Математическое моделирование неустойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в полумарковской среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 4(5)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.872

В.А. Вавилов, А.А. Назаров

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА С ИСТОЧНИКОМ ПОВТОРНЫХ

ВЫЗОВОВ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИМ В ПОЛУМАРКОВСКОЙ СРЕДЕ

Предлагаются математические модели неустойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в полумар-ковской среде. Исследуются асимптотические средние характеристики рассматриваемых сетей, величины отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего. Проводится глобальная аппроксимация процесса изменения числа заявок в источнике повторных вызовов и исследуется плотность распределения вероятностей значений этого процесса.

Ключевые слова: модели неустойчивых сетей, сети множественного доступа, глобальная аппроксимация.

Необходимость оптимизации сетей связи, математическими моделями которых являются системы массового обслуживания (СМО), привела к рассмотрению управляемых систем массового обслуживания [1]. По-другому такие системы называют системами с переменными параметрами [2].

В данной работе рассматриваются математические модели компьютерных сетей в виде СМО, в которых изменение параметров происходит под воздействием внешнего фактора - случайной среды.

Влияние случайных внешних воздействий может непосредственно отражаться на интенсивности входящего потока, а также на интенсивности обслуживания заявок на приборе. Первая ситуация достаточно широко рассмотрена в ряде работ, в том числе в трудах [3, 4]. Ситуация второго рода рассмотрена нами, например, в работах [5 - 8].

Однако вполне очевидна ситуация, при которой влияние случайной среды сказывается на интенсивности обращения заявок на прибор из источника повторных вызовов. Данному случаю на сегодняшний день уделяется мало внимания. Некоторым образом, работы [9 - 12] восполняют этот пробел. В данной работе предлагаются математические модели неустойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в полумарковской среде.

1. Математическая модель

Рассмотрим математическую модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: k = 0, если он свободен; k = 1,

если он занят обслуживанием заявки; к = 2, если на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Продолжительность обслуживания заявки на приборе имеет экспоненциальное распределение с параметром р. Если в течение обслуживания этой заявки другие требования на прибор не поступают, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то возникает конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Число заявок в ИПВ обозначим i. Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/a, где a - средняя продолжительность этих интервалов.

Сеть функционирует в случайной среде. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим полумарковский процесс [13, 14] s(t) с непрерывным временем t, то есть такой дискретный случайный процесс, который принимает значения из конечного множества состояний s = 1,2,...,S и для которого вложенная по моментам времени tn изменения состояний цепь s(tn) является марковской. Времена пребывания этого процесса в различных состояниях являются условно независимыми случайными величинами, распределение вероятностей значений которых зависит лишь от номера состояния полумарковского процесса.

Для определения полумарковского процесса s(t) зададим стохастическую матрицу одношаговых вероятностей p переходов вложенной цепи Маркова

Psis2 = P(s(t„+i) = s2 | s(tn) = s1), при этом будем полагать, что pss = 0. Понятно, что

S

X PSiS2 = 1, s = 1,2,...,S . (1)

s2 = 1

Также зададим набор функций распределения Gs (x) значений времени пребывания полумарковского процесса в s-м состоянии.

Будем полагать, что влияние случайной среды на функционирование сети определяется зависимостью интенсивности у обслуживания заявок в ИПВ от состояний s случайной среды, то есть у = y(s). Вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени At равна y(s)At + o(t), при условии, что среда находится в состоянии s.

В силу свойств приведенной математической модели трехмерный случайный вектор {k(t),i(t),s(t)} изменения во времени состояний {k(t),i(t)} математической модели сети связи и состояний {s(t)} математической модели случайной среды является полумарковским процессом.

Для исследования описанной математической модели марковизируем [15] процесс {k(t), i(t), s(t)} методом дополнительной переменной. Введем переменную Z(t), имеющую смысл длины интервала времени от момента t до момента смены текущего состояния случайной среды, тогда процесс изменения значений вектора {k(t),i(t),s(t),Z(t)} является марковским процессом [13, 14].

Обозначим P(k(t) = k, i(t) = i, s(t) = s, Z(t) < Z) = P (i, s, Z,t).

В любой момент времени должно выполняться условие нормировки

2 го S

Z ZZ Pk 0'> s <»> t) =1.

k=0i=0s=1

Для вероятностей Pk (i, s, Z, t) можно составить следующую систему конечноразностных уравнений [15] Дг-методом.

P (i, s, Z, t + At )(1 - (X + i y (s))At) (P (i, s, Z + A t, t) - P0 (i, s, At, t)) +

1 S

+^Atp (i, s, Z + At, t) + - ÁtP2 (i, s, Z + At, t) + Gs (Z) Z P (i, S, Аг, t) + o( At),

a S =1

P (i, s, Z, t + At) = (1 - (X + i y (s) + ц) A t) (p (i, s, Z + At, t) - p (i, s, At, t)) +

S

+XAtP0 (i, s, Z + At, t) + (i +1)y(s)AtP0 (i +1, s, Z + At, t) + Gs (Z) Z Pis P (i, Si, At, t) + o(At),

si =i

P2 (i, s, Z, t + At) = ^1 -^Х + -1- ^Atj (P2 (i, s, Z + At, t) - P2 (i, s, At, t)) +

+XAtPl (i - 2, s, Z + At, t) + (i - 1)y(s)Atp (i -1, s, Z + ^t, t) +

S

+XAtP2 (i -1, s, Z + At, t) + Gs (Z) £ pSlSP2 (i, s!, At, t) + o(At).

si =!

