CC BY
20
раз и навсегда закрыть вопрос об отсутствии всеобщности у ассоциативного закона.
Выводы
Подводя итог сказанному, отметим следующее:
1. Ассоциативный закон, вопреки сложившемуся предубеждению, всеобъемлющ и не имеет никаких исключений из правил. Он применим к рядам сходящимся, расходящимся и неопределённым.
2. Первопричиной неверной трактовки применимости ассоциативного закона являлись частные примеры, основанные на заблуждениях, которые возникали из-за отсутствия надлежащего определения понятия ряда, общего члена ряда, а также переносе свойств конечных величин и конечных сумм на бесконечно малые величины и бесконечные суммы.
3. Результаты установленного факта всеобщности ассоциативного закона трудно переоценить. Это, наконец, даёт право без всяких оглядок и оговорок группировать слагаемые в любых рядах любым способом, не опасаясь за эквивалентность группированного и негруппированного рядов.
Библиографический список
1. Алексеева Е.Е. Проблемы и решения в теории рядов/ Е Е. Алексеева, Е.М. Душников. — Калининград: ФГУИПП Янтар. сказ, 2004. - 256 с.
2. Виноградова И А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1 / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. — М: Высшая школа, 2002. - 725 с
3. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 2 / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. — М.: Высшая школа, 2002. - 712 с.
4. Власова Е.А. Ряды. Выпуск 9 / Е.А. Власова. - М: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 612 с.
5. Воробьёв H.H. Теория рядов. 6-е издание, стереотипное / H.H. Воробьёв. - СПб.: Лань, 2002. - 408 с.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике для вузов. Изд. 14 / М.Я. Выгодский. - М.: Джангар, Большая медведица, 2001. — 863 с.
7. Лузин H.H. Интегральное исчисление/Н.Н. Лузин. -М.: Высшая школа, 1961. — 415 с.
8. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебник для вузов. — 6-е изд., стереотип/С.М. Никольский. - М.: Физматлит, 2001. - 592 с.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2 / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1970. - 576 с.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Физматлит, 2001. - 864 с.
АЛЕКСЕЕВА Елена Евгеньевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики.
Статья поступила в редакцию 23.04.06 г. © Алексеева Е. Е.
удк 372 851 А. В. СЕМКИН
Технический колледж г. Щучинска (Республика Казахстан)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В КОЛЛЕДЖЕ ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
Рассматривается вопрос необходимости обучения учащихся колледжей технического профиля математическому моделированию, выступающему как средство осуществления профессиональной направленности преподавания математики. Перечислены основные виды моделей и методов математического моделирования, которые могут быть использованы для этого преподавателем.
Практика обучения показывает, что многие учащиеся средних специальных учебных заведений технического профиля, даже имея хорошие математические знания, часто затрудняются применять их | при изучении профессионально-технических дис-* циплин и прохождении производственной практики, ц Решение данной проблемы многие исследователи | видят в усилении профессиональной направленнос-| ти обучения математике. Под этим принято пони-3 мать использование педагогических средств, при которых обеспечивается усвоение учащимися предус-ЕьЯ мотренных программой знаний, формирование уме-
ний и навыков, и в то же время формируется интерес к выбранной профессии, ценностное отношение к ней, профессиональные качества и знания будущего специалиста. Реализация профессиональной направленности осуществляется по следующим основным направлениям: включение в курс математики дополнительных вопросов и разделов, имеющих ярко выраженный прикладной характер, насыщение курса задачами и упражнениями с «производственной» фабулой, использование межпредметных связей курса математики с дисциплинами профтех-цикла, применение внеурочных форм работы. Одна-
ко анализ стандартов, учебных программ, рекомендуемых ими учебных пособий и реализация их на практике выявляют многочисленные трудности осуществления профессионально направленного обучения математике. Они обусловлены отсутствием учебных программ, недостаточным внедрением существующих методических разработок для преподавателей, учебных материалов для студентов, позволяющих вести профессионально направленную подготовку учащихся по ряду специальностей, недостатком учебного времени, слабой базой школьных знаний.
