Исследование асимптотически средних характеристик и величин отклонения в неустойчивых сетях множественного доступа в случайной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А. Вавилов

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ СРЕДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК И ВЕЛИЧИН ОТКЛОНЕНИЯ В НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЯХ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

Предлагаются математические модели сетей связи множественного доступа с оповещением о конфликте, функционирование которых рассматривается с учетом влияния случайной среды. Исследуются распределение вероятностей состояний канала, асимптотическое среднее нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов, величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от этого среднего.

Известно [1-6], что время доставки сообщений в сетях связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, обладает свойством нерегулярности его значений. Причиной этого явления служат два фактора.

Первый фактор определяется стохастическими свойствами протоколов случайного множественного доступа.

Второй фактор определяется тем, что функционирование сети связи происходит в изменяющихся неконтролируемых внешних условиях, к которым, например, можно отнести состояние ионосферы для радиосетей, атаки вирусов на компьютерные сети связи, несанкционированный доступ в сети связи и т.д.

Изучению стохастических свойств протоколов случайного множественного доступа посвящено достаточно много работ [7-13]. Влияние второго фактора на функционирование сетей случайного доступа мало изучено. Анализу именно этой ситуации и посвящена данная работа.

Изменяющиеся неконтролируемые внешние условия, влияющие на функционирование компьютерных сетей связи, будем называть случайной средой и рассматривать математические модели сетей связи в случайной среде.

Рассмотрим математическую модель сети случайного множественного доступа с оповещением о конфликте в марковской среде.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим математическую модель сети случайного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания (СМО) [14-16], на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: к = 0, если он свободен; к = 1, когда он занят обслуживанием заявки; к = 2, когда на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступили, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения

о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Повторное обращение заявок к прибору из ИПВ происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром у. Число заявок в ИПВ обозначим /. Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/а, где а - средняя продолжительность этих интервалов.

В качестве математической модели случайной среды рассматрим однородную цепь Маркова [17] 5^) с конечным множеством состояний 5 = 1, 2,..., £ и непрерывным временем, инфинитезимальные характеристики которой обозначим .

Здесь при s1 Ф s2

P(s(t + At) = s2 |s(t) = Sj)

= lim------------t“ -------------,

A At^O At

а при sj = s2 = s

P(s(t + At) = s|s(i) = s) -1

qss = lim------------TT--------------•

ss At^O At

S

Очевидно, что ^ qsjs2 = 0.

s2 =j 12

Будем полагать, что влияние случайной среды на функционирование сети связи определяется зависимостью интенсивности ц обслуживания заявок от состояний s(t) = s случайной среды, т.е. ц = |a(s), где s текущее состояние случайной среды, тогда вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени At равна |a(s) At + o(At).

В силу свойств приведенной математической модели, трехмерный случайный процесс {k(t), i(t), s(t)} изменения во времени состояний (к, i) математической модели сети связи и состояний s математической модели случайной среды является цепью Маркова с непрерывным временем.

Обозначим P( k(t) = k,i(t), = i, s(t) = s) = Pk(i, s, t).

Очевидно, что для любого момента времени должно

■» 2 S

выполняться условие нормировки ^Pk (i, s, t) = 1.

i=0 к=0 s=1

Нетрудно показать, что распределение Pk(i, s, t) удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений Колмогорова:

dP0(i, s, t)

dt

- + (X + /у) P0 (i, s, t) = (i, s, t) +

1 s

+ap2 ^ st)+E po (л si, t )?s,s,

U Si=1

dPi (/, s, t)

dt

+ (X + /у + ц($)) p (/, s, t) = XPo (/, s, t) +

+ (i +1) YPo (i +1, s, t) + E Pi (/, si, t)qs

s1 =1

+ 1 X + - IP2(i,s,t) =

(1)

дР2(і, s, і) ді

= АР2 (і — 1, *, і) + ^Р (і — 2, s, і) +

+ (і — 1)ТР (і — 1, 5, і) + X Р2 (і, 51, і)^ •

^і=1

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Решение Рк (і, 5,і) системы (1) достаточно полно определяет функционирование математической модели сети связи и ее вероятностно-временные характеристики, но для (1) не существует точных аналитических

методов решения [18]. Поэтому данную систему будем исследовать модифицированным для нестационарных распределений методом асимптотического анализа [19] в условиях большой задержки у ^ 0. Обозначим

2 2

Y = є , є t = т

и покажем, что следующий предел

х(т) = lim є 2і(т/є 2)

(2)

(3)

как асимптотическое среднее нормированного числа заявок в ИПВ является детерминированной функцией. Рассмотрим также процесс

е2/(т/е2) - х(т)

у(т) = lim-

(4)

є—>0 8

который характеризует изменение величин отклонения числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии.

