CC BY
38
38. Tikhonravov A.V.,Trubetskov M.K.,Tikhonravov A.A.,Duparre A. Effects of interface roughness on the spectral properties of thin films and multilayers // Applied Optics. 2003. 42. P. 51405148.
39. Tikhonravov A., Trubetskov M., Amotchkina Т., Tikhonravov A., Ristau D., Gunster S. Reliable determination of wavelength dependence of thin film refractive index // Proc. of SPIE. 2003. 5188. P. 331-342.
40. Tikhonravov A., Trubetskov M., DeBell G. On the accuracy of optical thin film parameter determination based on spectrophotometric data // Proc. of SPIE. 2003. 5188. P. 190-199.
41. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K. Stabilization of computational algorithms for the characterization of thin film coating // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6. № 1. С. 96-104.
42. Tikhonravov А. V., Trubetskov M.K. Computational manufacturing as a bridge between design and production // Applied Optics. 2005. 44. P. 6877-6884.
43. Tikhonravov A.V. Virtual deposition plant // SPIE Proc. 2005. 5870. P. 108-120.
Поступила в редакцию 10.02.06
УДК 517.9
А. С. Ильинский
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН
(кафедра математической физики факультета ВМиК)
Введение. Разработка математических моделей вибраторных антенн представляет одну из важных и актуальных проблем теории антенн. Вибраторная антенна появилась в радиотехнике с момента ее возникновения, когда A.C. Попов впервые использовал радиоволны для передачи сигнала в 1895 г. и начал эру радио. В настоящее время системы вибраторных излучателей широко применяются для разработки антенн КВ и УКВ диапазонов. При этом в современных условиях очень большое значение имеют вопросы взаимного влияния активных и пассивных излучателей различного диапазона друг на друга. Учет взаимного влияния проводников требует эффективных методов расчета распределения токов. Метод наведенных э.д.с., предложенный A.A. Пистелькорсом [1] в 1928 г., дает приближенное решение, точность которого во многих случаях недостаточна, а оценка погрешности требует более детального расчета распределения токов. Строгая постановка задачи определения распределения тока приводит к системе интегральных уравнений. Для параллельных проводников такая система интегральных уравнений получена в работе А.Н. Тихонова и В.И. Дмитриева [2], а для произвольно расположенных проводников — в работе A.C. Ильинского и И.В. Бережной [3]. При получении интегральных уравнений ток на поверхности вибраторов определяется из решения краевой задачи для уравнений Максвелла.
Задача возбуждения конечного вибратора имеет давнюю и интересную историю. К. Поклингтон и М. Абрахам впервые в своих статьях [4, 5] рассмотрели вопрос о распределении тока вдоль вибратора. Они показали, что основному колебанию тока в вибраторе соответствует синусоидальное распределение тока вдоль провода антенны. Было установлено, что резонансная длина волны основного колебания близка к удвоенной длине вибратора. Достаточно подробно результаты излучения антенны как линии, открытой на конце, рассмотрены в книге И.Г. Кляцкина [6].
Строгая постановка задачи о распределении тока в вибраторе основана на сведении задачи о возбуждении вибратора к интегральным уравнениям относительно функции распределения тока. Первая работа в этом направлении принадлежит Е. Галлену [7]. В этой работе для передающей антенны полагалось, что сторонняя напряженность тока сосредоточена в зазоре, а на поверхности вибратора
Ес( = 0, а следовательно, и касательная составляющая полного поля равна нулю. Для распределения тока 1{г) вдоль вибратора длиной 21 и радиуса а Галлен получил интегральное уравнение. Далее это уравнение решается путем разложения в ряд функции распределения тока по параметру = 21п
Приближенному решению интегрального уравнения Галлена посвящена монография Р. Кинга [8]. В этой монографии интегральное уравнение для малых радиусов заменяется интегральным уравнением с ядром, не имеющим особенности.
Оригинальный метод исследования интегрального уравнения был разработан М.А. Леонтовичем и М.Л. Левиным [9], однако принятые исходные положения математической модели остались теми же, что и в работе Галлена.
Математическая модель, на основе которой получено уравнение Галлена, не учитывает согласования токов в линиях, питающих антенну, и токов в излучателях. В данной модели эти процессы не зависят друг от друга. Это приводит к определенным противоречиям в постановке задачи. Как показано в работе Л.А. Вайнштейна и В.А. Фока [10], возбуждение вибратора бесконечно-малым зазором, что описывается заданием Ес( = иб(г), приводит к сингулярному распределению тока. В точке питания распределение тока имеет слабую особенность. С этим связаны трудности, возникающие как при решении уравнения, так и при применении результатов, поскольку одной из основных целей моделирования является определение условий согласования фидерных линий и излучателя.
Самосогласованная модель возбуждения вибратора исследована в работе Н.И. Шамеевой [11]. В ней рассмотрено возбуждение вибратора двухпроводной линией, при этом волны тока отражаются от излома двухпроводной линии, что позволяет строго определить входное сопротивление вибратора.
Для успешного применения модели интегрального уравнения к расчету вибраторных антенн важной была работа А.Н. Тихонова и В.И. Дмитриева [2], где был предложен общий метод решения системы интегральных уравнений, описывающих распределение тока в системе параллельных линейных вибраторов. В этой работе получена система интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах при совпадении аргументов и разработан метод их эффективного решения.
Однако ряд важных вопросов теории возбуждения вибраторных антенн требует дальнейшего решения. Это вопросы достаточного универсального учета различных способов возбуждения антенн, учет электрических контактов между вибраторами, расчет антенн в широком диапазоне частот. Это привело к разработке математических моделей вибраторных антенн на основе метода интегральных уравнений. Некоторые из этих вопросов рассмотрены в настоящей работе.
