CC BY
21
Современшле технологии. Системшлй анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
УДК 004.94:621.01
Зыонг Ван Лам,
аспирант, Иркутский национальный исследовательский
технический университет, e-mail: [email protected] Пыхалов Анатолий Александрович, д. т. н., профессор,
Иркутский государственный университет путей сообщения, Иркутский национальный исследовательский технический
университет, e-mail: [email protected] Татарникова Светлана Ростиславовна, к. т. н., доцент,
Иркутский государственный университет путей сооб ения,
e-mail: [email protected]
Информация о статье
Дата поступления: 01 августа 2017 г.
DOI: 10.26731/1813-9108.2017.3(55). 8-16 Duong Van Lam,
Ph. D. student, Irkutsk National Research Technical University,
e-mail: [email protected]
A. A. Pykhalov,
Doctor of Engineering Science, Prof., Irkutsk State Transport University, Irkutsk National Research Technical University, e-mail: [email protected]
S. R. Tatarnikova,
Ph. D. in Engineering Science, Assoc. Prof., Irkutsk State Transport University, e-mail: [email protected]
Article info
Received: August 01, 2017
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ГЕОМЕТРИИ И НЕОДНОРОДНОСТИ МАТЕРИАЛА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИХ ОБЪЕМНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСТОВЕ СКАНИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНЫМ ТОМОГРАФОМ
INTERPOLATION OF GEOMETRY AND INHOMOGENEITY OF MATERIAL OF DEFORMABLE SOLIDS WHEN CONSTRUCTING THEIR 3D MODELS WITH THE FINITE ELE ENTS ET D BASED N T E C PUTER T RAP SCANNIN
Аннотация. Каждое деформируемое твердое тело обладает своей индивидуальной (реальной) геометрией и неоднородностью механических характеристик материала (сталь, чугун, бетон, пластик, композит и др.). Особое место в этом отношении занимают деформируемые тела природного происхождения (горные породы, костная ткань и другие). Для более точной идентификации представленных тел, с целью создания их математических моделей, предназначенных для расчётов прочности, жесткости, устойчивости и других параметров, построенных, например, на основе метода конечных элементов ф/КЭ), в настоящее время предложены методы их сканирования [1]. Одной из наиболее развитых в этом отношении технологий является компьютерная томография (КТ). Однако и её применение связано с проблемой, заключающейся в том, что необходимая информация о свойствах материала деформируемых тел и их геометрии предоставляется в некотором наборе плоских сечений, содержащих растровые изображения, тогда как, пространство между сечениями остается не идентифицированным. Сами сечения, даже стоящие рядом, могут отличаться по геометрии и изменениям в картине их пиксельной характеристики.
В настоящей работе для решения представленной проблемы предложен комплекс методик и математических моделей, предназначенных для интерполяции геометрии и свойств материала деформируемого тела в пространствах между сечениями с растровым изображением. Полученные результаты используются при построении конечно-элементной (КЭ) модели твердого тела и анализе его напряженно-деформированного состояния (НДС). В качестве объекта исследования используется фрагмент бедренной кости человека. Этот выбор обусловлен двумя причинами: явно выра енной неоднородностью материала и геометрии кости, а также интенсивным развитием современной технологии сканирования КТ. В дополнение к математическим моделям интерполяции, в работе проведено исследование точности сходимости численного решения МКЭ при аппроксимации пространства интерполяции различными типами КЭ объемного НДС: гексаэдр и тетраэдр. Последний представленный тип КЭ используется при значительной степени отличия геометрии соседних сечений. Исследование показывает, что по сходимости и затратам ресурсов ЭВ численное ре ение на основе тетраКЭ уступает ре ению на основе КЭ типа гексаэдра, однако из пределов применимости для представленной задачи не выходит.
Ключевые слова: твердое деформируемое тело, математическое моделирование, метод конечных элементов, обработка растровых изображений, геометрия сечений, модуль упругости, пространство интерполяции.
Abstract. Each deformable solid has its individual (real) geometry and inhomogeneity of the mechanical characteristics of its material (steel, cast iron, concrete, plastic, composite, etc.). In this respect, the deformable bodies of natural origin (rocks, bone tissue and others) have a special place. At present, methods for their scanning [1] have been proposed to more accurately identify the presented bodies, with a view to creating their mathematical models for calculating the strength, stiffness, stability, and other parameters constructed, for example, on the basis of the finite element method (FEM). On this count, one of the most developed scanning technologies is the computed tomography (CT). However, its application gives rise to the following problem: the necessary information of the material properties and geometry is provided in a certain set of flat sections containing raster images, whereas the space between the sections remains unidentified. The sections, even standing side by side, can differ in geometry and in changes in the representation of their pixel characteristics.
