CC BY
72
УДК 519.673
В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов
МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 6. КВАЗИИНВАРИАНТЫ
Ключевые слова: динамические системы, неустойчивость, критерии хаоса, показатели Ляпунова.
Исследована эффективность критериев хаоса в динамических системах с учетом специфики компьютерных вычислений. Показано, что следует различать истинный, сингулярный и квазихаос.
Keywords: dynamic systems, instability, chaos criteria, Lyapunov exponents.
Efficacy criteria of chaos in dynamic systems with specific computing was investigated. It is shown that it is necessary to distinguish true, singular and quasichaos.
Введение
Исследование закономерностей
хаотической эволюции составляет особое направление в теории динамических систем, которое включает качественную теорию дифференциальных уравнений [1], теорию устойчивости [2], теорию колебаний и бифуркаций [3], теорию вероятностей и теорию информации [4,5], теорию катастроф [6,7], синергетику [8-11]. Современное состояние данного направления отражают работы [12-15], интернет-ресурсы [16-20] и др. Хаос наблюдается в физических, химических, биологических и социальных системах, описываемых нелинейными моделями. Важными задачами здесь остаются причины и критерии рождения необычно сложных (и по-своему красивых) странных аттракторов в очень простых (минимальной размерности и нелинейности) детерминированных моделях.
Основной причиной хаоса является неустойчивость. С этой точи зрения пространство параметров системы можно разделить на три характерные области (не обязательно связанные) -регулярную (устойчивую), переходную
(бифуркационную) и нерегулярную (хаотическую). В регулярной области система ведет себя «правильно», т.е. движется к одному из устойчивых изолированных аттракторов (узлу, фокусу) под влиянием неустойчивых равновесий и границ. В переходной области появляются признаки нарушения устойчивости в виде периодических незатухающих колебаний, т.е. система движется к одному из неизолированных аттракторов (предельных циклов) из-за отсутствия или недоступности изолированных равновесий. И, наконец, в нерегулярной области нарушение устойчивости принимает «устойчивый» характер незатухающих колебаний различной сложности, т. е. система попадает в область притяжения странного аттрактора (хаоса) и может оставаться там неограниченно долго. Неустойчивость не обязательно приводит к появлению хаоса, т. е. является только необходимым условием. Чтобы это условие стало и достаточным требуется отсутствие других аттракторов или их недостижимость.
Основными критериями хаоса являются положительные показатели Ляпунова,
чувствительность решений к начальным условиям
(эффект бабочки), перемешивание, удвоение периода (сценарий Фейгенбаума), энтропия Колмогорова-Синая, сечения Пуанкаре, «подкова» Смейла и др. (см., например, [12-15]). Для повышения достоверности идентификации хаоса эти критерии применяют в комплексе, но у каждого из них имеются свои ограничения. Так, анализ устойчивости справедлив только в линейном приближении. Нелинейный анализ устойчивости может не совпадать с линейным. Например, собственные числа могут быть отрицательны вблизи особой точки, а решения - неустойчивы или наоборот (эффект Перрона) [12]. Чувствительность решений к начальным условиям (н. у.) означает, что при малых возмущениях, близкие в начальный момент времени, неустойчивые траектории в дальнейшем расходятся и перемешиваются из-за ограниченности фазового пространства. Этот процесс и ассоциируется с настоящим хаосом, но проверить его на практике трудно, т. к. не всегда возможно точно задать н.у. [21]. Такие же или иные ограничения есть и для других критериев хаоса. Еще одна сложность связана с наблюдаемостью критериев хаоса. Переход системы к другому состоянию может происходить мгновенно или через множество быстрых бифуркаций (например, удвоения периода). Возникающие эффекты могут быть трудно наблюдаемыми (проявляться слабо или медленно на больших временах и в узком диапазоне параметров) или искаженными (масштабом или инструментарием исследования). Например, увеличение масштаба изображения странного аттрактора может дать как новую объективную информацию о его детальной структуре, так и исказить ее. Этот эффект хорошо виден на «подкове» Смейла.