Разложим функции Pk (i, s, Z + At, t) в ряд по приращениям аргумента Z , в результате получим

Po (i, s, Z, t + At) = (1 - (X + i y (s))At) í Pq (i, s, Z, t) + At 5Po ^ Zt) - At dPo O’^0,t )

l dZ dZ

i S dP (i s 0 t)

+^AtP (i,s, Z, t) + - AtP2(i, s, Z,t) + Gs (Z) ¿ At 0 ’1 ’ p + o(At), a s =i dZ 1

P (i, s, Z, t + At) = (1 - (X + i y (s) + h) At) í p (i, s, Z, t) + AtdPl S’Z’? ^ - A?dp (г’ ^,0, ? ^

l 5Z 5Z

S dp (i s 0 t)

+XAtP0(i,s,Z,t) + (i + l)Y(s)AtP0(i + 1,s,Z,t) + Gs(Z) I At 1 (’J’ ’ } ps¡s + o(At),

Si=1

P2(i,s,z,t + ДГ).(l-(x+і)д,] [P2(i,s,z,t) + ДГ-Д,

+XA?P¡ (i - 2, s, Z, t) + (i -1) Y (s) Atp (i -1, s, Z, t) + XA tP2 (i -1, s, Z + At, t) +

+Gs (Z) í AtdPp(¿’Z1,0,*} PS1S + °(At).

s=1 dZ

Представим интенсивность у обращения заявок на прибор из ИПВ в виде Y(s) = yo(s). Поделим уравнения системы на Дt и при At ^ 0 для распределения Р (г, s, Z, t) получим следующую систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

+ (X + .y0(s))P0(i,s,Z,t) - + ир„-,s,Z,,) +

dt dZ dZ

ҐГЛ-S dp) (i, s ,0, t)

^ P2 (i, ^, ^, t) + Gs (Z) Z ------------PS1S ,

a sj=i dZ 1

dPi (i, s, Z, t) , ^ ч Лпґ. r <4 dp (г, s, Z, t ) Зр (г, s,0, t) , ^ n ^ <4 ,

-------------+ {X + iya(s) + H)p (i,s, Z,t ) = 1 _r-----------------+ ^P (г> s>Z t ) +

dt dZ dZ

+(i + І)уст(^)p0 (і +1, s Z, t) + Gs (Ç) £ dPi (i,sit) ,

S =1 dZ 1

dp2(г,sZ,г) + 1 (. Z ^ dp2(г,sZ,t) дР2(i,s,0,г) z <4 +

------ ------+ 1 X + - I p2 0, S Z г) = -—-------------—------+ ^P2 (г - 1Zг) +

dt v a y dZ dZ

S dP (r s 0 t)

+XP (i - 2, s, Z, t) + (i-1)ya(s) P (r -1, s, Z, t) + Gs (Z) I 2 ( ’ 1 ’ ’ ) ^ . (2)

S1 = 1 dZ

Решение Pk (i, s, Z, t) системы (2) достаточно полно определяет функционирование математической модели сети связи и ее вероятностно-временные характеристики, но для нее не существует точных аналитических методов решения, поэтому данную систему будем исследовать модифицированным для нестационарных распределений методом асимптотического анализа [16, 17] в условиях большой задержки у —— 0 .

Обозначим

у = є2, s2t = т (3)

и рассмотрим предельный процесс

х(т) = lim ( є2 і (т / є2 ) ),

ë^ü v '

имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ, покажем, что он является детерминированной функцией.

Рассмотрим также процесс

у(т) = lim (( є2 i( т / є2 ) - х(т) )/є ),

е^0

который характеризует изменение величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии. Процесс изменения состояний канала к(т / е2) при 6^ 0 является дискретным марковским процессом, независимым от процесса у(т).

Используя предельные процессы х(т) и у(т) для достаточно малых значений параметра е, рассмотрим процесс

z(т) = х(т) + гу,

который аппроксимирует процесс изменения числа заявок в ИПВ £2/(т / е2 ), и покажем, что он является однородным диффузионным процессом.

Учитывая обозначения (3), выполним следующие замены в системе (2):

2 1

£1 = X + £у , -р 0', s, Z,г) = нк (у, s, Z, Т, б) , (4)

г

тогда получим систему вида

2 дНо (у, Z, т, б) дН0 (у, Z, т, б) + , ччг-г , ч

г ----- ---------бх (т)----------- --+ (X + стО)(х + гу))Но (у, Z, Т, 8) =

дт ду

8Н0 (y,s, С, т, е) 5Я0 (y, s,0, т, s) + ( z ) +

=--------—-----------------—--------+ ИН1(y, Sz Ts) +

dz dz

1 ^ ^ 4, dHo(ySi,0,t,s)

+ “ H2 (V S’ Z’ T’ s) + Gs (Z) Z----—--------PSjS ,

a sj =1 dz 1

2 dH,(y,s,Z,t,s) ,/4dH,(y,s,Z,t,s) .. ... . . Tr. „ .