В меньшей степени эти трудности затрагивают применение на уроках математики задач с производственным (практическим) содержанием, которые часто рассматриваются как наиболее приемлемый и действенный инструмент осуществления производимой направленности обучения [1, с. 4]. Но и здесь имеются свои существенные препятствия. Анализ многочисленных сборников задач с производственным содержанием, методических пособий по их решению показывает, что в основной их массе реализация профессиональной направленности осуществляется за счет переноса акцентов с собственно математических методов решения задач на преподнесение неких дополнительных «технических» сведений. При этом преподаватель математики вынужден заниматься объяснением материала, знание которого им не проверено никаким экзаменатором. А должен ли он в условиях сильно ограниченного времени замещать преподавателей профтехдисцип-лин? Ведь межпредметные связи, являющиеся дидактической основой профессионально направленного обучения, как раз и призваны предупреждать дублирование учебного материала. Разбросанность же и поверхностность включаемых в эти сборники общетехнических или профессиональных сведений не позволяет говорить о формировании каких-либо существенных профессиональных знаний. Такой подход только усложняет процесс обучения, снижает внимание к формированию математических знаний и умений, что в конечном счете, как показывает практика обучения, приводит к перегрузке учащихся и недостаточному уровню их математической подготовки.
Итак, решить поставленную в начале статьи проблему не так просто, как может показаться на первый взгляд, ведь изложить саму математику гораздо легче, чем дать представление о ее приложениях [2, с. 5]. По этому поводу Л. Г. Семушина и Н.Г. Ярошенко [3, с. 106] отмечают, что в процессе обучения учащиеся усваивают основные законы и закономерности, принципы, сформулированные в виде теоретических положений, прямой перенос которых в практическую деятельность невозможен. Вызвано это тем, что между теоретическими положениями и практической деятельностью стоят практические знания. В математике роль таких знаний выполняет математическое моделирование. Обучение учащихся моделированию позволит осуществлять профессиональную направленность преподавания математики не путем попыток формирования у учащихся на уроках математики профессиональных знаний — этим должны заниматься соответствующие специалисты, а обучению математическим методам решения возникающих практических задач через переход к надлежаще подобранным математическим моделям.
Математическое моделирование не обделено вниманием методистов. Существует несколько ва-
риантов его включения в учебный процесс [4, с.53). Наиболее оптимальным из них является введение элементов моделирования в курс математики колледжа как содержательной линии. В результате осуществления такого подхода учащиеся должны не только получить представление о сущности формализации и методе моделирования, но и научиться строить и исследовать простейшие, характерные для профессиональной деятельности модели. Это позволит совершенствовать подготовку специалиста уже при изучении математики. Следовательно, выбранный подход является развивающим и деятельно стным.
Однако несмотря на понимание важности овладения будущими специалистами технического профиля математическим моделированием, как показывает проведенный нами анализ, методика его обучения используется редко и непоследовательно, и потенциал моделирования в формировании у учащихся умений и навыков, необходимых им в будущей профессиональной деятельности, остается в полной мере неиспользованным. Отчасти это объясняется различным содержанием профтехдисциплин и развитием методов моделирования, их переходом в новые качества, например, в экономико-математическое. Но главным является отсутствие теории такового обучения на соответствующем методическом уровне. В рамках проводимого исследования попытаемся восполнить данный пробел.
Обучение моделированию по совету В.В. Краев-ского [5, с. 39] необходимо начать с определения чего-то общего, с цели. Целью процесса обучения в среднем профессиональном учебном заведении любого типа, достижению которой должны быть подчинены все предметы, все виды учебных работ, является соответствие выпускника определенной квалификационной характеристике. Предполагаемая универсальность применения результатов нашего исследования для подготовки специалистов технического профиля позволила выделить общность предстоящей им по окончании колледжа профессиональной деятельности. Она заключается в умении
— подготовить и первично обработать техническую, технологическую, экономическую и другую информацию в целях обеспечения инженерных решений;
— обеспечить работоспособность технических и технологических систем и управление ими;
— управлять деятельностью первичных звеньев производства.
