CC BY
618
Из книг и журналов
Изв. вузов «ПНД», т. 19, № 5, 2011 УДК 519.8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК НАУКА И ИСКУССТВО
Ю.И. Неймарк Учебник, издание 2-е, исправленное и дополненное1
© Ю.И. Неймарк © Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2010 Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2010. 420 с. ISBN 978-5-91326-145-8
В учебнике рассказывается о разнообразных конкретных математических эволюционных моделях и их исследовании в механике, физике, биологии, технике и управлении, моделях игр и поиска решения, волновых явлениях, фундаментальных законах макромира и микромира, пространстве и времени и др.
Для студентов, аспирантов, преподавателей, инженеров и всех интересующихся математическим моделированием.
Оглавление
Предисловие
Введение. Математика как язык. Математическая модель. Математическое моделирование как метод изучения окружающего мира
х1-е издание: Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники: Учебник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. 401 с.
Дополнение 2-го издания составили два раздела
«46. Синтез и функциональные возможности квазиинвариантного линейного и нелинейного управления: На примере простейшей математической модели линейной минимально фазовой системы квазиинвариантного управления рассматриваются вопросы физической реализуемости, устойчивости, ошибки управления, на основе которых решается задача синтеза квазиинвариантного управления путем синтеза нелинейной системы, объединяющей квазиинвариантную стратегию с классической»
«47. Абстрактная и реальная математическая теории динамических систем: Глава содержит краткое описание современного состояния основ теории динамических систем» (Прим. ред.)
1. Динамическая система. Детерминизм Лапласа. Динамическая система как основная мате-
матическая модель естествознания. Фазовый портрет. Примеры динамических систем и их фазовых портретов: простейшие примеры, игра «жизнь», маятник на вращающемся основании. Фазовый портрет как средство отображения наших знаний о динамике модели и как средство ее изучения
2. Вытекание жидкости из сосуда. Закон Торричелли и простейшая модель вытекания. Эф-
фект сжатия струи. Недостаточность простейшей модели. Уточненные модели, учитывающие разгон жидкости. Фазовый портрет и отображение на нем быстрой фазы разгона и медленного вытекания. Уточнение фазы разгона
3. Равновесие и автоколебания уровня жидкости в сосуде при одновременном притоке и
оттоке. Равномерный приток и отток через дырочку и через сифон
4. Переходный процесс, состояние равновесия и автоколебания. Подводится итог получен-
ным знаниям о возможных типах движений: переходные процессы, устойчивые равновесия и автоколебания
5. Динамика уровня зеркала водохранилища с гидростанцией. Критические значения. Би-
фуркационная диаграмма
6. Энергетическая модель сердца. Виды кризисных состояний. Критические значения. Суже-
ние жизненных возможностей
7. Засоление водоема с заливом и загадки Каспийского моря. Загрязнение водоема сточны-
ми водами с растворимыми загрязнениями. Загадка Каспийского моря. Засоление водоема с заливом. Равновесный водный режим и равновесная соленость. Возможность непредсказуемых смен равновесного уровня
8. Экспоненциальные процессы. Математическая модель. Периоды полураспада и удвоения.
Примеры экспоненциальных процессов: размножение и гибель, радиоактивность, цепные реакции, разряд конденсатора, разгон ракеты, торможение, поглощение излучения, охлаждение, распространение эпидемии и слухов, рост численности населения, производства, знаний, приближение и удаление от равновесия и др. Уточнение модели: учет насыщения, взрывной характер роста. Явление внезапного кризиса, «схлопывания» и исключительности
9. Динамика сосуществования популяций. Математические модели сосуществования; «хищ-
ник-жертва», конкуренция (противостояние), симбиоз. Фазовые и бифуркационные портреты
10. Проточный биологический реактор. Простейшая модель биологического реактора (хемо-
стат): фазовый портрет, оптимизация
11. Математическая модель иммунного ответа организма на вторжение инфекции.