Работа [2] стимулировала как развитие ряда направлений в теории интегральных уравнений, так и развитие вычислительных методов решения задач вибраторных антенн. В этой работе было установлено, что решения интегральных уравнений, которые рассматриваются как операторные уравнения в естественных пространствах С([—II]) или //]), являются некорректными задачами, и для их
устойчивого решения следует применять регуляризирующие алгоритмы. Применение общих методов решения некорректных задач для задач данного класса возможно, но неоправданно из-за большой трудоемкости. В то же время специальный характер особенности ядра позволяет провести аналитическое обращение сингулярной главной части оператора. Такая аналитическая регуляризация была развита в работах М.М. Хапаева (мл.) [12, 13]. Аналогичный подход к интегральным уравнениям с логарифмической особенностью ядра содержался в циклах работ Ю.И. Мокина [14, 15].
Аналитическое полуобращение главной сингулярной части требует достаточно аккуратной предварительной работы и применения достаточно специальных методов вычисления сингулярных интегралов. При этом часто приходится применять численные методы. Более удобный подход к решению сингулярных интегральных уравнений с логарифмической особенностью заключается в сведении к устойчивой задаче численного обращения интегрального оператора, который рассматривается как оператор, отображающий область определения, заданную в пространстве обобщенных функций дробного порядка в сопряженное пространство. При таком подходе удается разработать весьма общий метод приближенного решения операторного уравнения, аналогичный методу Галеркина, получить обоснование сходимости приближенного метода и оценки скорости сходимости. Для системы одномерных интегральных уравнений возможен выбор базиса (на основе полиномов Чебышева), учитывающего особенность поведения решения интегральных уравнений на концах отрезка. Для вибраторных антенн большой электрической длины может быть выбран базис из пространства степенных сплайн-функций, позволяющих сводить задачу решения интегральных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений специального вида (блочно-циркулярным, блочно-теплицевым) и применять достаточно эффективные вычислительные методы для линейных уравнений.
В настоящей статье дается обзор результатов по теории возбуждения вибраторных антенн. Это вопросы достаточно универсального учета различных способов возбуждения антенн, учет электрических контактов между вибраторами, расчет антенн с учетом влияния отражающих экранов и прежде всего с учетом отражения от поверхности Земли.
1. Метод Галеркина для интегрального уравнения линейного излучателя. Будем рассматривать задачу возбуждения круглого цилиндрического вибратора, представляющего собой конечный отрезок тонкостенной круглой трубы радиуса а и длины 21. Толщиной трубы будем пренебрегать. Поверхность S цилиндрической оболочки будем считать идеально проводящей. Введем цилиндрическую систему координат (r,<p,z), в качестве начала координат выбираем точку О на оси трубы, равноудаленную от ее концов так, что поверхность S задается в цилиндрических координатах как множество точек {S : г = а, 0 ^ <~р ^ 27т, \z\ < /}.
Будем рассматривать осесимметричное возбуждение вибратора, которое описывается распределением стороннего электрического поля Ест, не зависящего от угловой координаты ip и направленного вдоль оси вибратора: Ест = (0,0, Ест).
Электромагнитное поле излучения в любой точке пространства R3 вне S имеет компоненты (Ez, Er, Hv) и может быть выражено через векторный потенциал А = A(M)iz:
Е(М) = — (graddiv А + к2 Л) , Н(М) = rot А, М £ R3 \ S.
UJ£ о ^ '
Зависимость от времени — e~l0jt, и — круговая частота волнового процесса, к2 = oj2£o/j,o, £q,
До — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, zq = л/— — импеданс среды. Функция
V ^о
А(М) удовлетворяет уравнению Гельмгольца всюду в R3 \ S:
АА + к2А = 0. (1)
Составляющие электромагнитного поля выражаются через А следующим образом:
шео \дг2 / иео дгдг дг
Электромагнитное поле излучения должно удовлетворять на поверхности 5 граничному условию на поверхности вибратора:
Ег + Е1Т = 0, Ре 5. (2)
Кроме того, поля должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности и условию Мейкснера на кромках бесконечно тонкой цилиндрической поверхности 5. Условия на ребре состоят в том, что в произвольной ограниченной окрестности кромки вибратора электромагнитное поле должно быть интегрируемо с квадратом. Это условие означает, что функция А(М) должна принадлежать пространству Я1ос(Д3\5), т.е.
У (|УА|2 + |А|2) ¿и < оо
для любой ограниченной области С.
Краевая задача для функции А(М) в неограниченной области Д3 \ 5 с условиями излучения и условиями на кромках определена однозначно и существует. Теорема существования следует из теоремы единственности и эллиптичности краевой задачи. Теорема единственности рассмотрена в книге [17] для гладкой поверхности, однако условия на ребре позволяют доказать теорему единственности для поверхности, имеющей кромку.