Что же такое истинный хаос? Существует много определений хаоса, но общепринятого нет. «Мы уже неоднократно отмечали расплывчатость и неоднозначность понятий порядка и хаоса...», -подчеркивал И. Пригожин [9]. Интуитивно хаос ассоциируется с беспорядком и случайностью. Различают два типа случайности - генерируемые физическим процессом (истинная случайность) или формальным алгоритмом (псевдослучайность) [22]. Истинно случайными считаются броуновское движение, турбулентность, колебания магнитного поля Земли, морские волны, погода, лототроны и др. Математические подходы к определению
случайности конечной последовательности, связанные с понятиями (»-распределенных последовательностей, вычислимости и др., предпринятые А.Н. Колмогоровым, А. Черчем и др., тоже но не гарантируют истинной случайности (см., например, [23]). В.А. Успенский выделяет четыре алгоритмических свойства случайности (частотная устойчивость, хаотичность, типичность,
непредсказуемость), каждое из которых может претендовать на роль строгого математического определения «истинной» случайности [24]. Д. Кнут остроумно отметил, что «... случайное поведение нельзя получить с помощью случайного алгоритма» [25]. Одно из более простых определений хаоса, на наш взгляд, следующее: «.хаос означает непредсказуемость . на больших временах при малых изменениях начальных условий» [26].
В наших работах [27-29] начата классификация хаоса по мере истинности. Под истинным хаосом («Г-хаосом») мы понимаем сложное поведение динамической системы, согласующееся с известными критериями хаоса. Истинный хаос наблюдается в неустойчивых гладких (регулярных) системах размерности три и выше, удовлетворяющих теоремам существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Регулярные модели ведут себя «правильно» и известны достаточно давно (аттрактор Лоренца и др.). Численное моделирование таких систем, как правило, не вызывает трудностей.
Второй вид хаоса - сингулярный (нерегулярный) хаос («^-хаос») обусловлен наличием особых (сингулярных) точек, в которых нарушается гладкость решений или производных (скоростей движения и др.). Такие системы не удовлетворяют теоремам существования и единственности, что может приводить к наблюдению сложной динамики в системах размерности меньше трех. Численное моделирование сингулярных систем вблизи особых точек, как правило, характеризуется некорректностью решений. Некоторые методы решения этой проблемы приведены в [30]. Нерегулярные модели более «экзотичны» и обнаружены недавно. Первые непрерывные двумерные модели сингулярного хаоса были описаны, по-видимому, в работах Диксона (см., например, [31-32]).
Третий вид хаоса, который можно назвать квазихаосом («^-хаосом») или ложным хаосом, наблюдается в системах, которые теоретически не должны обладать сложной динамикой, но демонстрируют ее при численном моделировании. Такие системы могут удовлетворять или не удовлетворять теоремам существования и единственности, но способны демонстрировать сложную динамику в системах минимальной размерности. В наших работах [27-28] приведены примеры простых одномерных сингулярных моделей квазихаоса, численное моделирование которых вблизи особых точек трудно выполнить полностью корректно. В данной работе описаны еще
более простые, одномерные, но не сингулярные модели квазихаоса, численное моделирование которых можно выполнить достаточно точно. Кроме того, с помощью различных критериев исследована достоверность идентификации хаоса при численном моделировании простых динамических систем.
Результаты и их обсуждение
Модели динамических систем
представляют в непрерывной (потоки) или дискретной (каскады) форме. Для качественных исследований хаотической динамики используют простые непрерывные модели на основе задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
X '= f(x), X(to)=Xo, (1)
где x=xj(t), i=1,2,...,I - вектор фазовых переменных; I - размерность фазового пространства; t - время; f=fi(x) - вектор законов эволюции; x0 - начальные условия (н.у.). Как правило, модель (1) не представима в вычислительной машине и ее точное (в квадратурах) решение не известно. Поэтому, в численных экспериментах используют различные
приближенные дискретные аналоги модели (1), описываемые конечно-разностными уравнениями (КРУ), полученными на основе разложений в ряд неизвестного решения x(t) в окрестности тех же н.у.