Рассматривается упрощенная феноменологическая модель иммунного ответа организма на инфекцию в виде системы дифференциальных уравнений четвертого порядка, которая обнаруживает основные варианты течения заболевания: выздоровление и выздоровление через обострение, гибель и гибель от истощения ресурсов, хроническое заболевание с равновесным и периодическим течением, бациллоносительство, их зависимости
12. Математическая модель сообщества «производители-продукт-управленцы». Возмож-
ные виды фазовых портретов. Эволюция сообщества с ростом технологии производства в зависимости от остальных параметров
13. Линейный осциллятор. Математическая модель линейного осциллятора. Возможные
типы движений. Фазовый и бифуркационный портреты. Что описывает линейный осциллятор: типы равновесий, гармонические, затухающие и нарастающие колебания
14. Электромеханические аналогии. Уравнения Лагранжа-Максвелла. Электромеханичес-
кие аналогии. Уравнения Лагранжа-Максвелла механических, электрических и электромеханических систем. Инвариантность уравнений Лагранжа. Принцип наименьшего действия как вариационная форма математических моделей. Примеры и уравнения Лагранжа-Максвелла с обобщенными силами
15. Часы Галилея-Гюйгенса. Как и почему появились часы Галилея-Гюйгенса, что в них
принципиально нового, что определяет точность часов? Анализ причин погрешностей и пути их уменьшения. Простейшая математическая модель часов Галилея-Гюйгенса. Фазовый портрет. Отображение А. Пуанкаре и диаграмма точечного отображения Кенигса-Ламерея. Часы как автоколебательная система, как система с обратной связью
16. Генератор электрических колебаний. Генератор электрических колебаний как электриче-
ский аналог часов Галилея-Гюйгенса. Математическая модель. Уравнение ван дер Поля и его фазовый портрет. Приближенное исследование уравнения ван дер Поля и сведение к точечному отображению. Мягкий режим возбуждений автоколебаний
17. Мягкий и жесткий режимы возбуждения автоколебаний. Фазовые портреты и бифурка-
ционные портреты мягкого и жесткого возбуждения автоколебаний на основе исследования точечного отображения
18. Стохастический осциллятор («часы наоборот»). Осциллятор с непредсказуемым поведе-
нием. Математическая модель, фазовый портрет, точечное отображение. Непредсказуемость и случайность. Два типа поведения динамических систем: устойчивость и неустойчивость, предсказуемость и непредсказуемость. Осциллятор (динамическая система) как генератор стохастических колебаний
19. Неустойчивость и автоколебания, вызываемые трением. Математическая модель и ее
фазовый портрет. Классическая кулоновская модель сухого трения и необходимость ее уточнения. Возбуждение колебаний трением и возникновение автоколебаний, исчезновение трения
20. Вынужденные колебания линейного осциллятора. Математическая модель. Амплитуд-
но-фазовая частотная характеристика. Явления резонанса и фазового сдвига. Примеры килевой качки корабля и динамического гасителя колебаний. Спектральный подход и принцип суперпозиции. Обобщенная 5-функция
21. Параметрическое возбуждение и стабилизация. Математическая модель. Явления пара-
метрического возбуждения и резонанса. Особенности параметрического резонанса, отличающие его от обычного резонанса
22. Нормальные колебания и биения. Математическая модель двух взаимодействующих ос-
цилляторов. Нормальные колебания и перекачка энергии, вызывающая явление биений
23. Стабилизация перевернутого маятника. Управление как могучее средство изменения по-
ведения и свойств динамических объектов и систем. Жонглирование вертикально стоящей на опоре и двумя стоящими друг на друге палочками. Математические модели. Стратегия управления, условия стабилизации, роль запаздывания
24. Управляемый маятник и двуногая ходьба. Перевернутый управляемый маятник как ма-
тематическая модель автоколебательной двуногой ходьбы
25. Динамические модели игр, обучения и целесообразного поведения. Автоматные модели
игроков и динамические детерминированные и стохастические модели игр
26. Персептрон и распознавание образов. Рассказывается о принципе работы персептрона Ро-
зенблата, трактуемого как динамическая система. Описываются математические модели объекта, образа, распознавания и обучения распознаванию. Формулируется и доказывается теорема о конечности числа ошибок. Обнаруживается связь между алгоритмом обучения персептрона и стохастической аппроксимацией