In the present work, to solve the presented problem, a complex of methods and mathematical models has been suggested. They are intended for interpolation of the geometry and the material properties of the deformed body in the spaces between sections with the raster image. The obtained results are used to construct a finite-element (FE) model of a solid body and analyze its stress-strain state (SST). As a subject of research, a fragment of the human femur is used. This choice is due to two reasons: the significant heterogeneity and the geometry of the bone, as well as the intensive development of modern CT scanning technology. In addition to the mathematical
) Зыонг Ван Лам, А. А. Пыхалов, С. Р. Татарникова, 2017
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3
models of interpolation, the accuracy of the convergence of the numerical .solution of the FEM with approximation of the interpolation .space by various types of FE of a solid SST is studied. They are the hexahedron and the tetrahedron. The last type of presented FE is used in a significant degree of difference in the geometry of neighboring sections. The study shows that the numerical solution based on the FE tetrahedron has less effect than the solution based on the FE hexahedron by the convergence and cost of computer resources. However, it does not go beyond the applicability limits for the presented problem.
Keywords: deformable solid, mathematical modeling, finite element method, raster image processing, section geometry, elastic modulus, interpolation space.
На основе метода конечных элементов (МКЭ) на современном этапе развития расчетно-инженерной базы реализуется наиболее эффективное математическое моделирование при решении инженерных задач и, в частности, анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) объектов и изделий. Его применение здесь позволяет с высокой степенью точности учитывать особенности геометрии деформируемого тела, возможности задания свойств его материала и вне -них сил. Однако уровень достоверности расчетов в этом случае зависит в значительной степени от точности соответствия (или идентичности) в конечно-элементной (КЭ) модели индивидуальных параметров геометрии и механических характеристик материала, задаваемых в ней относительно исследуемого объекта.
Известно, что в современной практике теоретических расчётов твердых деформируемых тел их механические (прочностные) характеристики материала берутся в виде осредненных или об их для всего тела значений. Они получены на образцах в условиях стандартных испытаний. В реальности же (рис. 1) свойства материала деталей и их индивидуальная геометрия определя тся технологическими аспектами их изготовления, условиями эксплуатации изделия и другими факторами. Е ё более сложный характер неоднородности материала и геометрии имеют деформируемые тела природного происхождения (горная порода, костная ткань, бетон) и композитные материалы [2]. Механические характеристики этих материалов имеют оде более значительный диапазон отличия от средних значений. Таким образом, расчёты НДС деталей машин и других объектов без учета в них неоднородности материала и реальности геометрии могут привести к достаточно серьезному уровню погре ности, даже с применением такого высокоэффективного анализа, как МКЭ.
Для решения представленной проблемы в работе [1] и других [3-5] предлагается применять сканирование. В частности, в работе [1] представлен комбинированный подход, опираю ийся на две технологические составляющие: сканирование твердого деформируемого тела компьютерным томографом (КТ), с получением пиксельной характеристики растрового изображения [6] в его сечениях а также использование данных натурно-
го эксперимента [7, 8] в виде испытания образцов правильной формы, с получением осредненных механических характеристик неоднородного материала.
Рис. 1. Индивидуальная геометрия и неоднородность механических характеристик материала деформируемых систем
Однако есть проблема в самом принципе технологии сканирования КТ. В результате его работы информация об индивидуальных свойствах материала деформируемых тел и их геометрии предоставляется в некотором наборе плоских сечений тела, в каждом из которых и создается необходимое растровое изображение. Сечения рас-полага тся последовательно с определенным а-гом, тогда как пространство между ними остается не идентифицированным. Сами сечения, даже стоя ие рядом, могут иметь су ественные отличия по геометрии и изменениям картины растрового изображения (характеристикам индексов цвета пикселей).
Для решения представленной проблемы в настоя ей работе предложен комплекс методик и математических моделей для интерполяции геометрии и свойств материала между сечениями, с дальнейшим использованием этих данных при построении КЭ - модели деформируемого тела и анализе её НДС. В качестве объекта исследования используется фрагмент бедренной кости человека, что обусловлено двумя причинами: явно выраженной неоднородностью материала кости и её геометрии, а также высоким уровнем развития технологии сканирования КТ.