Учитывая обозначения (2), выполним следующие замены в системе (1):

2 1

є I = х(т) + єу, -Рк (і, 5, і) = Нк (у, 5, Т, 8)

и получим систему вида

є

2 dH0 (у, s, т, є) ч дH0 (у, s, т, є)

------------— єх (Т)---------------------

0т ду

+ (X + х(т) + єу) H0 (у, s, т, є) = |a(s) H1 (у, s, т, є) +

1 s

+aH 2(y, s, тє) + E H o(y, si, т, є)^,

a s,=1

є2 dH'(Ут,є) — є/(т)dH'(удsт,є) + (X + х(т) +

дт ду

+ єу + |i(s))Hi (у, s, т, є) = XHo (у, s, т, є) + (х(т) +

S

+ є(у + є)^ o (у + є, s, т, є) + E Hi (у, si, т, є)д^,

si=1

є 2 dH 2 (У, S, т, є) — єх,(т) H (y, S, т, є) + f, + 1

дт

+1 X +— I х ду і а

х H 2 (у, s, т, є) = XH 2 (у — є, s, т, є) + XH1 (у — 2є, s, т, є) + + (х(т) + є( у — є))^ (у — є, s, т, є) +

+ E H 2(y, S1, т є)?^ •

(5)

Теорема 1. Асимптотически при у ^ 0 распределение вероятностей Лк состояний канала имеет вид X + х + v( х)

Ro =

Ri =

R2 =■

a(X + х)2 + 2(X + х) + v( х) X + х

a(X + х)2 + 2(X + х) + v(х) ’ a(X + х)2

-----, (6)

а(Х + х)2 + 2(Х + х) +v( х)

где а и X заданы, х = х(т) - детерминированная функция, которая определяется дифференциальным уравнением вида

(X + х^( х)

х'(т) = X —

a(X + х)2 + 2(X + х) + v( х)

(7)

в котором у(х) определяется равенством 1 S

V( х) = R E^(s) Ri(s) , (8)

R1 s=1

где R,(s)=P(k(t)=1, s(t)=s и R1 = P(k (t) = 1) = E R1(s) •

Доказательство. На первом этапе в системе (5) перейдем к пределу при е ^ 0 и, полагая, что существуют

lim Hk (y, s, т, s) = Hk (y, s, т),

s^0

получим систему

(X + х(т))Н 0 (y, s, т) = |a(s) Hj (y, s, т) +

1 S

+ ~H2 (^ ^ т) + E H0 (У, s1, т^„,

u ^1=1

(X + х(т) + |a(s))H (y, s, т) =

S

= (X + х(т)^0 (y, s, т) + E H1 (y, s1, x)qss,

s1 =1

—H 2 (y, s, т) = (X + x(т))HJ (y, s, т) + а

+ E H2 (У, S1, т>7»

(9)

решение которой будем искать в виде

Нк(у, 5, Т) = Як(5)И(у, т). (10)

Тогда Лк(^), имеющая смысл совместного распределения вероятностей состояний канала и среды, как следует из (9), определяется системой вида

1 х

(X + х(т))^0 (5) = ц(5)^1 (5) + — ^2(5) + Е Ro (5\ )?515,

а 51 =1

(X + х(т) + |a(s))Ri (s) = (X + х(т))Ro (s) + E Ri (si )q

1

0W ' 1 s,s ’

s1=1

^2 (5) = (X + х(т)Щ (5) + ЕR2 (^ (11)

а 51=1

и условием нормировки

Е ЕRk (5) = 1. (12)