27. Законы Кеплера и проблема двух тел, решенная Ньютоном. Рассказывается о проблеме
двух тел и ее связи с некоторыми вопросами астрономии: черные дыры, расширение Вселенной, эволюция Солнечной системы
28. Распределенные динамические модели механики и физики. Определяется понятие рас-
пределенной динамической системы. Описываются распределенные модели классической математической физики, механики, электродинамики и квантовой механики: уравнения Эйлера и Навье-Стокса, Максвелла и Шредингера
29. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Рассказывается о расплывании
поля температур, диффундирующего вещества или плотности вероятности блуждающей случайной частицы, поначалу сосредоточенных в некоторой точке. Решается задача о прогреве полупространства
30. Бегущие волны и дисперсионное уравнение. Рассказывается о бегущих гармонических
волнах. Решается задача о температуре поверхностного слоя земли под влиянием суточных и годовых колебаний над ним. Решается задача о скорости намерзания льда на поверхности воды
31. Теория электромагнетизма Фарадея-Максвелла и электромагнитные волны Максвел-
ла-Герца. Показывается наличие у уравнений Максвелла решения в виде бегущей со скоростью света гармонической волны
32. Отражение и преломление волн. Находятся отраженная и преломленная волны при набе-
гании на границу раздела сред бегущей гармонической волны
33. Стоячие волны и колебания ограниченной струны. Излагается метод Фурье изучения
колебаний струны. Решается задача о колебаниях струны, вызванных сосредоточенным ударом. Выясняется спектр и его связь с «окраской» звука
34. Микрочастица. Рассказывается об особенностях микромира. О необходимости пересмот-
ра привычных представлений классической физики. Излагается формализм квантовой механики и приводятся примеры его применения. Описываются понятия квантового состояния, оператора его изменения и его связь с измеряемыми и наблюдаемыми физическими величинами. Рассматривается поведение квантовой частицы в потенциальной яме, в радиально-симметричном электрическом поле заряда
35. Пространство и время. Рассказывается о преобразованиях Галилея и Лоренца. Об инвари-
антности уравнений Ньютона и неинвариантности уравнений Максвелла по отношению к преобразованиям Галилея. Выводятся преобразования Лоренца из свойства сохранения волнового уравнения, вытекающего из уравнений Максвелла, и представлений однородности и изотропности пространства и однородности времени. Рассматривается связь между событиями, наблюдаемыми в разных системах координат: сокращение расстояний и замедление часов, сложение скоростей. Вводится четырехмерное пространство-время. Обсуждаются понятие одновременности и принцип причинности. Указываются необходимые уточнения уравнений Ньютона в случае очень больших скоростей движения, приближающихся к скорости света
36. Разгон релятивистских частиц в циклотроне. Рассматривается модель движения реляти-
вистской частицы в циклотроне. Обнаруживается наличие квазистационарного устойчивого резонансного разгона
37. Математика как язык, как операционная система и модели. Математика как особый
язык, включающий операционную систему и математические модели. Изоморфизм операционных систем и моделей. Роль изоморфизма в математическом моделировании
38. Геометрическое, физическое, аналоговое, математическое и статистическое имита-
ционное моделирование. О геометрическом, физическом, математическом моделировании и лежащих в их основе изоморфизмах, о критериях моделируемости и правилах моделирования
39. Общая схема математического моделирования. О двух разных взаимосвязанных частях
математического моделирования (составление модели и ее исследование) и основных этапах моделирования и некоторых полезных соображениях
40. Модели вибропогружения. О вибропогружении и его математическом моделировании
41. Основная математическая модель современной науки и теория колебаний. Динамичес-
кая система как основная модель точной науки, о ее роли и ее изучении. Об автоколебаниях, регулярных и хаотических движениях и гомоклинических структурах. О теории колебаний как всеобъемлющей науке об эволюционных процессах. О роли А.А. Андронова в становлении нелинейной теории колебаний
42. Математическая модель как плодотворная идея научного исследования. ^-разбиение.