Для определения токов на 5 весьма важно рассмотреть представление А(М) в виде поверхностного потенциала простого слоя
гкНмр
/ргкКМр
s
где Rmp — расстояние между точками М(г, 0, z) £ R3 \ S и Р(а, (p,Q G 5
Функция ](Р) однозначно определяется по функции А(М). Однако свойства функции ](Р) таковы, что они должны учитывать выполнение условий на ребре для функции А(М). Для функции ](Р) справедливо интегральное уравнение, которое определяет решение краевой задачи. Выбор класса, которому принадлежит распределение ЛР), и определяет свойства решений интегрального уравнения. В первых работах по теории интегрального уравнения тонкого вибратора считали, что достаточно выбрать функцию ](Р) непрерывной, обращающейся в нуль на концах вибратора. При этом оказалось, что этот класс функций С( — 1,1) является слишком широким для операторного уравнения тонкого вибратора. Это привело к тому, что задача определения решения операторного уравнения оказалась некорректно поставленной, а интегральное уравнение являлось интегральным уравнением первого рода с вполне непрерывным оператором. Это обстоятельство было установлено после появления работ А.Н. Тихонова по теории некорректно поставленных задач.
Однако интегральное уравнение для распределения тока может быть сформулировано как корректная задача с ограниченным обратным оператором. При этом возможны различные формулировки интегрального уравнения. Если правая часть уравнения достаточно гладкая, то возможна формулировка корректной задачи для весовых пространств Фр [18, 19]. Однако наиболее естественный подход заключается в формулировке интегрального уравнения для пространств Соболева дробного индекса.
Пусть Е — поверхность бесконечного цилиндра, содержащая поверхность 5, 5 С Е. Введем пространства Соболева для функций, имеющих осевую симметрию по азимутальному углу <р и определенных на поверхности бесконечного цилиндра Е.
Введем пространство Яв(Е) как множество функций V Е ¿^(Е), Для которых + О Е
Е Ь2(Я1), где V — преобразование Фурье. Это пространство является гильбертовым с нормой
п\1 = [ (1 + |е|2)>|2 ¿е.
Отметим, что пространства Яв(Е) и Я в(Е) являются антидвойственными при всех в Е Я1 относительно полуторалинейной формы, являющейся продолжением по непрерывности формы
оо
(у1 ю) = J <1г.
Поскольку 5 является подмножеством Е, положим
Я5(5) = {и\„, РЕН°{Е)}, я5(5) = {v Е Н'{Е) : 8ирр v Е 5}.
Пространства и являются антидвойственными друг другу для всех 5 С Я1 относи-
I
тельно полуторалинейной формы, являющейся продолжением по непрерывности формы f г/(г)гй(г) йг.
-I
Пространство может быть получено замыканием Со°(5) по норме ||-|| .
Введем операторы: 70 — оператор следа на Е, 71 — оператор следа нормальной производной на Е с каждой стороны поверхности Е, т.е.
7о : и —> и ди
^ : и 7Г оп
: Я11ос(С)^Я+1/2(Е), Е),
где С = С\ или С?2 — области внутри и вне цилиндра Е, а
НЦв) = {иЕ Я1 (С) : Аи Е Ь2(С)}. Определим также оператор q продолжения нулем с 5 на Е:
д : Ф ■ Яя(5) Я*(Е), ^ = 0 наЕ\5,
и оператор р сужения функции с S на 5:
р : Lp ^ Lp
: tfs(E) HS(S).
Будем понимать равенство (2) как равенство элементов в пространстве Н~1!2 (5), причем равенства должны выполняться с обеих сторон поверхности 5. Хорошо известно, что решения однородного уравнения Гельмгольца из Н\ос(113 \5) будут бесконечно дифференцируемы в Д3 \5, поэтому можно сразу считать, что решение уравнения (1) А 6 С2(Д3 \ 5) и понимать его в классическом смысле.
Будем искать решение краевой задачи (1), (2) в виде потенциала простого слоя
А(М) = I j(P)
íIcRmp
4:7TRmp
dsi
где Ямр — расстояние между точками М(г, 0, г) Е й3 \ 5 и Р(а,(рФункция ](Р) не зависит от угла <р и является функцией координаты г: £ Н+1!2 (5), причем
~ дА~
J{z) =
дп
и [A]s = О,
где [A]s =p(l0(AGl ) -7o(AG2)), [§^] s = p(7l(AGl) - 7i(AG2)).
В силу свойства потенциала простого слоя все условия на функцию А, кроме условия (2), удовлетворены, а краевое условие (2) дает операторное уравнение
/Я2 \ Г eikRp0p ¡.р
N]=( — + k2) т—=-dsp =--Р0 G 5,
dz2
-ГО
4тг RPo
(3)
N: H+1/2(S) -7- H~1/2(S).
Если Р, Pq G S, то Rpp0 = \J\z — + 4a2 sin2 Lp, и обозначая через K{t) (t = \z — £|) ядро
K(t) = -
TT
0ikRpp RPPo
■dcp,
перепишем уравнение (3) в виде одномерного уравнения
i
+ / j(z)K(\z-Z\)dt=-g(z), где g(z) = ^E^(z), \z\ < l, -i
которое можно рассматривать как операторное уравнение H+1/2(S) —> Н~1!2 (5).
Покажем, что задача излучения тонкого вибратора эквивалентна решению интегрального уравнения (3). Пусть Ez, Er, Hv — решения задачи излучения. Тогда существует функция
j(z) = lim. (Hv(a + е, z) - Hv(a - s, z)) ,
s->0
которая равна нулю в точках г ^ —/, г ^ I, и ] £ Н+1!2([—I, /]), поскольку Н,р(г,г) удовлетворяет уравнению Гельмгольца, при этом Н,р(г,г) = — и условию на ребре, где А также удовлетворяет уравнению Гельмгольца, и, таким образом, справедлива теорема о следах [16]. Функция
]{z) = Ti
дА дг
Ti
г=0+0,
дА дг
г=0-0,
порождает потенциал
/eikRMp
M)4nRMpäsp, где M = M(r,z), P=P(a,0
и, следовательно, ](г) удовлетворяет уравнению (3). Если уравнение (3) может иметь лишь единственное решение в указанном классе функций, то всякое решение уравнения (3) определяет поле излучения, и поле излучения порождает решение уравнения (3).