Xn+1 *Xn+Tk ft(к\хп)гк+'1к\ +...ш F(xn, е). (2) где n=0,1,2,...,N - дискретное время; ft - полная производная по t порядка к=0,1,2,..., е>0 - шаг
к+2 г,
дискретизации; ... - погрешность порядка е . В
2 2
одномерном случае ft = fx'f, ft' =fxx"f +(fx') f,.-- и модель (2) с точностью до е запишется
Xn+1 * Xn+ f(Xn)e+fx'(Xn)f(Xn)e2/2+ (2.1)
{fxx"(Xn)f2(Xn)e + f(Xn)ff(Xn)]e3/6...= F(Xm е).
В общем случае между моделями (1) и (2) нет взаимно-однозначного соответствия, поэтому их равновесные и неравновесные свойства различны. Собственные свойства непрерывной модели (1) не зависят от сторонних причин (алгоритмов и вычислительной среды). Свойства различных дискретных приближений (2) зависят от используемых алгоритмов и среды вычислений. Соответственно они отличаются погрешностью и алгоритмической устойчивостью, которая связана с «обычной» устойчивостью (по Ляпунову), но не всегда совпадает с ней. Рассмотрим эти различия подробнее при разных значениях сторонних параметров.
Равновесия. Истинное число физичных равновесий системы (1) определяется только вещественными корнями системы алгебраических уравнений
f(x)=0. (3)
Число наблюдаемых неподвижных точек (н.т.) системы (2) определяется уравнениями
f(x)e+Zkfn(k)ek+1/k\=0, к=1,2,., (4) и существенно зависит от порядка аппроксимации k и шага дискретизации е. При k=0 решения систем (3) и (4) не зависят от е и полностью совпадают. При k>1 их решения могут значительно отличаться в
зависимости от е (появляться ложные и исчезать истинные равновесия). При малых е<1 это различие практически не проявляется. С ростом е оно становится все более заметным. И, наконец, при больших е>1 решения этих систем могут отличаться полностью. В одномерном случае при k=3 уравнения (4) с точностью до е примут вид f(Xn)e+fx' (xn)f(xn)e2/2+{fxx"(xn)/2(xn)+
f(xn)]2f(xn)}e3/6+... * 0. (4.1)
Устойчивость. Истинный критерий устойчивости непрерывной системы (1) имеет вид [33]
ReA<0, (5)
где Re - вещественные части собственных чисел А, характеристического уравнения XD-a1Xk-1 + .+(-1)^0^=0, CTk=Zdetk|5f/5x|; detk -
главные
определители порядка k матрицы Якоби. В одномерном случае критерий (5) примет вид
А = fx' (x) < 0. (5.1)
Критерий наблюдаемой устойчивости дискретной системы (2) имеет вид [33]
1ц\<1, (6)
где ц - собственные числа (мультипликаторы)
k k-1, ,,
характеристического уравнения ц-у1ц +...+(-1)kyk=0, yk =Zdetk |öF/öx|. В одномерном случае (6) при k=3 с точностью до е3 примет вид (производные по x)
ц = F (xn,e) = 11+ f' e+[f "f+(f ')2]е2/2+ [f"' f2+4f f' f "+(fx')3]e3/6 |+...<1. (6.1) Хаотичность. Основным критерием хаоса являются положительные показатели Ляпунова [1215]
L = lim (1//) ln(D(t) /D0) > 0, t^x (7)
которые характеризуют темп разбегания траекторий D(t)=D0exp(Lt) и обеспечивают непериодичность, перемешивание, затухающую автокорреляционную функцию и некоторые другие критерии хаоса. Спектр их знаков (сигнатура) для непрерывных автономных хаотических систем должен включать + и 0, а также удовлетворять условию диссипативности ZL,<0. Из сигнатурного критерия следует, что хаос не возможен в автономных одномерных (их сигнатура равна <->) или двумерных системах (допускают две сигнатуры <-,-> и <0,->). В трехмерных непрерывных автономных системах становится возможной сигнатура <+,0,->, соответствующая хаосу. Количественной мерой хаотичности является сумма положительных показателей Ляпунова L+ (энтропия Колмогорова-Синая, ^-энтропия) [31]
H = ZL,+ . (8)
Для регулярного движения она минимальна H=0. Для детерминированного хаоса - положительна и постоянна H=Const>0. Для случайных систем -максимальна H^x. Соотношение (8) дает оценку и среднего времени предсказуемости системы с хаосом (время релаксации предхаотичное) [31]
x~(1/H)ln(1/A), (9)
где A - длина малого интервала (вариация н.у.). Например, для A=1/e получим x~1/H.
