CC BY
30
Оригинальная статья / Original article УДК 004.94: 621.01
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-3-93-111
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОБРАБОТКИ СКАНИРОВАНИЯ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ И АНАЛИЗЕ ИХ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ
© А.А. Пыхалов1, Зыонг Ван Лам2, О.П. Белозерцева3
1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 1,2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 3Иркутский государственный медицинский университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Красного Восстания, 1.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. В современной практике инженерных расчетов прочности материалов деталей их механические характеристики берутся осредненными, полученными на образцах в условиях стандартных испытаний. В реальности же необходимо максимально избежать этого осреднения с целью приведения к минимуму погрешностей при построении математических моделей твердых деформируемых тел на основе метода конечных элементов. МЕТОДЫ. В связи с этим в настоящей работе предлагается подход, основанный на сканировании твердых деформируемых тел компьютерным томографом. Однако на пути реализации этого подхода существует серьезная проблема, которая заключается в том, что в результате сканирования деформируемого твердого тела (ДТТ), для его достаточно точной идентификации относительно реального объекта по геометрии и механическим характеристикам материала, необходимо использовать чрезвычайно большой объем данных (информации). РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Для решения этой задачи реализованы математическое моделирование и алгоритм обработки растровых изображений сечений ДТТ для построения изменений механических характеристик его материала и геометрии. Ключевым алгоритмом представленного математического моделирования является использование пиксельной характеристики снимков компьютерного томографа. Необходимой составляющей алгоритма является использование данных натурных испытаний образцов. Учитывая, что компьютерная томография широко используется в медицине, в качестве объектов исследования были взяты фрагменты бедренной кости и челюсти человека. Выбор этих объектов обусловлен индивидуальностью их геометрии и явно выраженной неоднородностью материала. ВЫВОДЫ. Получена конечно-элементная модель ДТТ с реальным распределением механических характеристик материала и индивидуальной геометрией, на которой проведен анализ напряжено -деформируемого состояния.
Ключевые слова: математическое моделирование, сканирование, деформируемое твердое тело, растровое изображение, метод конечных элементов, неоднородность механических характеристик материала.
Информация о статье. Дата поступления 19 января 2018 г.; дата принятия к печати 19 февраля 2018 г.; дата онлайн-размещения 31 марта 2018 г.
Формат цитирования. Пыхалов А.А., Зыонг Ван Лам, Белозерцева О.П. Математическое моделирование для компьютерной обработки сканирования твердых деформируемых тел при построении и анализе их конечно -элементных моделей // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 3. С. 93-111. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-3-93-111
1
Пыхалов Анатолий Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов ИРНИТУ, директор учебного центра «Компьютерные технологии инженерного анализа» ИрГУПС, e-mail: [email protected]
Anatoly A. Pykhalov, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Theoretical Mechanics and Strengths
of Materials INRTU, Director of the Training Center "Computer Technologies of Engineering Analysis" of Irkutsk State
Transport University, e-mail: [email protected]
2Зыонг Ван Лам, аспирант, e-mail: [email protected],
Duong Van Lam, Postgraduate student, e-mail: [email protected]
3Белозерцева Ольга Петровна, кандидат медицинских наук, ассистент кафедры стоматологии, e-mail: [email protected]
Olga P. Belozertseva, Candidate of Medicine, Assistant Professor of the Dentistry Department, e-mail: [email protected]
MATHEMATICAL MODELING FOR COMPUTER PROCESSING OF SCANS OF DEFORMABLE SOLIDS UNDER CONSTRUCTION AND ANALYSIS OF THEIR FINITE ELEMENT MODELS
A.A. Pykhalov, Duong Van Lam, O.P. Belozertseva
Irkutsk State Transport University, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation 2 Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation Irkutsk State Medical University, 1, Krasnogo Vosstaniya St., Irkutsk, 664074, Russian Federation
ABSTRACT. PURPOSE. The modern practice of engineering calculations of part material strength uses averaged mechanical characteristics obtained through the standard tests of samples. In real conditions, it is strongly advised to avoid this averaging in order to minimize the errors when constructing the mathematical models of deformable solids using a finite element method. METHODS. In this paper, we propose a new approach based on the scanning of deformable solids using computed tomography. However, a series problem hinders the implementation of this approach: accurate identification of the scanned deformable solid relative to a real object by geometry and mechanical properties of material require an extremely large amount of data (information). RESULTS AND THEIR DISCUSSION. This problem is solved through the use of mathematical modeling and an algorithm for processing bitmap images of deformable solid sections enabling to construct the variations of mechanical characteristics of its material and geometry. The key algorithm of the presented mathematical modeling is the use of pixel characteristics of computed tomography images. Also, the necessary component of the algorithm is the use of data obtained via full-scale testing of samples. Assuming the wide use of computed tomography for medical purposes the fragments of human femur and jaw have been chosen as the objects of the study. This choice is determined by the specificity of their geometry and explicit heterogeneity of the bone material. CONCLUSION. A finite element model of a deformable solid with a real distribution of mechanical characteristics of material and individual geometry has been developed. The stress-strain state has been analyzed on the basis of the model. Keywords: mathematical modeling, scanning, deformable solid, bitmap image, finite element method, inhomogeneity of material mechanical characteristics
Information about the article. Received January 19, 2018; accepted for publication February 19, 2018; available online March 31, 2018.
