент и средним значением pi давления в интервале [р., p.(t)] [3, 4, 6].
Далее, как и в работах [1, 2], рассмотрим кратковременный процесс перетекания газа из камеры 1 в камеру 2 как изоэнтропийный и адиабатический. Можно показать, что при адиабатичском процессе будет справедливо следующее равенство [7]:
i (t)
т
\Рг
(t)
- Ь
= Рг
( \k
т-b
VP J
(7)
в котором для двухатомных газов к =1, 4, а р, и р, - фиксированные для некоторого начального момента времени значения давления и плотности газа в соответствующей номеру индекса камере. Отсюда получим:
тр
р
(t )=■
' Рг ())^
V Уг J
м- Ьр 1 - Pi(t) 1 к
Р. у
(8)
Подставив последнее выражение в (4), а затем после интегрирования, в (3), после ряда преобразований получим
Y
ü__11 - b£i
2 к-1 рг V т J
к-1 Л
1 -а к
V J
_ ЬР
(1 - а) = Const = —
т 2
(9)
гдест = —. Начальную скорость газа в камере, из которой он Р1
вытекает, можно считать равной нулю, то есть и = 0. Таким образом,
U =
2к Р1(1 - Ар
к -1 р
Y — ^
1 -а к
т J
biPi
т
(1 -а,)
(10)
В случае идеального газа, когда Ь1 =0, выражение (10) сводится к известному равенству Сен Венана и Вантцеля [1, 2].
к
Определив скорость перетекания газа, вычислим расход 0(1) по формуле
0(() = £*£РгЩ ,
(11)
в которой £ - коэффициент сопротивления канала перетеканию газа, определяемый экспериментально, и, зависящий от формы канала и сопротивления движению газа по каналу (ускоряющие каналы и насадки типа сопел Лаваля [1] здесь не рассматриваются), - площадь сечения канала, по которому перетекает газ из одной камеры в другую.
Плотность газа в камерах может быть вычислена с помощью выражения (7). Более точно плотность газа в каждой из камер определяются с помощью выражения
Р =
V
г = 1, 2
(12)
где V - объём полости, а VI - количество молей газа в полости. Для определения количества газа в полостях конечного объёма и температуры газа в них должны решаться дополнительные дифференциальные уравнения.
Выразив значение р2 через значение р1 при заданной величине а, и, подставив его вместе с выражением (9) в выражение (10), получим, после ряда преобразований, формулу для расхода реального газа при его перетекании из полости 1 в полость 2 с меньшим давлением:
О = р
( - ^ у ЯТХ + Ь1 рхак
+ Ь1р1 )3
2к 1—1'
2
ЯТ
к+1 Л
ак -а к
+ Ь1 р1
( 2 . ак -а
к+2 ^ ~к
(13)
где Ь1 = —-— ЯТХ, а г - величина коэффициента сжимаемости газа при
Р
- (р1 + р2) т-
давлении р = ^1 ^ и температуре Т ¡.
Анализ изменения расхода О в зависимости от уменьшения величины а, проведенный в работах [1, 2] для случая идеального газа, показывает, что при некотором критическом значении акр = 0, 528 имеет
место максимум величины О . Физически это объясняется тем, что при таком значении соотношений давлений газа на входе и выходе потока устанавливается скорость потока, равная скорости звука. При такой скорости все уменьшения давления при о < окр= 0, 528 не смогут распространяться против потока, а будут сноситься в сторону потока, не менее его скорости. То есть при о < окр= 0,528 расход газа будет сохраняться постоянным, равным максимальному значению. Аналогичные явления будут иметь место и в рассматриваемом нами случае течения реального газа. При этом следует иметь в виду, что скорость звука существенно зависит от давления и температуры газа. Поэтому, при построении модели с использованием приведенных выше формул алгоритм вычисления расхода должен содержать в себе численный анализ значений расхода О на максимум при условиях в момент времени
На рисунке 1 изображен качественно график зависимости О(о). Пунктирная часть кривой, соответствующая значениям О при о < окр, при расчетах заменяется горизонтальным отрезком G = Отах.
Рассмотрим один из алгоритмов вычисления функции 0(1). Предлагается, что для данного момента известны все величины, входящие в формулы (10) - (12) или (13), то есть, известны для данного момента t, значения давлений р{ и р = 0,5^ + р2), соответствующее значение I, величина о и соответствующее ему значение О, вычисленное с помощью выражений (10) - (12) или (13). Это значение обозначим, как 00. Затем увеличим значение о на малую величину Аст, то есть вычислим новое значение ст + Аст и соответствующее ему значение О с помощью выражения (10) - (12) или (13), которому присвоим символ 01.
Рисунок 1 - Зависимость О(о)
Если окажется, что 01 < 00, то считаем, что О^) = 00. Если же окажется, что 01 > 00, то снова увеличиваем предыдущее значение о на величину Аст, вычисляем О с помощью выражений (10) - (12) или (13) и приравниваем его 01. Далее производим сравнение, как в предыдущем цикле, с соответствующими выводами. Рекуррентный процесс вычислений выполняется в каждый момент времени, пока не будет вычислено значение 0(1), соответствующее сплошной линии на рисунке 1. На рисунке 2 приведена блок-схема программы для вычисления значения 0(1) = 0(о(1)) с использованием описанного алгоритма.
