Математическое моделирование пассажиропотока станции «Пионерская» метрополитена г. Санкт-Петербурга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах

95

УДК 656.224.072.4: 656.342

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАССАЖИРОПОТОКА СТАНЦИИ «ПИОНЕРСКАЯ» МЕТРОПОЛИТЕНА г. САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

Д.С. Хрущева

Аннотация

В связи с ростом в последние годы числа пассажиров метрополитена очень важным аспектом научных исследований является математическое моделирование пассажиропотоков с целью управления ими. В статье рассмотрены линейная, кусочнолинейная модели и модель на основе кубического сплайна для станции «Пионерская". Приведены также сравнительные результаты анализа эффективности указанных моделей путем сравнения равномерных и квадратичных норм. В качестве исходных данных для построения модели использованы реальные значения пассажиропотоков, зафиксированные «Автоматизированной системой контроля оплаты проезда на метрополитене» (АСКОП-М).

Ключевые слова: математическая модель; регрессия; аппроксимация; пассажиропоток; АСКОП-М

Введение

В работе используются численные методы для разработки и анализа аналитической модели суточного входного пассажиропотока на станции «Пионерская» Санкт-Петербургского метрополитена. В качестве исходных данных используются средние значения опытных данных входного пассажиропотока, полученные в результате обработки годовых значений АСКОП-М. Построение моделей осуществлялось для двух

пассажиропотоков: дифференциального и интегрального. Под

дифференциальным пассажиропотоком (или скоростью) понимается количество пассажиров, вошедших в метрополитен за определенный интервал времени (для скорости - за единицу времени). Интегральный пассажиропоток (суммарный) представляет собой суммарное количество вошедших пассажиров от начала работы метрополитена до фиксированного времени суток. В качестве аналитической модели принята зависимость дифференциального или интегрального пассажиропотоков от времени работы метрополитена в течение суток.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/1

96

Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах

1.1. Математическая модель входного интегрального пассажиропотока метрополитена

Построение математических моделей входного интегрального пассажиропотока осуществляется с помощью аппроксимации исходных данных линейными, кусочно-линейными и нелинейными функциями (степенной, показательной и кубическим сплайном) на основе программ, написанных для 111111 MatLab.

Линейная модель как наиболее простая аналитическая зависимость, аппроксимирующая функцию, заданную таблично, имеет вид (Бахвалов Н.С., 1973): ух=а + Ьх, где х - время работы метрополитена, у -

суммарное количество пассажиров, вошедших в метрополитен ко времени х. Для определения коэффициентов а и b в работе использовался метод наименьших квадратов (Бахвалов Н.С., 1973).

В работе также проводилась аппроксимация степенной у х-а-хь и показательной ух=а-Ъх функциями. Степенная и показательная функции относятся к нелинейным функциям. Лутем логарифмирования они приведены к линейным функциям, что позволило применить метод наименьших квадратов для вычисления коэффициентов a и b.

Для построения кусочно-линейной модели временной интервал на основании анализа характера изменения суммарного пассажиропотока разбивался на пять участков. На каждом участке методом наименьших квадратов были получены уравнения линейной функции, а в целом, изменение пассажиропотока за время работы метрополитена записывалось в виде составной функции.

Кубический сплайн S3(x) с дефектом равным единице рассматривался в виде:

х-х. 2 х-х. , +h

ГГ * Z —1

^3 * =Уг-1------------ГГ------------+ Уг

/г

х - хм 2 xt-x +h

+ т

2-1

Х-Хг X + X

2-1

■ + т;

х - х - хг

h7

(1)

Шлучены следующие аналитические зависимости для пассажиропотока станции «Пионерская»:

• уравнение линейной функции регрессии, являющееся линейной моделью входного суммарного пассажиропотока от времени суток:

улх -97.081+3968.5Х (2)

• уравнение для степенной функции регрессии:

2004/1

Известия 1етербургского университета путей сообщения

Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах

97

Яс = 103-2583 -*13874 = 1812.6-jv1 3874 (3)

• уравнение показательной функции регрессии:

у" — 1 о3 8257 .10о.об74* — 6694.2 • 1.168

(4)

• коэффициенты кубического сплайна, коэффициенты кусочно-линейной функции регрессии для приближения входного интегрального пассажиропотока.