Для дискретных систем, в общем случае, показатели Ляпунова рассчитываются численно, например как среднее на всем интервале времени [13]
I. = (1/М)2п !п|Р '(хп)1, л=0,...,М. (10) Дискретная сигнатура отличается от непрерывной в сторону большей свободы - условие диссипативности может не выполняться, а нулевой показатель - отсутствовать. Это означает, что хаос возможен в дискретных одномерных системах с сигнатурой <+>. Для малоразмерных моделей найдены и другие критерии хаоса. Так, для одномерных отображений с непрерывной функцией таким критерием является цикл периода три, для двумерных отображений - аттрактор в виде «подковы» Смейла [13]. Для одномерных систем из (2), (6), (8) и (10) следует, что А"-энтропия совпадает с показателем Ляпунова и выражается через мультипликатор и точность
Н = 1= (1/М)2п !п|Р ' (хп,е)| = (1/М)2п !п |ц(хп,е) |, л=0,.,М. (10.1) Квазихаос. Области определений моделей (1) и (2) тоже различны. В сингулярных областях, где функции f или Р не существуют, эти модели становятся одинаково некорректными и непредсказуемыми, но при разных значениях параметров. При тех критических значениях параметров, когда модель (2) теряет устойчивость, в вычислительных экспериментах может наблюдаться сложная динамика, которая не соответствует истинным, собственным свойствами точной модели (1), а обусловлена сторонними причинами (погрешностями среды вычислений). Проверить корректность численного решения можно, как правило, только для частных случаев.
Простейшими моделями хаоса являются иррациональные числа л, е, и др. Они не имеют явного представления вида (1) и представляют собой бесконечные непериодические дроби, которые не могут быть представлены в цифровых компьютерах. На практике, для имитации случайности, применяют генераторы
псевдослучайных чисел (ГПЧ). Они являются разновидностями отображений вида (2), которые удовлетворяют статистическим тестам (%2, частотный, спектральный, энтропийный и др. [30]), но являются периодическими (с циклами разной длины Т) и не могут считаться истинно хаотическими. Рассмотрим истинное и наблюдаемое поведение различных простых моделей хаоса в среде вычислений ЫАТЬЛБ [34]. Частотная динамика (среднее значение) позволяет оценить наблюдаемое время релаксации т*.
Пример 1. Линейный конгруэнтный ГПЧ используется для моделирования случайности в большинстве вычислительных систем и описывается периодическим отображением [30]
хп+1=(эхп+Ь) mod т, (11)
0<в<т, 0<Ь<т, 0<х0<т , которое можно представить точно в цифровых компьютерах только для рациональных х0 в ограниченном диапазоне. Его наблюдаемая
«псевдохаотичность» растет с ростом m, рис. 1. Однако, теоретически соотношения (11) непрерывны и дифференциируемы почти всюду и для них показатель Ляпунова (10) L(m) = Ina (mod m) меняет знак в зависимости от соотношений между а и m. Аналогично ведет себя и энтропия Колмогорова (8) H(m).