Цикл рекуррентной процедуры
Рисунок 2 - Блок-схема программы для вычисления расходов 0(1)
Наиболее точно давление может быть рассчитано с помощью выражения (1), если известны коэффициенты сжимаемости газа, или выражения (2).
Рассмотрим далее влияние особенностей реального газа на его перетекание из одной полости в другую в сравнении с перетеканием идеального газа.
Выражение (13) может быть преобразовано к виду
0 = 00 8 Р\т ,Т1г ) ,
(14)
где
00 =
( „ Л 2
(15)
а 8(о, р1г, Т1г) - безразмерная расходная функция, определяемая выражением
8 =
1 +
(1 + в )3
2к ( 2/ к+г
к -1
ст к-ст /к 1 + Д1 ст/к-ст
2 к+2 кк
(16)
в котором
в =
1 + ст
+
(0,006+0,08ехр(- 0,7Т1г ))(1 + ст)р1г - 1,16ехр(- 0,7Т1г) + [0,27 + 0,057(0,5(1 + ст) -4)2 ехр(-0,1Т1г)](5,0 -0,5(1 + ст)Аг)
(17)
2
Рисунок 3 - График зависимости расходной функции 8(о) для разных давлений идеального и реального газов в полости 1
На рисунке 3 в качестве примера приведены зависимости расходных функций g(о) в случаях рассмотрения идеального газа (этот график не зависит от величин давления и температуры в полости 1 и реального газа при разных давлениях и температуре 20°С.
Из рисунка 3 видно, что в случае реального газа давление в камере 1 оказывает влияние, как на критическую величину отношения о, так и на величину расходной функции при значениях о меньших критического значения.
Для исследования влияния давления и температуры на расходные функции g(о) реального газа определены и рассчитаны значения
а„ =
акр реал .газа акр реал .газа
кр J
и значения
а идеал .газа кр
0,528
g = gкр(а < акрреал газа) = g(а < акрреал газа) . Зависимость этих величин от " g(а < акридеал.газа) 0,678
приведенного давления р1г в полости 1 для разных температур показаны на рисунке 4 и рисунке 5 соответственно.
СТп
1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80
10
15
20
25
30
35
40 Р1
Рисунок 4 - Графики зависимости ог/р]г) критических отношений реального газа в полостях 1 и 2 от приведенных величин давления газа в полости 1 при разных температурах по отношению к аналогичной величине в случае идеального газа
0
5
Рисунок 5 - Графики зависимости отношений gri(plr) максималь-ных значений расходных функций реального и идеального газов от приведенных величин р1Г давления реального газа в полости 1 при разных
температурах
После анализа рисунков 4 и 5 следует отметить, что в случае реального газа критическая величина окр отношения давлений газа в полостях 1 и 2 отличается от соответствующей величины окр для идеального газа не более, чем на 15%. В то же время значение функции расхода в случае реального газа при значениях о < окр может отличаться существенно (почти в два раза), что должно приниматься во внимание при создании пневматических исполнительных и управляющих элементов, а особенно в системах пневморессор и пневматических гасителях колебаний.
Все расчеты выполнены с помощью программы МатЛаб 7.
Также для адибатического перетекания газа с участием автора разработана аналогичная математическая модель, которая описана в [8], а для случая неадибатического перетекания газа математическое моделирование можно осуществить в соответствии с моделью, описанной в работе [9].
Выводы. Таким образом, предложено описание математической модели перетекания реального газа в различных пневмосистемах, которые используются на железнодорожном транспорте. Данная математическая модель может быть использована также и как составная часть более полной
математической модели пространственных колебаний рельсового экипажа, в котором используются пневматические амортизаторы и гасители колебаний.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа, М.: Наука, 1987. - С. 840.
2. Герц Е.В., Динамика пневматических систем машин, М.: Машиностроение, 1985. -
С. 256.
3. Obert E.F., Concepts of Thermodynamics, New York, McGraw-Hill Book Company, 1960. - 528 P.
4. Moran M.J., Shapiro H.N., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, 2000, New York, John Wiley & Sons, 918 P.
5. Вукалович М.П., Новиков И.И. Уравнение состояния реальных газов. - М., ГЭИ, 1948. - 340 с.
6. Варгафтик Н.В. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.-М., ФМ, С. 708.
7. Ландау Л., Лифшиц Е., Статистическая физика. - М.-Л.,ГИТТЛ, 1951. - С. 479.
8. Manashkin L.A., Myamlin S.V., Zhyzhko V.V., Mathematical modeling of operation of pneumatic shock absorbers and support elements.- Тезисы докладов V Международной научно-технической конференции »Подвижной состав XXI века: идеи, требования, проекты»(4-6 июля 2007г.). - Петербургский государственный университет путей сообщений.- Санкт-Петербург.- С. 103-104.
9. Манашкин Л.А., Мямлин С.В., Поглощающий аппарат с переменной массой рабочего тела. - Вюник Дншропетровського нащонального ушверситету зaлiзничнoгo транспорту iм. акад. В.Лазаряна, вип. 8.- Дншропетровськ.- С. 70-78.