На примере устойчивости линейных систем (проблемы Рауса-Гурвица, робастной устойчивости и др.) показывается возможная роль математической модели как плодотворной идеи научного использования
43. Идеализация, математическая корректность и реальность. На примерах моделирования
центробежного регулятора скорости вращения и известной проблемы парадокса Пенлеве в механике иллюстрируется роль идеализации в математической корректности, в достижении требуемой адекватности результатов моделирования реальному объекту
44. Динамическая интерпретация метода наименьших квадратов и глобальной поисковой
оптимизации с адаптивной моделью. На примерах широко известного метода наименьших квадратов и глобальной поисковой оптимизации функций многих переменных иллюстрируется полезность широкого использования модели динамической системы
45. Игровая модель человеческого общества. Аргументируется игровая модель человеческо-
го общества. Обнаруживаются основные принципы его функционирования, организации и управления. Изучается идеальная игра людей в обществе и выясняется существо и пути преодоления проблемы власти
46. Синтез и функциональные возможности квазиинвариантного линейного и нелиней-
ного управления. На примере простейшей математической модели линейной минимально фазовой системы квазиинвариантного управления рассматриваются вопросы физической реализуемости, устойчивости, ошибки управления, на основе которых решается задача синтеза квазиинвариантного управления и возникает возможность расширения управления путем синтеза нелинейной системы, объединяющей квазиинвариантную стратегию управления с классической
47. Абстрактная и реальная математические теории динамических систем. Глава содер-
жит краткое описание современного состояния основ теории динамических систем
Список литературы
***
47. Абстрактная и реальная математические теории динамических систем
В настоящее время динамическая система - одна из основных математических моделей. Математическая теория динамических систем, которую разрабатывали величайшие математики XIX и XX веков, очень сложна и обширна. Полное изучение этой теории едва ли необходимо для прикладного пользователя, но ознакомиться с ее основами, безусловно, целесообразно. Краткое изложение современного состояния теории динамических систем является целью этой главы.
Ко времени рождения теории динамических систем господствующее положение в науке занимала идея детерминизма Лапласа: то, что происходит сегодня, определяется тем, что было вчера, а то, что будет завтра, определяется тем, что есть сегодня. Универсальной математической моделью, вытекающей из идеи детерминизма, стала динамическая система.
Теория динамических систем ведет свое начало от А. Пуанкаре, от его труда «Новые методы небесной механики», появившегося в конце XIX века. Пуанкаре создал классическую теорию динамических систем. Большой вклад в развитие теории внес Д. Биркгоф, с появлением его книги «Динамические системы» эта теория стала достоянием мировой науки. Биркгоф, в частности, ввел классификацию всех возможных движений в такой системе. Свой след в развитии теории динамических систем оставили такие величайшие математики, как Пуассон, А.М. Ляпунов, С. Смейл и др. Исчерпывающим источником знаний о динамических системах в России долгое время была книга В.В. Немыцкого и В.В. Степанова «Качественная теория дифференциальных уравнений». Далее изучение динамических систем широко распространилось как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. Однако в исследовании конкретных динамических систем успех был достигнут только для размерности, не превышающей второй порядок, который и был подытожен в работах А.А. Андронова с соавторами. Некоторое продвижение в изучении динамических систем больших размерностей все же можно отметить для систем третьего порядка благодаря методу точечных отображений и существенным теоретическим исследованиям в трудах С. Смейла.
Цель исследования динамических систем состоит в определении вида фазовых траекторий и их взаиморасположения, т.е. в построении фазового портрета системы, а также в выяснении зависимости фазового портрета от параметров и в изучении бифуркаций при их изменении. По-видимому, детальное описание фазовых портретов столь разнообразно и огромно, что едва ли оно может быть полным, но можно выделить основные, самые важные характеристики фазового портрета, к которым, прежде всего, относятся установившиеся движения. В классической теории это устойчивые состояния равновесия, периодические движения, тороидальные образования, многообразия из устойчивых состояний равновесия.
Каковы особенности классической теории динамических систем? Классическая теория базируется на допущении возможности пренебречь очень малыми воздействиями. Она основана на двух основных фактах: факте существования решения и его единственности при
заданных начальных условиях. Модель, отвечающую перечисленным выше условиям, естественно назвать абстрактной или идеальной. Изучению таких абстрактных динамических систем посвящена классическая теория Пуанкаре-Биркгофа. Согласно этой теории существование решения и его единственность представляются достаточными для установления взаимно-однозначного соответствия между фазовыми траекториями и реальными движениями соответствующего объекта, т.е. в классической теории вычисленные фазовые траектории представляют само движение системы. То, что фазовые траектории вычислимы и физически реализуемы не вызывало сомнений. При этом само собой подразумевалось, что ошибки счета, как и физические помехи, несущественно малы. Такую трактовку и обоснование можно назвать абстрактными, а классическую теорию - абстрактной теорией динамических систем.