к=0 5=1

Отметим, что в системе (11) имеем 3£ уравнений относительно 3£ неизвестных Rk(s), так как к = 0, 1, 2; 5 = 1, 2, ..., & Обозначим

ЕRk (5) = Rk, ЕRk (5) = R(5) , (13)

5=1 к=0

где Rk и R(5) - маргинальные распределения вероятностей состояний к канала ^к) и состояний 5 среды ^(5)). Очевидно для этих распределений также выполняются

2 X

условия нормировки Е Rk = 1, Е R(s) = 1 •

к=0 5=1

Сложив по к уравнения системы (11), получим систему X уравнений вида

E R(si)q*,* = o, s = 1,2,..., S,

(14)

si=1

которая совместно с условием нормировки ЕR(s) = 1

5=1

определяет стационарное распределение вероятностей R(5) состояний 5 цепи Маркова 5(/).

Сложив по 5 каждое из уравнений системы (11) и обозначив

1 S

v( х) =— E^(s)Ri(s),

Ri s=1

(15)

перепишем результат в виде системы трех уравнений

(X + х^0 = v( х) R,+—R2, a

(X + х + v( х)) R, = (X + х)R0,

s=1

(16)

относительно трех неизвестных R0, R1, R2•

Система (15) совместно с условием нормировки R0+R1+ R2 дает следующее решение:

X + х + v( х)

a(X + х) + 2^ + х) + v( х)

X + х

a(X + х) + 2^ + х) + v( х) a(X + х)2

-----. (17)

a(X + х)2 + 2^ + х) + у( х)

Здесь параметры а и X заданы, у(х) определяется равен-

я

ством (15), где R1 =Е R1(5), а R1(5) определяется ре-

5=1

шением Rk(5) системы (11).

На втором этапе доказательства покажем, что х = х(т) является детерминированной функцией.

В системе (5) функции Нк(у ± е, 5, т, е) разложим в ряд по приращениям аргумента у и, ограничиваясь слагаемыми порядка о(е), получим следующую систему уравнений:

е.,Гт) дН0(y,5,Те) -ех(т)—ду—

= -(X + х(т) + еу) х

х Е Н0 (у, 51, Т, е)К55 + Ц(5)Н1 (у, 5, Т, е) +

51=1

1 X

+ - Н2 (у, 5, Т е) + Е Н0 (y, 51, Т е)К515,

а

51 =1

, дНДу, 5, т, е) ...

- ех (т)---- ду----------= “(X + х(т) + еу + ц(5)) х

х Н1 (у, 5, т, е) + (X + х(т) + еу)Н0 (у, 5, т, е) +

д

+ е ду {(х(т) + еу)Н0 (у, 5, Т е)} +

я

+ Е Н1(У, 51, Т е)К515 + о(еХ

51=1

-ех’(т) дН2(^Те) =--1 Н,Су,5,Т,е) +

ду а 2

+ (X + х(т) + еу)Н1 (у, 5, Т, е) - еX дН2 (уу* ^ е) -

- 2Xе дН1(уду5, Т е) - е ду {(х(т) + еу)Н (у, 5, т, е)}+

+ Е Н2 (^ 51, Т е)Ц515 + 0(е).

(18)

51=1

ЕЕПк (х, 5, т, е) = п(х, Т, е)

(19)

к=05=1

получим

- ех'(т) дН(у T, е) = е{(х(т) + еу)Н0 (у, т, е) -

ду ду

- XH 2 (у, т, е) - (2X + х(т))Н1 (у, т, е)} .

Поделив на е левую и правую части последнего равенства и устремив е ^ 0 получим

х'(т) дЩу Т) = ду { - х(т)Н0 (У, т) + XH2 (У, т) +

+ ^ + х(т)) Н1( у, т)} . (20)

В силу (10), (13) и (19) можно записать

Нк (х, Т) = Е Нк (х, 5, т) = ЕRk (5)Н (х, т) = RkH (х, т) .