Покажем, что решение уравнения (3) может иметь лишь единственное решение в соответствующем классе функций. Допустим противное. Обозначим через решение однородного уравнения (3). Построим потенциал простого слоя с плотностью ^о(^):
/егкКМр
Б
Функция и(г, г) определяет электромагнитное поле Е®, Е®, которое является решением однородной задачи излучения, решение же в силу теоремы единственности [17] для задачи излучения равно нулю тождественно: и(г, г) = 0, (г, г) Е Я2 \ 5. Вычислим всюду для точек 5 скачок магнитного поля, пользуясь теоремой о скачке потенциала простого слоя [20]:
lim (H" (a + e,z)~ H" (а - е, z)) = - lim —
r=a-\-e
du dr
= -2Trj0(z).
С другой стороны, поскольку z) = 0, скачок равен нулю, следовательно, jo(z) = 0, z Е [—1,1].
Вопрос о разрешимости уравнения (3) связан с рассмотрением уравнения (3) как уравнения в гильбертовых пространствах. В работе [20] установлена теорема разрешимости уравнения (3) как уравнения в нормированном пространстве Я+1/2([—I, /]), при этом оператор А является фредгольмовым оператором, действующим из Я+1/2([-/, /]) в Я-1/2 ([-/,/]).
В работе [19] установлена корректность уравнения (3) в весовых пространствах X —> Y при X = L2p( — l, I) и Y = W2q[—l, I]- При этом даны оценки для норм прямого и обратного операторов.
В работе Д.С. Джонса [21] установлена однозначная разрешимость интегрального уравнения для тонкого вибратора в классе интегрируемых функций, однако этот результат не может быть применен к решению интегрального уравнения, поскольку не установлена корректность уравнений в данном классе.
Для применения общей схемы метода Галеркина выделим главную сингулярную часть оператора А. Вначале заметим, что ядро интегрального оператора K(t) имеет логарифмическую особенность. Действительно, ядро K(t) имеет следующее представление:
тг/2 тг/2
, 2 Г elkR - 1 , 2 Г 1 ,
о о
Оценивая асимптотически поведение интеграла, запишем ядро в виде
K(t) = —\n^ + K1(t). тта t
Ядро K\(t) имеет устранимую особенность в нуле. Таким образом, уравнение (3) можно представить в виде A0j + Bj = -g, где
; ;
A°J = {w+Im {t. 111 lî^i) B} = (é+*2) -г|)
-i -i
Из явного вида ядра -R'i(Ç) следует, что оператор В — вполне непрерывный оператор В\ Н+1!2 —> —т- Я-1/2. Оператор Ао — симметричный положительно определенный оператор, имеющий ограниченный обратный. Уравнение (3) можно переписать в виде
j + Tj=g'1 JE Н0, д' = -А^д, Т = А^В. (4)
Уравнение (4) и уравнение (3) эквивалентны. Рассмотрим схему вычисления приближений уравнения (3) или (4) по методу Галеркина.
Рассмотрим метод Галеркина для уравнения N] = —д. Пусть {Нк} — семейство подпространств Н1!2 (5) таких, что для любого V 6 Н1!2 верно || V — С^г/Ц —> 0, /г —> 0, где — ортопроектор на Нн в Я1/2(5).
Метод Галеркина состоит в том, чтобы найти фн 6 Нк такую, что
(лУ» = Н/,^>, »енн. (5)
Здесь скобки означают соотношения антидвойственности пространств Н~1!2 (5) и Н1!2 (5), т.е. продолжения по непрерывности на Н~1!2 (5) и Н1!2 (5) формы (д,^) = / ду Аз. Если Нн — конечномерно,
з
то схема метода Галеркина приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Пусть ф^ — базис в Нк. Тогда соотношение (5) эквивалентно системе
АтНин = -Ън, (6)
где Нн = {(Л^,^)}, Ьн = {(д,фЬ)}, ин = {<}, фн = £
¿=1
Коэффициенты игн определяются из системы уравнений Галеркина для уравнения (3):
¿=1
{(Аоф?, Ф+ (Вф?, ф} Ч = (-д, ф, з = 1,..., п. (7)
Для сходимости метода Галеркина имеет место следующее утверждение.
Существует /го > 0 такое, что при всех 0 < /г < /го уравнение (6) имеет единственное решение фн 6 Нк. При /г —т- 0 фн сходится к точному решению ф квазиоптимально, т.е. существует постоянная С такая, что для всех /г, 0 < /г < /го, имеет место оценка
\\ф-фн\\1/2^С ш^\\ф-у\\1/2=СЕ1/2(фНн).
Норма П^П 1/2 означает ||г/Ия1/2(5)•
Принимая во внимание поведение аппроксимаций точного решения на заданной системе координатных функций, можно получить оценки скорости сходимости приближенного решения к точному.