Г рафики построенных зависимостей на примере входного суммарного среднегодового пассажиропотока станции Петербургского метрополитена «Пионерская» представлены на рисунке 1.

Где « -о » - суммарный среднегодовой входной пассажиропоток

станции «Пионерская», полученный путем интерполяции кубическим сплайном;

« — » - линейная функция регрессии; « -* » - степенная функция регрессии; « -. » - показательная функция регрессии.

1.1. Математическая модель входного дифференциального пассажиропотока метрополитена

Для дифференциального пассажиропотока использовалась кусочнолинейная модель и аппроксимация кубическим сплайном.

На основании выполненного расчета кусочно-линейная функция приближения дифференциального пассажиропотока будет иметь вид:

Рис. 1. Аппроксимация интегрального пассажиропотока

-44.976+ 15.156- х, х е 1;45 , 862.35-6.4422- х, х е 45;60 , 473.23 + 0.17916 -jc, х е 60;100 -201.1 + 6.4628 -jc, х g 100; 170 ,

2388.2 -9.7772-х, хе170;240

(5)

График полученной модели представлен на рисунке 2.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/1

98

Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах

Рис. 2. Аппроксимация

2. Определение эффективности построенных моделей

Для оценки эффективности модели необходимо определить погрешности аппроксимации опытных данных входного пассажиропотока.

Оценка точности аппроксимации опытных данных аналитическими функциями производится с помощью равномерной || Ду I и квадратичной

||Ду.|| норм. Для их вычисления

дифференциального пассажиропотока по соотношениям:

||Д)л|| -гтахД)',;

1 п\

2 АУ 2, i = l,n,n = 20

i=1

(6)

(7)

вычисляется абсолютная Ду и относительная погрешности $Уг

4и =

Уг-yt

, (k = л, с, п);

У

(8)

(9)

• Нормы погрешностей для функций сведены в таблицу 1.

ТАБЛИЦА 1. Нормы погрешностей

линейной степенной показательной

Квадратичная Ду/; 5728.7 15839 25699

Равномерная Ду.|| 10485 40589 74268

• Нормы погрешностей для кусочно-линейной аппроксимации пассажиропотока сведены в таблицу 2.

ТАБЛИЦА 2. Нормы погрешностей

Дифференциального Интегрального

2004/1

Известия Петербургского университета путей сообщения

Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах

99

Квадратичная Ду^ 36.808 616.86

Равномерная Ду.|| 127.31 2995.7

• Нормы погрешностей интерполяции кубическим сплайном суммарного пассажиропотока:

Квадратичная ||Ду.|| = 3277.6, равномерная ||Ду||к =4597.9;

• Абсолютные нормы погрешностей приближения суммарного пассажиропотока кубическим сплайном:

Квадратичная ЦДу.Ц = 127.18, равномерная ||Ду||к =495.12;

• Относительные нормы погрешностей приближения суммарного пассажиропотока кубическим сплайном:

Квадратичная ЦДуЦ^ = 0.02847, равномерная |Ду|ко= 0.17017;

• Абсолютные нормы погрешностей приближения дифференциального пассажиропотока кубическим сплайном:

Квадратичная |Дуг.|| = 218.26, равномерная ||Ду ||к = 808.09;

• Относительные нормы погрешностей приближения дифференциального пассажиропотока кубическим сплайном:

Квадратичная ||Дуг.|| = 1.7499, равномерная ||Ay||Ko = 13.848.

3. Заключение

Из проведенного анализа результатов расчетов и сравнения их с опытными данными следует, что полученные аналитические выражения с достаточной точностью описывают пассажиропоток метрополитена и могут использоваться как модель входного пассажиропотока.

4. Литература

Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1973

УДК 621.316.923

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ ПЛАВКИХ

ПРЕДОХРАНИТЕЛЕЙ

Д.Л. Павлов

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/1