Математическое моделирование операции изотермического обратного выдавливания анизотропных трубных заготовок Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374; 621.983

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОБРАТНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК

С.С. Яковлев, В.И. Платонов, А.В. Черняев

Изложена математическая модель операции изотермического обратного выдавливания толстостенных трубных заготовок из ортотропного материала, обладающего цилиндрической анизотропией механических свойств, в условиях вязкого течения материала. Приведены выражения для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции изотермического обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материалов.

Ключевые слова: обратное выдавливание, анизотропный материал, вязкость, сила, повреждаемость, ползучесть.

В различных механизмах и машинах широко применяются детали типа полых цилиндров, имеющих внутренние полости. Детали такого типа могут быть получены обратным выдавливанием трубной заготовки [1]. Заготовки, как правило, обладают анизотропией механических свойств, обусловленной маркой материала, технологическими режимами ее получения, которая может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на устойчивое протекание технологических процессов обработки металлов давлением при различных температурно-скоростных режимах деформирования [2, 3].

Рассмотрим деформирование анизотропного материала в условиях ползучего течения [2, 4]. Упругими составляющими деформации пренебрегаем.

Уравнение состояния, описывающие поведение материала в условиях ползучести, записываются в виде

Хе = В(ае / se0 Т, С1)

где Xе и sе - эквивалентные скорость деформации и напряжение при вязком течении материала; seo - величина напряжения, разделяющая вязкое и вязкопластическое течения материала; n и B - константы материала, зависящие от температуры испытаний.

Величина напряжения seo, разделяющая вязкое и вязкопластическое течения, зависит от механических свойств материала при заданной температуре деформирования, чувствительности материала к деформационному упрочнению при соответствующей скорости деформации Xeo.

Рассмотрен процесс обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении анизотропного упрочняющегося материала коническим пуансоном с углом конусности а и степенью деформации е = 1 - ^

(рис. 1), где ^0 и - площади поперечного сечения трубной заготовки и полуфабриката соответственно.

Материал заготовки принимается ортотропным, обладающим цилиндрической анизотропией механических свойств, подчиняющимся уравнению состояния (1) и ассоциированному закону течения [2]. Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса обратного выдавливания реализуется в цилиндрической системе координат.

Принимается, что на контактных границах заготовки и рабочего инструмента реализуется закон трения Кулона. Течение материала принимается установившимся.

Кинематика течения материала. Условие несжимаемости материала позволяет установить связь между скоростью течения материала на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации:

Рис. 1. Схема к анализу процесса обратного выдавливания

2

Откуда следует, что

р( Рз 2^р)

4

2

рР2 р(Рз - 251)

2

4

4

(2)

(3)

у = у ¿1( Вз - ¿0 . ^0 = ¿1( Вз - ¿0 = к

0 1 ¿0(Вз - ^0) У1 ¿0(Вз - ^0)

Пусть материальная частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами Р0 = Рз / 2 - ¿0, 2 = 0. На выходе из очага деформации занимает положение Р1 = В 3 - s1. Принимаем, что линия тока - прямая линия, проходящая под углом Р к оси 2. Угол Ь изменяется от 0 при Р0 = Оз/2 до а при Р0 = Оз/2 - ¿0, если

г = 0, то же имеет место при Р1 = Вз /2 и Р1 = Вз /2 - ¿1, если г = I.

В целях упрощения можно принять линейное изменение от 0

до tga при изменении ¿0 от 0 до ¿0, когда г = 0 :

]

tgp = tga ¿°.

¿0

Компоненты осевой уг и радиальной уР скоростей течения могут быть определены по выражениям

у = ^¿0(Вз + 2Р) - 2Вз¿0ztga . (4)

-2(2р)~2изSo2

(из^ 2Р)(Л0 “ и®*?