Растровое изображение сечения представляется в компьютере двумерной матрицей пикселей, из которых каждый имеет свое цифровое значение индекса цвета. На рис. 2 представлено черно-белое изображение сечения кости человека в виде 256 оттенков (индексов) цвета: от черного до белого.
иркутским государственный университет путей сообщения
Современник технологии. Системшлй анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
Анализируемый объект
255 254 251~
254 251 252
255 253 252
Воздушная зона
0 100 1020 0 100
пикселями со значениями 0 (ноль) и 1 (единица). В представленном объекте исследования в виде сечения кости пикселям областей воздушной и мягких тканей, со значениями индекса цвета от 0 до 90, назначено значение 0; а костной ткани, имеющей индекс цвета от 91 до 256, назначено значение 1 (рис. 3).
Рис. 2. Растровое изобракение в сечении сканирования объекта, с распределением индексов цвета
Определение контура геометрии для каждого сечения области исследования (деформируемого тела) осуществляется в два этапа [3-5]. Первый из них основан на использовании алгоритма «функции 0-1», где полученный контур является предварительным и используется для нанесения определенной разметки, необходимой для построения на следующем этапе уточнённого контура геометрии сечения и генерации относительно него сетки КЭ. Уточнение геометрии сечения осу-ествляется с использованием математической модели анализа максимального градиента изменения индекса цвета пикселя.
Для реализации алгоритма функции 0-1 растровое изображение сечения (рис. 3, а) подвергается визуальному анализу (рис. 3, б), в результате которого назначается диапазон области исследования [«тт, птах], где «тт и птах - минимальное и максимальное значения индексов цвета в диапазоне области исследования. Пикселям этой области назначается значение индекса цвета, равное 1. Остальным пикселям, не находя имся в диапазоне, присваивается значение 0. Геометрия построенного контура (рис. 3, б) зависит от вводимого значения диапазона функции 0-1 относительно индексов цвета и определяется границей между
XI =349,4300 У1 = ХЗ =347.7104 УЗ = Х5 =345,6950 У5 = Х7 =341,9600 У7 = Х9 =338,6400 У9 -XI 1=335,4908 У11= Х13=335,3200 У13= Х15=336,2096 У15= Х17=338,2250 У17= Х19=341,9600 У1 <)-Х21=346,1100 У21= Х23=348,4292 У23=
о о о 9 I 1
о л о
о о о (Г
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 ООО
0 0 0
0 0 У
б)
Рис. 3. Принцип алгоритма «функция 0-1»
Относительно предварительного контура геометрии сечения (0-1), находится центр тяжести, который также является предварительным, и в нем назначается локальная система координат ХОУ. Тогда алгоритм получения уточнённого контура сечений следующий (рис. 4):
1. Построение окружности с радиусом Я, назначаемым из предварительного центра тяжести сечения, величиной больше, чем максимальный радиус внешнего контура предварительной геометрии.
2. Назначение угла ф - как шага поворота радиуса Я против хода часовой стрелки.
3. Последовательный поворот радиуса Я на угол сканирования ф, до тех пор, пока £ф не составит значение 2п, тем самым строится система радиальных направлений (радиусов, лучей).
4. Определение координат пикселей вдоль радиуса Я, осу ествляемое относительно координат точек на данном радиусе, с агом, равным размеру пикселя.
Рис. 4. Предварительный и уточненный контур геометрии сечения кости, полученный в результате обработки растрового изображения компьютерного томографа
Механика
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3
R
О
/А
R
/11
7>ч
Xl-2 Xi-1 Xi Xl+J Xi+] Xi+3 Xi+4
Рис. 5. Изменение индексов цвета и исследование градиента функции изменения индексов цвета
5. Анализ индексов цвета пикселей вдоль радиусов (рис. 5), проводимый для вычисления координатного положения максимального градиента их изменения (локального максимума), обозначающего уточненное положение точек контура; например (рис. 4): при ф = 0 определяются точки 1 и 2; поворотом на угол ф определяются координаты точек 3 и 4 и так далее.
6. Анализ градиентов изменения индексов цвета на всех радиусах угла 2п, с получением геометрического места точек, для построения уточнённого контура геометрии сечения тела (рис. 4, справа).