о rn я х с $ а
он сюттт но ною
3) Бифуркацион.
1) x(n): m=13; 2) x(n): т*=Ю0; диаграмма L(m) T=6, т*=5 m=12345; T-^x>, Bifurcation
diagram L(m)
Рис. 1 - Модель (11), зависимости x(n) и L(m) при a=1011, b=0, x0=1/3 и разных m
Бифуркационная диаграмма подтверждает наличие хаоса, который прерывается узкими окнами устойчивости (проверено численно). Анализ показал, что эти закономерности сохраняются при изменении н.у. и на больших временах. Таким образом, различные критерии не согласуются друг с другом и однозначно отличить более хаотичные режимы не удается.
Пример 2 («Пила»). Это известное отображение считается классическим примером хаоса, но является частным случаем периодического отображения (11) при b=0, m=1:
xn+1 = (Kxn) mod 1 = {Kxn}, (12)
где К - параметр; {...} - дробная часть (обозначение функции mod1); х0 - рациональное. Наблюдаемые закономерности этого отображения аналогичны модели (11). При К<1 модуль можно отбросить и отображение становится линейным сжимающим xn=Knx0^0 при п^ж, а показатель Ляпунова L=InK<0 показывает отсутствие хаоса. При К=1, xn=x0 оно нейтрально, система всегда остается в равновесии и показатель Ляпунова L=0. При К>1 отображение становится нелинейным
периодическим, показатель Ляпунова зависит от K немонотонно (пилообразно), но остается отрицательным L(K)={InK}<0, т.е. показывает отсутствие хаоса. С другой стороны, в данном отображении существуют циклы различного периода. Например, для К=2 (сдвиг Бернулли) существует цикл периода 7=3: 1/7 —>2/7 —>4/7 —> 1/7, что свидетельствует о возможности циклов любых периодов и хаоса (см., например, [13], [31]). Так, при х0=113 и K=1.05 период цикла Т=77, а при K=1.03, T=125 и т.д. Отметим, что основной отличительной чертой (12) по сравнению с (11) является нормирование к единице, что приводит к росту погрешностей округления из-за появления операций с нецелыми числами. По этой причине при численных расчетах под влиянием среды вычислений наблюдаемая картина совершенно меняется и становится внешне все более хаотичной (квазихаос).
Пример 3 («Алгоритм Р. Кавью»). Квадратичные отображения вида
xn+1=(axn2+bxn+c) mod m, (13)
кажутся более хаотичными, чем линейные. Однако, они тоже являются периодическими и не могут считаться хаосом. Рассмотрим, например, алгоритм Р. Кавью [30]
Xn+i=Xn(1+Xn) mod m, (14)
где x0mod4=2, m - степень двойки. Для него выполняются основные статистические тесты случайности, рис. 2. Как видно, для (14) показатель Ляпунова L(m)= (1/N) Znln 12xn+11>0 (по модулю m), что говорит о наличии хаоса. Бифуркационная диаграмма подтверждает хаос и показывает только небольшие окна снижения неустойчивости. И здесь разные критерии не согласуются между собой и не позволяют однозначно идентифицировать хаотичность.