2 0

(из + 2Р)(¿0 - 2^а)

( и - 9r)tga

где tgp =

(из + 2Р)(*0 - 2^аУ

Ур= У0 ¿02(из + 2Р) - 2из¿02^а ^, (5)

(Вз - 2Р^а 2(^0 - ztga) ‘

Скорости деформации рассчитываются по выражениям дУ ЭУР УР дУР ЭУ

Хг=ЭЭУ2-; Хр^ ; Хе =Ур ; 2Х^ ^^+ЭУ:2. (6)

Эи у Эр р к Эг Эр

Приведем окончательные выражения для определения компонент скоростей деформаций Х2, Хр, Хе, Хр2, полученных с учетом выражений

(4) и (5), условия несжимаемости материала Хр = -Хг - Хе:

Х = Э У2 = отл №0 (¿0 2Р - из2^а) . (П\

Х 2 = ^Т“ = 2У0-----------------------3; (7)

Эг (Вз + 2Р)(*0 - 2^а)

Хе = УР= У0!0 [¿0(из + 2Р) - 2из2^а](из - 2r)tga . (8)

р р 2(из + 2р)(^0 - ztga)3

Х =ЭУР= У0¿0^аВз [^0Вз - 22^а(Вз + Р)] . (9)

р ЭР 2(из + 2Р)Р (¿0 - ztga)3 ;

Х*=2 У0 и, (10)

где

2 2 2

и = ¿^а[8(¿0 - ztga) гВз + (Вз - 4р )(^0Вз + б^р - 4Взztga)tga];

У = 2(^0 - ztga)4 (Вз + 2р)2.

Распределение эквивалентной скорости деформации вдоль траекторий течения материала. Величина эквивалентной скорости деформации Хе вычисляется по выражению [2]

Xе = V2(^2 + ^е + ^^е ) {^02[(1 + ^2 )Хе + ^2Х2 ]2 + + ^Т^еК1 + ^0 )Х 2 + ^0Х0]2 +

, * (* х х )2 , 2*0(! + *0 + *2)2&

+ *0*Х2 - *0^0 ) +----------- ----------“

*р2

12

/-Л^/КТяе (1+йе+ к, ), (11)

где К2 = Н / С; Ке = Н / ^; Кр2 = М / ^^, С, Н, М - параметры анизотропии.

Выражение (11) позволяет определить распределение эквивалентной скорости деформации вдоль ряда (п) траекторий течения материала.

Средняя величина эквивалентной скорости деформации по очагу деформации по этим п траекториям

Х еср

_ Хе0ср + Хе1ср + ••• + Х

епср

(12)

’е^ п + 1

Распределение эквивалентной деформации вдоль траекторий течения материала. Накопленная эквивалентная деформация вдоль к-ой траектории определяется по выражению без учета добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории при входе в очаг деформации следующим образом:

t 1к ЛП I

8ек 1ХекЛ 1 Хек ук 1 Хек У ’

0 0 У1к 0 Угк

где к = 1,2,..., п (траектории течения материала).

Для определения этой добавки запишем выражение для определения приращения эквивалентной деформации при чистом сдвиге, когда

ХР =Хе =Х2 =Хге =Хер = ^ ХР2 * ^ следующим образом:

\1/2

dz

Ае ек _

2(*2 + *0+ *2*0 )

3*

2Ае'

Р2к

*

Р2

Учтём, что

тогда будем иметь

Ае

р к

Р2

2 V

2к

Ае ек _

2(*2 + *0 + *2*0 )

3*

2*

Р2

(13)

Таким образом, величина накопленной эквивалентной деформации вдоль траектории к будет определяться по формуле в очаге деформации

78

/

1

2(*2 + *0 + *2*0 )

3*2

І

2 *р—

к • (14)

Если нужно определить накопленную эквивалентную деформацию в заготовке после деформации, то следует к рассчитанной величине добавить второе слагаемое, которое определяется также по выражению (14) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой ползучести (1).

Определение напряжений в очаге деформации. Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций для рассматриваемых условий деформирования принимают вид

0 _0 = 2 О е (К2Ке + К2 + Ке )(К2Х 2 ~ КеХе ) .

2 е 3 Хе КгКе (1 + Ке + к, ) ’

2 о- (К,Ке+ К2 + Ке)(Хе~ Кг Хр)

Ой~Ор =----- -----------------------------------------— ; (15)

е р 3 Хе К, (1 + Ке+ к, )

2 ае (*2*0+ *2 + *0)(*0Хр-Х2 ).

3 Хе *0 (1 + *0+ *2 )

_ _ 2 ае (*2*0 + *2 + *0 ) Х

р2 'Х Р Хр2 :

где Ор, Ое, о 2, Тр2 - нормальные и касательное напряжения, являющиеся функциями р и 2 .