Изучение конкретных динамических систем до появления компьютеров велось в основном аналитическими методами и ограничивалось системами небольшой размерности. При этом получаемые результаты укладывались в рамки классической теории. Ситуация резко изменилась с появлением быстродействующих ЭВМ и возможности наблюдать за поведением фазовых траекторий на дисплее компьютера. Перед исследователями открылся сложный мир фазовых портретов и весьма сложных движений. Появились отдельные примеры, теоретическое исследование которых было затруднено, некоторые конкретные системы с весьма сложными фазовыми портретами не поддавались изучению. Требовались новые подходы. Одновременно обнаруживались явления, которые не находили объяснений. Самым удивительным среди них было обнаружение случайности в поведении фазовых траекторий, когда при одних и тех же начальных условиях могли быть получены совершенно разные решения. Эта случайность обнаружилась и в физическом эксперименте, и при счете на компьютере. Лежащее в основе абстрактной теории утверждение о единственности фазовой траектории с заданными начальными условиями нарушалось, и это не находило объяснения. Возможность сколь угодно точных вычислений всей полутраектории от заданного начального условия и такой же ее физической реализуемости не вызывала сомнений, однако признание абстрактной теорией однозначности, вычислимости и физической реализуемости траекторий приводило к противоречию реального эксперимента с теорией. Остановимся чуть подробнее на результатах исследования особенностей поведения некоторых фазовых траекторий при заданных начальных условиях: с теоретической точки зрения, в плане реализуемости физического процесса и в плане компьютерных вычислений.
1. Абстрактная теория динамических систем предполагает единственность решения для заданных начальных условий. Эта единственность имеет место как для динамических систем, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и для систем в частных производных, а также для систем, заданных любыми другими способами.
2. Физический эксперимент показывает, что в некоторых случаях реализуемые фазовые траектории с заданными начальными условиями отличаются друг от друга случайным образом, причем различие траекторий может быть весьма значительным. Возможны случаи, когда малейшее изменение начальных условий приводит к существенным изменениям соответствующих фазовых траекторий.
3. Компьютерный эксперимент по вычислению фазовых траекторий при заданных начальных условиях с использованием компьютеров или различных методов счета может приводить к весьма различным траекториям, с некоторого времени ничего общего между собой не имеющим. В таких случаях малейшие изменения начальных условий в пределах, учитываемых компьютером, приводят к аналогичным результатам. Повторный счет на компьютере при одинаковых начальных условиях и одном методе счета приводит к одной и той же траектории.
Эти особенности некоторых фазовых траекторий были восприняты многими исследователями как возможность существования случайных, хаотических или стохастических движений, что находится в явном противоречии с общеизвестной теоремой о единственности решений дифференциальных уравнений и с самим определением динамической системы. Более того, это мнение о наличии случайности в детерминированных системах стало вос-
приниматься как фантастическое открытие, и этому открытию придавалось очень большое значение, а противоречие с безусловно верной теорией игнорировалось. Возникшая вера в наличие случайных движений приняла догматический характер, и этому не помешали не только теорема о единственности решения, но и реальный факт однозначности решения при одинаковом способе счета на компьютере. Вместе с тем, безусловно, весьма значительным был и факт наличия стохастичности при физической реализации динамической системы, и в каком-то смысле именно он одержал победу над теоретическими рассуждениями. После длительного отрицания возможности построения различных траекторий при одних и тех же начальных условиях этот факт был признан как некоторое новое понимание движения динамических систем и был введен новый тип движения, названный хаотическим. В системах второго порядка их не было обнаружено, но в системах третьего порядка и выше они были. Необычайно сложные движения вызвали бум, их открывали всюду. Хаотические движения и хаотические аттракторы получили признание, но их наличие и природа не поддавались объяснению. Определения, что такое хаотический аттрактор, не существовало, и это не удивительно. Ясно, что такое положение требует выяснения истинных причин наблюдаемых явлений.