Уточнение контура сечения по радиусу проводится на основе данных матрицы индексов цвета. Для аппроксимации их изменения на радиусе и определения (выявления) величины максимального градиента производной используется полином вида:
/ (х) = цх, + а2, (1)
где х1 - значения координаты пикселя (рис. 5, справа); а1 и а2 - коэффициенты полинома. Обнаруженная величина максимального градиента обозначает точку (пиксель) края сечения. Градиент изменения функции (1) определяется по известным формулам:
Г / (х) = п1 при x = xl
У / (х) = п1+1 при x = x,
Ап
(2)
i+1
a1 =
- ni xi+i - xi
(i+1;i )
AL
a2 =
n,XM - ni+1Xi Xi+1 - Xi
ПгХг+1 - Пг+Л
AL
df ( X)
ni+1 - n
An,
(i+1;i)
(3)
(4)
ёх х1+1 - хг АЬ
где АЬ назначается в виде целого числа, определяемого размером пикселей, а переход к их измерению в мм, в прямоугольной системе координат производится по формуле АЬ = (х1+1 - х1 )к— , где
кх - размерный коэффициент пикселей сканиру-его устройства (мм).
Последовательная обработка всех сечений с растровыми изображениями формирует пакет каркасной 3Б-модели [9] уточнённой геометрии объекта исследования (рис. 6).
Рис. 6. Каркасная 3Б- модель уточнённой геометрии объекта исследования
В результате уточнения контуров сечений исследуемого объекта его ось, проходящая через центры тяжести сечений в пакете, также изменяется. Уточнение её положения проводится относительно полученных уточнённых контуров сечений. В об ем случае это некоторая кривая линия, не совпада ая с вертикальной осью системы координат (рис. 6) 0ХУ2. При необходимости эта линия может быть выпрямлена переме ением контуров и положений центров тяжести сечений, то есть расположением их на вертикальной оси прямоугольной системы координат, проходя ей через центр тяжести базового сечения. Эта процедура необходима, например, для получения НДС объекта исследования при чистом сжатии, тем самым при осевой нагрузке исключаются напряжения изгиба [3].
Дальней ая обработка данных сканирования связана с передачей значений индексов цвета от пикселей к узлам сетки КЭ-модели деформируемого тела и проводится в соответствии с их взаимным расположением. Различаются два случая. Первый из них, самый простой (рис. 7), имеет место, когда узлы КЭ-сетки полностью лежат в соседних плоскостях с растровым изображением и размер конечных элементов равен дистанции между ними. Присвоение узлам КЭ-сетки значений индексов цвета от пикселей здесь осу ествля-
Совремеинле технологии. Системшлй анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
ется прямым совпадением узла КЭ-сетки с пикселем, по совпадающим координатам.
Рис. 7. Узлы элементов находятся в сечении
Второй случай (рис. 8) сложнее и является общим для решения представленной проблемы. Он связан с тем, что узлы КЭ-сетки по их координатам лежат между соседними плоскостями с растровым изображением, но не совпадают с ними. В этом случае используется интерполяция. Более простой её вариант (рис. 9, 10) возможен, если соседние плоскости растрового изображения имеют общую ось и по форме и размерам отличаются в незначительной степени (рис. 9).
Рис. 8. Узлы элементов находятся в пространстве между сечениями
Объемный КЭ ( гекса)1"\
Рис. 9. Проекционные связи по прямой, параллельной оси Z
Растровой изображение
Ц2
А Р'Г р \ Iе 111
? г ' \ I
б)
При использовании КЭ типа гексаэдр, растровое изображение в сечении может быть заменено сеткой плоских КЭ с присвоением её узлам индексов цвета соответствующих пикселей. Далее, здесь используются проекционные связи интерполяции между узлами плоских КЭ в соответствии с расстояниями к1 и Л2 (рис. 10, б).
На рис. 10 представлен наиболее общий случай, с использованием как тетраКЭ (рис. 10, а), так и КЭ типа гексаэдр. Индекс цвета узла Р сетки объемной КЭ-модели определяется интерполяцией между соответствующими пикселями Р1 и Р2 соседних плоскостей, в соответствии с расстояниями к1 и Н2 (рис. 10, б) на прямой, параллельной оси между сечениями.