5=1 5=1

Тогда (20) перепишется следующим образом

х' (т)

= -ду {[-х(,№ +>л +

ду ду

+ (2X + x(т))Rl]H (у, т)}. (21)

Здесь Rk определяется равенствами (6), потому (21) нетрудно представить в виде

х' (т) = X - v(x)R1 = X -

(X + х^( х)

a(X + х) + 2^ + х) +v( х)

(22)

В системе (18) все уравнения просуммируем по к и 5 и, обозначив

2 Я

Е Пк (х, 5, Т, е) = п(х, 5, Т, е) , Е Пк (х, 5, Т, е) = Пк (х, Т, е) ,

где у(х) определяется равенством (15), в котором R1(s) определяется решением Rk(s) системы (11) и зависит от х. Уравнение (22) совпадает с уравнением (7). Теорема доказана.

Наибольший интерес относительно дифференциального уравнения (22) представляют его точки покоя, которые определяются уравнением ^ (X + х)^1 (х)

а^ + х)2 + 2^ + х) + ц1 (х) ’ так как устойчивые точки покоя этой математической модели называются точками стабилизации сети случайного доступа, в окрестности которых может достаточно долго оставаться процесс изменения состояний сети, что весьма важно для неустойчивых сетей связи.

Для сетей в детерминированной и неизменной среде, как показано в работе [13], может быть не более одной точки стабилизации, так как при значениях X меньше некоторого критического значения сеть моностабильна и для нее существует единственная точка стабилизации, а при X больше критического значения сеть не только неустойчива, но также и нестабильна. Характеристики таких сетей с течением времени лишь только ухудшаются.

Для сетей, функционирующих в случайной среде, рассматриваемое уравнение может иметь несколько корней, в том числе и устойчивых, то есть реально существование двух, трех, четырех и более точек стабилизации для неустойчивых сетей в случайной среде.

Теорема 2. Асимптотически при у ^ 0 случайный процесс у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

ёу(х) = А(х)у(т)й?т + В(х)ём>(%), (23)

где

А(х) = R1 - R0 - х(т^0 + Щ + ^ + х(х)^1, (24) Вх(х) определяется равенством

В2(х) = х(т)Я0 + XЯ2 + (4X + х(т))Д1 + 2[х(%)И(^ -

- Xй2al - (2X + х(т))й® + х '(х)(Л01) + й® + й®)], (25) в котором й® =ЕЙ()1) (5), й® =Е й1(1)(5), й® =Е й1(1)(5),

5=1 5=1 5=1

Й1(1) =ЕЙ1(1) (5), И® =Ей^1 (5), а h(JС'1(s) являются ре-

5=1 5=1

шением системы

- (X + х(т))й011 (5) + ц(5)й1'1) (5) + — к^1 (5) +

к=0

+ X О5^ = — X'(т)Яo(5),

*1=1

— (Х + х(т) + ц(5))^1' ; (*) + (Х + х(т))к° ; (*) +

+ Х^1-1 (5)^ = —[ X (Т)^1 (5) + х(т) Я°(5)],

*1=1

1 5

---Щ1 (5) + (X + Х(Т))^1(1) (5) + X Щ1 ^ =

а 51=1

= (X — х ' (т))Я2 (5) + (2Х + х(т))^1 (5). (26)

Доказательство. Для доказательства теоремы найдем решение системы (18) в виде следующего разложения: Нк (у, 5, Т, 8) = Як (5) Н (у, т) + єкк (у, 5, т) + о(є). (27) Отыщем вид функций Ик(у, 5, т). Перепишем систему (18) в виде

—(X + х(т))Н0 (у, 5, Т, є) — 8уН0 (у, 5, Т, є) + ц(5) X

X Н1 (у, 5, Т, є) + — Н2 (у, 5, Т, є) +

+X Н о ^ 51, т є)^=—єх' (т) дН о( ’ду5, Т, є),

—(X + х(т) + ц(5))Н1 (у, 5, Т, є) — єуН1 (у, 5, Т, є) +

+ (X + х(т))Н 0 (у, 5, Т, є) + єуН0 (у, 5, Т, є) +

+ X Н1 (У, 51 , Т, = —єх '(Т) дН1(Уу Т, є) —

— єх(т) дН0(у Т,є)

+ о(є),

---Н2 (у, 5, Т, є) + (X + х(т))Н1 (у, 5, Т, є) +

+ єуН (у, 5, т, є) + X Н2 (у, 51, т, є)^ =

51=1

— х’(т)) дН 2( у£ Т є) +

+ є(2X + х(т))дН1<У, ' т+ о(є). (28)