Перечисленные виды деятельности весьма разнородны, представляют свои специфические требования и предполагают достаточное время на их освоение. Помочь в этом может применение методов математического моделирования. Так, обучение производственно-управленческой работе может осуществляться как усвоение методов экономико-математического моделирования. При формировании у учащихся производственно-технологических умений необходимо помнить, что специалист со средним техническим образованием имеет дело с узлами, деталями, несложными конструкциями, принципиальное сходство между которыми нетрудно заметить в существующих машинах и механизмах. Выделение общего, изучение в этом общем отношений и закономерностей, перенос полученных результатов в новые условия - такое применение математического моделирования как метода познания не только создает основу овладения указанными умениями, но и
способствует формированию профессиональной мобильности и широты профиля специалиста.
Это основано на развитии лежащих в основе технологии процесса моделирования таких интеллектуальных умений и их составляющих, как
— анализ проблемной ситуации;
— постановка вопроса;
— нахождение необходимой и отбрасывание лишней информации для решения;
— выдвижение гипотезы;
— определение границ поиска решения;
— перевод проблемы на язык математики;
— интерпретация решения;
— произведение дедуктивных и индуктивных умозаключений и т.д.,
и общих интеллектуальных приемов сравнения, обобщения, анализа и абстрагирования [6, с. 48].
Кроме того, построение математических моделей развивает такие качества ума, как устойчивость и осознанность, что, по мнению В.А. Далингера [7, с. 45-46], происходит при обучении ориентироваться на некоторую совокупность ранее выделенных значительных признаков, несмотря на воздействие признаков случайных и умении выразить в знаково-сим-вольных схемах цель и результат своей деятельности.
Не менее важным при подготовке специалиста является развитие его творческого мышления, связь которого с математическим моделированием проявляется в умении переносить приемы, сформулированные при решении одних задач на другие задачи (8, с. 32]. Да и сам «... переход от реального объекта к его математической модели всегда является эвристическим...» [9, с. 16].
Перейдем к описанию видов моделей, с которыми учащиеся могут быть ознакомлены при реализации намеченной линии обучения.
Начнем со статических и динамических моделей курса алгебры, геометрии и начал анализа. При знакомстве с ними необходимо показать учащимся, что связь математики с ее приложениями осуществляется с помощью математических объектов (моделей): геометрических фигур, уравнений, функций и т.п., исследование которых должно дать ответ на поставленный неформальный вопрос. Схематически каждый акт приложения математики сводится к построению математической модели, её исследованию при помощи подходящего математического аппарата и интерпретации полученного результата. Эта процедура требует сочетания неформального мышления с формальным и потому обычно вызывает затруднения у учащихся. Необходимо заметить, что формализация или создание математической модели знакомы учащимся ещё с начальной школы по решению текстовых задач на составление уравнений. Выбор модели при решении практической задачи диктуется рядом факторов: требуемой точностью, здравым смыслом, опытом матемизации задач, в большой мере — интуицией, по мнению ещё А. Пуанкаре [10, с.464], заполняющей пропасть, отделяющую символы от реального мира. Конечно, ма-темизация практической задачи заметно облегчается, если при ее решении учащиеся опираются на свой трудовой опыт или видят объект, модель которого им предстоит построить. Предлагаемые задачи с практическим содержанием, на которых предстоит обучение моделированию, должны иметь главенствующее математическое содержание, математическую сущность. Желательно присутствие в них
— отражения реальной производственной ситуации;
— реальных числовых данных условия и предполагаемого решения;
— пояснений встречающихся профессиональных терминов;
— в начальном условии формул и законов общетехнических и специальных дисциплин, если они применяются в решении.