Основными этапами алгоритма этой интерполяции (рис. 9, 10) [9-13] являются:
- выделение координат узла Р в объемной КЭ модели: Р(хр; ур;
- построение проекций Р-(Хр; ур; г-) и Р2(хр; ур; z^) на соседние плоскости сечений;
- определение абсолютных (к1 и к2) и относительных коэффициентов пропорции (к1 и к2):
Л =1 - гр и Л2 =1 г2 - гр Ь
к =-Л—=Л- к =
к — — , к2 -
1 Л + к2 5
А" = - = 1 - к-, (5)
Л- + я2 5
где 5 - шаг положения плоскостей растрового изображения при сканировании;
- определение номера индекса цвета пикселей пР1 и пР2 в точках Р1 и Р2 (рис. 10) (в узлах (рис. 9)) соседних плоскостей растрового изображения;
- определение интерполяцией индекса цвета пР в узле Р, проводимое по формуле:
(6)
ПР к—Пр1 + к2ПР2 ;
- определение модулей упругости в узлах, с использованием весового коэффициента кЕ, вычисление которого представлено в работах [1, 3-5].
Ещё более сложная интерполяция (рис. 11, 12) используется, когда соседние сечения с растровым изображением име т между собой су ественные различия по форме и размерам, а также характеризуются появлением в них дополнительных внутренних контуров и других геометрических особенностей. Чаде всего эта интерполяция (рис. 11, а) используется когда проекция узла КЭ-модели Р1 не находится в зоне сечения с растровым изображением объекта, то есть когда по прямой, параллельной вертикальной оси Z интерполяция индексов цвета невозможна (рис. 11, б).
Рис. 10. Интерполяция по прямой, параллельной оси Z
odern technologies. Syste analysis. odeling, 2017, Vol 55, no.3
Растровое изображение
Рис. 11. Интерполяция по прямой, наклонной к оси Z
Объемный КЭ (тетраэдр)
ад
X=XP+(Xp- \ х
У = Ур + (Ур - Уц )t1, Ц2Р2
z = z,
X = Xp + (Xp - X4 )t2 y=Ур+( Ур- y4 X; (7)
z = z.
- определение контура пересечения АВСО, где АВ - пересечение Ц1Р1 с геометрией первого сечения, СО - пересечение Ц2Р2 с геометрией второго сечения;
- построение линии (рис. 11, а), находящейся в плоскости АВСО, проходящей через узел Р параллельно АВ и СО:
ЦР
X = Xp + (Xp - X4 )t3
У = Ур + (Ур - Уц X • z = z„
(8)
- определение точек пересечения ЦР с AD и BC -Р3 и Р4:
X = XA + (XD XA )
У=Уа +( Ув - УА )
z = zA + ( zB - zA )
h
h + h h
К + К h
p
h2 + h
X = XB + ( Xc XB )
У = Ув +( Ус- Ув)
z = zB + (zc - zB )
\
h2 + h К
h, + v
К1
(9)
при P3 = A, \ = 0 и h2 = h2 = s, h1
h + h2
при P3 °D, hx+ h2 = s и h, = 0,
h + h = 0,
_Kl h + h2
Рис. 12. Линии проекционной связи по прямой, наклонной к оси Z
Для решения представленной проблемы в настоя ей работе предложена интерполяция по прямой, наклонной к оси каркасной модели исследуемого объекта. Угол наклона к оси Ъ (рис. 11, а) определяется пропорциями отрезков а1, Ь1 и а2, Ь2. Основными этапами алгоритма этой интерполяции являются [9-13]:
- определение координат узла Р из объемной КЭ-модели: Р (хр; ур; гр), а также точек центра тяжести соседних сечений Ц (хц; уц; Ц2 (хц уц;
- построение проекций Р1 (хр, ур, г1) и Р2 (хр; ур; г2) относительно прямой, параллельной оси Z
(рис. 11, а);
- построение линий Ц1Р1 и Ц2Р2, где направ-ляюищй векторц1?1=ц2Р2 = (х, - хч; ур - Уц ;0) , параметрические уравнения Ц1Р1 и Ц2Р2 в пространстве записываются в виде:
- определение отношения: a
к =-= =
P3 P
a-
P3 P + PP4
P3P
P3P4
= 1;
(10)
- определение координат точек р и P2 по отно-
ap; DP2 k
шениям - =-= k :
AB DC
P
X = XA + (XB - XA )к
У = Уа + (Ув - Уа )к , pi(
z = z,
x = Xd + (Xc - XD )k
y = yD + (Ус - yD)k •
z = Z2 (11)
- присвоение номера индекса цвета пикселя n . и n , узлам КЭ-сетки P и P' сечения от со-
P1 P 2J 12
ответствующего по координатам пикселя растрового изображения [3-5];
- интерполяция индекса цвета nP в точке Р определяется по формулам, аналогичным (5) и (6):
np = км. + k2n. , (12)
где к1 =
h
к
= -, К = h + h s ' к + h2
= К2 = 1 - к •
Построение контуров геометрии сечений с растровым изображением осу ествляется в специальной программе, написанной на алгоритмическом языке Visual Basic [14].