ду

Подставив в систему (28) разложение (27), получим —(X + х(т))(Яо (5)Н (у, т) + єк° (у, 5, т)) — єу(Яо (5) X X Н (у, т) + єко (у, 5, т)) + цС^КЯ (5)Н (у, т) +

+ єк1 (у, 5, т)) + а (Я (5)Н(у, т) + єк2 (у, 5, т)) +

5

+ X (Яо (51 )Н (у, т) + єко (у, 51, т))д^ =

51=1

= —єх'(т)Я0(5) ^ Т) ,

—(X + х(т) + Ц(5))(Я1 (5)Н(у, т) + єк (у, 5, т)) —

— єу(Я1 (5)Н (у, т) + єк1 (у, 5, т)) + (X + х(т)) X X (Яо (5)Н(у, т) + єко (у, 5, т)) + єу(Яо (5)Н(у, т) +

+ єко (у, 5, т)) + X Я (51 )Н (у, т) +

51=1

+ єк1 (у, 51, т))^ = —є[ х' (т) Я1 (5) + х(т)Яо (5)] X X дН (у, т)

ду

- + о(є),

—1 (Я2(5)Н (у, т) + єк2(у, 5, т)) + (X + х(т)) X

а

X(Я1 (5)Н (у, т) + єк1 (у, 5, т)) + єу(Я1 (5)Н (у, т) +

+ єк (у, 5, т)) + X (Я2 (51)Н (у, т) +

51=1

+ єк2 (у, 51, т))^ = є[(X — х'(т))Я2 (5) + + (IX + х(т))Я1 (5)] дН(у т) + о(є).

ду

Из (11) следует, что эту систему можно переписать в виде -е^ + х(т))й0 (у, 5, т) - еyR0 (5) Н (у, т) + ец(5) х

1 X

х й1(y, 5, т)+е а й2(y, 5т) + Е ей0(^ 51, т)Ц515 =

= —єх ' (т)Яо(5)

51=1 дН (у, т)

ду

—є^ + х(т) + ц(5))к1 (у, 5, т)) — єуЯ (5)Н (у, т) + + є(X + х(т))к° (у, 5, т) + єуЯ° (5) Н (у, т) +

5

+ X єк (у, 51, т))^ = — є[х '(т)Я1 (5) + х(т)Я° (5)] X

51=1

X дН (у, т)

ду

- + о(є),

1

-е — й2 (у, 5, т) + е(X + х(т))й1 (у, 5, т)) + еyRl (5) х я

х Н (у, т) + Е ей2 (у, 51, Т))Ц55 = е[(X - х' (т))R2 (5) +

51=1

+ ^ + х(т))R1(5)] дН(У,т) + о(е). (30)

ду

Поделив на е все уравнения системы (30) и выполнив несложные преобразования, получим

- (X + х(х))Л0 (у, 5, т) + ^(5)Л1 (у, 5, т) + -и2 (у, 5, т) +

я

+ Е й0 (у, 51, т)ц515 =Ro (5) ун (у,т)-

51=1

дН (у, т)

— х' (т)Я° (5) -

ду

—(X + х(т) + ц(5))к1 (у, 5, т)) + (X + х(т))к° (у, 5, т) + + X к (у, 51, т))н ^ =(Я1 (5) — Я° (5)) уН (у, т) —

51=1

— [ х' (т)Я1(5) + х(т)Я°(5)]

дН (у, т)

ду :

- 1 И2 (у, 5, т) + (X + x(т))кl (у, 5, т)) +

я

+ Е А2 (у, 51, т))Ц515 = -Rl (5)уН(у, т) +

51=1

+ [(X - х '(т))R2 (5) + ^ + x(т))Rl (5)] ЩуА. (31)

ду

Данная система является системой линейных неоднородных алгебраических уравнений и имеет решение, если ранг ее собственной матрицы совпадает с рангом ее расширенной матрицы. Покажем, что это действительно так. Просуммируем все уравнения системы (31), в результате получим 0 = - х (т) - х(Т^о + ^2 + (2X + х(х))я1, но, учитывая (21), имеем, что левая и правая части данного равенства равны 0, следовательно, ранги соответствующих матриц совпадают, а система (31) имеет решение, определяемое с точностью до однопараметрического семейства векторов (^0(1),..., Ro(X), R1(1),..., R1(X1, R2(X1)T С, где С - произвольная

скалярная величина.