For citation. Pykhalov A.A., Duong Van Lam, Belozertseva O.P. Mathematical modeling for computer processing of scans of deformable solids under construction and analysis of their finite element models. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 3, pp. 93-111. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-3-93-111
Введение
Развитие современной расчетно-инженерной базы при проектировании изделий и объектов наиболее эффективно реализуется с применением математического моделирования и алгоритмизации на основе метода конечных элементов (МКЭ), например, при решении задач анализа их напряженно-деформированного состояния (НДС) [1] и других. Однако при использовании этого метода остаются вопросы, касающиеся точности задания механических характеристик материала и параметров геометрии изделия. Проблема заключается в том, что в существующей практике инженерных расчетов механические характеристики материала деталей задаются осредненными, полученными на образцах в условиях стандартных испытаний, тогда как даже в одной детали изделия эти характеристики могут существенно различаться. Данные обстоятельства оказывают влияние на точность расчетов (величину погрешности), в особенности для деформируемых твердых тел (ДТТ) с высокой степенью неоднородности материала. Также геометрия детали в ее конечно-элементной (КЭ) модели строится практически повсеместно относительно чертежей или электронных макетов, что также отличает ее от реального изделия.
Для решения представленных проблем предлагается использовать сканирование ДТТ [2]. Однако на пути реализации названного подхода существует еще одна серьезная проблема, которая заключается в том, что в результате сканирования ДТТ, для достаточно точной
его идентификации относительно реального объекта по геометрии и механическим характеристикам материала, требуется использовать чрезвычайно большой объем данных (информации). Этот объем определяется формированием следующих наборов данных: матрицы индексов цвета от растровых изображений сканирования сечений ДТТ и их выборки, данные по КЭ модели объекта, а также данные, получаемые от совместной обработки матрицы индексов цвета и КЭ модели. То есть, обработка этих данных возможна только на основе специального математического моделирования и его компьютерной реализации (алгоритмизации), с разработкой и применением комплекса методик и математических методов, представленных в настоящей работе.
Материалы и методы исследования
Отметим, что на сегодняшний день сканирование компьютерным томографом (КТ) как инновационная технология достигло высокого уровня развития и получило широкое применение в технике и медицине. В качестве объекта исследования была использована костная ткань человека (взят фрагмент бедренной кости и зуб). Выбор данного материала обусловлен тем, что он имеет индивидуальную геометрию и высокую степень неоднородности. Кроме того, практика исследования механических свойств костной ткани насчитывает большое количество натурных испытаний (экспериментальных опытов) [3-7], результаты которых необходимы для разработки, представленной в настоящей статье. Технология получения картины распределения механических характеристик в костной ткани с применением КТ представлена в работах [2, 8, 9], оценка точности и сходимости результатов применения этой технологии в математическом моделировании ДТТ с применением численного решения МКЭ - в работах [9, 10].
Для решения задачи теории упругости используется метод, разработанный на основе МКЭ и заключающийся в минимизации интегральной величины, связанной с работой напряжений и внешней приложенной нагрузки [11]. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию деформируемого тела. Тогда общепринятая формулировка МКЭ предполагает использование метода перемещений теории упругости, связанного с отысканием узловых значений вектора перемещений. После определения вектора перемещений вычисляются компоненты тензоров деформаций и напряжений. Полная потенциальная энергия упругой системы имеет следующий вид:
П = Л + Wp , (1)
где Л - энергия деформаций; Жр - потенциальная энергия приложенных сил.
Работа воздействующих внешних нагрузок W равна по величине и противоположна по знаку их потенциальной энергии - Жр:
Жр = -Ж. (2)
Таким образом, получаем
П = Л- Ж. (3)
Функционал потенциальной энергии, представленный в соотношении (3), для дискретной области определения деформируемой системы запишется в виде
П = 2 (A(e) - W(e)) = 2 П(e), (4)
e=1 e=l
где Е - число конечных элементов, на которое разбита область определения; Пе) - доля потенциальной энергии отдельного конечного элемента; Л(е) - внутренняя энергия деформации отдельного элемента; W(е) - работа внешних сил на отдельном конечном элементе. Внутренняя энергия упругой деформации (сопротивления) определяется как
Л(е) = 1 | {¿}(^[В]т[П\[В]{8}{е)(5)
2 V(е)
где {3}(е) - вектор узловых перемещений конечного элемента [12]; [В] - матрица дифференцирования вектора {£}( е); [й] - матрица упругости моделируемого материала.
Работа, совершаемая внешними силами, записанными через эквивалентные узловые значения, определяется выражением вида
Ж(е) = {д}(е)т ^ }(е), (6)
где {Е}(е)- вектор внешней сосредоточенной и эквивалентной узловой нагрузки отдельного конечного элемента [12].