Если геометрия деформируемого тела носит некоторый регулярный характер, например, как представленный фрагмент кости, то наиболее оптимальным является переход от каркасной модели геометрии сразу к генерации сетки КЭ-модели.
Современшле технологии. Системшлй анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
При этом наиболее предпочтительным по точности и вычислительным затратам является использование КЭ типа гексаэдр, с размерами, равными или кратными шагу КТ-сканирования. Поузловой анализ интерполяции для КЭ-модели позволяет использовать любые размеры конечных элементов, естественно, не превы аю ие размеры самого деформируемого тела.
Если геометрия деформируемого тела носит нерегулярный (произвольный) характер, например, верхняя часть (головка) зуба человека, объем горной породы и другие, то, после формирования каркасной модели твердого деформируемого тела, на её основе осуществляется построение объёмной твердотельной геометрической модели. Для этого построения в представленной работе используется программный комплекс AutoCAD, с импортом в него полученной каркасной SD-модели. Дальней-ее здесь моделирование связано с генерацией КЭ-сетки в твердотельной геометрической модели. В этом случае также выбирается тип КЭ. Если сложность геометрии не высока, то предпочтение отдается КЭ типа гексаэдр. Если геометрия имеет
повышенный уровень сложности, то используется КЭ типа тетраэдр. Для генерации сетки КЭ в представленной работе используется программный комплекс MSC Patran.
Таким образом (рис. 13), каркасная 3D-модель (рис. 6), полученная из сечений сканирования КТ (рис. 13, а) с шагом в 2,0 мм, преобразуется в конечно-элементную модель (рис. 13, б и в), с интерполяцией между сечениями изменения геометрии, а также свойств материала деформируемого тела, например, в виде модулей упругости Е в узлах КЭ-сетки. Значение Ее для каждого конечного элемента [1, 3-5] в КЭ-модели деформируемого тела вычисляется как среднее от его значений для узлов. На рис. 13, б и в, в частности, представлено распределение неоднородности модулей упругости конечных элементов, где можно условно выделить две области деформируемого тела в виде фрагмента кости: силовую, расположенную ближе к его срединной поверхности, со значениями Ее от 17,0Е3 до 20,4Е3 Мпа, и слабосиловую, со значениями Ее от 8,0Е3 до 17,0Е3 МПа.
а) б) в)
Рис. 13. Плоскости с растровым изображением (а) и распределение величины модуля упругости в КЭ-моделях: б) модель с КЭ типа тетраэдр; в) модель с КЭ типа гексаэдр
Рис. 14. Сетки с размерами КЭ: а) 4 мм, б) 3 мм, в) 2 мм, д) 1 мм, для исследования точности сходимости ре ения КЭ на КЭ типа гексаэдр (вверху) и КЭ типа тетраэдр (внизу)
оо оо I
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3
3.0 2.0 1
Размер конечных элементов (мм) -нех8 Элементы —♦—тет4 Элементы
б) в)
Рис. 15. Анализ точности и сходимости численного
решения МКЭ а) и предельные (1 мм) по точности результаты, в виде эквивалентных напряжений во фрагменте кости, от действия сжимающей осевой нагрузки, с применением; б) КЭ типа гексаэдр; в) КЭ типа тетраэдр
Варьируя размеры КЭ (рис. 14) от 4,0 мм до 1,0 мм, можно добиться необходимого уровня точности вычисления результатов анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемого объекта. В частности, на рис. 15, а
представлены графики анализа точности и сходимости результатов численного решения МКЭ [15, 16] в виде зависимости эквивалентных напряжений во фрагменте кости, вызванных действием сжимающей осевой нагрузки [1, 3, 4].
На рис. 15, б и в, результаты представлены в виде поля эквивалентных напряжений во фрагменте кости на предельной по точности сетке КЭ (размер КЭ 1,0 мм), с применением КЭ типа гексаэдр (рис. 15, б) и тетраэдр (рис. 15, в).
Эти результаты показыва т, что КЭ типа гексаэдр имеет луч ие показатели по точности и сходимости результатов, а также по вычислительным затратам, однако его применение, в отличие от КЭ типа тетраэдр, в некоторых случаях [16] затруднено. В этой ситуации необходимо отметить, что решение с применением КЭ типа тетраэдр также сходится, то есть его применимость для представленного класса задач остается.