0 10 20 30 40 50 6 0 70 8 0 90 1CD
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1) x(n): m=32, т*=5-10, 2) x(n): m=512, т*=100 (период Т=7) (сложный период)
(period Т=7) (complicated period)
0 20 40 60 80 1 00 120 14 160 180 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
3) x(n): m=210, т*=100 4) Бифуркационная (квазихаос) диаграмма L(m)
Bifurcation diagram L(m)
Рис. 2 - Модель (14), зависимости x(n) и L(m) при разных m и Хо=6
Пример 4 («Логистик»). Самым известным квадратичным хаотическим отображением считается логистическое отображение Фейгенбаума, описывающее численность популяции [13]
Xn+i = 1-lXn2, (15)
где X - параметр. Наблюдаемые закономерности этого отображения аналогичны (14). Критерий хаоса по Ляпунову L(X)=(1/N)T,nln \2Xxn\>0 выполняется при 1.4<X<2. Область хаоса имеет сложную структуру с разрывами, в которых неустойчивость и хаос чередуется с устойчивостью и периодичностью. При этом существуют две неустойчивые н.т. x12=(-1±^(1+4X))/((2.X) с показателями L=ln\2Xx\>0. В регулярной области, где показатель подходит к нулю, возникают бифуркации удвоения периода. При X=1 рождается цикл периода два Т=2: 0—>1—>2. При X*1.3 рождается цикл периода четыре Т=4: 0.99^-0.3^0.88^-0.02^0.99 и т.д. При X>1.4 период цикла достигает максимума и размывается -возникает хаос. При X=2 хаос вновь исчезает, и
период становится равным единице. При Х>2 отображение теряет устойчивость (срыв на бесконечность).
Пример 5. Рассмотрим простейшее линейное ОДУ без сингулярности
х' = С-х, где C=1/2 - параметр. (16) Его точное монотонно-затухающее решение имеет вид х(/)=С+ехр(-/)(х0-С). Истинное равновесие х=С единственно и устойчиво, т.к. собственное число Х=-1 везде. Дискретный аналог с точностью
3
е запишется
хп+-,=хп+е(С-хп)(1-е/2+е2/6) = Р, п=0,1,...,N. (17) Н.т. дискретной модели всегда совпадает с истинным равновесием и ложных равновесий нет. Неустойчивость развивается при е>1.6^1.7 и затем при е>2.5 возникает растущее колебание с немного растущим периодом, рис. 3. Как видно из этого рисунка, показатели Ляпунова
Це)=!п(| 1-е(1-е/2+е2/6) |)>0 при е>2.5 (для кубичной точности), т.е. растущее колебание идентифицируется как хаос. Интересно, что для квадратичной точности колебания исчезают при любых е.
0 1 2 34567 89 10
1) х(п): 6=0.1, монотонность monotonicity
to \,ht -
Ц /v к ^ w \
0 5 1 0 15 20 2 5 3 0 35 40 45 50
3) х(п): 6=2.6, растущие колебания growing oscillations
0 5 10 15 20 25 30
2) х(п): 6=1.9, затухающие колебания damped oscillations
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
4) Бифуркационная диаграмма Цб) Bifurcation diagram L(6)
Рис. 3 - Модели (16)-(17), зависимости х(п) и Це) при разных е и х0=1
Пример 6. Рассмотрим более сложное ОДУ с квадратичной правой частью без сингулярности
х' =х(х-1) = I х(0)=х0. (18)
Оно имеет точное монотонно-затухающее решение х(/)=1/(1-ехр(1)(Хо-1)/Хо) и два истинных равновесия х=0 и х=1. Критерий истинной устойчивости (5.1) для этой модели f' = 2х-1<0 выполняется только в нулевом равновесии, второе -неустойчиво. Дискретный аналог (2.1) с точностью
3
е запишется
хп+1 = хп+ехп(хп-1)[1+(2хп-1)е/2+2х(х-1)е3/6 +
+ (2х-1)2е2/6]+... = Р, х(0)=х0. (19) Уравнение (4.1) для н.т. дискретной модели ехп(хп-1)[1+(2хп-1)е/2]+...=0 показывает, что при е<2 существуют только две вещественных н.т.,
совпадающих с истинными равновесиями, а при е>2 появляется еще одна ложная положительная н.т. хЛОжн=1/2(1-2/е). Критерий наблюдаемой устойчивости (6.1) |ц(х,е) | = 11+(2х-1)е+ [2х(х-1)+(2х-1)2]е2/2+[8х(х-1)(2х-1)+(2х-1)3] е3/6 | <1. На бифуркационной диаграмме показателей Ляпунова Це)=(1/^2п!п |ц(хп,е) | видно, что алгоритмическая неустойчивость начинает развиваться при е>1.6^1.7, затем при е«2.2 и е«2.3 наблюдаются бифуркации похожие на удвоение периода, а при 2.5<е<2.75 (с точностью е ) рождается квазихаос, рис. 4. Этот наблюдаемый эффект квазихаоса обусловлен не собственными свойствами ОДУ и даже не сингулярностью (здесь ее нет), а только сторонними параметрами дискретного аналога, связанными со средой вычислений. Численный анализ показал, что ложный квазихаос сохраняется и на больших временах, что свидетельствует о его устойчивости как явления в целом.