Подстановкой выражений (5) и (6) в равенство для полной потенциальной энергии механической деформируемой системы (4) получим
E Л >
П = 2 1 J [ôf)T[B]T[D][B][ô](e)dV-[ôf)T[F](e) .
e=1 ^ 2 y(e) !
(7)
Реализуя принцип стационарности величины потенциальной энергии П деформируемой системы по перемещению {б}, имеем:
дП
m
E
2 J [B]T[D][B]dV{S}(e)-{F](e)
e=1 ^ y (e )
Л
= 0. (8)
Представленный принцип использован в работе при решении задач на основе метода конечных элементов в анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемых объектов.
Структура математического моделирования общей технологии, предлагаемой к применению, включает полный комплекс этапов - от сканирования ДТТ до получения его КЭ модели и проведения анализа НДС КЭ модели (рис. 1).
Реализация алгоритма выполняется последовательно в соответствии с представленными блоками (см. рис. 1).
Блок 1. Процесс исходной интерпретации изучаемого твердого деформируемого тела с неоднородными механическими характеристиками. Здесь проводится предварительная оценка неоднородности структуры и геометрии изучаемого ДТТ по параметрам:
- степень неоднородности структуры и механических характеристик;
- регулярность геометрии (сложность поверхностей);
- наличие контактирующих объектов;
- обзор (наличие/отсутствие) данных натурных испытаний о механических характеристиках материала объекта исследования;
- условия эксплуатации объекта исследования.
Рис. 1. Структура математического моделирования технологии сканирования ДТТ с неоднородными механическими свойствами материала и геометрией для построения их КЭ модели и проведения анализа НДС Fig. 1. Mathematical modeling structure of the scanning technology of a deformable solid body with heterogeneous mechanical properties of material and geometry for constructing their finite element (FE)
model and stress-strain state analysis
Блок 2. Формирование настроек КТ и процесс сканирования ДТТ в зависимости от интерпретации предварительного исследования изучаемого объекта: - тип КТ (медицинский, промышленный, специальный и др.);
- настройки КТ, из которых только несколько являются необходимыми для построения КЭ модели4 [13]: основное и дополнительные направления сканирования, размер изображений, шаг сканирования, тип формата полученных изображений (DICOM [14], JPEG, и др.);
- проведение КТ-сканирования4,5 [13].
Блок 3. Формирование пакета растровых (цифровых) изображений, которое представляет собой документирование результатов КТ-сканирования ДТТ с целью его последующей компьютерной визуализации. Результат записывается в виде файла, в котором представлена последовательность растровых изображений сечений ДТТ, полученных на каждом шаге сканирования.
Блок 4. Построение матрицы индексов цвета. В данном блоке осуществляется представление растровых изображений сечений (набора пикселей) в памяти ЭВМ в виде двумерной матрицы [8]. Каждый элемент этой матрицы имеет свое значение индекса цвета. Матрица индексов цвета имеет следующий вид:
I (m, n) =
Лл ■■ A.I Im,\
k, A ■■ I
m,j
^ : .n ^ m.n
/е[1,ш]; je[l,n]
(9)
Блок 5. Построение геометрии сечения и каркасной модели ДТТ осуществляется с применением специально разработанной программы обработки растровых изображений сканирования КТ [15] в сечениях ДТТ [16-18]. Блок-схема работы блока 5 представлена на рис. 2 [8; 9].
Работа алгоритма этого блока включает следующие этапы:
1. На входе используется пакет растровых (цифровых) изображений в сечениях ДТТ, представленных в виде двумерной матрицы (блок 4 рис. 1).
2. Построение предварительной геометрии сечения и определение ее временного центра тяжести. Этот процесс выполняется с помощью математических функций «0-1» или «0-12» в зависимости от сложности структуры материала.
Математическая функция «0-1» осуществляет временное (предварительное) присвоение пикселям матрицы индексов цвета следующих значений: для определения области объекта - значений, равных 1, для остальных пикселей - значений, равных 0:
foi (nBn , nHn,Igrey )
0 Igrey > nBn иЛи 1 grey < ПНП ^ nBn ^ Igrey < nHn
(10)
где пвп и пнп
- верхний и нижний фиксированные пределы определения области объекта исследования, пвп,пнп е[0,255].
Преимущество использования математической функции «0-1» состоит в быстроте
4Марусина М.Я., Казначеева А.О. Современные виды томографии: учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2006.132 с. / Marusina M.Ya., Kaznacheeva A.O. Modern tomography types: Learning aids. St. Petersburg: SPbGU ITMO Publ., 2006, 132 p.
5Лучевая диагностика: учебник / под ред. Г.Е. Труфанова. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2015. 496 с. / Radiodiagnosis: Textbook / under edition of G.E. Trufanov. Moscow: GEOTAR-Media Publ., 2015, 496 p.