s —1— ---------------sx (t) —1— ----+ (X + CT(s)(x + sy) + ц)H (y, s, Z, T, s) =

дт dy

+ Ш„ ( y, s, Z, T, S) +

dz dz

S dH (v s 0 t s)

+ü(s)(X + s(y + s))H0 (y + s,s Z, X, s) + Gs(z) Z -1 ’1’ ’ ’ PSjS ,

s1=1 dz

s'dH 2(yfZ-T’s)-sx'(T)dH2(yfZT’s)+fi+1) H2 (V, s, Z, T, s) = dH2(ys-Z-T’s)

5t dy v a) 5Z

dH2 (y, s,0, т, s)

dz

- + XH2(y -s,s, z, T, s) + XHl(y - 2s, s,Z,t, s) + £ dHx (y, sx ,0, t, s)

ф)(x + s(у - s))Hl (у - s s Z, т, s) + Gs (Z) Z--’ ’ ’ ’ Psis • (5)

s =i dZ

Дальнейшие исследования будем проводить, основываясь на этой системе.

2. Исследование асимптотических средних характеристик

Под асимптотическими средними характеристиками будем понимать распределение вероятностей Rk (x) состояний канала сети связи и функцию х(т).

Теорема 1. Асимптотическое при у^ 0 среднее значение нормированного числа заявок в ИПВ х(т) есть детерминированная функция, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением вида

x '(т) = -у 0 xR (x) + XR2 (x) + (2X + y l x)R (x). (6)

Здесь величины yk, k = 0,1 определяются пределом (15), а распределения

Rk (x), k = 0,1,2 - равенством

S

Rk (x) = lim ¿ Qk (x, s Z), ()

s=1

в котором функции Qk (x, s, Z) определяются системой (11) и условием нормировки (12).

Доказательство. В системе (5) перейдем к пределу при s ^ 0 и, полагая, что существуют конечные пределы

lim Hk (y, s, Z, t, s) = Hk (y, s, Z, t) , ()

£——0

получим систему

(Х , _( ) )н ( ^ ) дно0>•*>С>т) дно(у,3,0,т) + ( ^ ч +

(Х + ст (я) х)н0 (у, Я, С, т) =---------------------—-—----+ цн!(у, я, С,т) +

дц дц

1 и Ґ г ч ^ ^ч£ дН0 (У, ^1,0, Т)

+- Н2 (у •*> С>Т) + ^ (О £---------^,

а ч =1 дС 1

(X + ст(я)х + ц)Ну(у,т) = дЯі(-д’^’^т) - дяі(т) + (^ + ст(я)х)Яо(у^^т) +

дц дц

+ ^ (г) £ дН! (у, 5\ ,0, Т) р + 4 (0 £ -------------------Г,----------РпуЗ

«=1 дц

1и, у Ч дН2 0> С’т) дН2 0> т) , (ч,_(ЧЧи-( Г ч ,

— Н2 (У, я, С, т) =-------—-----------------—---+ (X + ст(я)х)н! (У, 5, С, Т) +

а дц дц

+с_(С) £ дн2(У*.0.т)р___. (

Ч =1 дС 1

Решение Нк (у, я, т) системы (9) будем искать в виде

Нк (у, я, С, т) = ^ (х, я, ОН(у, т). (10)

Тогда 2к (х, я, , имеющая смысл условного совместного распределения веро-

ятностей состояний к канала и я среды при условии х(т) = х, как следует из (9), определяется системой вида

(X + ст(я)х)£о (х, я, О = дв° ^ ^ ^ - 5^° дХ’ я,0) + (х, я, О + - ^2 (х ^ О +

дц дц а

|Г (П £ дбо (х> ^0) _

+ Ч (О £ -------Г,-----РЗуЗ ,

ч =1 дц

(X + ст(*)х + ц)й (х, я, С) = дб1 ^х; ° - дй ^ ",0) + (X + ст(*)х)е0 (х, я, С) +

дц дц

+г (П У д^1(х ^’0) Р

+ ^Я (0 у де. ,

=1 дС 1

1^^ ^ч дб2 (х, я, С) д^2 (х, я,0)

-62(x, ^ С) =------^---------------^------+(Х + ст(я) х)^і(x, я^) +

а дц дц

дбі (х, д,0)

^^і 5С

и условием нормировки

2 5

ЕЁ <2к(^ ^, да) =1 • (12)

к=0 і=1

Будем полагать, что <2к (х, я, С) известны, если удается каким-либо образом решить систему (11).

Далее покажем, что х = х(т) является детерминированной функцией.