Будем искать решение системы (31) в следующем виде: кк (у, 5,т) = к® (5) дН^ т) + кк2) (5)уН(у,т). (32)

ду

Подставим (32) в (31) и представим полученную систему в виде двух систем:

— (X + х(т))к® (5) + ц(5)к® (5) +—к® (5) +

+X к<о'’ (5)^ =—х' (т)Я° (5)

51=1

— (X + х(т) + ц(5))к® (5) + (X + х(т))к® (5) +

+ ^к® (5)^55 = —[ х' (т)Я1 (5) + х(т) Я°(5)],

51=1

1 5

—к21) (5) + (X + х(т))к1(1) (5) + X к21) (5)ц = а 51=1 1

= (X — х ' (т))Я2 (5) + ((X + х(т))Я1 (5) , (33)

— (X + х(т))к°2) (5) + ц(5)к1-2) (5) + — к22) (5) +

+ Xкo(2)(5)9s1s =Я° (5Х

51=1

— (X + х(т) + ц(5))к1-2) (5) + (X + х(т))к°(2) (5) +

+ Ікї2)(5)д,5 = Я1(5) — Я°(5),

51=1

1 5

— -к22)(5) + (X + х(т))к1(2)(5) + X к?\5^ =— ВД. (34)

а 51=1

Продифференцировав систему (11) по х, получим

— (X + х(т))Я° (5) + ц(5)Я1 (5) + -І Я2 (5) +

+ ІК(51)д,5 = Я°(5),

51=1

—(X + х(т) + ц(5))Я1 (5) + (X + х(т))Я° (5) +

+ ІЯ (^ = ВД — Я°(5),

51=1

1 5

—-Я2(5) + (X+х(т))Я1(5) + X я;^)^ = —Я1(5). (35)

51=1

2 дН°(у, 5, т, є) , ( Л дН°(у, 5, т, є)

--------------— — єх (Т) —--------------

+ (X + х(т) +

дт ду

+ єу)Н0 (у, 5, Т, є) = Ц(5)Н1 (у, 5, Т, є) +

1 5

+ ~Н2 (^ 5 Т, є) + X Н0 (^ 51, Т, є)^5,

а 51=1

є 2 5, т, є) дHl(У, 5, т, є) ,

є —дт-------------------єх (т)—ду—+

+ (X + х(т) + єу + ц(5))Н1 (у, 5, Т, є) =

= XH0 (у, 5, Т, є) + (х(т) + єу)Н0 (у, 5, Т, є) +

д

+ є — {(т) + єу)Н0 (у, 5, т, є)} +

є 2 д2

+ "2Т7Г {(Х(т) + єу)Н0 (у, 5, т, є)} +

2 ду

5

+ X Н1(У, 51, Т, є)?515 + 0(є 2),

51=1

є2 дН((у, 5, т, є) — єх, дН((у,5, т, є) +

дт

ду

1

+ 1X4—Н2 (у, 5, т, є) = XH2 (у, 5, т, є) — дН2(у, 5, т, є) . є2 д2Н2(у, 5, т, є)

ду

^ , ч „л дН1(у, 5,т,є)

+ XH1 (у, 5, т, є) — 2Xє--^-----------+

+ X

4є2 д2Н1(у, 5, т, є)

2 ду 2

ду

+ (х(т) + єу) Н1( у, 5, т, є) —

— є — {(т) + єу)Н (у, 5, Т, є)} +

є2 д2

+ {(т) + єу )Н1( у, 5, т, є)}+

2 ду

52 + X H2(У, 51, Т, є)?515 + 0(є 2).