предварительного определения контура сечения объекта. При необходимости для областей с повышенным уровнем сложности геометрии используется математическая функция «0-1-2»:
1о\2(ПНП , ПС , ПВП , 1 grey )
0 hrey < ПНП
1 ПНП ^ hrey < ПС
2 ПС < hrey ^ ПВП
(11)
где пвп и пнп - верхний и нижний фиксированные пределы определения области объекта с - предел определения силовой части объекта исследования,
исследования;
пвп,nc,пнп е [0,255].
Рис. 2. Блок-схема алгоритма построения геометрии сечения ДТТ Fig. 2. Block-diagram of the algorithm for deformable solid section geometry construction
На рис. 3 представлен результат обработки растрового изображения сканирования с использованием математической функции «0-1» и «0-1-2».
3, 4. Получение контура предварительной геометрии сечения с временным центром тяжести. Условный блок 4 (см. рис. 2) определяет необходимость уточнения геометрии.
5. Процесс уточнения геометрии проводится на основе исследования изменения гра-
диента индекса цвета (рис. 4) [19, 20], из которого можно определить точное месторасположение точки геометрии контура сечения. Математическая модель решения и алгоритм его компьютерной реализации представлены в работе [8].
а b c
Рис. 3. Результат обработки растрового изображения сканирования реального тела: a - растровое изображение; b - использование функции «0-1»; c - использование функции «0-1-2» с представлением силовой части Fig. 3. The result of bitmap image processing of real body scanning: a - bitmap image; b - use of the function «0-1»; c - use of the function «0-1-2» with the representation of the strength part
/1 I Края объекта/ J \ i Edees of the object
——— : ! /
Функция пикселей / Pixel function
Рис. 4. Исследование изменения градиента индексов цвета для построения геометрии сечения Fig. 4. Study of color indice gradient variations for constructing the section geometry
6. Для полученных уточненных контуров геометрии сечений уточняют и их центры тяжести. При необходимости они могут быть помещены на одну выбранную прямолинейную (не прямолинейную) ось. То есть, для некоторых типов задач требуется корректировка центра тяжести. При выборе варианта «да» в пункте «корректировка цента тяжести» - перейти к корректировке. При варианте «нет» этот этап пропускается.
7. Корректировка центра тяжести всех сечений относительно уточненной геометрии сечения.
8. Результаты обработки всех сечений объединяются для создания каркасной модели. Расстояние между сечениями равно шагу сканирования КТ (рис. 5).
Блок 6. Построение сетки КЭ модели ДТТ.
В зависимости от регулярности геометрии ДТТ используются два метода генерации сетки КЭ модели [9]:
1) если геометрия регулярна, то переход от каркасной модели геометрии к генерации КЭ сетки осуществляется с использованием КЭ типа гексаэдр (HEX) (рис. 6);
▲
/ / / /l Максимальное 1¡ изменение 1 i граднента/ 1 ¡ Maximum gradient / i уточнение геометрии / I Geometry 1 / refinement
\ / Края объекта / V Edges of the object
change / ¡ 1 i
У I^N.
—-«=-w
График производной / Graph of the derivative
2) в случае нерегулярной геометрии переход от каркасной модели осуществляется с построением объемной твердотельной геометрической модели. Чаще всего используется КЭ типа тетраэдр (TET) (рис. 7), а если геометрия позволяет, то предпочтение отдается КЭ типа HEX. Генерация сетки КЭ модели проводится в программном комплексе MSC Patran.
Блок 7. Для определения механических характеристик материала узлов и элементов КЭ модели используются основные подходы, предложенные в работах [2, 8], с помощью специальной программы [15]. Последовательно выполняются следующие действия:
- вычисляется весовой коэффициент для определения модуля упругости отдельных пикселей;
- совмещаются узлы сетки КЭ модели с координатами пикселей;
- определяются механические характеристики материала узлов и элементов КЭ модели;
- осуществляется преобразование структуры данных в виде файла *. pcl для возможности использования в КЭ модели.
Алгоритм работы этого блока представлен на рис. 8.
а b
Рис. 5. Каркасная модель геометрии сечений кости (а) и зуба (b) человека Fig. 5. Wireframe model of the section geometry of a bone (a) and a human tooth (b)
Рис. 6. Интерполирование КЭ сетки между сечениями с использованием КЭ гексаэдр Fig. 6. Interpolation of the FE mesh between the cross-sections using a finite element hexahedron
b
a
c
Рис. 7. Построение сетки КЭ модели ДТТ нерегулярной геометрии: a - каркасная модель; b - объемная твердая геометрическая модель; c - генерация сетки с использованием КЭ типа тетраэдр Fig. 7. Construction of a FE model mesh of the deformable solid with irregular geometry: a - wireframe model; b - solid geometric model; c - mesh generation using finite elements of the tetrahedron type
Рис. 8. Блок-схема определения механических характеристик материала узлов и элементов КЭ модели Fig. 8. Block-diagram for determining mechanical properties of the material of nodes and elements
of the finite element model
Основными этапами алгоритма являются:
1. Определение координат узлов конечных элементов, которые записываются в матрице Nodes(n,5). Топология КЭ записывается в матрице Elems(m,10) для элементов типа HEX или в матрице Elems(m,6) - для элементов типа TET.