В системе (5) функции Ик (у ± г, э, т, г) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(б), получим

-бх'(т)дН0 (У’^’ Т’е) + (X + ст(я)( X + гу)) Н0 (у, я, С, т, б) =

ду

5Я0 (у, С, т, б) 5Я0 (у, я,0, т, е) + н ( „ ) +

- - + ЦН[ (у, С, т, б) +

эс эс

1 и / А- ч ^^ч£ дНо (у, 51,0, т, б) -Н2(у, 5, С, т, б) + (С) 2 —0—гг-------------------,

а ^ =1

,дИ—(у,я,т,б) дИ—у,я,¿—т,б)

-бх '(т) —1— -+ (Х + ст(^)( х + Бу) + ц) И1(у, я, С,т, б) = —1——--------------------

ду д

дИ, (у,5,0,т,б) .. . .. ^ „ . . . дН0(у,т,б)

-----1——------+(Х + ^(^)( х + БУ)) Ио(У, ^ С т, б) + б°( ^ х----------------------г-+

оц ду

„_ч^ дН1 (У ^ ’0’Т’ £) , / ч

+6, (О I-----------гг---------Р,1, + о(е),

,1=1 дС 1

^,(т) дН2 (у,,,Т, Ц +1 я2 (у, ^ с, т, Б) = дН2 (>• * С Т 8> -дН2 (>'■ *■<>■т.О +

ду а дС, дС,

д

+(Х + ст(я)( х + гу))И1 (у, С, т, б) - б — [ХИ2 (у, я, С, т, б) +

ду

+(2Х + СТ(*) X) Н (у, В, С, Т, Б)} + О, (С) £ дН2 (**,0, Т’£) р^ + 0(6) . (13)

«1=1

Все уравнения системы (13) просуммируем по к и по я, учтем (1) и при ^ ^ ® получим

-ех'(т) ~т\£ £ Нк (У’^т’£))= £1г1х£ ст(^)Я0 (У’ ^*’Т£)-

ду [к=о ¿.=1 \ ду [ 5=1

5 5 1

^£ нг (У, я, да, т, б) - 2 (2Х + ст(-?)х)Я[ (у, да, т, б) ^ + о(б) .

5=1 5=1 ]

Поделим на е обе части полученного уравнения, выполним предельный переход (8), учтем (10), получим

2 ^ дН (у т) Г ^ ^

-х'(т)£ £ <2кда) —ду = Г х£ ст(^)^0(х,Я,«)-х£ Q2(х,Я,да)-

к=0 s=1 ду ^ 5=1 5=1

-^ (2Х + ст(5)х)^1 (х, 5,да)'1аНду’т).

¿=1 ) ду

Учтем условие нормировки (12), обозначим

Як (х) = Ит 2 бк (х, О ; (14)

^=1

5

VкКк (х) = 11Ш 2 ^(^)бк (х, Я, С), к = 0,1, (15)

^=1

заметим, что Як (х) имеет смысл распределения вероятностей состояний канала. Тогда получим

{х'(т) + у0хЯ0 (х) - ХЯ2 (х) -(2.Х + у 1 х)Я1 (х)} (у’т) = о .

ду

Поскольку производная плотности распределения Н(у,т) не может тождественно равняться нулю, следовательно, функция х = х(т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения

х '(т) = -у 0 хЯ0 (х) + ХЯ2 (х) + (2Х + у1 х)Я1 (х). (16)

Здесь Як (х), к = 0,1,2, есть распределение вероятностей состояний канала, определяемое равенствами (14), где <2к (х, я, С) - двумерное распределение вероятностей состояний к канала и состояний б случайной среды, которое определяется системой (11) и условием нормировки (12). Таким образом, (16) совпадает с (6). Теорема доказана.

3. Исследование величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего

Покажем, что процесс у(т), характеризующий изменение величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего, является диффузионным процессом авторегрессии. Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Асимптотически при у^ 0 случайный процесс у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

ау(т) = АХ (х)у(т)^т + В(х)^(т), (17)

где ^(т) есть стандартный винеровский процесс, А'(х) есть производная по х от правой части дифференциального уравнения (6), а функция В(х) определяется равенством

+2

В2 (х) = хЯ0 (х) + ХЯ2 (х) + (4Х + х)Я1 (х) +

2

По хй® (х) - Хк21 (х) - (2Х + Піх)кр (х) + х'(т) ^ к^ (х)

к=0

(18)

в котором параметры а и X заданы, распределения Як (х) определяются равенствами (7), величины ук определяются обозначением (15), а величины к^1 (х) -пределом (29), в котором функции к^ (х, - есть решение системы (22).

Доказательство. Будем искать решение Нк (у, я, т, е) системы (13) в виде следующего разложения:

нк (у, Я, с, т, є) = <2к (х, я, О Н (у, т) + гкк (у, я, С, т) + о(є). (19)

Подставим в систему (13) разложение (19), учтем (11) и запишем полученную систему, сократив на є все уравнения в следующем виде:

( Ґ Ґ 1 ( г \^дко Я ^т) дко (у>5,0т) ,

-(Х + ст( я) х)кй (у, 5, С, т) + ЦЛ[ (у, я, С, т) + - к2 (у, 5, С, т) + - 1

а " дС, дС,

£ дк0(у,,0,т) р _ ^ („ „ Ґ)„(„)„и(„ т) „,(т)г, („ „ ^ дН(у,т)

«і =і

+с* (О £------------------------’ ’ ’ _ бо(x, ^ СМ-0ун(y, т) - х'(т)бо(x, ^ О _

ОС, 1 ду

, \i < Z Y» , Ч 47 I Z л , dh[ (y, s, Z, T) dhi (y, s,0, t)