К сожалению, применение моделей часто ограничено решением задач с практическим содержанием. Изложение же нового материала в колледже не отличается от предлагаемого в средней школе. Такой подход сознательно отрывает теорию от практики, затрудняет поиск материала изучаемой дисциплины, применяемого в профессиональной деятельности. Это особенно проявляется при изучении геометрии. Так, после объяснения темы «Конус, усечённый конус» у учащихся в памяти остается некий шпиль, имеющий применение разве что в строительстве. Между тем в машиностроении многие детали получены обработкой на токарных станках и имеют сочетание цилиндрической и конической форм. Значит, целесообразно представить конус не как отвлеченное от техники понятие, акак математическую модель, описывающую определенное множество деталей. Соответственно, эта модель, рассматриваемая на уроках математики при подготовке специалистов технического профиля, должна отражать характеристики деталей, необходимые в машиностроении, такие как конусность и уклон, которые не изучаются в общеобразовательном курсе математики, но будут необходимы учащимся при прохождении спецдисциплин и токарной практики.
Остается добавить, что любой цилиндр, как модель детали, существует лишь с определенным допуском точности его оснований — иначе он превращается в конус (в технике под конусом понимают как полные, так и усеченные конусы). Осознание этого факта имеет большое значение для развития технического мышления будущих специалистов. Наш опыт показывает, что практически все учащиеся после знакомства на уроках математики с конусом как математической моделью деталей во время прохождения токарной практики осознанно и успешно производят вычислительные операции при обработке конических поверхностей [11].
Рассмотренные нами модели лишь описывают объекты или процессы. В тех случаях, когда процессом необходимо управлять — принимать те или иные решения, этих моделей оказывается недостаточно. На помощь приходят оптимизационные модели. Среди них можно выделить модели и методы линейного программирования, как наиболее простые в изучении и применимые на практике, Аппарат линейного программирования позволяет решать несложные задачи рационального использования имеющихся ресурсов, что способствует становлению экономического мышления учащихся, необходимого им как будущим руководителям среднего эвена производства. В этом качестве они должны уметь планировать работу несложных экономических объектов. Некоторые умения, необходимые для этого, можно приобрести и при построении моделей сетевого планирования. Эти модели позволяют найти рациональный план проведения сложного комплекса взаимно обусловленных работ. Взаимная обусловленность вызвана тем, что приступить к определенным работам нельзя раньше, чем будут завершены некоторые другие. Применение сетевых моделей позволяет
определить минимальные временные рамки выполнения всего комплекса работ и не выходить за них, используя при необходимости временные ресурсы, содержащиеся в некритических работах.
Оптимизационные модели описывали ситуации, в которых не существует сил, противодействующих лицу, принимающему решение. Между тем в производственной деятельности встречаются конфликтные ситуации, когда участники имеют не совпадающие между собой интересы. Математические модели, описывающие эти ситуации и помогающие найти выходы из них, предполагающие наименьшие потери для участвующих сторон, получили название игровых. Бесспорно, умение грамотно разрешать конфликтные ситуации, основанное на математическом расчете, — качество, без которого нельзя представить себе хорошего руководителя, однако в колледжах формированию этого качества не уделяется достаточного внимания. Обучение учащихся на уроках математики созданию и исследованию игровых моделей позволяет восполнить это упущение.
Среди игровых моделей выделяют те, в которых участнику предлагается принять решение в условиях неопределенности. Примером может служить так называемая игра с приррдой, состояние которой мы можем лишь прогнозировать с некоторой вероятностью. Изучение моделей игр с природой позволяет развить такие качества интеллекта, как умение анализировать проблемные ситуации в условиях неопределенности, овладение искусством расчетливого риска, основанного на использовании аппарата теории вероятностей и математической статистики. Эти качества объединяются в рисковом характере мышления.
Обучение перечисленным методам моделирования из-за ограниченности времени, отводимого на изучение математики в колледже, возможно проводить на факультативных занятиях.