2. Проверка координат узлов на предмет их нахождения в сечениях пакета растровых изображений или в пространстве между сечениями. Ответ «нет» - перейти к этапу 3 и 4, ответ «да» - перейти к этапу 5.
3. 4. Сортировка узлов по увеличению координаты z с помощью алгоритма QuickSort [21] и решение задачи об упаковке узлов с одинаковым пространством между сечениями. При извлечении координат узлов из КЭ модели по умолчанию они будут отсортированы по порядковому номеру узлов, а не по увеличению координат z, в то время как растровые изображения сечений расположены в порядке возрастания координаты z. Поэтому сортировка значительно сокращает объем данных и время их обработки.
5. Присвоение номера индекса цвета пикселя каждому узлу КЭ сетки сечения. Цикл ввода данных индексов цвета осуществляется последовательными переходами от первого сечения до последнего. Результат определения индексов цвета узлов заполняется в матрицу Nodes(n,5).
Различаются два случая. Первый из них, самый простой, имеет место, когда узлы КЭ полностью лежат в соседних плоскостях с растровым изображением, и размер конечных элементов равен дистанции между ними (рис. 9). Присвоение узлам КЭ сетки значений индексов цвета от пикселей здесь осуществляется прямым совпадением узла КЭ сетки с пикселем по совпадающим координатам.
Второй случай сложнее и является общим для решения представленной проблемы. Он связан с тем, что узлы КЭ сетки по их координатам лежат между соседними плоскостями с растровым изображением, но не совпадают с ними (рис. 10). В этом случае используется интерполяция индекса цвета конечного узла по прямой, параллельной оси Z, и по прямой, наклонной к оси Z, в зависимости от сложности геометрии ДТТ. Более подробное описание представлено в работе [9].
Интерполяция индекса цвета пр в точке Р определяется по формуле
Рис. 9. Узлы КЭ модели, находящиеся в сечениях Fig. 9. FE model nodes locating in the cross-sections
np = Knp + k2np
r\ p2
(12)
где k =JL- = h ; k2 =-\ = ± = 1 - k. h + h s h+ h s
Рис. 10. Узлы КЭ модели, находящиеся в пространстве между сечениями Fig. 10. FE model nodes locating in the space between the cross-sections
В большинстве случаев значение индекса цвета пикселя присваивается узлу, на котором расположена его проекция с достаточной точностью. Однако в случае, когда проекция узла лежит не в центре пикселя, то есть вероятность присвоения узлу его номера невысока, предлагается использовать еще два дополнительных метода для определения индекса цвета в узлах КЭ сетки: усредненное значение и математическое ожидание индексов цвета узла.
На рис. 11 представлен принцип определения усредненного значения индексов цвета в узле КЭ сетки.
Рис. 11. Усредненное значение индексов цвета узла Fig. 11. Averaged value of node color indices
Усредненное значение индексов цвета, присваиваемых узлу КЭ сетки, определяется выражением
»
1 9
=1E »
9E ^
(13)
где РI (х,у) - номер (координаты) узла КЭ сетки в растровом изображении сечения; ц - значения индексов цвета пикселя узла Ри соседних пикселей, соответствующих координатам: П1 (х, у); П2 (х+1, у); Пз (х+1, у-1); п4 (х, у-1); П5 (х-1, у-1); п6 (х-1, у); п? (х-1, у+1); п8 (х, у+1); п9 (х+1, у+1).
Более точное значение индекса цвета, присеваемое узлу КЭ сетки, определяется на основе использования выражения для определения математического ожидания (рис. 12).
Рис. 12. Математическое ожидание индексов цвета узла Fig. 12. Mathematical expectation of node color indices
Для рассматриваемой задачи математическое ожидание индексов цвета конечного узла определяется выражением
4 ё.
n
n
Pl ^ "J' d , j=i d
(14)
где Р(х, у) - номер (координаты) узла КЭ сетки в растровом изображении сечения; ц - значения индексов цвета ближайших к узлу Р/ пикселей; б - сумма расстояний между координатами узла Р/ и координатами центров ближайших к узлу Р/ пикселей, которая определяется следующим выражением:
ё = йх + й2 + + . (15)
6. Определение индексов цвета каждого конечного элемента как среднее арифметическое значение индексов цвета его узлов.
7. Преобразование значения индекса цвета конечных элементов в значения их модулей упругости через умножение на весовой коэффициент:
ч
Еи
Е = кЕ— , (16)
ч
где д - число узлов в элементе (д = 4,8...); и. - индекс цвета у-го конечного узла; Б - модуль
упругости /-го конечного элемента; кЕ - весовой коэффициент модуля упругости.
Весовой коэффициент определяется как отношение модуля упругости, полученного натурным испытанием, и среднего значения индексов цвета [2, 8].
8. Упаковка элементов с одинаковыми значениями модуля упругости.
9. Результат записывается в виде файла структуры *.рс1 [15].