-(X + ctO) x + H)h! (y,s Z, x)) + (X + a(s) x)h0 (y,s, Z, x) + 1----------------------

dz dz

£ dh (y, s, 0, t)

dZ

dH (y, t)

^ dhi(ysi,0, t) „

+ Gs (z) £ --------^-------PSiS =

dy

= °(s) (Qi (x, SZ) - Qo (x, s>Z)) yH(y, x) - (x'(t)Q! (X, S Z) + CT(s)xQ0 (X,sZ))-

1 , / r /л / m / г dh2 (y, s, Z, t) dh2 (y, s,0, t)

—h2 Cy> S zт) + (^ + ct( s) X)hl (y,s Z, x) + 2------------------------------+

a dZ dZ

+Gs(Z) £ 5hz (y Z1,0, T) JV = -°(s)Qi(^, S QyH(y, t) +

s=i dZ

+ [(X- x'(x))e2 (x, s, Z) + (2X + ct(s)x)Q (x, s, Z)] • (20)

dy

Будем искать решение системы (20) в виде

hk (y, s, Z, т) = hf (x, s, Z) + hf (x, s, Z) yH (y, T). (21)

dy

Подставим (21) в (20) и представим систему в виде двух систем

-(Х + ст(^)x)h01)(х,s,Z) + Hhi(1)(x,s,Z) +1 hi2)(x,SZ) + dh° d*’S’Z) -dho ^S,0) +

a dZ dZ

, G (Z) £ 5hci1) (x’ sl’0) V )Q ( 4

+Gs (O Z ---------TZ-----Ps1s = -x (X)Q0 (Xs) >

s1 =1 dZ

-(X + a(s)x + (x, í, Z) + (X + a(s)x)^® (x, s, Z) + dhi (*’s’Z) - dhi Czs,0) +

dZ dZ

+ Gs (O Z dhl (д’ Sl,0) Ps is = -x'(x)Q1 (x, í, Z)-^(s)xQ0 (x, s, Z),

si=1 dZ

1 ,(1), ^ ^ ч 4,(1U ^ дй21}(x,s,Z) dh21}(x,s,0)

---¿2 ) (X,s, Z) + (X + CT(s)x)hi( ) (X, s, Z) + ----—------------------—-----+

a dZ dZ

Л dh21}(x,^,,0)

+ Gs (Z) Z ---------^---------PSlS = (X- x(t))Q2 (x> s>Z) + (2X + CT(s)x)Q! (x, s, Z) (22)

Si=1 dZ

-(X + a(s) x)h02) (x, s, Z) + Hh(2) (x, s, Z) +1 h2Í2) (x, s, Z) +

5h0(2) (x, s, Z) 5h0i2) (x, s,0) ^ ^ 5h02) (x, ,0) , ^

--------^------------------^---------+ Gs(Z) Z-----------------~-Ai* = CT(s)Qo(x> s>Z) >

dZ dZ *=i dZ 1

-(X + a(s)x + ^}hj(2) (x, s, Z) + (X + a(s)x)h0¡2) (x, s, Z) + —-1—(X’ Z) -

dZ

dh[2) (x, s,0) ^ (Z) jS dh1(2) (x, s1,0) si=1

„ Gs (Z) Z ---------- ’ ’ Psjs = CT(s) (Q1 (X, s, Z) - Q0 (X, s, Z)) ,

dZ sj =1 dZ 1

и

17(2)( ^,« ());(2)( ^ 542)о>•*>о дй22)о>^0)

—^2) (х ^ О + (Л + ^О)хщ) (х я, О +-—---------—-----+

а дц дц

Д дМ2)(X,*,0)

+С (О Е----~=-ст((Х я, О • (23)

=1 дЦ

Продифференцируем систему (11) по х , получим

-а+ст<У)х) д^°(х’ ^ ^ | цд^(х’ ^ ^ +1 д^(х. ^ ^ +А [дбо (х •?> 0} _

дх дх а дх д£{ дх }

д (да(х,,,0)1 + г * а (

~Щ [-{- Г Г к)£, т{

дбо (х, ,,0)

дх I"515

¿1 = [ д дх

= Ф№0 (х’ Э’ О >

-(! + „(*) х + р) М.+(! + „(*) х) + А { { О1-

йх дх д^\ дх ]

{{Г011+®£|{{т^)} - “М(0«•*• -0,(х,*,О).

_ 1 дй>(X^О + п+ст(пх)^(х>^^ + А{(1•?>О) д {(1^0)) , а дх дх дС, | дх } д) 1 дх }

+с* <ОЕ { аТ’0}1* = -ст(я)е1 (Х’ ^ ® ' (24'1

Из (23) и (24) следует, что решение к^2 (х, я, С) системы (23) имеет вид

„<» (х,*, С) . (

дх

С учетом (25) и (21) разложение (19) можно представить как

Нк (у, *, С, Т, 8) = Qk (X, *, С) Н (у, т) + гк« (х, *, С) дН^ +

ду

+гуН (у, т) д^к ^ ^ + о(б) . (26)

дх

Теперь найдем вид функции Н(у, т). Для этого функции в правой части системы (5) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(г2), получим

2 дН0(у,s,С,т,б) ч5Я0(у,s,С,т,г) ЧЧ11Г

- - ех (т)- -+ (Л + ст(я)(X + £у))Яо (у, я, С, т, б) =

дт ду

дНо (у, я, С, т, е) дЯо (у, я,0, т, е)

ЭС дС

+ цЯ! (у, я, С, т, е) +

1 и / А- ч, дНо (у, 51,0, Т, 8)

^ Н2(^, 5, ^, ^8) + с* (С) £---------------------г--------------рЧ1

а 51 =1 1

£2 дНх(У’д’Т’£) -ех'(т)дНх(У’^’Т’£) + (X + ст(я)(х + гу) + ц)Я1 (у,я,С,т,е) =

дт ду

ЭЯ,(у,т,е) ЭЯ,(у,^,0,т,е) ... .... . „ .