Истинная причина скрыта именно в базовом для классической теории допущении возможности пренебрегать очень малыми воздействиями. Это допущение верно для грубых систем, оно было естественным для систем первого и второго порядка, которые на первых порах были основными объектами, поддающимися изучению. Впрочем, требование вычислительной реализуемости может не выполняться и для двумерных систем, о чем свидетельствует рис. 47.1, а, когда при выборе точки М сколь угодно точные, но разные вычисления могут привести к разным решениям. Правда, этот простой пример реализуется на одномерном отрезке фазовой траектории, и вероятность случайного выбора точки М равна нулю. Аналогичная картина в пространстве представлена на рис. 47.1, 6.
В случае многомерной динамической системы такое поведение траекторий может иметь место уже для некоторой области фазового пространства, когда сколь угодно малые отклонения от теоретически принятой идеальной модели динамической системы приводят к значительным изменениям решения за конечное время. Это явление можно назвать сверхчувствительностью, и оно наблюдается при экспоненциальной неустойчивости бесконечной фазовой траектории, отвечающей заданному начальному условию. В этом случае имеет место отклонение порядка £еи(е > 0), и с ростом Ь это отклонение значительно при сколь угодно малом £. Этим свойством обладает любая экспоненциально неустойчивая фазовая траектория, в том числе и такие траектории, которые не выходят за пределы некоторой ограниченной области. Подчеркнем, что сверхчувствительность относится как к очень малым неучитываемым возмущениям, так и к погрешностям вычислений. Из сказанного следует, что экспоненциально неустойчивая фазовая траектория не может быть в целом найдена, т.е. в реальности следует признать факт существования невычислимых и физически нереализуемых фазовых траекторий. Означает ли это, что фазовая траектория случайна? Компьютер при неизменности метода расчета все время выдает один и тот же результат, не демонстрируя никакой случайности. Физический эксперимент, напротив, при достаточно длительном эксперименте приводит к различным (случайным) результатам. Различия вызываются флук-туациями параметров физической системы и случайными отклонениями, происходящими в реальной системе. При этом при малых возмущениях отклонения могут быть значительными в силу неустойчивости фазовой траектории. Таким образом, для асимптотически неустойчивых движений можно говорить о случайности вычисляемых и физически реализуемых траекторий, но случайностей, порождаемых динамической системой, нет. Наблюдаемые случайности - следствие неучета малых, но существенных воздействий.
Почему же так разнятся реализации устойчивых и неустойчивых движений? Прежде всего, заметим, что этих различий нет, если на реализуемую фазовую траекторию нет даже очень малых неизвестных воздействий. При выполнении этого условия состояние системы в точности соответствует фазовой траектории математической модели. Различие проявля-
ется с появлением неизвестных воздействий, когда устойчивость уменьшает их влияние, а неустойчивость увеличивает. При этом уход от первоначальной фазовой траектории экспоненциально нарастает при неустойчивости, а в случае устойчивости, напротив, экспоненциально убывает. Экспоненциальный рост приводит к тому, что в значительной мере изменение состояния определяется очень малыми неучитываемыми воздействиями. Таким образом, при неустойчивости случайные возмущения могут вызвать изменение состояния и отвечающую ему эволюцию фазовой траектории.
Неустойчивые фазовые траектории могут образовывать притягивающие множества, и тогда можно наблюдать блуждание фазовой траектории в некоторой ограниченной области. Притягивающее множество блужданий получило название «странного аттрактора» (странного потому, что устойчивое множество состоит из неустойчивых фазовых траекторий, которые могут пересекаться вследствие сколь угодно малых неучитываемых случайных воздействий). В странном аттракторе фазовая точка перемещается по области притяжения под управлением неучитываемых ничтожно малых случайных неуправляемых воздействий. При этом вычисляемая или физически реализуемая фазовая траектория не имеет определенного вида, задаваемого начальными условиями. И хотя блуждающие движения не вычислимы и физически не реализуемы по начальным условиям, в целом они образуют устойчивые притягивающие множества и в этом смысле похожи на установившиеся устойчивые движения (состояния равновесия, периодические движения и др.). Подчеркну, что блуждание прекращается, как только фазовая точка попадает в область притяжения устойчивой фазовой траектории. Если устойчивость асимптотическая, то дальнейшее движение - это движение по асимптотической траектории. Такое возможно, конечно, при достаточно малых возмущениях. В противном случае, когда приход в область притяжения устойчивого движения невозможен, блуждание не прекращается.