Блок 8. Получение КЭ модели ДТТ с неоднородностью механических характеристик материала и геометрией по результатам выполнения блоков 5-7 (см. рис. 1). Это означает, что КЭ модель ДТТ построена с индивидуальной (реальной) геометрией и каждый ее конечный элемент имеет свое значение модуля упругости. То есть структура механических характеристик кости определяется совокупностью этих конечных элементов.
Блок 9. Для проведения анализа НДС КЭ модели ДТТ в КЭ модели дополнительно задаются граничные условия и внешняя нагрузка. Анализ НДС проводится в программном комплексе МБО МаБ^ап. Результатом анализа является полный комплекс напряжений и деформаций исследуемого ДТТ. Доказательство точности и сходимости представленного численного решения приведено в работах [9, 10].
На рис. 13 представлены результаты построения КЭ модели фрагмента бедренной кости человека, которая имеет регулярную геометрию. Однако материал кости имеет сложную анизотропную структуру механических характеристик (рис. 13, а) [22]. Эта неоднородность показана в растровом изображении результатов сканирования (рис. 13, Ь), где представлено изменение модуля упругости по его пикселям и по объему КЭ модели (рис. 13, с).
а b c
Рис. 13. Неоднородность структуры бедренной кости Fig. 13. Heterogeneity of femoral bone structure
Для проведения анализа НДС КЭ модели в ней формируются граничные условия и действующая на деформируемое тело внешняя нагрузка (рис. 14, а). На рис. 14, b представлены результаты анализа НДС ДТТ в виде поля эквивалентных напряжений, полученных с учетом неравномерности распределения механических характеристик по объему. В этом случае по толщине стенки кости отчетливо определяются напряжения силовой и не силовой ее части.
На рис. 15 представлено построение КЭ модели зуба человека. В отличие от бедренной кости зуб имеет более высокую степень неоднородности механических характеристик материала и нерегулярности геометрии. Он состоит из эмали, дентина и других областей (рис. 15 a, b), каждая из которых имеет свой порядок и величину изменения модуля упругости. Поэтому для определения среднего значения индексов цвета (блок 7, пункт 7) используется формула математического ожидания [8]:
Mn =Z ni Pi (ni) ■ (17)
i
На рис. 15, c представлено распределение величины модуля упругости по элементам
КЭ модели. Это распределение полностью соответствует общим представлениям о структуре свойств материала зуба. Однако для каждого отдельного зуба человека имеются свои индивидуальные особенности.
q
a b
Рис. 14. Построение КЭ модели кости: a - граничное условие и нагрузка; b - результат анализа НДС - напряжение VonMises Fig. 14. Construction of the FE model of a bone: a - boundary condition and load; b - result of the stress-strain state analysis - VonMises stress
Рис. 15. Построение КЭ модели зуба человека: а - структура зуба; b - растровое изображение сканирования; c - трехмерная КЭ модель с распределением механических характеристик материала Fig. 15. Construction of the FE model of a human tooth: a - tooth structure; b - scanned bitmap image; c - three-dimensional FE model with the distribution of mechanical
characteristics of material
На рис. 16 представлена расчетная схема КЭ модели зуба человека с граничными условиями и внешней нагрузкой, где кроме этих параметров дополнительно представлены условия для решения задачи контактного взаимодействия зубов без «продукта» (рис. 16, а) и с «продуктом» (рис. 16, Ь).
Результат построения КЭ модели зуба с механическими характеристиками и геометрией, максимально отвечающих их реальным прототипам, представлен на рис. 17.
Результаты анализа НДС зуба (рис. 18) показывают, что при их взаимодействии без «продукта» (рис. 18, а) максимумы напряжений наблюдаются в точках контакта на вершинах зубных бугров. При сжатии «продукта» между зубами максимумы напряжений смещаются в сторону впадин верхней части зуба (рис. 18, Ь).
а b
Рис. 16. Схема контактного взаимодействия КЭ модели зуба: а - без «продукта»; б - с «продуктом» Fig. 16. Scheme of contact interaction of the tooth FE model: a - without a "product"; b - with a "product"
a b
Рис. 17. Конечно-элементная модель зуба: а - без «продукта»; b - с «продуктом» Fig. 17. Finite element model of a tooth: a - without a "product"; b - with a "product"
а b
Рис. 18. Результат анализа НДС - напряжение VonMises КЭ модели зуба: а - без «продукта»; b - с «продуктом» Fig. 18. Result of the stress-strain state analysis - VonMises stress of tooth FE models: a - without a "product"; b - with a "product"
Заключение
Таким образом, результаты проведенных исследований показывают, что представленный комплекс технологий, построенный на основе КТ-сканирования ДТТ и данных натурных испытаний стандартных образцов, позволяет реализовать возможность построения и анализа его КЭ моделей с реальным распределением неоднородности механических характеристик материалов и геометрии. Развитие этого комплекса продолжается в направлении использования других физических методов (магнитный, ультразвуковой и др.) при сканировании и автоматизированной компьютерной обработке растровых изображений сечений реальных изделий и объектов.
Библиографический список
1. Пыхалов А.А., Милов А.Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбо-машин: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007. 192 с.