= —^-------------- ------^- + (Л + ст(я)( X + Бу)) Но (у, я, С, т, б) +

Эц Эц

^ ч д , у ч 1 /■ ч е2 д2Н0(у,я,£,т,е)

+Б°(я) —{(X + Бу)Я0 (у, я, С, т, б)} + ст(я)х---------------------------—-+

ду ’ 2 ду2

(гчЕ дн1 Су.>0,X,Б) _ . о(б2ч

(0 Е------------------------------Г.-Рци + ЧБ 4 ,

^ =1 дС 1

„2 дН2 (У •*> С> Т о) „„,(т) дН2 (У. •*> С> Т о) ,

о ол ( Т ) т

дт ду

+1Н2 ( V,», с, т, а) ,дН2(^Т8) -дН2(>';0-Т8) +

а дц дц

+(Х + ст(я)(X + Бу))Я (у, Я, С, Т, б) -

д

-б— {Х + ст(я)(х + Бу))И (у, я, С, т, б) + ХИ2 (у, я, С, т, б)} +

ду

2 д2

+Б-2 {(4Х + ст(я) х) Н (у, я, С, т, б) + ХН2 (у, я, С, т, б)} +

2 ду

у ЭЯ2 (у, ^ ,0, Т, Б) р + о(^2

'¿1 5С

Сложим все уравнения системы (27) по к, получим

е2 д-1 £ нк (У. С> Т е)|- вх'(т) д-1 £ нк (У. С> Те)| =

дт 1к=о ] ду [к=о ]

£ нк(у>я>С>Т£)|-д7| £ Н(У’^’0’т’£)1-£дТ{-ст(^)(х + £У)Н0(у>^С’т’£) +

ЭС 1к=0 ] ЭС 1к=0 ] ду

+(2Х + ст(я)( х + Бу)) И1 (у, я, С, т, б) + ХЯ2 (у, я, С, т, б)} +

б^ _Э^

2 ду2

+— — { СТ(я)хН0 (у, Я, С, Т, б) + ХЯ2 (у, я, С, Т, б) +

у Ё дНк (у, ,0, т, б) р + )

'Ё Ё дг

к =0 5! =1 дЦ

Подставим в полученную систему разложение функций Як (у, я, т, б) в виде (26), тогда

е2 I Ъ <2к (X, *, С) - БХ'(Т) í ^ Qk (х, Я, 01дНт^

V к=0 1 дт V к=0 ) дУ

-б2х'(т)^{ ]Г йк(х,я,*•(,)( £ *<Ч(х,а,О

дх [к=0 ] ду ^к=0 ; ду2

= dZi £ Hk (У’s’ Z’Т’ £) i-dZi £ Hk (У’S’0’ T’£) j-

dZ U=0 J dZ U=0 J

-s (-ü(s)xQo (X, s, Z) + ^ (x, S, Z) + (2X + ü(s)x) Q (x, s, Z))5Я(УT) -

dy

-£2 (°(s)öi (x,S Z)- °(s)öo (x,S Z)- °(s)x dQo (*’S’Z) + X 5Qz (*’S’Z) +

dx dx

+(2X + a(s)x)5Q>1 (*’ Z) {уНд^У’T)} + Ns)xQo(x, s, Z) + XQ2 (x, s, Q +

dx ) dy 2

+(4 X + a(s)x)Q (x, s, Z) + 2 (a(s) xh^ (x, s, Z) - (x, s, Z) -

-(2X + a(s)x)A«(x,s,Z))f2H(У’T) + Gs(Z)T T 9Hk(,0,T’£)^s +2). (28)

dy k=o sj =i dZ

Просуммируем уравнения системы (28) по s, выполним предельный переход при Z ^ ® , воспользуемся условием нормировки (12), обозначениями (14) и (15), также обозначим

S

hf (x) = lim X hf (x, s, Z); (29)

s=1

S

Пк4° (x) = lim i „(s)^1 (X, s, Z), k = 0, 1, (30)

s=1

учтем (1), получим

e2 _Er,(t) МщО_ bJx,(t)Г £ (x) jüdib!» =

dT dy U=0 / öy2

= -s(-y0xR (x) + XR2 (x) + (2X + y1x)R1 (x))dH(y’ t) -

dy

-s2 fviRi (x)- V oRo (x) - x lim Z ct(s) dQo (*’s’Z) +

V s=1 dx

+^Mi> + + X lim i„(s)dQi(X,s-Z) 1 d{yH(yT)} +

5x 5x dx ) dy

s2

+-[у 0 xR (x) + XR2 (x) + (4X + у x) Rj (x) +

+ 2(vft®(x)-<(x)-pi + vX»(x))] + °(s2). (31)