Наиболее простой для реализации метод получается при использовании кусочно-линейных сплайнов. При этом все элементы матрицы системы метода Галеркина удается выразить аналитически через значения ядра К{£) в точках сетки сплайнов [22]. В этом случае приближенное решение уравнения (3) фн будем искать в виде суперпозиции Я-сплайнов первой степени дефекта V = 1:
( -' 2г -1 ^ ^ ^ 2г'
= ГДе В*{г) = \ 1 +'т£7Г> ^ * ^ *Н-1>
¿=1 [о, г ^ г ^ г{+11
Zi, i = 0,..., п, — точки разбиения отрезка [—/,/], = —I, гп = I, < ^¿+1, /г^ = ^ —
2. Метод коллокации и аппроксимации для интегрального уравнения вибратора. Метод Галеркина имеет универсальный характер, однако он связан с вычислением интегралов от операторных уравнений. Для данного уравнения можно предложить более экономичный метод, основанный на приближении решения интегрального уравнения системой функций, которые являются собственными функциями главной части интегрального оператора. Рассмотрим вновь интегральное уравнение (3)
I
+ к0 /]{")К (|г " е1) ^ = И < 1
-I
Обращая дифференциальный оператор + к2^, перепишем это уравнение в форме / /
!= I ^к^д^)А^+С^ткг + С2со&кг. (8)
-I -I
При условии, что ЛИ) = 0 уравнение (8) эквивалентно уравнению (3). Поскольку 6 Н+1!2 (5), то имеет место представление
з(г) = л/Р - г\(г), <р 6 С([-1, /]).
Ядро К(£) имеет вид К(£) = 1п ^ + К\(£), £ ^ 0. Слагаемое К\(£) непрерывно при £ ^ 0.
Слабо сингулярное интегральное уравнение (8) удобно рассматривать на множестве функций (р, для каждой из которых имеет место разложение в ряд Фурье-Чебышева:
оо
= (у) +6, Гл(*)=со8(А;агссо8*), |*| ^ 1.
к= 1
При этом
/
Для удобства дальнейших преобразований введем переменную х = у, а уравнение (8) запишем в новых координатах
/ I
- ! 1п ^ 1 ^ + J N(1 - = /(ж) +С1 &тк1х + С2 сояк1х,
-I -I
-г
Так как решение ](г) обращается в нуль при г = ±/, то
€ 1.
Метод аппроксимации и коллокации состоит в приближении неизвестной функции <-р(х) конечным многочленом степени га — 1. Этот многочлен можно представить как сумму
п-1
</?„_! (ж) = акТк(х).
к=0
Для определения коэффициентов многочлена ак выбирается сетка на отрезке [—1,1] из га внутренних точек. Заменяя интегральное уравнение требованием удовлетворения уравнения в узлах сетки, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ак. Постоянные С\ и С2 определяются из условий выполнения уравнения в концевых точках х = ±1.
Слабо сингулярные интегралы в уравнениях вычисляются аналитически. При этом удобно воспользоваться соотношением между полиномами Чебышева первого рода:
п-1
п+1
ТпТт - 2(т„+т+т„_т),
Ьр =
= 2(1+^2),
\(а0-\а2), р = О, \ («1 - а3) , р = 1, \ (а2 ~ а0 - ±с4) , р = 2, \ (ар - \ар_2 - \ар+2) , 3 ^ р ^ га - 3,
к=0
р=0
1
2 уа"-2 — 2а"-4) ' р — П — 2, I (а„_1 - |а„_з) , р = га-1,
4"п —1 )
р = га + 1.
Для коэффициентов получаем систему линейных уравнений:
i
+ [ TkN{xm-t)£?J=±dt = Fm,
U р és л ^^
= f(xm) + Ci sin klxm + C2 cos klxm, m = 1,..., ra.
Поскольку ядро N(xp — t) является аналитической функцией, то для вычисления интеграла следует использовать квадратурные формулы Чебышева. Наиболее удобно выбрать узлы коллокации как корни Чебышевского многочлена степени га
/2т-1 \
= — cos -7Г , т = 1,.... п.
2га " -
Предложенный метод особенно удобен при малых величинах kl в квазистатической области. В этом случае многочлен невысокой степени обеспечивает достаточную точность.
Обоснование метода коллокации и аппроксимации достаточно подробно рассмотрено в работе [18] Б.Г. Габдулхаева.
Рассмотренная вычислительная схема решения одного интегрального уравнения полностью переносится на систему интегральных уравнений, которая получается при рассмотрении системы вибраторных излучателей.
Для системы из произвольного числа излучателей, расположенных в однородном пространстве, задача о возбуждении токов сводится к системе слабо сингулярных интегральных уравнений относительно функций распределения токов на каждом вибраторе [3]:
L, п L,
I Ii{t)Ku{\zi-t\)dt+J2 i Ii(t)Kim (zi, t) dt = 2ttíJ—Ui sin к \z¡ — Zi\-\-Cj sin kz¡ + Cf eos kz¡, (9) 71 n m=1 n
U тф1 U
где I¡(t) — распределение тока на 1-ом вибраторе, к — волновое число, а е и ¡i — диэлектрическая и магнитная проницаемости однородного пространства, Ui — разность потенциалов, подключенная к 1-му вибратору в точке Z¡, га — число излучателей в системе. Временная зависимость взята в виде ехр( — iujt). Ядра интегрального уравнения Кц и K¡m имеют вид:
тг/2 ,--—-—
ik^J(z¡ — t)2+4af sin2 ф
(\*l~t\) = l í -r 0 /
Кц (|zx -tI) = - / d-ф, 0 <:Zl<: Lh
(z¡ - t)2 +4a2 sin2 ф
eikR'm(z,,t)
Klm(zt,t) = -— - [(Ж0т - X0i)(pm - pirm) + (í/om ~ Уы){Чт ~ <ЦГт) +
L,
+ (z0m-z0i)(rm-rlrlm)+t(l-(rlm)2)] j Smk^~^(Z-zl0m-trlJx
■de, 0 ^Zt^h,
j 2 3
" " KMJ) + шт2\
o
e^RK^t)
"Cfe-í)
где
Rm —
\!+ ¥тУ + (y'0m + Wm)2 + {Zl - Zl0m ~ tr'J2 =
= \J(Zipi - (lo™ - Xoi) - tpm)2 + (Ziqi - (y0m - y0i) - tqm)2 + (z¡r¡ - (z0m - z0¡) - trm)2.