2. Пат. № 2542918, Российская Федерация, МПК G06T 1/00 A61B 6/00. Способ определения значений модуля упругости и его распределения в конструктивных элементах, обладающих неопределёнными свойствами прочности / А.А. Пыхалов, В.П. Пашков, И.Н. Зотов, М.С. Кувин; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет»; заявл. 30.10.2013; опубл. 27.02.2015. Бюл. № 6.
3. Утенькин А.А., Свешникова А.А. Биомеханические свойства компактного вещества кости // Архив анатомии, гистологии и эмбриологии. 1971. № 10. С. 45-50.
4. Утенькин А.А., Свешникова А.А. Упругие свойства костной компактной ткани как анизотропного материала // Проблемы прочности. 1971. № 3. С. 40-44.
5. Зайцев Д.В., Панфилов П.В. Прочностные свойства дентина и эмали зубов человека при одноосном сжатии // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2016. Т. 21. Вып. 3. С. 802-804.
6. Zaytsev D. Correction of some mechanical characteristics of human dentin under compression considering the shape effect // Materials Science and Engineering C. 2015. Vol. 49. Р. 101-105.
7. Zaytsev D. Mechanical properties of human enamel under compression: On the feature of calculations // Materials Science and Engineering C. 2016. Vol. 62. Р. 518-523.
8. Зыонг В.Л., Пыхалов А.А. Математическое моделирование и автоматизация обработки изображений сканирования твердых деформируемых тел с неоднородными свойствами материала и геометрии для построения их конечно-элементных моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2017. № 2 (54). С. 30-39.
9. Зыонг В.Л., Пыхалов А.А., Татарникова С.Р. Интерполяция геометрии и неоднородности материала деформируемых тел при построении их объемных моделей методом конечных элементов на основе сканирования компьютерным томографом // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2017. № 3 (55). С. 10-18.
10. Пыхалов А.А., Пашков В.П. Зыонг В.Л. Исследование точности численного решения методом конечных элементов анализа напряженно-деформированного состояния образцов из материалов с неоднородной структурой на основе данных компьютерного томографа и натурного эксперимента // Вестник ИрГТУ. 2017. Т. 21. № 4. С. 47-56. https://doi.org/10.21285/18143520-2017-4-47-56
11. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / пер. с англ. А.А. Шестакова; под ред. Б.Е. Побери. М.: Мир, 1979. 392 с.
12. Зенкевич О. C. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. 542 с.
13. Хофер М. Компьютерная томография. Базовое руководство. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Медицинская литература, 2008. 224 с.
14. Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM). Part 2: Conformance. URL: http://medical.nema.org/dicom (20.11.2017).
15. Пыхалов А.А., Зыонг В.Л. Математическое моделирование для автоматизации обработки результатов сканирования деформируемых твердых тел сложной геометрической формы с неоднородными механическими характеристиками для построения их конечно-элементных моделей. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017661241 от 06.10.2017.
16. Белим С.В., Кутлунин П.Е. Выделение контуров на изображениях с помощью алгоритма кластеризации // Компьютерная оптика. 2015. Т. 39. №. 1. С. 119-124. https://doi.org/10.18287/0134-2452-2015-39-1-119-124
17. Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. The Theory of Splines and Their Applications: Mathematics in Science and Engineering: A Series of Monographs and Textbooks // Elsevier Science, 2016. Vol. 38. 296 р.
18. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / пер. с англ. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1980. 279 с.
19. Gurjeet Singh, Er. Harjinder singh. Study and Comparison of Various Techniques of Image Edge Detection // Journal
of Engineering Research and Applications. 2014. Vol. 4. Issue 3 (Version 1). Р. 908-912.
20. Титов И.О., Емельянов Г.М. Выделение контуров изображения движущегося объекта // Вестник Новгородского государственного университета. 2010. № 55. С. 27-31.
21. Kushagra S., Lopez-Ortiz A., Munro J.I., Qiao A. Multi-pivot quicksort: Theory and experiments // Proceedings of the Meeting on Algorithm Engineering & Expermiments. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2014. Р. 47-60.
22. Liu X.S. et al. Accuracy of High-Resolution In Vivo Micro Magnetic Resonance Imaging for Measurements of Microstructural and Mechanical Properties of Human Distal Tibial Bone // Journal of Bone and Mineral Research. 2010. Vol. 25. No. 9. P. 2039-2050.
References
1. Pykhalov A.A., Milov A.E. Kontaktnaya zadacha staticheskogo i dinamicheskogo analiza sbornykh rotorov turbomashin [Contact problem of static and dynamic analysis of rotor assembly turbomachines]. Irkutsk: Irkutskii gosudarstvennyi tekhnicheskii universitet Publ., 2007, 192 p. (In Russian).
2. Pykhalov A.A., Pashkov V.P., Zotov I.N., Kuvin M.S. Sposob opredeleniya znachenii modulya uprugosti i ego raspre-deleniya v konstruktivnykh elementakh, obladayushchikh neopredelennymi svoistvami prochnosti [A method for determining the values of the elasticity modulus and its distribution in structural elements with indefinite strength properties]. Patent RF, no. 2542918, 2015.