0 5 10 15 2 0 25 3 0 35 40
1) 6=2.5, автоколебания oscillations
0 10 20 30 40 5 0 6 0 70 80 90 1 00
2) 6=2.55, сложные автоколебания complicated oscillations
0 10 20 30 40 50 ЕС 70 8 0 90 100
3) 6=2.73,
квазихаос quasi-chaos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
4) Бифуркационная диаграмма L(6) Bifurcation diagram L(6)
Рис. 4 - Модели (18)-(19), зависимости: х(^ -монотонная (точное решение), х(п) — колеблющаяся (численное решение), Це) — показатели Ляпунова
При дальнейшем росте е>2.8 модель теряет устойчивость (срыв на бесконечность) и полностью перестает соответствовать непрерывному оригиналу.
Пример 7. Рассмотрим ОДУ с кубической правой частью без сингулярности
х'=x(x-1) = f, x(0)=1/2,
(20) решение
имеет точное монотонно-затухающее х(0=1/(1+3ехр(2/))1/2 и три истинных равновесия х=0 и х=+1. Критерий истинной устойчивости (5.1) для этой модели f=3x -1<0 выполняется только в нулевом равновесии, остальные два - неустойчивы. Дискретный аналог (2.1) с точностью е запишется хп+1 = хп+ехп(хп2-1)[1+(3хп2-1)е/2]+... = Р,
х(0)=1/2. (21)
Уравнение (4.1) для н.т. дискретной модели ехп(хп2-1)[1+(3хп2-1)е/2]+...=0 показывает, что при е<2 существуют только три вещественных н.т.,
совпадающих с истинными равновесиями, а при е>2
появляются еще две ложные вещественные н. т.
112
хл0жн=±[(113(1-21е)] . Критерий наблюдаемой устойчивости (6.1) (ц^е) | = 11 1)+{3Х2-1)2]е212+ [6^{Х2-1)2+24Х2{х2-1){Ъу2-1)2+
2 3 3 1
(3х -1) ]е 16 | <1
выполняется всегда для обеих единичных н.т., при е<2.5 (для нулевой н.т.) и при 2<е<2.1 (для обеих ложных н.т.). Анализ бифуркационной диаграммы показателей Ляпунова Це)= (1Щ2,п!п 1ц(хп,е) | показал, что алгоритмическая неустойчивость начинает развиваться при е>1.6+1.1 и затем при 2.2<е<3.4 (с точностью е ) возникает квазихаотический режим, аналогичный модели (18). Анализ показал, что при е>2.5 возникают все более сложные периодические колебания (автоколебания), переходящие при е«3.3 в апериодические, нерегулярные. Вновь наблюдается эффект ложного квазихаоса, обусловленный средой вычислений.
Таким образом, приведенные примеры показывают, что простые модели динамических систем при численном решении могут демонстрировать сложное поведение даже в тех случаях, когда эти модели не должны обладать такими свойствами. Такое поведение можно назвать квазихаосом или ложным хаосом, потому что он обусловлен не собственными свойствами исследуемой модели, а сторонними причинами (алгоритмами и средой вычислений). Это принципиально отличает его от истинного и сингулярного хаоса. В тоже время он является истинным хаосом с точки зрения той модели, которая используется для численной имитации динамического процесса. Отметим, что квазихаос (ложный хаос) не является новым с точки зрения алгоритмической устойчивости, однако ранее в литературе он не связывался с моделированием хаотической динамики, а рассматривался только как нарушение сходимости и корректности алгоритмов численных вычислений.