Здесь а; — радиус, — длина, (жо/> У01, г(м) — заданные координаты одного из концов, направляющие косинусы /-го вибратора.
Координаты Xlm = (х'0т, yl0ml zl0m)T ж Plm = (plm,qlm,rlm)T определяются по формулам Х1т = = (Хт - X¡)Pm, Plm = BiPm, где Хт = (x0m,y0m,z0m) и Рт = (pm,qm,rm)T, а матрица B¡ удовлетворяет условию \В[ \ = 1 и
3 3 (1 i = к
Yj = Yj = \ о' \ ф k ¿' к = 2' 3' пРичем 613 = Ph bl23 = qh 633 = n.
j= 1 j= 1 1 ' T '
Система интегральных уравнений (9) является слабо сингулярной системой интегральных уравнений с неоднородными коэффициентами С\ и С2, которые определяются из условия принадлежности распределения тока Ii(t) пространству функций Н1/2 ([О, L¡]).
Корректная постановка задачи решения полученной системы уравнений рассмотрена в монографии Б.Г. Габдулхаева ([18, § 20]). Для численного решения системы удобно использовать метод аппроксимации неизвестных функций S-сплайнами, а систему линейных уравнений получать методом коллокации в узлах S-сплайна. Подобная вычислительная схема использована для расчета логопери-одической антенны в работе [23].
Существенное развитие данная методика получила в работах [24, 25], где исследована самостоятельная задача о возбуждении системы вибраторов линией питания, причем получены коэффициенты отражения в линии питания от неоднородности, которой является активный вибратор.
3. Влияние проводящей земли. Задача об излучении вибраторов с учетом влияния проводящей земли является одной из ключевых задач теории антенн. Однако в большинстве работ (см. библиогр. в [26]) исследуется влияние земли на характеристики излучения поля в дальней зоне. Влияние земли на согласование вибраторов с линией питания обычно не рассматривалось. Однако создание мобильных систем связи показало, что земля может влиять на уровень излучаемой антенной мощности. Это обстоятельство требует дальнейшего развития математических моделей в теории вибраторных антенн. Отметим, что влияние внешних экранов на распределение токов в вибраторах впервые исследовано в работе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [27].
Рассмотрим вибратор, представляющий собой идеально проводящий тонкостенный цилиндр, расположенный над плоской однородной землей с параметрами £i, 01 • Вибратор питается идеальным источником тока Ест = UoS(N — Np), где Uq — разность потенциалов в точке питания Np, N — произвольная точка пространства; L, ао — длина и радиус вибратора.
Электромагнитное поле Е и Н удовлетворяет уравнениям Максвелла (временная зависимость — exp (iujt))
V X Н = íüjsE - jext, V X Е = -гш/iH,
где ё = ет - iam/uj, ¡i = до,
_ Í£0, z > 0, _ ido, Z > О,
£m~\ei, г < 0, (Тт~\ст1, z< 0.
На поверхности земли z = 0 касательные составляющие Е и Н непрерывны, а на бесконечности Е и Н удовлетворяют условиям излучения.
На поверхности вибратора должно выполняться граничное условие равенства нулю тангенциальной составляющей полного электрического поля
[n, Etotal(iV)] = о, NeS,
где п — внешняя нормаль к поверхности вибратора.
Введя векторный потенциал Герца А, можно представить векторы Е и Н в виде
Н = —VxA, Е =—г- {V(V- А) + РА}.
До
Перейдем к решению неоднородного дифференциального уравнения относительно А:
V2A + fc2A = -Mojcm, (10)
где к2 = uj2¡1q£.
Решение этого уравнения с учетом граничных условий на поверхности раздела (г = 0) может быть выражено формулой
(П)
где ^(А^ — неизвестное распределение плотности тока по вибратору, I = {рх, гг} — единичный вектор, направленный вдоль оси вибратора (рх, г% — направляющие косинусы), тензорная функция Грина точечного источника
где для г > 0:
с(д,ло =
'С1(д,лг) о о
о С1(<2,А0 о
дд(Я,1V) дд(Я^) дх
ос
о
ос
ехр[-?7о(2: + г')} щ - щ Щ По + т
А 6?А,
ехр[-?7о(2: + г')] ще - гц ■По По£ + т
А ¿X,
оо
(/(д,лг) = 21 М\Р)
ехр[-т]о(г + г')] е-1
■А 6?А,
??о + Ш + VI
о
Д = + (г_г,)2) Р = л/{х-х>У + {у-у>)\
Т]0 = ^Х2 - к2, ГЦ = ^Х2 - к2, £= (е1-
к1=и2ц0е01 к\ = - гах/ш).
Используя выражение (10) для векторного потенциала Герца, можно записать уравнение Галлена относительно неизвестного распределения тока /(Лг) = 2тта^](Н).