Запишем систему уравнений (16) через среднее напряжение о: о г = о ~ 2М^г ^ г); Ое = О~ 2М^е ^ г);

Ор = О ~ 2М^р (р, г); Хр, = ^¡¿ргРрг ^ 2),

(16)

где

м _ 1 ае . А _ *2*0 + *2 + *0 . А _ *2*0 + *2 + *0

3 Хе *0 (1 + *2 + *0) ^ *Р

*

^ (*0 + 2*2 )Х0 + *2 (*0 + 2)Хр

Рі (Р. 2) _--------------------------------------------------------ТТ-11 ’ (17)

3*2

*0 (*2 + 2)Х2 + (*2 + 2*0 )Хр .

Р0 (Р,2)

0 3*

Рр (М) _ *0 *2 + 1)Х03+**- (2*0 + 1>Х-) ’ Рр2 (р, 2) _Хр2 •

Для определения напряжений в очаге деформации располагаем указанными выше уравнениями теории течения анизотропного материала (15) и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат

Зар Этт ар а0 Эа0 Этр— Эа^ г! р

+ _р--0_о. ^0_0’ —Р— + ^— + -^р_0^ (18)

Эр Э2 р Э0 Эр Э2 р

79

1

Подставив выражения (17) в уравнения равновесия (18), имеем Эо_ 3(m-Fp^z)) + +2A Fe(p,z)_F(^z) = o-

Эр Эр Apz dz m p -

Эа_2aЭ(Й7^(p,z)) + 2Apz 3(^'Fpz(pZ)) + 2Apz m,Fpz(P,Z) = 0. (19)

Эz Эz и Эp и p

Представим приведенные выше уравнения в виде конечных разностей. С этой целью рассмотрим схему разбивки очага деформации координатными линиями p = const и z = const (рис. 2):

°m,n _°m_1,n 0 Л mim,nFp (pm,n, zm,n) _mim_1,nFp (pm_1,n, zm_1,n) +

■2 A

pm, n — pm—1,n pm,n — pm—1,n

mim,n+1Fpz (pm,n+1, zm, n+l) — mim,nFpz (pm,n, zm,n )

+2 Apz 2 — 2 +

zm,n+1 zm,n

~ A F0 (pm,n, zm,n) — Fp (pm,n, zm,n ) Л r^rw

+2 Amim, n-----------!—1-p—^—!—1-=°; (20)

m, n

sm,n+1 — sm,n — 2a mim,n+1Fz (pm,n+1, Zm,n+\) — mim,nFz(pm,n, zm,n) +

zm,n+1 zm,n zm,n+1 zm,n

mim+1 nFpz(pm+1,n,zm+1,n) — mim nFpz(pm,n,zm,n) +2 Apz ’ ’

pz _

pm+1,n _ pm,n + 2 . mim,nFpz(pm,n,zm,n) = 0

pz pm,n " '

Разрешив каждое из уравнений системы (20) относительно среднего напряжения, получим выражения для определения величины среднего напряжения smn:

по p - линии (z = const) sm,n = sm-1,n + 2 A[mim,nFp (pm,n, zm,n ) _ mim_1,nFp (pm_1,n, zm_1,n)] _

mim,n+1Fpz (pm,n+1, zm,n+1) _ mim,nFpz (pm,n, zm,n )

_ 2Apz (pm,n _ pm_1,n) _

zm,n+1 _ zm,n

~ A F0 (pm,n, zm,n) _ Fp (pm,n, zm,n)/ N

_ 2A^im,n------------------------(pm,n _pm_1,n )- (21)

pm,n

по z - линии (p = const)

sm,n = sm,n+1 _ 2A[mim n+1 Fz(pm,n+1,zm,n+1) _mim nFz(pm,n,zm,n)] +

mim+1 nFpz(pm+1,n,zm+1,n) _ mim nFpz(pm,n,zm,n)

+ 2Apz (zm,n+1 _ zm,n ) +

pm+1,n _ pm,n

mm,nFpz (pm,n , zm,n )

+ 2 ^pz (zm, n+1 zm, n )- (22)

P

m,n

Рис. 2. Схема к расчету напряжений

Для интегрирования этих уравнений нужно сформулировать граничные условия. В соответствии с выбранной кинематикой течения на входе в очаг деформации и выходе из него происходит резкое изменение направления течения от вертикального до наклонного к осевой под углом Ь, что связано с разрывом тангенциальной составляющей скорости течения Ур.