Литература
1. А. Пуанкаре, Избранные труды в 3-х томах. Математика. Теоретическая физика, т. 3. М., Наука, 1974.
2. А.М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Москва, Гостехиздат,1950, 472 с.
3. А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин, Теория колебаний, Наука, М., 1991, 960 с.
4. А. Н. Колмогоров, Теория вероятностей и математическая статистика, М., Наука, 1986, 534 с.
5. А.Н. Колмогоров, Теория информации и теория алгоритмов, М., Наука, 1987, 304 с.
6. Т. Постон, И. Стюарт Теория катастроф и ее приложения, М., Мир, 1980, 328 с.
7. В.И. Арнольд, Теория катастроф, М., Наука, 1990, 128 с.
8. И. Пригожин, Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. Ижевск, 2000, 308 с.
9. И. Пригожин, И. Стенгерс, Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. М., Прогресс, 1986, 432 с.
10. Г. Хакен, Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии. Москва-Ижевск, 2003, 320 с.
11. С.П. Капица, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, Синергетика и прогнозы будущего, М., УРСС, 2003, 288 с.
12. Г.А. Леонов Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2006, 216 с.
13. С.П. Кузнецов, Динамический хаос. М., Физматлит, 2006, 356 с.
14. А.П. Кузнецов, А.В. Савин, Ю.В. Седова и др. Бифуркации отображений, Саратов, ИЦ Наука, 2012, 196 с.
15. Н.А. Магницкий, С.В. Сидоров Новые методы хаотической динамики, М., УРСС, 2004, 320 с.
16. demonstrations.wolfram.com/ - интеллектуальная демонстрационная система.
17. sprott.physics.wisc.edu - сайт Дж. Спротта.
18. www.scholarpedia.org/ article/Encyclopedia_of_dynamical_systems, sgtnd.narod.ru/science/atlas/rus
19. http://sgtnd.narod.ru/chair/rus - карты Ляпунова.
20. www.math.uu.nl/ people/ kuznet. - страница Кузнецова Ю.А.
21. В.С. Анищенко, Знакомство с нелинейной динамикой, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002, 144 с.
22. Математическая энциклопедия, т. 5, «Советская энциклопедия», М., 1984, 1248 с.
23. А.Н. Колмогоров, Проблемы передачи информации, 1, 3-11 (1965).
24. В.А. Успенский, Четыре алгоритмических лица случайности. М., МЦНМО, 2006, 48 с.
25. Д. Кнут, Искусство программирования. Получисленные алгоритмы. М., Мир, 1977, т. 2, 724 с.
26. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М., Мир, 1988, 240 с.
27. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 13, 24-28 (2014).
28. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 14, 68-74 (2014).
29. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 16, 9-14 (2014).
30. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, О численных методах решения сингулярных моделей эволюции, Вестник Казан. технол. ун-та, 2014 (в печати).
31. D.D. Dixon, F.W. Cummings, P.E. Kaus, Phys. Nonlinear Phenom., 65, 109-116 (1993).
32. F.W. Cummings, D.D. Dixon, P.E. Kaus, Astrophys. J., 386, 215-221 (1992).
33. Г.Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, М., 1974, 832 c.
34. В. Дьяконов, В. Круглов, Математические пакеты расширения MATLAB. СПб, Питер. 2001. 592 с.
© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, [email protected]; Н. И. Кольцов - д-р хим. наук, проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, [email protected].
© V. Kh. Fedotov - Ph.D., associate professor of information systems department, Chuvash State University, [email protected]; N. I. Koltsov - doctor of chemistry, professor, managing chair of physical chemistry and macromolecular compounds department, Chuvash State University, [email protected].