В силу дифференциального уравнения (6) уничтожим слагаемые порядка o(s),

поделим обе части полученного уравнения на s2, выполним несложные преобразования, тогда будем иметь

дН(у, т) ( , , дЛ, (х) „ дЛ2 (х)

-------= -1 уА (х)-УоЛо(х)-Уох^------+ ^—2

+(2Х + у1 х)

дт ^ дх дх

дР(х) V {уН(у, т)} + 1 ^ х^0 (х) + %я2 (х) + (4Х + у1х)Л1(х)

д 2 Н (у, т)

дх ) ду 2

+21 По хй® (х) - ХА® (х) - (2Х + П1х)А® (х) + х'(т) Ё А® (х)

к=0

д 2 • (32)

ду

Получили уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятностей Н(у, т) значений диффузионного процесса авторегрессии у(т). Обозначим коэффициент переноса уравнения (32) как Л'х (х). Заметим, что Л'х (х) является производной по х от правой части дифференциального уравнения (6), то есть

д

А'х (х) =~г{охК0 (х) + Щ (х) + (2Х + У!х)(х)}. (33)

дх

Коэффициент диффузии обозначим следующим образом:

В2 (х) = хЯ0 (х) + ХЯ2 (х) + (4Х + х)Я1 (х) +

+2

2

По хА® (х) - ХА® (х) - (2Х + П1х)А® (х) + х'(т) ^ А® (х)

к=о

(34)

если выражение в правой части больше нуля.

Получили, что (34) совпадает с (18). Из (32) следует, что Н(у, т) является плотностью распределения вероятностей некоторого диффузионного процесса у(т), который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

аУ(т) = АХ (х)у(т)^т + В(x)dw(т), (35)

где ^(т) является стандартным винеровским процессом, АХ (х) определяется равенством (33), В( х) - равенством (34), совпадающим с (17), следовательно, уравнение (35) совпадает с уравнением (17), а процесс у(т) является процессом авторегрессии. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Решение у(т) стохастического дифференциального уравнения (35) имеет вид

Т и

|А'х (х(д))& т -1А'х (х(д))ds

у(т) = е0 |В(х(и))е 0 ём>(и), (36)

о

где Л'(х) определяется равенством (33), В(х) - равенством (18), а ^(т) - есть стандартный винеровский процесс.

Доказательство. Представим процесс у(т) в следующем виде:

т

14 (х( я))ж

у(Т) = f (т) , (7)

т

-14 (х (У)Ж

тогда /(т) = е 0 у(т). (38)

Здесь А'х (х) определяется равенством (33).

Продифференцируем (38), используя формулы Ито. Тогда

т

-14 (х( 3))^

/(т) = - А (х(т))/(т^т + е 0 с}у .

Учитывая (37), получим

т т

4 ОО))* -} 4 (Ф))&

(т) = -АХ (х(т))е 0 у(т)^т+ е 0 [АХ (х(т))у(т)^т + В(х(т))^(т)].

Выполним преобразования, будем иметь

т

-1 4 (х( ■'Я*

(т) = В(х(т))е 0 ^(т). (39)

Проинтегрируем (39), положив / (0) = 0, тогда исходное представление у(т) в виде (37) примет вид

т и

|А'х (х(д))& т -1А'х (х(д))ds

у(т) = е0 |В(х(и))е 0 dw(u), (40)

о

где АХ(х) определяется равенством (33), В(х) - равенством (18), а ^(т) - есть стандартный винеровский процесс. Следствие доказано.

4. Глобальная аппроксимация процесса изменения числа заявок в ИПВ

Покажем, что для достаточно малых значений параметра е случайный процесс г(т) = х(т) + гу, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в ИПВ

е2/(х / £2), является однородным диффузионным процессом. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. С точностью до о(б) случайный процесс z(т) является решением стохастического дифференциального уравнения

dz(т) = А(т + гВ(z)dw(т), (41)

где ^(т) - есть стандартный винеровский процесс, функция А(г) определяется правой частью дифференциального уравнения (6), а функция В(г) - равенством (18), то есть z(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса А(г) и коэффициентом диффузии е2В2 (2).

Доказательство. Поскольку z(т) = х(т) + гу, то, дифференцируя z(т) по т, получаем

dz(т) = х'(т)^ т + Ыу. (42)

В силу (6) и (17) имеем

dz(т) = [-у0 х^о (х) + ХЯ2 (х) + (2Х + х) Я1 (х)^ т +

д

+гу—{-^охЯ(х) +ХЯ2(х) + (2Х + у1 х)Я1(х)}dт+ еВ(х)^(т).

дх

Так как правая часть содержит разложение в ряд по приращениям гу аргумента х, то можно записать

сЪ(т) = [-у 0 • (х + еу)В0 (х + еу) + ХЯ2 (х + гу) +

+ (2Х + у 0 • (х + гу)Я{ (х + гу№т + гБ(z - гy)dw(x).