Заключение
Общий анализ результатов показывает, что представленный в работе комплекс методик и математических методов интерполяции геометрии, а также свойств материала между сечениями с растровым изображением, полученными сканированием компьютерным томографом, позволяет строить КЭ-модели для анализа объемного НДС твердых деформируемых тел с достаточной для практики инженерных расчетов точностью.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Пат. № 2542918, Рос. Федерация, МПК G06T 1/00 A61B 6/00. Способ определения значений модуля упругости и его распределения в конструктивных элементах, обладающих неопределёнными свойствами прочности / А. А. Пыхалов, В. П. Пашков, И. Н. Зотов, М. С. Кувин; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО ИрГТУ; заявл. 30.10.2013; опубл. 27.02.2015. Бюл. № 6.
2. Достижения и проблемы промышленной рентгеновской томографии / И.А. Вайнберг и др. // В мире неразрушающего контроля. 2009. №3 (45). С. 18-20.
3. Зыонг Ван Лам, Пыхалов А.А. Математическое моделирование и автоматизация обработки изображений сканирования твердых деформируемых тел с неоднородными свойствами материала и геометрии для построения их конечно-элементных моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2017. № 2 (54). С. 44-50.
4. Пыхалов А.А., Пашков В.П., Зыонг Ван Лам Исследование точности численного решения методом конечных элементов анализа напряженно-деформированного состояния образцов из материалов с неоднородной структурой на основе данных компьютерного томографа и натурного эксперимента // ВЕСТНИК ИрГТУ. 2017. Т. 21. № 4. С. 47-56.
5. Пашков В.П., Зотов И.Н., Пыхалов А.А. Моделирование механических систем с неопределёнными свойствами материала с применением метода конечных элементов и компь терной томографии // Современные технологии. Системный анализ. о-делирование. 2014. № 2 (42). С. 44-50.
6. Рентгеновская компь терная томография. Руководство для врачей. / под ред. проф. Г.Е. Труфанкова ; канд. мед. наук С.Д. Рудя. СПб : Фолиант, 2008. 1200 с.
7. Утенькин А.А., Свешникова А.А. Биомеханические свойства компактного вещества кости // Архив анатомии, гистологии и эмбриологии. 1971. № 10. С. 45-50.
8. Утенькин А.А., Свешникова А.А. Упругие свойства костной компактной ткани как анизотропного материала // Проблемы прочности. 1971. № 3. С. 40-44.
9. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия применение в проектировании и на производстве : пер. с англ. М. : Мир, 1982. 304 с.
10. Порев В.Н. Компьютерная графика. СПб. : БХВ-Петербург. 2002. 432 с.
11. Роджерс Д. Алгоритмические основы машиной графики : пер. с англ. М. : Мир, 1989. 512 с.
12. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики : пер. с англ. М. : Мир, 2001. 604 с.
13. Левитин А.В. Алгоритмы: введение в разработку и анализ. (Introduction to The Design & Analysis of Algorithms) : пер. с англ. . : Вильямс. 2006. 576 с.
иркутским государственный университет путей сообщения
14. Свидетельство № 2016615938. Автоматизация обработки изображений сканирования твердых деформируемых тел для определения изменения модуля упругости и использования при построении их конечно-элементной модели / Зыонг Ван Лам, Пыхалов А.А., Зотов И.Н. 2014.
15. Пыхалов А.А., Милов А.Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин. Иркутск : Изд-во ИрГТУ. 2007. 192 с.
16. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 542 с.
1. Pykhalov A. A., Pashkov V. P., Zotov I. N., Kuvin M. S. Sposob opredeleniya znachenii modulya uprugosti i ego raspredeleniya v konstruktivnykh elementakh, obladayushchikh neopredelennymi svoistvami prochnosti [A method for determining the values of the modulus of elasticity and its distribution in structural elements with indefinite .strength properties]. Patent RF no. 2542918, MPK G06T 1/00 A61B 6/00; patent applicant and holder is FSBEI HE ISTU; applied Oct. 30, 2013; published Feb. 27, 2015. Bull. no. 6.
2. Vainberg I. A. et al. Dostizheniya i problemy promyshlennoi rentgenovskoi tomografii [Achievements and problems of industrial X-ray tomography]. V mire nerazrushayushchego kontrolya [In the world of non-destructive testing], 2009, No.3 (45), pp. 18-20.