Это изменение направления течения учитывается путем коррекции напряжения на границе очага деформации по методу баланса мощностей

АР/У/ =т,ргЛГУр, (23)

где

Vp 1

ДР/ = До/AF¡; DFi =DF cos p ; Vl =; AP¡ = ^---------------- . (24)

sin p cos p

На основании соотношений (23) и (24) следует, что

До/DF cos pVp

sin p

tspzDFVp (25)

и

До/ tszx^Sp. (26)

Используя выражения (24) и (26), найдем

DPz = ДР/ cosp ; ДоzDF = До/DF/ cosp ; Доz =tspz sinpcosp. (27)

Заметим, что угол p на входе в очаг деформации определяется по формуле

tgp = tga,

so

а при выходе из очага деформации так:

tgp = ^ tga. s1

Соотношение (27) является граничным условием для определения оz при z = l. Определяется величина среднего напряжения о по выражениям (21) и (22). Компоненты напряжений о z, Op, Oq и tpz определяются из уравнений (15).

Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитывают возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона Кулона tkM =mМопМ и ТкП =mПопП , где mП и mМ - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.

Силовые режимы обратного выдавливания. Определение силы процесса обратного выдавливания осуществляется следующим образом. Рассчитывается напряжение о z (p) с учетом изменения направления течения материала на входе в очаг деформации и выходе из него. Осевая составляющая силы определяется по выражению

D3/2

Pzo = 2p Jоz (p, 0)pdp. (28)

Dз /2 _ so

С учетом составляющей трения осевая сила Pz определяется следующим образом:

Pz = Pz 0 + Pz1 + Pz 2, (29)

где Pz1 и Pz2 - составляющие на ось z силы трения на матрице и пуансоне,

которые определяется следующим образом:

l

Pz1 = pDз 1mМоndz - (30)

0

l dz

Pz2 = p 1 (2p + dp)mПоn-----cos a. (31)

0 cos a

Вдоль границы течения материала по пуансону p определяется по формуле

p = D3 /2 - s0 + ztga,

а dp = dz.tga.

Подставив p и dp в уравнение (31), получим

l

Pz2 = pj (D2 - 2s0 + 2ztga + dztga)mпsndz. (32)

0

Величина sn на контактной поверхности с пуансоном определяется по формулам преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы координат к другой:

2 2

sпп =Sp cos a + sz sin a + tpz sin2a. (33)

Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции изотермического обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материалов в режиме кратковременной ползучести.

Работа выполнена по государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантам РФФИ.

Список литературы

1. Яковлев С.С., Кухарь В. Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.

2. Изотермическое формоизменение анизотропных материалов жестким инструментом в режиме кратковременной ползучести / С. С. Яковлев [и др.] / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 412 с.

3. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В. А. Голенков [и др.] / под ред. В. А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.

4. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.

Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Черняев Алексей Владимирович, д-р техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE ISOTHERMAL REVERSE EXTRUSION OF ANISOTROPIC PIPED DETAILS MATHEMATIC SIMULATION

S.S. Yakovlev, V.I. Platonov, A.V. Chernyaev

The mathematical model of isothermal reverse extrusion of thickwalledpiped details from orthotropic material possessing cylindrical anisotropy of mechanical properties in the modes of material’s viscous flow is exposed. The formulas for material flowing kinematics, stressed and deformed states, power circumstances of isothermal piped details reverse extrusion process from anisotropic material estimating are shown.

Key words: reverse extrusion, anisotropic material, viscosity, power, damageability, creeping.

Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Chernyaev Aleksey Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.374; 621.983

СИЛОВЫЕ РЕЖИМЫ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОБРАТНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК

В.И. Платонов, А.К. Талалаев, М.В. Ларина

Приведены результаты теоретических исследований силовых режимов операции изотермического обратного выдавливания анизотропных трубных заготовок. Выявлено влияние технологических параметров на силовые режимы операции изотермического обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных высокопрочных материалов в режиме кратковременной ползучести.

Ключевые слова: обратное выдавливание, анизотропный материал, вязкость, сила, повреждаемость, ползучесть.

В работе [1] приведена математическая модель операции изотермического обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении анизотропного материала коническим пуансоном с углом конусности a и степенью деформации e = 1 - Fi/Fo (рис. 1), где Fo и Fi - площади поперечного сечения трубной заготовки и полуфабриката соответственно.

Материал заготовки принимается ортотропным, обладающим цилиндрической анизотропией механических свойств, подчиняющимся ассоциированному закону течения и уравнению состояния [2] :

Хе = в(ае / se0 Т,