51=1

(38)

Сложим все уравнения системы (38) по к, подставим разложение функций Нк(у, 5, т, е) в виде (37), выполним несложные преобразования и получим

е 2 (Ro (5) + Я (5) + R2 (5)) Ш{у Т) - ех'(Т^ (5) +

дН (у, т)

ду

Я (5) + Я( (5)) ^ду^ — є 2 х' (Т) ду <|к°1) (5)

+ Я° (5) уН (у, Т) + к® (5) + Я1 (5) уН (у, Т) -

+ Я( (5)уН(y, т) \ = —є(—х(Т)Я° (5) +

Из (34) и (35) следует, что решение й (5) системы (34) имеет вид

йк2)(5) = Rk (5). (36)

С учетом (36) и (32) разложение (27) примет вид

Нк (у, 5, Т, е) = Rk (5) Н (у, т) +

+ ей®(5) дН-ду^ + Rk (5) уН (у, т) . (37)

На следующем этапе найдем вид функции Н(у, т). Для этого функции в правой части системы (5) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(е2), получим

+ к^(5)oV

+ XЯ2 (5) + ((X + х(т))Я1 (5) дНд^ т) — є2(Я1 (5) —

— Я°(5))— є2 ^ — х(т)к°-(5)

____________ _ (1)(5) дН (У, т).

ду ду 1 ,,1° ду

— х(т)Я° (5)уН (у, т) + Xк21) (5) дHдy, т) +

+ XЯ2 (5)уН (у, т) + 2Xк1(1) (5) Ну/ т) +

+ 2XЯ1' (5)уН(у, т) + х(т)к® (5) дHСy, Т) +

ду

є2 д2

+ х(т)Я1 (5) уН (у, т)}+— —т {х(т)Я° (5) Н (у, т) +

2 ду

+ XЯ2 (5)Н (у, т) + 4XЯ1(s)H (у, т) +

+ х(т) Я1 (5)Н (у, т)}+ X (Я° (51 )Н (у, т) +

51=1

+ єк° (у, 51, т) + Я1 (51)Н(у, т) + єк (у, 51, т) +

+ Я((51)Н (у, т) + єк( (у, 51, т))^ + о(є2). (39)

Сложим все уравнения (39) по 5 и, обозначив

й® =Е йк1)(5), к = 0,1,2 и 5 = 1,2,..., я, (40)

перепишем в виде ег(Кй + R1 + R2) дНду,Т) -еx'(т)(R0 + R1 + R2)х

х анду^ - е* х,(тХЛ0 + ^ ^дуН (у,т)

ду

ду

-е2 .хЧт1(й0" + К" + л™) =

ду

дН (у, т)

= -е(-x(т)R0 + XR2 + (2X + x(т))R1) -

ду

-е2(^ - R0) дyHдyУ, Т) -е2(-х(т)R0 + ^2 + (2X +

+ х(т))R1') дyHдyУ, Т) - е2 (-x(т)И011 + Xй2al +

+ (2X + х^Цй^) ^ (х(т) Ro + ■^2 +

ду 2

+ ^ + x(т))Rl) дНу , Т) + °(е2) . (41)

ду

Поделим левую и правую части равенства (41) на е2 и в силу условия нормировки R0 + R1 + R2 = 1 и дифференциального уравнения (21) перепишем (41) в виде

НТ Т) = -(^ - R0 - x(т)R0 + XR2 + (2X + x(т))R1') х х дуН(у , Т) +1 (х^^ + XR2 + (4X + x(т))R1 + ду 2

+ 2(x(т)И011 - Xй® - (2X + x(x))Иl'11) +

+ x'(т)(И011 + й« + й«))) д2^Т). (42)

ду

Получили уравнение Фоккера-Планка для плотности распределения вероятностей Н(у, т) значений диффузионного процесса авторегрессии у(т).

Обозначим коэффициент переноса уравнения (42)

А( х) = [-х^^ + XR2 + ^ + х(т)) R1]X. (43)

(43) совпадает с (24).

Коэффициент диффузии обозначим как В 2( х) = х(т) R0 + XR2 + (4X + x(т))R1 + 2[ х(т)й011 -

где А(х) определяется равенством (43), В(х) - равенством (44), а х(т)- дифференциальным уравнением (21). Доказательство. Представим процесс у(т)в виде

Т

/ А( х(511^5

где

У(т) = е0 / (т), (47)

-/А( х (5)1^5

/(т) = е 0 у(т), (48)

А(х) определяется равенством (43), а х(т) - дифференциальным уравнением (21)

Продифференцируем (48), используя формулы Ито, получим

Т

-/А( х(511^5

д/(т) = -А(х(т)1 /(т)дт + е 0 ду =

-/А( х(511ё5

-/ А( х( 511 0

= -А(х(т))е 0 у(т)дт + е " х

х [А( х(т))у(т)дт + еВ( х(т))дм(т)] =

Т

-/А( х(5))й5

= еВ(х(т))е 0 дм(т),

то есть

-/А(х (5)1

д/(т) = еВ(х(т))е 0 ём! (т).