3. Zyong Van Lam, Pykhalov A. A. Matematicheskoe modelirovanie i avtomatizatsiya obrabotki izobrazhenii skanirovaniya tverdykh deformiruemykh tel s neodnorodnymi svoistvami materiala i geometrii dlya postroeniya ikh konechno-elementnykh modelei [Mathematical modeling and automation of mage processing of scanning solid deformable bodies with inhomogeneous material and geometry properties for constructing their finite element models]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2017, No. 2 (54), pp. 44-50.
4. Pykhalov A. A., Pashkov V.P., Zyong Van Lam. Issledovanie tochnosti chislennogo resheniya metodom konechnykh elementov analiza napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya obraztsov iz materialov s neodnorodnoi strukturoi na osnove dannykh komp'yuter-nogo tomografa i naturnogo eksperimenta [Investigation of the accuracy of numerical solution by the finite element method for analyzing the stress-strain state of samples from materials with an inhomogeneous structure on the basis of data from a computer tomograph and a full-scale experiment]. VESTNIK IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2017, Vol. 21, No. 4, pp. 47-56.
5. Pashkov V. P., Zotov I. N., Pykhalov A. A. Modelirovanie mekhanicheskikh sistem s neopredelennymi svoistvami materiala s pri enenie etoda konechnykh ele entov i ko p'yuternoi to ografii [ odeling of echanical syste s with indeter inate properties of a material with the use of the finite element method and computed tomography]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2014, No. 2 (42), pp. 44-50.
6. Trufankov G. E. (eds.). Rentgenovskaya komp'yuternaya tomografiya. Rukovodstvo dlya vrachei [X-ray computer tomography. A guide for doctors]. St. Petersburg: Foliant Publ., 2008, 1200 p.
7. Uten'kin A. A., Sveshnikova A. A. Biomekhanicheskie svoistva kompaktnogo veshchestva kosti [Biomechanical properties of compact matter of bone]. Arkhiv anatomii, gistologii i embriologii [Archive of anatomy, histology and embryology], 1971, No. 10, pp.
8. Uten'kin A. A., Sveshnikova A. A. Uprugie svoistva kostnoi kompaktnoi tkani kak anizotropnogo materiala [Elastic properties of bone compact tissue as anisotropic material]. Problemy prochnosti [Problems of Strength], 1971, No. 3, pp. 40-44.
9. Faux I. D., Pratt M. J. Computational Geometry for Design and Manufacture. Ellis Horwood Ltd., 1980, 329 p. (Russ. ed.: Foks A., Pratt M. Vychislitel'naya geometriya primenenie v proektirovanii i na proizvodstve. Moscow: Mir Publ., 1982, 304 p.).
10. Porev V. N. Komp'yuternaya grafika [Computer graphics]. St. Petersburg: BKhV-Peterburg Publ., 2002, 432 p.
11. Rogers D. F. Procedural Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill, 1985, 433 p. (Russ. ed.: Rodzhers D. Algoritmicheskie osnovy mashinnoi grafiki. Moscow: Mir Publ., 1989, 512 p.).
12. Rogers D. F., Adams A. J. Mathematical Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill, 1989, 611 p. (Russ.ed.: Rodzhers D., Adams Dzh. Matematicheskie osnovy mashinnoi grafiki. Moscow: Mir Publ., 2001, 604 p.).
13. Levitin A. Introduction to The Design & Analysis of Algorithms (2nd Edition). Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc. Boston, MA, 2006. 592 p. (Russ. ed.: Levitin A.V. Algoritmy: vvedenie v razrabotku i analiz. Moscow: Vil'yams Publ., 2006, 576 p.).
14. Zyong Van Lam, Pykhalov A. A., Zotov I. N. Avtomatizatsiya obrabotki izobrazhenii skanirovaniya tverdykh deformiruemykh tel dlya opredeleniya izmeneniya modulya uprugosti i ispol'zovaniya pri postroenii ikh konechno-elementnoi modeli [Automation of image processing scanning of solid deformable bodies to determine the change in the modulus of elasticity and use in constructing their finite element model]. Certificate No. 2016615938, 2014.
15. Pykhalov A. A., Milov A. E. Kontaktnaya zadacha staticheskogo i dinamicheskogo analiza sbornykh rotorov turbomashin [Contact problem of static and dynamic analysis of the rotors of turbomachines]. Irkutsk: IrGTU Publ., 2007, 192 p.
16. Zenkevich O. S. Metod konechnykh elementov v tekhnike [The finite element method in engineering]. Moscow: Mir Publ., 1975, 542 p.
REFERENCES
45-50.