Рис. 1
Для вертикального вибратора (рис. 1) I = {0, 0,1} и уравнения Галлена интегральное уравнение имеет вид
г0 + Ь
I 1{1)[К1{11г')+К2{11г')]<И = Р{г')1 г' 6 [г0, г0 + Ь], (12)
«о
где
тг/2
ехр( — ikoR) exp(-ikoRo)
R
Rq
dp,
OC
K2(t,z') = [ Jq (aoA/2)-Ц-exp[-r]0(t + z')]\d\,
J + Vi
о
R = \J{t- z')2 +4al sin2 <p, R0 = \J {t + z')2 +4a20 sin2 <p, ISq
F(z') = —4тгi.j—U0 sin ko(z' — zp)h(z' — zp) + C\ sin k^z' + cos k$z'. V Mo
Рис. 2
В случае горизонтального вибратора (рис. 2) уравнение Галлена примет вид
ь
j /(i)[Ki(i, z') + K3(t, z') + K4(t, z')} dt = F(z'), z' G [0, L], (13)
о
где Ki(t,z') имеет тот же вид, что и в случае вертикального вибратора,
7Г ОО
Кз(м') = 1 [ ÎMXp)exp[-Vo{2zo + ao{1-COSÎp))]xdXd^
К J J Г]0 + Г]1
о о
z' оо ^
Ki(t,z') = -^J j J1(Xp)A1(X)(t - 0 cos к0 {z' - 0 — ехр(-2т?о^о) dXdÇ, о о
. 1 £ - 1 Ai А =--.
m + m vo£ + vi
Уравнения (12) и (13) являются интегральными уравнениями Фредгольма первого рода с логарифмической особенностью ядра. Для обеспечения устойчивости решения этих уравнений используется метод коллокации и аппроксимации с выделением особенности в первых слагаемых ядра Ki(t,z').
Для решения уравнений (12) и (13) используем метод коллокаций. Представим неизвестную функцию распределения тока комбинацией M базисных кусочно-постоянных функций и найдем значения коэффициентов разложения, при которых данное представление тока является решением интегрального уравнения в M дискретных точках. Для нахождения коэффициентов разложения тока необходимо решить следующую систему линейных алгебраических уравнений:
м
£Гя1
п= 1
(anm +alm)In = Fmi ТО =1,2,..., M.
Коэффициенты а1пт для вертикального и горизонтального вибраторов вычисляются так же, как и для случая расположения вибраторов в свободном пространстве. Коэффициенты а2пт содержат несобственные интегралы с осциллирующей подынтегральной функцией. Так как параметры в случае вертикального вибратора и/)в случае горизонтального вибратора достаточно малы, функции Бесселя имеют большой период осцилляции, а подынтегральное выражение быстро убывает за счет экспоненциального множителя, то вычисление интегралов можно проводить по вещественной оси на отрезках между нулями подынтегральной функции, например по формулам Гаусса.
При нахождении поля, излучаемого вибратором в дальней зоне (коЯ 1), можно воспользоваться асимптотическим методом приближенного вычисления интегралов Зоммерфельда, называемым методом седловой точки. Запишем выражение (11) для элементарного вертикального диполя, заменив функцию Бесселя в интеграле Зоммерфельда на функцию Ханкеля:
До
Adz(Q) = ^G11(Q,N(t))j(t) dt,
4тг
где
Gll(Q,N(t)) = exp{ *koR) +1, ыг» 1,
R
+ ос
1 = 4 Н>;>мгмГр1-"°(1+')Ь<1х,
^ .) Щ
— ос
я= л/х2 + у2 + [г - £)2, te[zo,z0 + L],
/о1)
— функция Ханкеля, Г ¡ДА) = (ещ - гц)/{ещ + щ). В результате исследования асимптотического выражения для интеграла I можно получить следующее представление для Сц((5, Лг(^)), к^Я 1:
Г (п exp(-ik0R) exp(-ikoRo) exp(-ik0R0) eje Gu(Q,I\(t)) = -------iv[ti)---1 v2 (0) + г 1 _
R
где
Г v{9) =
Ri k0R0
л/e — sin2 в — e eos в
1 + e
Г v2{0) =
K(0) =
\¡e — sin2 в + e eos в
Tv(0)-ctgeT'v(e)+Tl(e),
2e(e - 1) sin 0 \¡£ — SÍn2 в £ — SÍn2 в + £ COS в^
2 sin в
2 '
Yl(ff)=2£(£-l)
COS в(£ — sin2 в + sin I
_ „ „ , 2 sin #(cos в + £\J£ — sin2 в sin в)
(£ - sin2 в) (л/е - sin2 в + £ COS в) _ sin2 0 (y£ _ sin2 Q + £ CQS qJ
A2 = 2h{e - ep)
2iriko
exp{-ik0[VeRosme - (z + t)]y/l/(l + e)},
p' V Ro sin в
R = y/x2+y2 + (z-t)2, Ro = л/х2+у2 + (z + t)2, t G [г0, z0 + L], 9p = Rе(фр) — arccos [ch(Im(-í/>p))J .