(49)

Проинтегрируем (49), тогда

/ А( х(5))ё5

/ (т) = е| В( х(и))е 0 дм (и) + С.

Положив /(0) = 0, получим

/ А( х( 511

/(т) = /(0) + е| В(х(и)1 е 0 дм>(и) =

Т AСxС5l1aS

= е|В(х(и))е 0 дм(и).

0

С учетом (50) уравнение (47) запишется в виде

(50)

- Xй2С11 - ^ + х(т))й1(11 + (-х^^ + XR2 + (2X +

+ х^»^^11 + й® + й®)]. (44)

(44) совпадает с (25). й011, й®, й® равенстве (43) определяются равенствами (40), где йк(1)(5) есть решение системы (33), которая совпадает с системой (26).

Стохастическое дифференциальное уравнение для диффузионного процесса авторегрессии у(т) запишем в виде

ду(т) = А(х)у(т)дт + В(х)дм(т), (45)

где А(х) определяется равенством (43), В(х) определяется равенством (44), следовательно, уравнение (45) совпадает с уравнением (23). Теорема доказана.

Следствие. Решение у(т) стохастического дифференциального уравнения (45) имеет вид

т и

/А(х(5))д5 т А(х(511

у(т) = ее0 | В(х(и))е 0 дм (и), (46)

0

/AСxС5l1д5 Т А(х(5))д5

у(т) = ее0 |В(х(и))е 0 дм(и), (51)

0

где А(х) определяется равенством (43), В(х) - равенством (44), а х(т) - дифференциальным уравнением (21). (51) совпадает с (46). Теорема доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены неустойчивые сети множественного доступа, функционирующие в случайной среде. Предложены математические модели таких сетей в марковской среде и выполнен асимптотический анализ этих моделей. Получено дифференциальное уравнение (7), определяющее асимптотическое среднее значение х(т) числа заявок в источнике повторных вызовов, приведены формулы (6), определяющие распределение вероятностей Rk состояний канала связи. Показана возможность существования более чем одной точки стабилизации для таких неустойчивых сетей связи. Получено дифференциальное уравнение (23), характеризующее изменение отклонений числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего. Приведено решение этого уравнения (46).

5=1

Т

Т

1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган А.Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. М.: Наука, 1989.

2. КлейнрокЛ. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.

3. Бертсекас Д., ГаллагерР. Сети передачи данных. М.: Мир, 1996.

4. Шварц М. Сети ЭВМ: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1981.

5. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование, анализ. М.: Наука, 1992.

6. Бергман О.С., Назаров А.А. Сравнение стратегий контроля несущей в протоколе МДКН/ОК // Автоматика и вычислительная техника. -1996. № 2.

7. Бутакова Е.Л., Назаров А.А. Распределение времени доставки сообщения в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 1997. № 6.

8. Иванова О.В., Назаров А.А. Асимптотический анализ протокола множественного доступа «синхронная Алоха» к локальной сети // Радиотехника. 1991. № 5.

9. Кузнецов Д.Ю., Назаров А.А. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых протоколами случайного множественного доступа // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.

10. Назаров А.А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. № 2.

11. Хомичков И.И. Исследование моделей локальной сети с протоколом случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. -1988. № 5.

12. Хомичков И.И. Об оптимальном управлении в сети передачи данных со случайным множественным доступом // Автоматика и телемеханика. 1991. № 8.

13. Коцюрюба П.И., Назаров А.А. Исследование асимптотически средних характеристик немарковских моделей неустойчивых сетей случайного доступа. Томск: Проблемы передачи информации, 2003. № 3.

14. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

15. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.

16. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1974.

17. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

18. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.

19. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизуемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 25 октября 2004 г.