Заметим, что z(т) = х(т) + гу, тогда с точностью до о(б) имеем

&(т) = [-у 0zR0 (г) + ХЯ2 (г) + (2Х + ^г)Я{ (z)]dт+ гВ(z)dw(т) + о(г).

С учетом (6) уравнение (42) окончательно примет вид а!г(т) = А(г)dт + гВ(z)dw(т) + о(г).

Таким образом, z(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса А(z) и коэффициентом диффузии г2В2 (z) и определяется с точностью до о(б) стохастическим дифференциальным уравнением вида (41). Теорема доказана.

Следствие 3.1. Плотность распределения вероятностей значений процесса z(т) имеет вид

2 * А(м)

1 \—2 «и

1 ее20В (и)

^ "2<г> 2, А(,) « , (

■» 1 «и

Г 1 /о в2 (,) dz

0 В (г)

где А(2) определяется правой частью дифференциального уравнения (6), В(z) -равенством (18).

Доказательство. Обозначим через ^(z, т) плотность распределения вероятностей значений процесса z(т), тогда можно записать уравнение Фоккера -Планка для плотности этого процесса:

=-д *)р (т)}+т £{2 (в) ^ т)},

от 02 2 &

где А(2) определяется правой частью дифференциального уравнения (6), В(2) -равенством (18). Рассмотрим функционирование процесса z(т) в стационарном

режиме, то есть ^(z, т) = ^(z), тогда стабильное распределение можно найти из

уравнения Фоккера - Планка

0 = - А{А(7)Р(7{В2 (2)Р(7)} . (44)

oz 2 дх

Данное уравнение (44) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Обозначим

В-2 (^^(z) = 0(z). (45)

Понизим порядок уравнения (44) и, положив константу, возникшую в результате интегрирования, равной нулю, запишем

дв^) 2 А(г)

Sz е2 В (z)

-0(z).

Проинтегрируем последнее уравнение

1 ^ du = 4 j^ul du+с,

0

выполним преобразования

G(u) є2 о B2 (u)

2 z A(u)

т du

ln |G(z)| = 4 dw + ln IC, G(z) = C • eб2°b2(u)

є 0 B (u)

Учтем замену (45) и перепишем последнее уравнение в виде

2 z A(u)

C 2 S„2, .

F(z) = —E 0 „ (u) . (46)

B 2 (z )

Константу С найдем из условия нормировки |Г(гуЬ = 1, тогда

0

/ 2 ^ А(и) ,

О 1 -у /—2 ¿и

С = 1/ Г—еЕ0 в (и) . (47)

/ 0 В2 (7)

Подставим (47) в (46), получим плотность распределения вероятностей для процесса z(т) в виде (43). Следствие доказано.

Заключение

Таким образом, в данной работе найдено распределение вероятностей Rk (x) состояний k канала в виде (14). Получено дифференциальное уравнение (6), определяющее асимптотическое среднее х(т) нормированного числа заявок в ИПВ. Исследованы величины отклонения от этого среднего, показано, что процесс их изменения у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида (17). Доказано, что для достаточно малых значений параметра s случайный процесс z(т) = х(т) + sy, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в

ИПВ s2z'(t / s2), является однородным диффузионным процессом. Найдена важнейшая из вероятностно-временных характеристик этого процесса - плотность распределения вероятностей F(z) в виде (43).

Полученные результаты могут быть использованы при проведении анализа существующих сетей, управляемых протоколами случайного множественного доступа, а также при проектировании новых сетей связи, реализующих более производительные протоколы передачи данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Назаров А.А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1984. 234 с.

2. Коротаев И.А. Системы массового обслуживания с переменными параметрами. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 167 с.

3. Назаров А.А., Туенбаева А.Н. Исследование марковской модели компьютерной сети с нестационарным входящим потоком требований // Вестник ТГУ. Приложение. 2005. № 16. С. 87 - 94.

4. Туенбаева А.Н. Исследование математической модели системы видеонаблюдения с потерей искаженных видеосигналов при рекуррентном входящем потоке // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 19. С. 202 - 203.

5. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 14 - 24.

6. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей многостабильных сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 17 - 30.

7. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование асимптотических средних характеристик устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде // Вестник ТГУ. Приложение. 2005. № 16. С. 73 - 81.

8. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в полумарковской среде // Там же. С. 61 -72.

9. Вавилов В.А., Назаров А.А. Асимптотический анализ математических моделей устойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в диффузионной среде // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 19. С. 124 - 131.

10. Вавилов В.А. Исследование математических моделей устойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в случайной среде // Там же. С. 131 - 137.

11. Вавилов В.А. Исследование математических моделей неустойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в диффузионной среде // Научное творчество молодежи: Материалы XI Всерос. науч.-практич. конф. (20 -21 апреля 2007 г.) Ч. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. С. 3 - 6.

12. Вавилов В.А. Плотность распределения вероятностей стабильного функционирования устойчивых сетей множественного доступа с работающим в случайной среде источником повторных вызовов // Там же. С. 6 - 10.

13. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

14. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 204 с.

15. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2005. 228 с.

16. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизуемых систем. Томск: Изд-во Том. унта, 1991. 159 с.

17. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 112 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 10 октября 2007 г.