Возникает вопрос о вероятностном описании неустойчивых притягивающих движений. Оказывается, что такое описание иногда возможно и в некоторых случаях легко реализуемо. При этом, естественно, предполагается отсутствие внешних возмущений. Основываясь на изучении точечного отображения аттрактора самого в себя, т.е., исходя из задания динамической системы в виде точечного отображения, можно найти плотность вероятности для этих странных аттракторов. В некоторых простейших случаях вычисление плотностей вероятностей достаточно просто (см. гл. 18). Можно предположить, что блуждающие движения в некоторых случаях подчиняются определенным статистическим законам, но полное изучение всех вариантов мне неизвестно.
Итак, с точки зрения реальной теории, не вдаваясь в детали, все движения в аналитической системе можно разделить на переходные и установившиеся, устойчивые и неустойчивые и, как частный случай неустойчивого движения, движения, блуждающие при наличии притягивающего множества. В свою очередь, установившиеся движения делятся на регулярные и блуждающие: асимптотически устойчивые фазовые траектории (регулярные движения) не выходят из конечной области устойчивого состояния равновесия или периодического движения, а асимптотически неустойчивая траектория блуждает в некоторой ограниченной области притягивающего множества (хаотического аттрактора).
После сказанного естественно возникает вопрос, каким образом Пуанкаре, Биркгоф и их последователи проигнорировали возможность различных движений из одного и того же начального состояния при неучете малых воздействий, не заметили существования невычислимых фазовых траекторий. Возможно, это связано с господствовавшим в то время механистическим взглядом на природу, с тем, что эти «странные» явления в изучаемых механических системах не проявили себя. Известно высказывание английского физика лорда Кельвина, который сто лет назад сказал, что «он не может понять ни одного явления до тех пор, пока не представит себе его механическую модель» (Вольтер Б.В. В царстве неустойчивости // Знание - сила. 1993. № 4. С. 113.). Хотя это не значит, что таких движений в механических системах нет. Таких примеров не было, но сейчас они известны, и один из них приведен в этой книге: осциллятор с отрицательным трением и ограничительным
торможением. С проявлением неустойчивых движений на практике столкнулись химики, когда начали взрываться химические реакторы. «Предсказать, разглядеть сокрытую опасность неустойчивости далеко не всегда можно «методом здравого смысла». В устойчивости есть некая соразмерность между внешними воздействиями и реакцией системы. Сильное воздействие - активнее реакция. Неустойчивая система не подчиняется такой соразмерности, она может возбудиться от малейшей едва заметной причины» (там же, с. 115). Но не химики создали и развивали теорию динамических систем, а математики в то время были далеки от химии и химических реакторов.
Хочу подчеркнуть, что мир состоит как бы из двух частей: устойчивой и неустойчивой. Изменения, происходящие в устойчивом мире, соответствуют изменяющим его воздействиям. Эволюция устойчивого мира прогнозируема. Изучая процессы, происходящие в том или ином объекте, мы пытаемся найти закономерности его изменения, не сомневаясь, что такие закономерности существуют. Но это не так, точнее, это не всегда так. Окружающий нас мир гораздо сложнее, чем мы думаем. В некоторых случаях изменения происходят из-за очень малых случайных воздействий. В неустойчивом мире нет соответствия: очень малые воздействия могут приводить к громадным изменениям, эволюция неустойчивого мира не прогнозируема. Существующая теория динамических систем относится в основном к устойчивому миру. Неустойчивый мир ждет своего исследования, которое, безусловно, расширит наше понимание окружающего мира.
И в заключение подведем итог имеющимся представлениям о хаотических движениях динамических систем. Так называемая стохастичность движений динамической системы не соответствует ее природе, она есть результат неполноты ее описания. Эта неполнота считалась несущественной в силу ее малости, возможность сверхчувствительности не замечалась и не учитывалась. Но вместе с тем блуждания, вызванные не учитываемыми воздействиями, действительно могут обладать статистическими закономерностями.