Для горизонтального вибратора вектор Герца имеет две составляющие:
K = ^G^Q,N{t))3{t) dt,
4тт
ду
Проводя преобразования, аналогичные преобразованиям для случая вертикального вибратора, можно получить
г (п АТ(+ЛЛ exp(-ik0R) exp(-ik0R0) 1 exp(-ik0R0) Gi(Q,N(t)) =---+---Г,(0) ~ ГЬ2
R = Vp2 + (z~zo), Ro = Vp2 + {z + z0), p=Vx2 + (t-y)2, ie[0,b],
(cos 0 — л/e — sin2 0)
rh(0) =
(cos 0 + л/£ — sin2 0)
Г ш(0) = -Л^Г h{0) + Щ , L-
2sin 0 smö Ve-sin20 ÍVe-sin20 + ecos0j
£2 COS 0 + sin 0 COS 0 £ sin 0(1 — COS 0) (sin 0 — 1)
(e - sin2 Ö)3/2 (Ve - sin2 в + £■ cos 0)2 (e - sin2 в) (Ve - sin2 0 + e eos 0)
gg(Q, iV(¿)) ехр(-гА;0Д0) ¡2ik0 \y-t\ , —--^-= 2|y-í|--Г^Н0) - y——exp{-iÄo[V£/o - {z + z0)\yj 1/(1 + e)j,
где
^(01= (g-l)cosg ^ Глз(0) = _/4/~Г
e (cos 0 + v ^ — sin 0 1 ' v ' / v 1
Воспользовавшись представлением напряженностей электромагнитного поля через векторный потенциал Герца, проинтегрировав вдоль вибратора, можно получить выражения для диаграмм напра-вленностей.
Предложенный метод расчета характеристик линейного вибратора, расположенного над полупроводящей землей, позволяет осуществлять численные исследования, связанные с разработкой конкретных антенных устройств с учетом влияния земли.
На основе изложенного алгоритма построены прикладные программы, позволяющие провести исследования влияния земли на распределение тока и входное сопротивление антенны [28, 29].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пистелькорс A.A. Расчет сопротивления излучения направленных коротковолновых антенн // ТиТбП. 1928. № 48.
2. Тихонов А.Н., Дмитриев В. И. Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы // Вычислительные методы и программирование. Вып. X. М.: Изд-во МГУ, 1968. С. 3-8.
3. Ильинский A.C., Бережная И. В. Исследование распределения тока в системе произвольно расположенных вибраторов // Вычислительные методы и программирование. Вып. 20. М.: Изд-во МГУ, 1973. С. 263-270.
4. Рос klingt on Н.С. // Proc. Cambridge Philosophical Society. 1897. N 9. P. 324.
5. Abraham M. Annalen der Physik (Wied. Ann.). 1898. N 66. P. 435.
6. Кляцкин И.Г. Основы теории линейных антенн. Л.: ЛЭТИ, 1966.
7. Hallen Е., Theoretical investigation into transmitting and receiving antenna // Nova Acta Regide Soc. Sei. Upsaliensis. 1938. Ser. 4. N 11. P. 1-11.
8. King R. W.P. The theory of linear antennas. Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ. Press, 1956.
9. Л e o H T о в и ч M. А., Л e в и H M. Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн // ЖТФ. 1944. 14. № 9. С. 481-506.
10. Вайнштейн Л. А., Фок В. А. Симметричные электрические колебания идеально проводящего полого цилиндра конечной длины. III. Передающий вибратор // ЖТФ. 1967. 37. № 7. С. 1189-1195.
11. Шамеева H.A. Электродинамический расчет симметричного вибратора, возбуждаемого в разрез двухпроводной линией // ДАН СССР. 1971. 201. № 2. С. 328-330.
12. Хапаев М.М. (мл.) Численное обращение некоторых интегральных операторов I рода // Диф. ур-ния. 1981. 17. № 7. С. 1328-1339.
13. Хапаев М.М. (мл.) О численном обращении интегральных операторов I рода типа потенциала простого слоя // Диф. ур-ния. 1982. 18. № 3. С. 498-505.
14. Мокин Ю.И. Многосеточный метод для интегральных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Серия 15. Вычисл. матем. и киберн. 1986. № 4. С. 15-19.
15. Мокин Ю.И. Численное решение интегральных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1988.
16. Constabel M. Boundary intagral operators on Lipshitz domains: Elementary results // SIAM J. Math. Anal. 1988. 19. N 3. P. 613-626.
17. Ильинский A.C., Кравцов В. В., Свешников А. H. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.
18. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1995.
19. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Исследование математических моделей микрополосковых линий // Методы математического моделирования, автоматизированной обработки наблюдений и их применение. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 176-198.
20. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖР, 1996.
21. Jones D.S. Note on the integral equation for a straight wire antenna // IEE Proc. April. 1981. 128. PtH 2. P. 114-116.
22. Ильинский А. С., Катющина В. А. Метод Галеркина для интегрального уравнения линейного излучателя // Обратные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1997. С. 150-158.
23. Ильинский A.C., Бережная И.В., Коган Б.Л. Расчет логопериодического облучателя зеркальной антенны // Вычислительные методы и программирование. Вып. 36. М.: Изд-во МГУ, 1982. С. 84-90.
24. Ильинский A.C., Бережная И. В. Математические модели тонких вибраторных антенн // Математические модели и вычислительные методы. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 101-126.
25. Ильинский A.C., Бережная И. В. Исследование влияния линии возбуждения на характеристики многоэлементных вибраторных антенн // Численные методы электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1983. С. 65-71.
26. King R.W. P., Smith G. Antennas in matter. Fundamentals, theory and applications. London: The MIT Press, 1981.
27. Тихонов A. H., Самарский A.A. О сопротивлении излучения линейных токов // ЖТФ. 1949. 19. № 7. С. 792-803.
28. Альховский Э. А., Бережная И.В., Кондратьев А.Г. Учет влияния проводящей земли на распределение тока и диаграммы направленности линейного излучателя // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М.: Изд-во МГУ, 1990. С. 199-208.
29. Ilinski A.S. Berezhnaya I.V., Alkhovski E.A.,Kondratjev A.G.,Perfilov O.Ju. Investigations of HF and VHF ground antennas for communication systems // Electromagnetics. 19. N 2. 1999. P. 171-185.
Поступила в редакцию 30.01.06