Необходимо заметить, что полный процесс математического моделирования включает в себя обработку полученных результатов на ЭВМ. В подготовке специалиста это умение играет немаловажную роль. Однако такое обучение математическому моделированию потребует от преподавателя математики системного ознакомления учащихся с элементами программирования и работы с существующими прикладными программами, что не входит в учебный план предмета математики. Выход может быть найден как осуществление интеграции на основе моделирования курсов математики и информатики. Такое исследование, проведенное в колледже технического профиля, будет являться продолжением и развитием нашей работы.
В заключение необходимо заметить, что выбранный подход обучения, формируя необходимые специалисту качества, нисколько не ущемляет формирования у учащихся собственно математических знаний и умений, способствует их систематизации и повышению прочности. Все это позволяет сказать,
что введение моделирования в курс математики колледжа технического профиля в качестве содержательно-методической линии способствует осуществлению профессионально направленного обучения, что является одним из важнейших факторов оптимизации учебного процесса и позволяет совершенствовать профессиональную подготовку выпускника средствами математики.
Библиографический список
1. Лисинчух Н.И. Задачи по математике для машинистов кранов: Методическое пособие/Н.И. Лисинчук, В.Л. Писку-нова, Г.Н. Цыбульская. — К.; Выща шк., 1990. — 104 с.
2. Лайтхилл Дж. Новые области применения математики/ Дж. Лайтхилл, Р.У. Хиорис, С.Х. Холлингдейл; Под ред. Дж. Лайт-хилла; Пер.с англ. А.Ф. Якубова. — Мн.: Вышейшая школа, 1981. - 494 с.
3. Семушина Л.Г. Содержание и технологии обучения в средних специальных учебных заведениях: Учеб. пособие для преп. учреждений сред. проф. образования / Л.Г. Семушина, Н.Г. Ярошенко. — М.: Мастерство, 2001. — 272 с.
4. Кийко П.В. Математическое моделирование как системообразующий фактор в реализации межпредметных связей математики и спецдисциплин в обучении будущих экономистов: дис. ... канд пед. наук / П.В. Кийко. — Омск, 2006. — 167 с.
5. Скаткин М.Н. Содержание общего среднего образования. Проблемы и перспективы/ М.Н. Скаткин, В.В, Краев-ский. - М.: Знание, 1981. - 96 с.
6. Бурмистрова H.A. Моделирование экономических процессов как средство интегративной функции курса математики / H.A. Бурмистрова. //Среднее профессиональное образование. - 2002. - № 4. - С. 48-50.
7. Далингер В.А. Самостоятельная деятельность учащихся и ее активизация при обучении математике: Учебное пособие / В.А. Далингер. - Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1993. - 156 с.
Я. Бурмистрова H.A. Обучение студентов моделированию экономических процессов при реализации интегративной функции курса математики в финансовом колледже: дис. ... канд. пед. наук / Н.А.Бурмистрова. — Омск. 2001. — 149 с.
9. Садовский Л.Е. Математика и спорт / Л.Е. Садовский, А.Л. Садовский. - М.: Наука, 1985. - 192 с.
10. Пуанкере А О науке: Пер. сфр. — 2-е изд., стер. / А, Пу-анкере; Под ред. Л.С. Понтрягина. — М.: Наука, Гл. ред. Физ мат. мет., 1990. — 736 с.
11. Семкин A.B. Осуществление профессиональной направленности обучения математике / A.B. Семкин //Профессионал Казахстана. - 2005. - №9. - С. 38-39.
СЕМКИН Александр Владимирович, преподаватель математики Технического колледжа г. Щучин-ска, соискатель кафедры математики Кокшетауско-го государственного университета им. Ш. Уалихано-ва, научный руководитель — доктор педагогических наук, профессор К.Г. Кожабаев.
Статья поступила в редакцию 20.11.06 г. © Семкин А. В.