3. Uten'kin A.A., Sveshnikova A.A. Biomechanical properties of compact matter of bone. Arkhiv anatomii, gistologii i em-briologii [Archive of anatomy, histology and embryology]. 1971, no. 10, pp. 45-50. (In Russian)
4. Uten'kin A.A., Sveshnikova A.A. Elastic properties of bone compact tissue as anisotropic material. Problemy prochnosti [Problems of Strength]. 1971, no. 3, pp. 40-44. (In Russian).
5. Zaitsev D.V., Panfilov P.V. Strength properties of human dentin and enamel under uniaxial compression. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences]. 2016, vol. 21, issue 3, pp. 802-804. (In Russian).
6. Zaytsev D. Correction of some mechanical characteristics of human dentin under compression considering the shape effect. Materials Science and Engineering C. 2015, vol. 49, pp. 101 -105.
7. Zaytsev D. Mechanical properties of human enamel under compression: On the feature of calculations. Materials Science and Engineering C. 2016, vol. 62, pp. 518-523.
8. Zyong V.L., Pykhalov A.A. Mathematical modeling and scanned images processing automation of the solids with in-homogeneous material and geometry for constructing their finite-element models. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2017, no. 2 (54), pp. 30-39. (In Russian).
9. Zyong V.L., Pykhalov A.A., Tatarnikova S.R. Interpolation of geometry and inhomogeneity of material of deformable solids when constructing their 3d models with the finite elements method based on the computer tomograph scanning. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2017, no. 3 (55), pp. 10-18. (In Russian).
10. Pykhalov A.A., Pashkov V.P. Zyong V.L. Studying accuracy of finite element method-wise numerical solution of the stress-strain state analysis of samples made of inhomogeneous structure materials based on computerized tomography scanning and field experiment data. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2017, vol. 21, no. 4, pp. 47-56. (In Russian). https://doi.org/10.21285/18143520-2017-4-47-56
11. Segerlind L. Primenenie metoda konechnykh elementov [Application of the finite element method]. Moscow: Mir Publ., 1979, 392 p.
12. Zenkevich O. C. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow: Mir Publ., 1975, 542 p. (In Russian).
13. Khofer M. Komp'yuternaya tomografiya. Bazovoe rukovodstvo [Computer tomography. The basic guide]. Moscow: Meditsinskaya literature Publ., 2008, 224 p.
14. Digital Imaging and Communications in Medicine (DICOM). Part 2: Conformance. Available at: http://medical.nema.org/dicom (accessed 20 November 2017).
15. Pykhalov A.A., Zyong V.L. Matematicheskoe modelirovanie dlya avtomatizatsii obrabotki rezul'tatov skanirovaniya deformiruemykh tverdykh tel slozhnoi geometricheskoi formy s neodnorodnymi mekhanicheskimi kharakteristikami dlya postroeniya ikh konechno-elementnykh modelei [Mathematical modeling for automation of the processing of scanning results of the deformable solids of complex geometric shape with inhomogeneous mechanical characteristics for their finite element models construction]. Svidetel'stvo o gosudarstvennoi registratsii programmy dlya EVM [Certificate of state registration of the computer program] no. 2017661241 of 6 October 2017 (In Russian).
16. Belim S.V., Kutlunin P.E. Boundary extraction in images using a clustering algorithm. Komp'yuternaya optika [Computer Optics]. 2015, vol. 39, no. 1, pp. 119-124. (In Russian). https:doi.org/10.18287/0134-2452-2015-39-1-119-124
17. Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J. L. The Theory of Splines and Their Applications: Mathematics in Science and Engineering: A Series of Monographs and Textbooks. Elsevier Science, 2016, vol. 38, 296 р.
18. Forsait Dzh., Mal'kol'm M., Mouler K. Mashinnye metody matematicheskikh vychislenii [Computer methods of mathematical calculations]. Moscow: Mir Publ., 1980, 279 p.
19. Gurjeet Singh, Er. Harjinder singh. Study and Comparison of Various Techniques of Image Edge Detection. Journal of Engineering Research and Applications. 2014, vol. 4, issue 3 (Version 1), pp. 908-912.
20. Titov I.O., Emel'yanov G.M. Edge detection of the moving object image. Vestnik Novgorodskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Yaroslav the Wise Novgorod State University]. 2010, no. 55, pp. 27-31. (In Russian).
21. Kushagra S., Lopez-Ortiz A., Munro J.I., Qiao A. Multi-pivot quicksort: Theory and experiments. Proceedings of the Meeting on Algorithm Engineering & Expermiments. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2014, pp. 47-60.
22. Liu X.S. et al. Accuracy of High-Resolution In Vivo Micro Magnetic Resonance Imaging for Measurements of Microstructural and Mechanical Properties of Human Distal Tibial Bone. Journal of Bone and Mineral Research. 2010, vol. 25, no. 9, pp. 2039-2050.
Критерии авторства
Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Authorship criteria
The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
